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CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS - UFRB Capitulo 3: Dinâmica do Ponto Material (Métodos de Energia) CET166 : DINÂMICA DOS SÓLIDOS Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo 02/05/2017 Segunda lei de Newton utilizando o método de energia. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 69 Capítulo 3: Dinâmica do Ponto Material: Métodos de Energia e da Quantidade de Movimento Movimento de pontos materiais (2ª Lei de Newton): �⃗� = 𝑚. �⃗� �⃗� → �⃗� → �⃗� 𝑒 𝑟 Método do Trabalho e Energia: �⃗�, 𝑚, �⃗� e 𝑟 Método do Impulso e Quantidade de Movimento: �⃗�, 𝑚, �⃗�, 𝑡 • Método do Trabalho e Energia: • Método do Impulso e Quantidade de Movimento. } Não se precisa da aceleração: �⃗� 3.1. Trabalho de uma força (𝒅𝑼) Quantidade escalar (módulo e sinal): 𝑃 → Ponto material; 𝑂 → Centro de referência. �⃗� → Força atuando em P; 𝑟 → Vetor posição. 𝑑𝑟 → Vetor deslocamento de P; 𝑑𝑈 → Trabalho de �⃗�. Por definição: 𝑑𝑈 = �⃗�. 𝑑𝑟; |�⃗�| = 𝐹; | 𝑑𝑟| = 𝑠. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 70 𝑑𝑈 = |�⃗�|. |𝑑𝑟|. 𝐶𝑜𝑠𝛼; 𝑑𝑈 = 𝐹. 𝑑𝑠. 𝐶𝑜𝑠 𝛼. Em termos das componentes cartesianas: 𝑑𝑈 = (𝐹𝑥 �̂� + 𝐹𝑦𝑗̂ + 𝐹𝑧�̂�). (𝑑𝑥�̂� + 𝑑𝑦𝑗̂ + 𝑑𝑧�̂�); 𝑑𝑈 = 𝐹𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 . 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧. 𝑑𝑧. [𝑑𝑈]: 𝑁. 𝑚 ↔ 𝐽 (𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒) → 𝑆. 𝐼. Trabalho durante um deslocamento finito de P: Como: 𝑑𝑈 = �⃗�. 𝑑𝑟; ∫ 𝑑𝑈 𝐴2 𝐴1 = ∫ �⃗�. 𝑑𝑟 𝐴2 𝐴1 ; 𝑈1−2 = ∫ 𝐹. 𝐶𝑜𝑠(𝛼). 𝑑𝑠 𝐴2 𝐴1 . Temos que: 𝐹𝑡 = 𝐹. 𝐶𝑜𝑠(𝛼); 𝑈1−2 = ∫ 𝐹𝑡 . 𝑑𝑠 𝐴2 𝐴1 ; Em componentes cartesianas: 𝑈1−2 = ∫ (𝐹𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 . 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧. 𝑑𝑧 ) 𝐴2 𝐴1 ; Trabalho de uma Força Constante num Movimento Retilíneo: CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 71 �⃗� = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝐹 = 𝑐𝑡𝑒; 𝛼 = 𝑐𝑡𝑒. Da definição de trabalho temos: 𝑈1−2 = ∫ 𝐹. 𝐶𝑜𝑠(𝛼). 𝑑𝑠 𝐴2 𝐴1 = 𝐹. 𝐶𝑜𝑠(𝛼) ∫ 𝑑𝑠 𝐴2 𝐴1 ; 𝑈1−2 = 𝐹. 𝐶𝑜𝑠(𝛼). 𝛥𝑥. Trabalho da Força Peso: �⃗⃗⃗� Toda Força �⃗� é definida por: �⃗� = 𝐹𝑥 . �̂� + 𝐹𝑦 . 𝑗̂ + 𝐹𝑧. �̂�; A Força Peso é: CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 72 �⃗� = −𝑃. 𝑗̂ ; 𝑃: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒; 𝑑�⃗� = 𝑑𝑦 𝑗̂. 𝑈1−2 = ∫ − 𝑃. 𝑑𝑦 𝑦2 𝑦1 = −𝑃 ∫ 𝑑𝑦 𝑦2 𝑦1 = −𝑃. ∆𝑦; Trabalho da Força Exercida por uma Mola: Como: 𝐹 = 𝑘. 𝑥 ; 𝑘 ∶ 𝑁 𝑚 ⁄ (𝑆. 𝐼. ); �⃗� = −𝐹�̂�; 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥�̂�; 𝑑𝑈 = −𝐹. 𝑑𝑥 = −𝑘. 𝑥. 𝑑𝑥; 𝑈1−2 = − ∫ 𝑘. 𝑥. 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 = 1 2 . 𝑘. 𝑥1 2 − 1 2 . 𝑘. 𝑥2 2; Também do gráfico: 𝑈1−2 = − 1 2 (𝐹1 + 𝐹2). ∆𝑥; Δ𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1. Trabalho da Força Gravitacional: CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 73 A força gravitacional é definida por: 𝐹 = 𝐺. 𝑀.𝑚 𝑟2 ; �⃗� = −𝐹. �̂�𝑟 ; 𝑑𝑟 = 𝑑𝑟. �̂�𝑟; 𝑑𝑈 = −𝐹. 𝑑𝑟 ⇒ ∫ 𝑑𝑈 2 1 = ∫ 𝐺. 𝑀.𝑚 𝑟2 𝑟2 𝑟1 . 𝑑𝑟; 𝑈1−2 = 𝐺. 𝑀.𝑚 𝑟2 − 𝐺. 𝑀.𝑚 𝑟1 . Forças que não realizam trabalho: - Forças aplicadas em pontos fixos (𝑑𝑠 = 0); - Forças perpendiculares ao deslocamento (𝛼 = 90𝑜 ⇒ 𝐶𝑜𝑠(𝛼) = 0). 3.2. Energia Cinética de um Ponto Material (Princípio do Trabalho e Energia). CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 74 A segunda Lei de Newton na direção tangente é: 𝐹𝑡 = 𝑚. 𝑎𝑡 = 𝑚. 𝑑𝜐 𝑑𝑡 ; Como: 𝜐 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 ; 𝐹𝑡 = 𝑚. 𝑑𝜐 𝑑𝑠 . 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑚. 𝜐. 𝑑𝜐 𝑑𝑠 ; 𝐹𝑡 . 𝑑𝑠 = 𝑚. 𝜐. 𝑑𝜐. Para: 𝐴1 → 𝑠 = 𝑠1; 𝜐 = 𝜐1; 𝐴2 → 𝑠 = 𝑠2; 𝜐 = 𝜐2; Integrando: ∫ 𝐹𝑡 𝑠2 𝑠1 . 𝑑𝑠 = 𝑚. ∫ 𝜐. 𝑑𝜐 𝜐2 𝜐1 = 𝑚. 𝜐2 2 |𝜐2 𝜐1 ; ∫ 𝐹𝑡 𝑠2 𝑠1 . 𝑑𝑠 = 𝑚. 𝜐2 2 2 − 𝑚. 𝜐1 2 2 ; Como: 𝑈1−2 = ∫ 𝐹𝑡 𝑠2 𝑠1 . 𝑑𝑠; Fazendo: 𝑇 = 1 2 . 𝑚. 𝜐2 → Energia Cinética; Temos que: 𝑈1−2 = 𝑇2 − 𝑇1; → Princípio do Trabalho e Energia; CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 75 O trabalho da força é igual à variação de energia cinética do ponto material. Mas, também se pode escrever da forma: 𝑇1 + 𝑈1−2 = 𝑇2. [𝑇]: 𝑘𝑔. (𝑚 𝑠⁄ )2 = 𝑁. 𝑚 = 𝐽 (𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒) 𝑛𝑜 𝑆. 𝐼. 3.3. Aplicações do Princípio do Trabalho e Energia (Problemas: Forças, Deslocamentos, Velocidades) Pêndulo: 𝜐0 = 0 𝑚 𝑠⁄ ; 𝜐2 = ?. Trabalho de 𝐴1 → 𝐴2 é 𝑈1−2 𝑈1−2 = 𝑃. 𝑙; Como: 𝑇1 = 1 2 . 𝑚. 𝜐1 2 𝑇1 = 0 𝐽. 𝑇2 = 1 2 . 𝑚. 𝜐2 2 𝑇2 = 1 2 . 𝑃 𝑔 . 𝜐2 2; Aplicando o princípio de trabalho e energia, temos que: 𝑇1 + 𝑈1−2 = 𝑇2 0 + 𝑃. 𝑙 = 1 2 . 𝑃 𝑔 . 𝜐2 2; 𝜐2 = √2. 𝑔. 𝑙; Determinando a tensão 𝑇 no fio do pendulo quando a esfera passar por 𝐴2. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 76 Da 2ª Lei de Newton: ∑ 𝐹𝑡 = 𝑚. 𝑎𝑡 𝑛 𝑖=1 ; ∑ 𝐹𝑡 = 0 𝑛 𝑖=1 . 0 = 𝑚. 𝑎𝑡 𝑎𝑡 = 0 𝑚/𝑠 2. ∑ 𝐹𝑛 = 𝑚. 𝑎𝑛 𝑛 𝑖=1 ; ∑ 𝐹𝑛 = 𝑛 𝑖=1 𝑇 − 𝑃; 𝑇 − 𝑃 = 𝑃 𝑔 . 𝜐2 2 𝑙 ; 𝜌 = 𝑙; Como: 𝜐2 2 = 2. 𝑔. 𝑙 𝑇 = 3. 𝑃. Para um sistema de partículas, adicionando-se as energias cinéticas de todos os pontos materiais e considerando-se o trabalho de todas as forças que agem sobre eles, escrevemos uma única equação do trabalho e energia para todos os pontos. ∑ 𝑇1 + ∑ 𝑈1−2 = ∑ 𝑇2. 3.4. Potência e Rendimento: Seja: ∆𝑈 → 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 ∆𝑡. A potência média é: 𝑃𝑚 = ∆𝑈 ∆𝑡 ; com ∆𝑡 → 0 a potência instantânea é definida por: 𝑃 = 𝑑𝑈 𝑑𝑡 ; CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 77 Como: 𝑑𝑈 = �⃗�. 𝑑𝑟 𝑃 = �⃗�.𝑑𝑟 𝑑𝑡 = �⃗�. 𝑑𝑟 𝑑𝑡 ; 𝑃 = �⃗�. �⃗� ∶ 𝑁. 𝑚 𝑠⁄ = 𝐽 𝑠⁄ = 𝑤(𝑤𝑎𝑡𝑡𝑠) 𝑛𝑜 𝑆. 𝐼. Rendimento Mecânico: 𝜼 𝜂 = 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑣𝑖𝑑𝑜 = 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑣𝑖𝑑𝑎 . 3.5. Energia Potencial: 𝑃 → Peso do corpo; 𝑈1−2 → Trabalho do peso entre 1 e 2; 𝑈1−2 = 𝑃. 𝑦1 − 𝑃. 𝑦2 𝑈1−2 → Independe da trajetória efetivamente percorrida; Energia potencial do corpo em relação à força da gravidade P denominada por: 𝑉𝑔 = 𝑃. 𝑦 CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 78 𝑈1−2 = 𝑉𝑔1 − 𝑉𝑔2 A energia potencial 𝑉𝑔 do corpo possibilita uma medida do trabalho que pode ser realizado pelo seu peso 𝑃 constante. [𝑉𝑔] ∶ 𝑁. 𝑚= 𝐽 (𝑆. 𝐼. ) Para um veículo espacial (O trabalho da força gravitacional é:) 𝑈1−2 = 𝐺. 𝑀. 𝑚 𝑟2 − 𝐺. 𝑀. 𝑚 𝑟1 Portanto, a energia potencial 𝑉𝑔 quando a força da gravidade varia é: 𝑉𝑔 = − 𝐺. 𝑀. 𝑚 𝑟 = − 𝑃. 𝑅2 𝑟 ; 𝐺. 𝑀. = 𝑔. 𝑅2 ; 𝑚. 𝑔 = 𝑃. 𝑃 → Valor do peso na superfície terrestre. Considerando um corpo preso a uma mola que se desloca de uma posição (𝐴1. 𝑥1) a uma posição (𝐴2. 𝑥2) o trabalho da força 𝐹 exercida pela mola sobre o corpo é: 𝑈1−2 = 1 2 . 𝑘. 𝑥1 2 − 1 2 . 𝑘. 𝑥2 2 ; Portanto, a energia potencial do corpo em relação à força elástica 𝐹𝑒 é 𝑉𝑒 e a definimos como: 𝑉𝑒 = 1 2 . 𝑘. 𝑥2; O trabalho será: 𝑈1−2 = 𝑉𝑒1 − 𝑉𝑒2; Sempre que o trabalho da força considerada for independente da trajetória do seu ponto de aplicação, quando esse ponto se deslocar de uma posição 𝐴1 para outra posição 𝐴2 . Estas forças são conhecidas como forças conservativas. 3.6. Forças Conservativas: CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 79 𝐹 → Força conservativa. O trabalho de �⃗� é definido por: 𝑈1−2 = 𝑉(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) − 𝑉(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2); 𝑈1−2 = 𝑉1 − 𝑉2; 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) → Energia potencial ou função potencial da força, �⃗�. Se: 𝐴1 = 𝐴2 𝑉1 = 𝑉2 𝑈1−2 = 0 𝐽. ∮ �⃗�. 𝑑𝑟 = 0 𝐽. Considerando dois pontos vizinhos: 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒 𝐴(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑧 + 𝑑𝑧). O trabalho elementar 𝑑𝑈 é: 𝑑𝑈 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑉(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑧 + 𝑑𝑧); 𝑑𝑈 = −𝑑𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧); Considerando as coordenadas cartesianas temos para força conservativa. 𝐹𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 . 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 . 𝑑𝑧 = − [ 𝜕𝑉 𝜕𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝜕𝑉 𝜕𝑦 . 𝑑𝑦 + 𝜕𝑉 𝜕𝑧 . 𝑑𝑧]; onde: 𝐹𝑥 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑥 ; 𝐹𝑦 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑦 ; 𝐹𝑧 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑧 . CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 80 Assim, a condição necessária para uma força ser conservativa é que dependa unicamente da posição do seu ponto de aplicação. Também: �⃗� = 𝐹𝑥 . 𝑖̂ + 𝐹𝑦 . 𝑗̂ + 𝐹𝑧 . �̂� = − [ 𝜕𝑉 𝜕𝑥 . 𝑖̂ + 𝜕𝑉 𝜕𝑦 . 𝑗̂ + 𝜕𝑉 𝜕𝑧 . �̂�]; �⃗� = − 𝛻 �⃗� = −𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑉); 3.7. Conservação de Energia Quando o ponto material se desloca sob a ação de forças conservativas, o princípio do trabalho e energia pode ser expresso como: 𝑇1 + 𝑈1−2 = 𝑇2 ; 𝑈1−2 = 𝑉1 − 𝑉2. 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒; (Princípio da conservação de energia) A energia mecânica total do ponto material é definida como: 𝐸 = 𝑇 + 𝑉; No caso de um Pêndulo: Posição 1: 𝑇1 = 0 ; 𝑉1 = 𝑃. 𝑙; 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑃. 𝑙; CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 81 Posição 2: 𝑇2 = 1 2 . 𝑚. 𝜐2 2 ; 𝑉2 = 0 𝐽. Como: 𝜐2 = √2. 𝑔. 𝑙; 𝑇2 + 𝑉2 = 1 2 . 𝑚. 2. 𝑔. 𝑙 + 0 = 𝑃. 𝑙; 𝑇2 + 𝑉2 = 𝑃. 𝑙; 𝐸1 = 𝐸2. Posição 3: 𝑇3 = 0 ; 𝑉3 = 𝑃. 𝑙; 𝑇3 + 𝑉3 = 𝑃. 𝑙; 𝐸1 = 𝐸2 = 𝐸3. As forças de atrito não são conservativas. Portanto, o trabalho de uma força de atrito não pode ser expresso como uma variação de energia potencial (depende da trajetória seguida). A energia total de qualquer sistema pode ser considerada como constante e o princípio da conservação da energia permanece válido. 3.8. Movimento sob a Ação de uma Força Central Conservativa Quando um ponto material se desloca sob a ação de uma força central conservativa, o princípio da conservação do momento angular e o princípio da conservação de energia podem ser usados para estudar seu movimento. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 82 Pelo princípio da conservação do momento angular em relação à “O” é: 𝑟0. 𝑚. 𝜐0. 𝑆𝑒𝑛(𝜙0) = 𝑟. 𝑚. 𝜐. 𝑆𝑒𝑛(𝜙); Pelo princípio de conservação da energia temos: 𝑇0 + 𝑉0 = 𝑇 + 𝑉; 1 2 . 𝑚. 𝜐0 2 − 𝐺.𝑀.𝑚 𝑟0 = 1 2 . 𝑚. 𝜐2 − 𝐺.𝑀.𝑚 𝑟 ; Se tivermos 𝑟 𝜐 é determinado. Têm-se 𝜐 𝜙 é determinado. Quando 𝜙 = 90𝑜 𝑟𝑚í𝑛 ou 𝑟𝑚á𝑥. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 83 Problema 3.1: A figura mostra dois blocos ligados por um cabo inextensível. Abandonando-se o sistema do repouso, pede-se determinar a velocidade do bloco A no fim de um deslocamento de 2 𝑚. O coeficiente de atrito cinemático entre o bloco A e o plano é 𝜇𝑐 = 0,25. A massa da polia e os atritos são desprezíveis. Dados .- Bloco A: Massa: 𝑚𝐴 = 200𝑘𝑔; Velocidade inicial: 𝜐𝑜 = 0𝑚/𝑠. .- Bloco B: Massa: 𝑚𝐵 = 300𝑘𝑔; Velocidade inicial: 𝜐𝑜 = 0𝑚/𝑠. .- Polia: Massa: 𝑚 ≅ 0,0𝑘𝑔. .- Cabo inextensível. .- Coeficiente de atrito cinemático: Bloco A e o plano: 𝜇𝑐 = 0,25; Atrito na Polia ≈ 0. .- Deslocamento: 𝑥𝐴 = 2,0 𝑚. Determinar: Velocidade do bloco A no fim do deslocamento: 𝜐𝐴 = ?. Solução Bloco A: Pelo princípio de trabalho e energia temos: 𝑇𝐴1 + 𝑈𝐴1−2 = 𝑇𝐴2; (1) .- Energias cinéticas: 𝑇𝐴1 = 1 2 𝑚𝐴. 𝜐𝐴1 2 ; 𝜐𝐴1 = 0 𝑚/𝑠 ; 𝑇𝐴1 = 0 𝐽. 𝑇𝐴2 = 1 2 𝑚𝐴. 𝜐𝐴2 2 ; .- Trabalho realizado: 𝑈𝐴1−2 = 𝐹𝐶 . 2 − 𝐹𝐴. 2; Segunda lei de Newton: (em y). ↑ ∑𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝐴𝑦; 𝑎𝐴𝑦 = 0𝑚/𝑠 2. −𝑃𝐴 + 𝑁𝐴 = 0 𝑁𝐴 = 𝑃𝐴; 𝑁𝐴 = 𝑚𝐴. 𝑔 = 200 × 9,81 = 1,96𝑘𝑁. Também: 𝐹𝐴 = µ𝐶 . 𝑁𝐴 = 0,25 × 1,96 = 490𝑁. Substituindo na equação (1): 0 + 2𝐹𝐶 − 2 × 490 = 1 2 × 200𝜐𝐴2 2 ; 𝐹𝐶 = 490 + 50. 𝜐𝐴2 2 ; (2) Bloco B: D.C.L. Aplicando o principio do trabalho e da energia para o bloco B: 𝑇𝐵1 + 𝑈𝐵1−2 = 𝑇𝐵2;. (3) Energia cinética: como: 𝜐𝐵0 = 0 𝑚/𝑠; 𝑇𝐵1 = 1 2 𝑚𝐵. 𝜐𝐵0 2 = 0 𝐽. 𝑇𝐵2 = 1 2 𝑚𝐵. 𝜐𝐵2 2 ; Como: 𝜐𝐵2 = 𝜐𝐴2; 𝑇𝐵2 = 1 2 𝑚𝐵. 𝜐𝐴2 2 ; Trabalho realizado: 𝑈𝐵1−2 = 𝑃𝐵 . 2 − 𝐹𝐶 . 2; 𝑃𝐵 = 𝑚𝐵. 𝑔 = 300 × 9,81 = 2,94 𝑘𝑁. 𝑈𝐵1−2 = 2 × 2,94 − 2𝐹𝐶 = 5,88 − 2𝐹𝐶 ; Substituindo na equação (3), temos: 0 + 5,88 − 2𝐹𝐶 = 1 2 × 300𝜐𝐴2 2 ; Usando a equação (2), temos: 5,88 − 2(490 + 50𝜐𝐴2 2 ) = 1 2 × 300𝜐𝐴2 2 ; 𝜐𝐴2 = 4,43 𝑚/𝑠. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 84 Problema 3.2: Utiliza-se uma mola para frear um fardo de 60 𝑘𝑔 que desliza sobre uma superfície horizontal. Por meio de cabos mantém-se a mola de constante 20 𝑘𝑁/𝑚 comprimida cerca de 120 𝑚𝑚 . A velocidade no fardo na posição mostrada na figura é de 2,5 𝑚/𝑠, a deformação adicional que a mola sofre pelo impacto atinge o máximo de 40 𝑚𝑚. Determine (a) o coeficiente de atrito cinético entre o fardo e o plano e (b) a velocidade do fardo quando retorna à posição original mostrada na figura. Dados .- Fardo: Massa: 𝑚𝐹 = 60 𝑘𝑔; Velocidade inicial: 𝜐𝑜 = 2,5 𝑚/𝑠; - Mola: Constante da mola: 𝑘 = 20𝑘𝑁/𝑚; Compressão inicial da mola: 𝑥𝑜 = 120 𝑚𝑚; Deformação adicional na mola pelo impacto é: ∆𝑥 = 40 𝑚𝑚. Determinar: a.- Coeficiente de atrito cinético: 𝜇𝑐=? b.- Velocidade do fardo quando retorna à posição inicial:𝜐 =?. Solução Diagrama: O D.C.L. do fardo entre a posição 1-2: O D.C.L. do fardo entre a posição 2-3: .- Diagrama da força na mola: a.- Movimento da posição (1) até a posição (3): Posição (1): 𝜐1 = 2,5 𝑚/𝑠. Energia cinética: 𝑇1 = 1 2 𝑚𝜐1 2; 𝑇1 = 1 2 × 60 × 2,52 = 187 𝐽. Posição (3): 𝜐3 = 0 𝑚/𝑠; ⇒ 𝑇3 = 0 𝐽. Trabalho realizado entre (1) e (3): 𝑈1−3 = 𝑈𝐹𝑎 + 𝑈𝐹𝑘; (1) 𝑈𝐹𝑎 = 𝐹𝑎 . 𝑥 = −𝐹𝑎(0,600 + 0,04); 𝑈𝐹𝑎 = −0,64𝐹𝑎 Da condição de equilíbrio do fardo na direção vertical, temos: ∑ 𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦; como: 𝑎𝑦 = 0 𝑚/𝑠 2. ∑ 𝐹𝑦 = 0. 𝑃 − 𝑁 = 0; 𝑃 = 𝑁; 𝑁 = 𝑚. 𝑔 = 60 × 9,81 ≈ 589𝑁. Como: 𝐹𝑎 = 𝜇𝑐. 𝑁 = 589𝜇𝑐; 𝑈𝐹𝑎 = −0,640 × 589𝜇𝑐 ≈ −377𝜇𝑐 𝐽. 𝑈𝐹𝑘 = − 1 2 (𝐹𝑘1 + 𝐹𝑘2)∆𝑥; Sendo: ∆𝑥 = 0,04𝑚; CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 85 𝐹𝑘1 = 𝑘. 𝑥𝑜 = 20 × 0,12 = 2,4 𝑘𝑁. 𝑥2 = 𝑥𝑜 + ∆𝑥 = 0,12 + 0,04 = 0,16𝑚. 𝐹𝑘2 = 𝑘. 𝑥2 = 20 × 0,16 = 3,2 𝑘𝑁. Do diagrama da força na mola temos: 𝑈𝐹𝑘 = − 1 2 (2,4 + 3,2) × 103 × 0,04 = −112𝐽; Portanto na equação (1), temos: 𝑈1−3 = −377𝜇𝑐 − 112; Pelo princípio de trabalho e energia 𝑇1 + 𝑈1−3 = 𝑇3; (2) Substituindo em (2): 187 − 377𝜇𝑐 − 112 = 0; 𝜇𝑐 = 0,20. b.- Movimento da posição (3) à (5): Diagrama do sistema de 3 -5: D.C.L. (3-5): Posição (3): 𝜐3 = 0 𝑚/𝑠. 𝑇2 = 1 2 𝑚𝜐3 2 = 0 𝐽. Posição (5): 𝜐5 =? 𝑇5 = 1 2 𝑚𝜐5 2; Trabalho realizado da posição (3) até a posição (5): 𝑈3−5 = 𝑈𝐹𝑎 + 𝑈𝐹𝑘; (3) 𝑈𝐹𝑎 = −𝐹𝑎. ∆𝑥 = 589𝜇𝑐 . (0,6 + 0,04); 𝑈𝐹𝑎 ≈ −377𝜇𝑐 𝐽 = −377 × 0,20; 𝑈𝐹𝑎 = −75,5 𝐽. 𝑈𝐹𝑘 = 1 2 (𝐹2 + 𝐹1)∆𝑥; 𝑈𝐹𝑘 = 1 2 (3,2 + 2,4) × 103 × 0,04; 𝑈𝐹𝑘 = 112 𝐽. Substituindo em (3) 𝑈3−5 = −75,5 + 112 = 36 𝐽. Portanto pelo princípio de trabalho e energia temos: 𝑇3 + 𝑈3−5 = 𝑇5; (4) Substituindo em (4) 0 + 36 = 1 2 × 60 × 𝜐5 2; 𝜐5 = 1,1 𝑚/𝑠. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 86 Problema 3.3: Uma cunha de forma triangular de massa 𝑚𝐴 = 2000 𝑘𝑔 se apoia num extremo sobre um bloco B de massa igual a 𝑚𝐵 = 1500 𝑘𝑔 estando o outro extremo articulado num apoio fixo C. As superfícies em contato são rugosas sendo 𝜇 𝑐 = 0,3 entre A e B, e entre B e o solo de 0,2. Aplica-se em B uma força P de 10000 𝑁, que velocidade terá o bloco B quando se desloque 2 𝑚 de sua posição inicial. Dados .- Cunha A: Massa: 𝑚𝐴 = 2000𝑘𝑔. .- Bloco B: Massa: 𝑚𝐵 = 1500𝑘𝑔; Força aplicada ao bloco: 𝑃 = 10000𝑁. .- Atrito: Entre a cunha A e o bloco B: µ𝑐 = 0,3; Entre o bloco B e solo: µ𝑐 = 0,2. Determinar: Velocidade do bloco B (para 𝑥𝐵 = 2 𝑚): 𝜐𝐵 = ?. Solução .- D.C.L. do Bloco B: Diagrama do sistema do Bloco B: Do princípio trabalho e energia para o bloco B, temos: 𝑇𝐵0 + 𝑈1−2 = 𝑇𝐵; (1) Como: 𝑇𝐵0 = 1 2 𝑚𝐵𝜐0 2; 𝜐0 = 0 𝑚 𝑠⁄ . ⇒ 𝑇𝐵0 = 0 𝐽. 𝑇𝐵 = 1 2 𝑚𝐵𝜐𝐵 2; Substituindo em (1) 𝑈1−2 = 1 2 𝑚𝐵𝜐𝐵 2; (2) Da definição de Trabalho temos: 𝑈1−2 = ∫ 𝐹𝑟 . 𝑑𝑥 2 1 ; (3) Como: 𝐹𝑟 = ∑ 𝐹𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑃 − 𝐹𝐴𝐵 − 𝐹𝐵; (4) .- D.C.L. da cunha A: Como: 𝑃𝐴 = 𝑚𝐴. 𝑔; 𝑃𝐵 = 𝑚𝐵. 𝑔; Somatório de momentos em relação ao ponto C: ↺+ ∑ �⃗⃗⃗�𝐶 = 0; 𝑃𝐴 × 1 − 𝑁𝐵 × (3 − 𝑥) = 0; 𝑚𝐴 × 𝑔 = 𝑁𝐵 × (3 − 𝑥); 𝑁𝐵 = 𝑚𝐴.𝑔 (3−𝑥) ; Temos que: 𝐹𝐴𝐵 = 𝜇𝐶 × 𝑁𝐵; 𝐹𝐴𝐵 = 0,3 × 𝑚𝐴 . 𝑔 (3−𝑥) ; No D.C.L. do bloco B, da 2ª lei de Newton, temos: ↑ ∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝐵. 𝑎𝐵𝑦; 𝑎𝐵𝑦 = 0 𝑚/𝑠 2. ∑ 𝐹𝑦 = 0. −𝑁𝐵 + 𝑁 − 𝑃𝐵 = 0; 𝑁 = 𝑁𝐵 + 𝑃𝐵; 𝑁 = 𝑚𝐵. 𝑔 + 𝑚𝐴.𝑔 (3−𝑥) ; CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 87 Também: 𝐹𝐵 = 𝜇𝐶 × 𝑁; 𝐹𝐵 = 0,2𝑔 (𝑚𝐵 + 𝑚𝐴 (3−𝑥) ); Substituindo em (4), temos: 𝐹𝑟 = 𝑃 − 0,3 𝑚𝐴.𝑔 3−𝑥 − 0,2𝑔 (𝑚𝐵 + 𝑚𝐴.𝑔 3−𝑥 ); 𝐹𝑟 = 𝑃 − 0,2𝑔. 𝑚𝐵 − 0,5 ( 𝑚𝐴 𝑔 3−𝑥 ); 𝐹𝑟 = 10000 − 0,2 × 9,81 × 1500 − 0,5×2000×9,81 3−𝑥 ; 𝐹𝑟 = 7057 − 9810 3−𝑥 ; Substituindo em (3): ∫ 𝐹𝑟 . 𝑑𝑥 2 1 = ∫ ( 7057 − 9810 3−𝑥 ) 2 0 𝑑𝑥; 𝑈1−2 = 7057 ∫ 𝑑𝑥 2 0 − 9810 ∫ 𝑑𝑥 3−𝑥 2 0 ; 𝑈1−2 = 14144 + 9810𝐿𝑛 (3 − 𝑥)|0 2; 𝑈1−2 = 14144 − 𝐿𝑛(1/3); 𝑈1−2 = 3366,6 𝐽. Na equação (2): 3366,6 = 1 2 𝑚𝐵𝜐𝐵 2; 𝜐𝐵 2 = 6733,2 1500 ; 𝜐𝐵 = 2,11 𝑚 𝑠⁄ . CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 88 Problema 3.4: Um anel de massa igual a 4 𝑘𝑔 pode deslizar-se ao longo de uma vareta lisa parabólica cuja equação é 𝑥2 = 40. 𝑧 ( x e z em cm ). O anel está fixado através de uma mola ao ponto fixo D, o comprimento da mola sem deformação é igual a 1 𝑚 e a constante da mola 𝑘 = 200 𝑁/𝑚. Se o anel inicia seu movimento no ponto A, determine: (a) a velocidade do anel quando passa pelo ponto B, (b) as forças normais que exerce a vareta sobre o anel quando passa pelo ponto B. Dados .- Anel: Massa: 𝑚 = 4𝑘𝑔; Velocidade: 𝜐𝑜 = 0 𝑚/𝑠. .- Vareta: Lisa ( µ ≈ 0 ); Forma parabólica: 𝑥2 = 40. 𝑧. .- Mola: Comprimento: 𝐿0 = 1 𝑚; Constante: 𝑘 = 200 𝑁/𝑚. Determinar: a.- Velocidade do anel em B: 𝜐𝐵 = ?; b.- Forças normais da vareta sobre o anel no ponto B: 𝑁𝑖 = ?. Solução D.C.L. do anel: A força �⃗⃗⃗� é perpendicular à trajetória, portanto não realiza trabalho. As forças �⃗�𝑒 e �⃗⃗�𝐴 são conservativas. Portanto, cumpre-se a conservação de energia. 𝑇𝐴 + 𝑉𝐴 = 𝑇𝐵 + 𝑉𝐵; (1) Como no ponto A temos: 𝑇𝐴 = 1 2 𝑚𝐴𝜐𝐴 2 ; 𝜐𝐴 = 0 𝑚/𝑠; 𝑇𝐴 = 0 𝐽. 𝑉𝐴 = 𝑉𝐴𝐺 + 𝑉𝐴𝑒; 𝑉𝐴𝐺 = 𝑃𝐴. 𝑧𝐴; 𝑉𝐴𝑒 = 1 2 𝑘. 𝑥𝐴𝑒 2 ; 𝑉𝐴 = 𝑃𝐴. 𝑧𝐴 + 1 2 𝑘. 𝑥𝐴𝑒 2 ; No ponto B, temos: 𝑇𝐵 = 1 2 𝑚𝐴𝜐𝐵 2; 𝑉𝐵 = 𝑉𝐵𝐺 + 𝑉𝐵𝑒; 𝑉𝐵𝐺 = 𝑃𝐴. 𝑧𝐵; 𝑧𝐵 = 0; 𝑉𝐵𝐺 = 0 𝐽. 𝑉𝐵𝑒 = 𝑘𝑥𝐵𝑒 2 ; 𝑉𝐵 = 1 2 𝑘. 𝑥𝐵𝑒 2 ; Substituindo da equação (1): 0 + 𝑃𝐴. 𝑧𝐴 + 1 2 𝑘. 𝑥𝐴𝑒 2 = 1 2 𝑚𝐴𝜐𝐵 2 + 1 2 𝑘. 𝑥𝐵𝑒 2 ; 1 2 𝑚𝐴𝜐𝐵 2 = 𝑚𝐴. 𝑔. 𝑧𝐴 + 1 2 𝑘(𝑥𝐴𝑒 2 − 𝑥𝐵𝑒 2 ); (2) Da figura da vareta, temos: Da equação da parábola: 𝑥2 = 40. 𝑧; Em A: 𝑥𝐴 2 = 40. 𝑧𝐴; 𝑧𝐴 = 1 40 𝑥𝐴 2; 𝑥𝐴 = 60 𝑐𝑚; 𝑧𝐴 = 90 𝑐𝑚 = 0,9 𝑚. Para a mola: 𝑥𝐴𝑒 = |𝐷𝐴̅̅ ̅̅ | − 𝐿0; |𝐷𝐴̅̅ ̅̅ | = √602 + 802 + 90² = 134,5𝑐𝑚 = 1,35𝑚. 𝑥𝐴𝑒 = 1,35 − 1 = 0,35 𝑚. 𝑥𝐵𝑒 = |𝐷𝐵̅̅ ̅̅ | − 𝐿0; |𝐷𝐵̅̅ ̅̅ | = 80 𝑐𝑚 = 0,8𝑚. 𝑥𝐵𝑒 = 0,8 − 1 = −0,2 𝑚. Substituindo em (2) 4𝜐𝐵 2 = 2 × 9,81 × 4 × 0,9 + 200( 0,352 − (−0,2)2); 𝜐𝐵 = 4,66 𝑚/s. (b) Forças normais no anel em B: CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas -CETEC - UFRB 89 .- D.C.L. do anel em B: Da 2ª Lei De Newton, temos: Na direção y: + → ∑ 𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦 ; 𝑎𝑦 = 0 ⇒ ∑ 𝐹𝑦 = 0. 𝑁𝑦 − 𝐹𝑒 = 0; 𝑁𝑦 = 𝐹𝑒 = 𝑘. ∆𝑥; Como: △ 𝑥 = 0,2 𝑚; 𝑁𝑦 = 200 × 0,2 = 40 𝑁. Na direção z: +↑ ∑ 𝐹𝑧 = 𝑚. 𝑎𝑧; (3) 𝑎𝑧 = 𝑎𝑛; 𝑎𝑛 = 𝜐𝐵 2 𝜌 ; Como o raio de curvatura é definido por: 𝜌 = {1+(𝑑𝑧/𝑑𝑥)2} 3/2 𝑑2𝑧 𝑑𝑥2⁄ ; De: 𝑧 = 𝑥² 40 ; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑥 20 ; 𝑑²𝑧 𝑑𝑥² = 1 20 ; Para: 𝑥 = 0 𝑚. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 0; e 𝑑²𝑧 𝑑𝑥² = 1 20 ; Substituindo na equação do raio de curvatura: 𝜌 = { 1+(0)2}3/2 1/20 ; 𝜌 = 20 𝑐𝑚 = 0,20 𝑚. Substituindo na equação (3) − 𝑃𝐴 + 𝑁𝑍 = 𝑚𝐴𝜐𝐵 2 0,2 ; 𝑁𝑧 = 𝑚𝐴𝑔 + 5𝑚𝐴𝜐𝐵 2; 𝑁𝑧 = 4 × 9,81 + 5 × 4 × 4,66²; 𝑁𝑧 = 473,55 𝑁. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 90 Problema 3.5: Uma partícula de massa 𝑚 parte do repouso do ponto A, descendo por uma guia perfeitamente lisa, subindo depois pela parte circular da guia de raio 𝑅 de atrito desprezível. A partícula abandona a guia circular em B e inicia seu movimento de queda livre sob a ação da gravidade. Determine a altura correspondente a queda ℎ em função do raio 𝑅 e o valor do ângulo 𝜃 correspondente ao momento em que a partícula abandona a circunferência, se no seu movimento de queda livre passa pelo centro O da circunferência. Dados .- Partícula: Massa: 𝑚; Parte do repouso: 𝜐𝐴 = 0 𝑚 𝑠⁄ ; Após o ponto B tem movimento sob ação da gravidade, e passa pelo ponto “O”. .- Guia: Lisa, atrito desprezível: 𝜇 = 0; Porcão circular de raio: 𝑅. Determinar: .- A altura ℎ =?, em função de 𝑅; .- O ângulo: 𝜃 =?. Solução Diagrama do sistema: D.C.L. da Partícula: Como a reação �⃗⃗⃗� é perpendicular à trajetória do movimento, não realiza trabalho. Desta forma a única forca que realiza trabalho é o peso, que é uma força conservativa, portanto, temos a conservarão de energia. ⇒ 𝑇 + 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒; Portanto: ⇒ 𝑇𝐴 + 𝑉𝐴 = 𝑇𝐵 + 𝑉𝐵; (1) No ponto A: Como: 𝑇𝐴 = 1 2 𝑚𝐴𝜐𝐴 2 ; 𝜐𝐴 = 0 𝑚/𝑠; ⇒ 𝑇𝐴 = 0 𝐽. 𝑉𝐴 = 𝑃. 𝑦𝐴; 𝑦𝐴 = ℎ − 𝑅; 𝑃 = 𝑚𝑔; ⇒ 𝑉𝐴 = 𝑚𝑔(ℎ − 𝑅); ⇒ 𝑇𝐴 + 𝑉𝐴 = 𝑚𝑔(ℎ − 𝑅); (2) No ponto B: 𝑇𝐵 = 1 2 𝑚𝐵𝜐𝐵 2; 𝑉𝐵 = 𝑃𝑦𝐵; 𝑦𝐵 = 𝑅. 𝑆𝑒𝑛(𝜃); ⇒ 𝑉𝐵 = 𝑚. 𝑔. 𝑅. 𝑆𝑒𝑛(𝜃); ⇒ 𝑇𝐵 + 𝑉𝐵 = 1 2 𝑚𝐵𝜐𝐵 2 + 𝑚𝑔𝑅𝑆𝑒𝑛(𝜃); (3) Substituindo (2) e (3) em (1), temos que: 𝑚𝑔(ℎ − 𝑅) = 1 2 𝑚𝐵𝜐𝐵 2 + 𝑚𝑔𝑅𝑆𝑒𝑛(𝜃); ⇒ ℎ = 𝜐𝐵 2 2𝑔 + 𝑅(1 + 𝑆𝑒𝑛(𝜃)); (4) No ponto B temos: Da segunda lei de Newton, temos: ∑ 𝐹𝑛 = 𝑚. 𝑎𝑛 ; 𝑎𝑛 = 𝜐𝐵 2 𝜌 ; 𝑃. 𝑆𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 𝜐𝐵 2 𝜌 ; Como: 𝜌 = 𝑅; CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 91 𝜐𝐵 2 = 𝑔. 𝑅. 𝑆𝑒𝑛(𝜃); Substituindo em (4), temos: ℎ = 𝑔.𝑅.𝑆𝑒𝑛𝜃 2𝑔 + 𝑅(1 + 𝑆𝑒𝑛(𝜃)); ℎ = 𝑅(1 + 1,5𝑆𝑒𝑛(𝜃)); Para o movimento de queda livre de partículas temos: Para o sistema xy temos: Em x temos M.R.U. 𝑥 = 𝜐𝑜𝑥𝑡; 𝜐𝑜𝑥 = 𝜐𝐵𝑆𝑒𝑛(𝜃); Para o ponto “O”: 𝑥 = 𝑅. 𝐶𝑜𝑠(𝜃); 𝑅. 𝐶𝑜𝑠(𝜃) = 𝜐𝐵. 𝑆𝑒𝑛(𝜃). 𝑡; 𝑡 = 𝑅.𝐶𝑜𝑡(𝜃) 𝜐𝐵 ; Em y temos M.R.U.A.: 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝜐𝑜𝑦𝑡 + 𝑎𝑦 2 𝑡2; 𝑦𝑜 = 0; 𝜐𝑜𝑦 = 𝜐𝐵𝐶𝑜𝑠(𝜃) ; 𝑎𝑦 = −𝑔; 𝑦 = 𝜐𝐵. 𝐶𝑜𝑠(𝜃). 𝑡 − 𝑔 2 𝑡2; Em “O”: 𝑦 = −𝑅. 𝑆𝑒𝑛(𝜃); Substituindo: −𝑅𝑆𝑒𝑛(𝜃) = 𝜐𝐵𝐶𝑜𝑠(𝜃) 𝑅 𝜐𝐵 𝐶𝑜𝑠(𝜃) 𝑆𝑒𝑛(𝜃) − 𝑔 2 𝑅2 𝜐𝐵 2 𝐶𝑜𝑠2(𝜃) 𝑆𝑒𝑛2(𝜃) ; −𝑆𝑒𝑛(𝜃) = 𝐶𝑜𝑠2(𝜃) 𝑆𝑒𝑛(𝜃) − 𝑔.𝑅 2(𝑔.𝑅.𝑆𝑒𝑛(𝜃)) . 𝐶𝑜𝑠2(𝜃) 𝑆𝑒𝑛2(𝜃) ; −𝑆𝑒𝑛(𝜃) = 𝐶𝑜𝑠2(𝜃) 𝑆𝑒𝑛(𝜃) − 𝐶𝑜𝑠2(𝜃) 2𝑆𝑒𝑛3(𝜃) ; −2𝑆𝑒𝑛4(𝜃) = 2𝑆𝑒𝑛2(𝜃). 𝐶𝑜𝑠2(𝜃) − 𝐶𝑜𝑠²(𝜃); Como: 𝐶𝑜𝑠²(𝜃) = 1 − 𝑆𝑒𝑛²(𝜃); −2𝑆𝑒𝑛4(𝜃) = 2𝑆𝑒𝑛²(𝜃) − 2𝑆𝑒𝑛4(𝜃) − 𝐶𝑜𝑠²(𝜃); −2𝑆𝑒𝑛4(𝜃) = 2(1 − 𝐶𝑜𝑠2(𝜃)) − 2𝑆𝑒𝑛4(𝜃) − 𝐶𝑜𝑠2(𝜃); 0 = 2 − 3𝐶𝑜𝑠2(𝜃); 𝐶𝑜𝑠2(𝜃) = 2 3 . 𝜃 = 35,26°. Portanto: ⇒ ℎ = 𝑅(1 + 1,5𝑆𝑒𝑛(35,26°)); ⇒ ℎ = 1,865𝑅. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 92 3.5. Princípio de Impulso e Quantidade de Movimento Usado para resolver problemas que envolvem: força, massa, velocidade e tempo (movimentos impulsivos, choques, etc.). Da 2ª lei de Newton, temos: �⃗� = 𝑚. �⃗� = 𝑑(𝑚.�⃗⃗⃗�) 𝑑𝑡 ; 𝑚. �⃗� → Quantidade de movimento do ponto material. �⃗�𝑑𝑡 = 𝑑(𝑚. �⃗�); ∫ �⃗� 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑(𝑚�⃗�) 𝑡2 𝑡1 ; ∫ �⃗� 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 = 𝑚�⃗�2 − 𝑚�⃗�1; 𝑚�⃗�1 + ∫ �⃗� 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 = 𝑚�⃗�2. ∫ �⃗� 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 → Impulso linear ou impulso da força. Em componentes cartesianas: 𝐼𝑚𝑝1→2 = ∫ �⃗� 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡; CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 93 𝐼𝑚𝑝1→2 = �̂� ∫ 𝐹𝑥 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 + 𝑗̂ ∫ 𝐹𝑦 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 + �̂� ∫ 𝐹𝑧 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡; [𝐼𝑚𝑝. ]: 𝑁. 𝑠 = (𝑘𝑔 𝑚 𝑠2 ) . 𝑠 = 𝑘𝑔 𝑚 𝑠 ; “A quantidade de movimento final 𝑚�⃗�2 do ponto material pode ser obtido adicionando-se vetorialmente à sua quantidade de movimento inicial 𝑚�⃗�1 o impulso da força �⃗� durante o mesmo intervalo de tempo”. 𝑚�⃗�1 + 𝐼𝑚𝑝1→2 = 𝑚�⃗�2; A quantidade de movimento e o impulso são quantidades vetoriais. Considerando as componentes temos: 𝑚𝜐𝑥1 + ∫ 𝐹𝑥 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 = 𝑚𝜐𝑥2; 𝑚𝜐𝑦1 + ∫ 𝐹𝑦 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 = 𝑚𝜐𝑦2; 𝑚𝜐𝑧1 + ∫ 𝐹𝑧 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 = 𝑚𝜐𝑧2; Quando várias forças atuam na partícula, portanto: CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 94 𝑚�⃗�1 + ∑ 𝐼𝑚𝑝⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1→2 𝑛 𝑖=1 = 𝑚�⃗�2. Quando o problema envolve dois ou mais pontos materiais, temos: ∑ 𝑚�⃗�1𝑖 𝑛 𝑖=1 + ∑ 𝐼𝑚𝑝⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑖1→2 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑚�⃗�2𝑖 𝑛 𝑖=1 . Os impulsos das forças de ação e reação cancelam-se mutuamente e, portanto, apenas os impulsos das forças externas são considerados. Senão Ǝ forças externas, então: ∑ 𝑚�⃗�1𝑖 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑚�⃗�2𝑖 𝑛 𝑖=1 . 3.6. Movimento Impulsivo Para: 𝛥𝑡 → Pequeno. 𝐹 → Força Impulsiva (valor médio). Quando várias forças impulsivas agem no ponto material: 𝑚�⃗�1 + ∑ �⃗�𝑖∆𝑡 𝑛 𝑖=1 = 𝑚�⃗�2. “Qualquer força que não seja impulsiva pode ser desprezada, pois o 𝐹. ∆𝑡 é pequeno”. Forças não impulsivas: peso, força de mola. No caso do movimento impulsivo de vários pontos materiais, poderá ser usada: ∑ 𝑚𝑖�⃗�1𝑖 𝑛 𝑖=1 + ∑ �⃗�𝑖∆𝑡 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑚𝑖�⃗�2𝑖 𝑛 𝑖=1 . 3.7. Choque CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 95 Colisão entre dois corpos que ocorre num intervalo de tempo muito curto, durante o qual os dois corposexercem, um sobre outro, forças relativamente grandes. 3.7.1. Choque Central Direto Corpos A e B deslocam–se na mesma reta. Corpo A colidirá com o B. Devido aos choques, os dois corpos se deformarão e, no fim do período de deformação, terão a mesma velocidade u. O período de restituição, então, ocorrerá, ao fim do qual, dependendo do módulo das forças de choque e dos materiais envolvidos, cada um dos corpos terá recuperado sua forma original ou ficará permanentemente deformado. Como não existem forças externas. Então, a quantidade do movimento total se conserva. 𝑚𝐴�⃗�𝐴 + 𝑚𝐵�⃗�𝐵 = 𝑚𝐴�⃗�′𝐴 + 𝑚𝐵�⃗�′𝐵; Como: �⃗�𝐴 // �⃗�𝐵 // �⃗�′𝐴 // �⃗�′𝐵 // �̂�; CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 96 𝑚𝐴𝜐𝐴 + 𝑚𝐵𝜐𝐵 = 𝑚𝐴𝜐′𝐴 + 𝑚𝐵𝜐′𝐵; (*) Para determinar: 𝜐′A ; 𝜐′B : ?. Considerando o movimento do ponto material A, durante o período de deformação. Pelo princípio do impulso e quantidade de movimento: �⃗⃗� → Força exercida sobre o corpo A devido ao corpo B. 𝑚𝐴�⃗�𝐴 − ∫ �⃗⃗� 𝑑𝑡 = 𝑚𝐴�⃗⃗�; ∫ 𝑄 𝑑𝑡 = 𝑚𝐴(𝜐𝐴 − 𝑢); Agora o movimento de A durante o período de restituição. �⃗⃗� → Força de B sobre A,na restituição. Pelo princípio do impulso e quantidade de movimento. 𝑚𝐴�⃗⃗� − ∫ �⃗⃗� 𝑑𝑡 = 𝑚𝐴�⃗�𝐴 , ; ∫ 𝑅 𝑑𝑡 = 𝑚𝐴(𝑢 − 𝜐𝐴 , ); O coeficiente de restituição é definido por: 𝑒 = ∫ 𝑅𝑑𝑡 ∫ 𝑄𝑑𝑡 ; 𝑒 ∈ [0 , 1]; Depende dos materiais,velocidades e tamanhos. 𝑒 = 𝑢−𝜐𝐴 , 𝜐𝐴−𝑢 ; Considerando o ponto material B, temos: 𝑒 = 𝜐𝐵 , − 𝑢 𝑢 − 𝜐B ; Também: CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 97 𝑒 = (𝑢 − 𝜐𝐴 , ) + (𝜐𝐵 , − 𝑢) (𝜐𝐴 − 𝑢) + (𝑢 − 𝜐𝐵) = (𝜐𝐵 , − 𝜐𝐴 , ) (𝜐𝐴 − 𝜐𝐵) . 𝑒 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑓𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎çã𝑜 . Considerando as duas relações: 𝜐𝐵 , − 𝜐𝐴 , = 𝑒(𝜐A − 𝜐B). Quando: 𝑒 = 0 Choque perfeitamente plástico. 𝜐𝐵 , = 𝜐𝐴 , , não Ǝ restituição (os corpos permanecem juntos após o choque). 𝜐𝐵 , = 𝜐𝐴 , = 𝜐, → da equação de conservação da quantidade de movimento. 𝑚𝐴𝜐𝐴 + 𝑚𝐵𝜐𝐵 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)𝜐′; Quando: 𝑒 = 1 Choque perfeitamente elástico. 𝜐𝐵 , − 𝜐𝐴 , = 𝜐A − 𝜐B; 𝜐𝐵 , + 𝜐B = 𝜐𝐴 , + 𝜐A; (**) A energia total dos dois pontos materiais e quantidade de movimento total se conservam: Da equação (*), temos: 𝑚𝐴(𝜐𝐴 − 𝜐𝐴 , ) = 𝑚𝐵(𝜐𝐵 , − 𝜐𝐵);...............(a) Da equação (**), temos: 𝜐A + 𝜐𝐴 , = 𝜐B + 𝜐𝐵 , ;...............(b) Multiplicando as equações (a) x (b), temos: 1 2 𝑚𝐴𝜐𝐴 2 + 1 2 𝑚𝐵𝜐𝐵 2 = 1 2 𝑚𝐴(𝜐𝐴 , )2 + 1 2 𝑚𝐵(𝜐𝐵 , )2; ∑ 𝑇𝑖 = ∑ 𝑇𝑖 ,. (Conservação de energia do sistema) CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 98 3.7.2. Choque Central Oblíquo Corpos A e B perfeitamente lisos e sem atrito. Forças impulsivas. Forças internas ao longo do eixo “n”. 1.– Conservação da quantidade de movimento na direção t de cada corpo: 𝜐𝐴𝑡 = 𝜐𝐴𝑡 , ; 𝜐𝐵𝑡 = 𝜐𝐵𝑡 , ; 2.– Quantidades de movimento total na direção “n” se conserva: 𝑚𝐴𝜐𝐴𝑛 + 𝑚𝐵𝜐𝐵𝑛 = 𝑚𝐴𝜐𝐴 , 𝑛 + 𝑚𝐵𝜐𝐵 , 𝑛 ; 3 – As velocidades relativas antes e após do choque com o coeficiente de restituição, estão relacionados por: 𝜐𝐵 , 𝑛 − 𝜐𝐴 , 𝑛 = 𝑒 (𝜐𝐴𝑛 − 𝜐𝐵𝑛); Hipótese: ambos os corpos se movem livremente, antes e depois do impacto. Caso em que há restrição ao movimento de um ou de ambos os corpos em colisão: .- Conserva-se a quantidade de movimento da bola na direção “t”: (𝜐𝐵)𝑡 = (𝜐𝐵 , )𝑡. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 99 .- A componente em x da quantidade de movimento se conserva: 𝑚𝐴𝜐𝐴 + 𝑚𝐵𝜐𝐵𝑥 = 𝑚𝐴𝜐𝐴 , + 𝑚𝐵𝜐𝐵𝑥 , . .- A relação das velocidades relativas ao longo do eixo “n” e o coeficiente de restituição para o sistema bloco – bola: 𝜐𝐵 , 𝑛 − 𝜐𝐴 , 𝑛 = 𝑒 (𝜐𝐴𝑛 − 𝜐𝐵𝑛). CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 100 Problema 3.6: De uma calha inclinada cai um pacote de 10 kg sobre um carrinho de 25 kg. A velocidade do pacote ao deixar a calha é de 3 m/s. sabendo-se que o carrinho está inicialmente em repouso e pode rolar livremente, determinar (a) a velocidade final do carrinho, (b) o impulso do carrinho sobre o pacote e (c) a fração de energia inicial perdida pelo impacto. Dados Pacote: Massa: mp = 10 kg Velocidade inicial: o = 3 m/s Carrinho: Massa: mc = 25 kg Em repouso: o = 0 m/s. Determinar: a.- Velocidade final do carrinho: c =?; b.- Impulso do carrinho sobre o pacote: 𝐼𝑚𝑝 =?; c.- Fração de energia inicial perdida pelo impacto: ∆𝐸 =?. Solução a.- Velocidade do carrinho: c =?. D.C.L. Princípio do impulso e quantidade de movimento (pacote e carrinho) ∑ 𝑚�⃗�1 + ∑ 𝐼𝑚𝑝⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗1→2 = ∑ 𝑚�⃗�2 (1) Instante 1: ∑ 𝑚�⃗�1 = 𝑚𝑝�⃗�𝑝1 + 𝑚𝑐�⃗�𝑐1; Como: �⃗�𝑐1 = 0𝑚/𝑠. ∑ 𝑚�⃗�1 = 𝑚𝑝�⃗�𝑝1; ∑ 𝑚�⃗�1 = 𝑚𝑝𝜐𝑝1𝐶𝑜𝑠 30 𝑜𝑖̂ − 𝑚𝑝𝜐𝑝1 𝑆𝑒𝑛 30 𝑗;̂ Instante 2: ∑ 𝑚�⃗�2 = 𝑚𝑝�⃗�𝑝2 + 𝑚𝑐�⃗�𝑐2; Como: �⃗�𝑝2 = �⃗�𝑐2 = �⃗�; ∑ 𝑚 �⃗�2 = (𝑚𝑝 + 𝑚𝑐) �⃗�; Como a força de reação e peso atuam na direção y, então o impulso em x é zero. ∑ 𝐼𝑚𝑝1→2 = 0. Portanto substituindo em (1) temos na direção x: 𝑚𝑝𝜐𝑝1 𝐶𝑜𝑠 30 ͦ + 0 = (10 + 25)𝜐; 10 ∗ 3 𝐶𝑜𝑠 30 ͦ = 35𝜐; 𝜐 = 0,792 𝑚/𝑠. b.- Impulso do carrinho sobre o pacote: 𝐼𝑚𝑝 =?. Diagrama do impulso e quantidade de movimento do pacote: ∑ 𝑚𝑝�⃗�𝑝1 + ∑ 𝐼𝑚𝑝⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗𝑝(1→2) = ∑ 𝑚𝑝�⃗�𝑝2 (1) Como: 𝑚𝑝�⃗�𝑝1 = 𝑚𝑝𝜐𝑝1 𝐶𝑜𝑠 30 𝑖̂ − 𝑚𝑝𝜐𝑝1 𝑆𝑒𝑛 30 𝑗;̂ 𝑚�⃗�𝑝2 = 𝑚𝑝𝜐𝑖̂ 𝐼𝑚𝑝𝑝(1→2) = �⃗�∆𝑡 = 𝐹𝑥∆𝑡 𝑖̂ + 𝐹𝑦∆𝑡 𝑗̂; Substituindo em (1) temos: + → ∑ 𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝑥: 𝑚𝑝𝜐𝑝1𝐶𝑜𝑠30 ͦ + 𝐹𝑥∆𝑡 = 𝑚𝑝𝜐; 𝐹𝑥∆𝑡 = 𝑚𝑝𝜐 − 𝑚𝑝𝜐𝑝1 𝐶𝑜𝑠 30 ͦ; 𝐹𝑥∆𝑡 = 10 ∗ 0,792 − 10 ∗ 3 𝐶𝑜𝑠 30 ͦ; 𝐹𝑥∆𝑡 = −18,6 𝑁𝑠. +↑ ∑ 𝑐𝑜𝑚𝑝. 𝑦: −𝑚𝑝𝜐𝑝1 𝑆𝑒𝑛 30 ͦ + 𝐹𝑦∆𝑡 = 0; CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 101 𝐹𝑦∆𝑡 = 𝑚𝑝𝜐𝑝1 𝑆𝑒𝑛 30 ͦ; 𝐹𝑦∆𝑡 = 10 ∗ 3 𝑆𝑒𝑛 30 ͦ; 𝐹𝑦∆𝑡 = 15 𝑁𝑠. Portanto o impulso sobre o pacote: 𝐼𝑚𝑝𝑝(1→2) = √(𝐹𝑥∆𝑡)2 + (𝐹𝑦∆𝑡)2; 𝐼𝑚𝑝𝑝(1→2) = 23,9 𝑁𝑠. Direção do impulso: 𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 𝐹𝑦∆𝑡 𝐹𝑥∆𝑡 ; 𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 15 18,6 = 38,9𝑜. c.- Fração de energia perdida Instante 1: Energia inicial 𝐸1 = 𝐸𝑝1 + 𝐸𝑐1; (3) 𝐸𝑝1 = 𝑇𝑝1 + 𝑉𝑝1; 𝑉𝑝1 = 0 𝐽; 𝐸𝑝1 = 𝑚𝑝𝜐𝑝1 2 2 = 𝑚𝑝𝜐0 2 2 ; 𝐸𝑐1 = 𝑇𝑐1 + 𝑉𝑐1; 𝑉𝑐1 = 0 𝐽; 𝜐𝑐1 = 0 𝑚/𝑠. 𝐸𝑐1 = 0 𝐽 ; 𝐸1 = 𝑚𝑝𝜐0 2 2 = 10∗32 2 ; 𝐸1 = 45 𝐽. Energia final 𝐸2 = 𝐸𝑝2 + 𝐸𝑐2; (4) 𝐸𝑝2 = 𝑇𝑝2 + 𝑉𝑝2; 𝐸𝑝2 = 𝑚𝑝𝜐𝑝2 2 2 = 𝑚𝑝𝜐 22 ; 𝐸𝑐2 = 𝑇𝑐2 + 𝑉𝑐2; 𝐸𝑐2 = 𝑚𝑐𝜐𝑐2 2 2 = 𝑚𝑐𝜐 2 2 ; 𝐸2 = (𝑚𝑝+𝑚𝑐)𝜐 2 2 = (10+25)×0,7422 2 ; 𝐸2 = 9,63 𝐽. Fração de energia perdida: %𝐸 = 𝐸1−𝐸2 𝐸1 ; %𝐸 = 45−9,63 45 ; %𝐸 = 0,786 = 78,6%. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 102 Problema 3.7: A bola B está suspensa pelo fio inextensível BC e a bola A (idêntica á B) está em queda livre, apenas tangenciando BC. A velocidade de A imediatamente antes da colisão é 𝜐𝑜 . Supondo-se colisão perfeitamente elástica (𝑒 = 1) e ausência de atrito, determinar as velocidades das esferas imediatamente depois do choque. Dados .- Fio inextensível BC: .- Bola A: Massa: 𝑚𝐴; Velocidade antes da colisão: 𝜐𝑜; Em queda livre. .- Bola B: Massa: 𝑚𝐵; Fixa no fio BC. .- Bolas A e B idênticas: Massas: 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵; Diâmetros: 𝜙𝐴 = 𝜙𝐵. .- Colisão perfeitamente elástica: 𝑒 = 1. .- Sem atrito: 𝜇 = 0. Determine: As velocidades das esferas após o choque: 𝜐𝐴 , =? ; 𝜐𝐵 , =?. Solução Diagrama durante o impacto: Da figura, temos que: 𝑆𝑒𝑛(𝜃) = 𝑟 2𝑟 = 0,5 → 𝜃 = 30°. Como: 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 𝑚. Bola A: Principio de Impulso e quantidade de movimento. 𝑚. �⃗�𝐴 + �⃗�. ∆𝑡 = 𝑚. �⃗�𝐴 , ; Na direção tangente temos: 𝑚𝐴. 𝜐𝐴𝑡 + 𝐹𝑡 . ∆𝑡 = 𝑚𝐴. 𝜐𝐴 , 𝑡 ; 𝜐𝐴𝑡 = 𝜐𝑜 . 𝑆𝑒𝑛(𝜃); 𝐹𝑡 = 0 𝑁. 𝑚. 𝜐𝑜. 𝑆𝑒𝑛30° = 𝑚. 𝜐𝐴 , 𝑡 ; 𝜐𝐴 , 𝑡 = 0,5. 𝜐𝑜; (1) Princípio de impulso e quantidade de movimento do sistema: Aplicando o princípio de impulso e quantidade de movimento ao sistema: 𝑚. �⃗�𝐴 + 𝑚. �⃗�𝐵 + �⃗⃗�. ∆𝑡 = 𝑚. �⃗�𝐴 , + 𝑚. �⃗�𝐵 , ; 𝑚. �⃗�𝐴 + �⃗⃗�. ∆𝑡 = 𝑚. �⃗�𝐴 , + 𝑚. �⃗�𝐵 , ; Temos: �⃗�𝐴 = −𝜐𝑜𝑗 ̂; �⃗⃗� = 𝑇𝑗̂; �⃗�𝐵 , = −𝜐𝐵 , 𝑖;̂ �⃗�𝐴 , 𝑛 = −𝜐𝐴 , 𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑖̂ − 𝜐𝐴 , 𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑗;̂ �⃗�𝐴 , 𝑡 = 𝜐𝐴 , 𝑡 𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑖̂ − 𝜐𝐴 , 𝑡 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑗̂; Em x : 0 + 0 = −𝑚𝜐𝐴 , 𝑛 𝑆𝑒𝑛30 + 𝑚𝜐𝐴 , 𝑡 𝐶𝑜𝑠30 − 𝑚𝜐𝐵 , ; Substituindo equação (1), temos: 𝜐𝐵 , + 0,5𝜐𝐴 , 𝑛 = 0,433𝜐𝑜; (2) Da figura: CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 103 Da definição do coeficiente de restituição, temos: 𝜐𝐵 , 𝑛 − 𝜐𝐴 , 𝑛 = 𝑒 (𝜐𝐴𝑛 − 𝜐𝐵𝑛) como: 𝑒 = 1; 𝜐𝐴𝑛 = 𝜐𝑜𝐶𝑜𝑠30; 𝜐𝐵 , 𝑛 = 𝜐𝐵 , . 𝑆𝑒𝑛30; 𝜐𝐵 , 𝑆𝑒𝑛30 − 𝜐𝐴 , 𝑛 = 𝜐𝑜𝐶𝑜𝑠30 − 0 0,5𝜐𝐵 , − 𝜐𝐴 , 𝑛 = 0,886𝜐𝑜 (3) Resolvendo o sistema de equações (2) e (3), temos: 𝜐𝐴 , 𝑛 = −0,52𝜐𝑜 ; 𝜐𝐵 , = 0693𝜐𝑜; Considerando as componentes, temos: 𝜐𝐴 , = √(𝜐𝐴 , 𝑛 )2 + (𝜐𝐴 , 𝑡 )2; 𝜐𝐴 , = 0,721𝜐𝑜; Da figura temos: 𝑇𝑎𝑛(𝛽) = 𝜐𝐴 , 𝑛 𝜐𝐴 , 𝑡 ; 𝛽 = 𝑇𝑎𝑛−1 ( 𝜐𝐴 , 𝑛 𝜐𝐴 , 𝑡 ) ; 𝛽 = 𝑇𝑎𝑛−1 ( 0,52𝜐𝑜 0,5𝜐𝑜 ); 𝛽 = 46,1𝑜. como: 𝛼 = 𝛽 − 𝜃; 𝜃 = 30𝑜. 𝛼 = 16,1𝑜. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 104 Problema 3.8: Um bloco de massa igual a 20 𝑘𝑔. Inicialmente em repouso, se submete a ação de uma força 𝐹 cuja variação com o tempo é indicada na figura. Sem considerar o atrito: a) qual será a máxima velocidade do bloco; b) qual é a velocidade do bloco no instante 𝑡 = 1,5 𝑠; c) se o coeficiente de atrito é 0,25, qual é a máxima velocidade do bloco e em que instante ocorre. Dados Bloco: Massa: 𝑚 = 20 𝑘𝑔; Velocidade Inicial: 𝜐𝑜 = 0,0 𝑚/𝑠; Força que atua no bloco: F; Determine: Desprezando o atrito: a) Máxima velocidade do bloco: 𝜐𝑚𝑎𝑥 =?; b) Para 𝑡 = 1,5 𝑠 a velocidade do bloco: 𝜐 =?; Para o atrito 𝜇 = 0,25; c) Velocidade máxima: 𝜐𝑚𝑎𝑥 =?; Instante para a velocidade máxima: 𝑡𝑚𝑎𝑥 =?. Solução Diagrama: Sem atrito o D.C.L. do bloco é: a.- Velocidade máxima �⃗�𝑚𝑎𝑥 =?. Do princípio do Impulso e Quantidade de movimento, temos: 𝑚�⃗�1 + ∫ �⃗�. 𝑑𝑡 = 𝑚. �⃗�2; como: 𝜐1 = 𝜐0 = 0 𝑚/𝑠. ∫ �⃗�. 𝑑𝑡 = = 𝑚. �⃗�2; (1) Para: 𝜐2 ser máxima temos que: ∫ �⃗�𝑑𝑡 deve ser também máxima. Portanto, da figura temos: ∫ �⃗�𝑑𝑡 = ∫ �⃗� 𝐵 𝐴 . 𝑑𝑡→máximo Para : t [0 , 𝑡𝐵] Temos que a Força é dada por: 𝐹 = 𝑎. 𝑡 + 𝑏; (2) Em A: 𝐹 = 1000 𝑁; e 𝑡 = 0 𝑠. Na equação (2) temos: 1000 = 𝑎 ∗ 0 + 𝑏; 𝑏 = 1000 𝑁. 𝐹 = 𝑎. 𝑡 + 1000; Em C: 𝐹 = −250 𝑁; e 𝑡 = 0,5 𝑠. Substituindo na equação temos: −250 = 𝑎 ∗ 0,5 + 1000; 𝑎 = −2500 𝑁/𝑠. Portanto a equação da força é: 𝐹 = −2500𝑡 + 1000; Determinando 𝑡𝐵 : Em B: 𝐹 = 0 𝑁; temos: 0 = −2500𝑡𝐵 + 1000; 𝑡𝐵 = 0,4 𝑠. Substituindo em (1) temos: ∫ 𝐹𝑑𝑡 = 𝑚. 𝜐𝑚𝑎𝑥 𝑡𝐵 0 ; ∫ ( −2500𝑡 + 1000)𝑑𝑡 = 20𝜐𝑚𝑎𝑥 𝑡𝐵 0 ; (−1250𝑡2 + 1000𝑡)| 0,4 0 = 20𝜐𝑚𝑎𝑥; 𝜐𝑚𝑎𝑥 = 10 𝑚/𝑠. b) Para: 𝑡 = 1,5 𝑠, a velocidade do bloco: 𝜐 =?. Do princípio do Impulso e Quantidade de Movimento, temos: 𝑚�⃗�1 + ∫ �⃗�. 𝑑𝑡 = 𝑚. �⃗�2; CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 105 como: 𝜐1 = 𝜐𝑜 = 0 𝑚/𝑠. ∫ 𝐹 𝑑𝑡 = 𝑚. 𝜐2 𝑡 0 ; Para: 𝑡 = 1,5 𝑠. temos: ∫ 𝐹1𝑑𝑡 + ∫ 𝐹2𝑑𝑡 = 𝑚. 𝜐2 𝑡𝐷 𝑡𝐶 𝑡𝐶 0 ; (2) Para: 𝑡 𝜖 [0 ; 𝑡𝐶]; temos: 𝐹1 = −2500. 𝑡 + 1000; Para: 𝑡 𝜖 [𝑡𝐶 ; 𝑡𝐷], temos: 𝐹2 = 𝑎. 𝑡 + 𝑏; (3) Em C: 𝐹 = −250 𝑁; e 𝑡 = 0,5 𝑠. Na equação (3) temos: −250 = 0,5. 𝑎 + 𝑏; (4) Em D: 𝐹 = 0 𝑁; e 𝑡 = 1,5 𝑠. 𝑂 = 𝑎. 1,5 + 𝑏; (5) Resolvendo o sistema de equações (4) e (5) temos: 𝑎 = 250 𝑁/𝑠; 𝑏 = −375 𝑁. 𝐹2 = 250𝑡 − 375; Substituindo na equação (2) temos: ∫ (−2500𝑡 + 1000)𝑑𝑡 0,5 0 + ∫ (250𝑡 – 375)𝑑𝑡 1,5 0,5 = 20𝜐; −1250 × 0,52 + 1000 × 0,5 + 125(1,52 − 0,52) − 375(1,5 – 0,5) = 20𝜐; 𝜐 = 3,125𝑚/𝑠. c) Para o atrito 𝜇 = 0,25: Velocidade máxima: 𝜐𝑚𝑎𝑥 =?. Instante para a velocidade máxima: 𝑡𝑚𝑎𝑥 =?. O D.C.L. do Bloco é Do D.C.L. temos: como: 𝐹𝑎 = 𝜇. 𝑁; 𝑁 = 𝑚. 𝑔; 𝐹𝑎 = 0,25 × 20 × 9,81 𝐹𝑎 = 49𝑁. Do princípio do Impulso e Quantidade de Movimento, temos: ∫ �⃗�. 𝑑𝑡 = 𝑚. 𝜐𝑚𝑎𝑥; (6) onde: �⃗� = �⃗�𝑟; Do D.C.L temos: 𝐹𝑟 = 𝐹 − 𝐹𝑎; O comportamento da força resultante será: Em A’: 𝐹𝑟 = 1000 − 49 = 951𝑁; 𝑡𝐴´ = 0 𝑠. Em C’: 𝐹𝑟 = −250 + 49 = −201𝑁; 𝑡𝐶´ = 0,5 𝑠. A equação d a função: �⃗�𝑟 𝐹𝑟 = 𝑎. 𝑡 + 𝑏; Em A’ : 9,51 = 0 + 𝑏; 𝑏 = 951 𝑁. Em C’: −201 = 𝑎 ∗ 0,5 + 951; 𝑎 = −2304 𝑁/𝑠. Portanto: 𝐹𝑟 = −2304𝑡 + 951; Em B’: 𝐹𝑟 = 0 𝑁; temos: 0 = −2304. 𝑡𝐵´ + 951; 𝑡𝐵´ = 0,425 𝑠. Na equação (6) temos: ∫ ( − 2304𝑡 + 951)𝑑𝑡 𝑡𝐵′ 0 = 20𝜐𝑚𝑎𝑥; (−1152. 𝑡2 + 951. 𝑡)|0 0,425 = 20 𝜐𝑚𝑎𝑥; 𝜐𝑚𝑎𝑥 = 9,413 𝑚/𝑠. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de CiênciasExatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 106 Problema 3.9: Os coeficientes de atrito entre os três blocos mostrados e as superfícies horizontais são 𝜇𝑒 = 0,25 e 𝜇𝑐 = 0,20 . As massas dos blocos são𝑚𝐴 = 𝑚𝐶 = 10 𝑘𝑔 e 𝑚𝐵 = 5 𝑘𝑔. As velocidades dos blocos A e C no tempo 𝑡 = 0 𝑠 são 𝜐𝐴 = 3 𝑚/𝑠 e 𝜐𝐶 = 5 𝑚/𝑠 , ambas para a direita. Determine (a) a velocidade de cada bloco em 𝑡 = 0,5 𝑠 e (b) a tensão do cabo. Dados Bloco A: Massa: 𝑚𝐴 = 10 𝑘𝑔; Velocidade Inicial: 𝜐𝐴0 = 3 𝑚/𝑠; Bloco B: Massa: 𝑚𝐵 = 5 𝑘𝑔; Velocidade Inicial: 𝜐𝐵0 =?. Bloco C: Massa: 𝑚𝐶 = 10 𝑘𝑔; Velocidade Inicial: 𝜐𝐶0 = 5 𝑚/𝑠; Coeficientes de atrito: 𝜇𝑒 = 0,25; 𝜇𝐶 = 0,20. Determine: a.- Velocidades dos blocos para 𝑡 = 0,5 𝑠: 𝜐𝐴 =? ; 𝜐𝐵 = ? ; 𝜐𝐶 =?; b.- Tensão no cabo: T=?. Solução Diagrama do sistema: a.- Velocidades dos blocos para 𝑡 = 0,5 𝑠: 𝜐𝐴 =? ; 𝜐𝐵 = ? ; 𝜐𝐶 =?. Bloco A: Do princípio do Impulso e da Quantidade de Movimento, temos: 𝑚𝐴𝜐𝐴𝑜 + ∫ 𝐹𝑟𝐴𝑑𝑡 𝑡 0 = 𝑚𝐴𝜐𝐴; Como: 𝐹𝑟𝐴 = 3𝑇 − 𝐹𝐴 ; 𝐹𝐴 = 𝜇𝐶𝑁𝐴; 𝑁𝐴 = 𝑃𝐴 = 𝑚𝐴. 𝑔; 𝐹𝑟𝐴 = 3𝑇 − 𝜇𝐶𝑚𝐴. 𝑔; Substituindo temos: 𝑚𝐴𝜐𝐴𝑜 + ∫ (3𝑇 − 𝜇𝐶𝑚𝐴. 𝑔 )𝑑𝑡 𝑡 0 = 𝑚𝐴𝜐𝐴; 𝑚𝐴𝜐𝐴𝑜 + (3𝑇 − 𝜇𝐶𝑚𝐴. 𝑔 )𝑡 = 𝑚𝐴𝜐𝐴; 𝜇𝐶 = 0,20; 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠 2. Substituindo os valores, temos: 10. 𝜐𝐴 = 1,5𝑇 + 20,19; (1) Bloco B: Do princípio do Impulso e da Quantidade de Movimento, temos: 𝑚𝐵𝜐𝐵𝑜 + ∫ 𝐹𝑟𝐵𝑑𝑡 𝑡 0 = 𝑚𝐵𝜐𝐵; Como: 𝐹𝑟𝐵 = 2𝑇 − 𝐹𝐵 ; 𝐹𝐵 = 𝜇𝐶 . 𝑁𝐵; 𝑁𝐵 = 𝑃𝐵 = 𝑚𝐵. 𝑔; 𝐹𝑟𝐵 = 2𝑇 − 𝜇𝐶𝑚𝐵. 𝑔; Substituindo temos: 𝑚𝐵𝜐𝐵𝑜 + ∫ (2𝑇 − 𝜇𝐶𝑚𝐵. 𝑔 )𝑑𝑡 𝑡 0 = 𝑚𝐵𝜐𝐵; 𝑚𝐵𝜐𝐵𝑜 + (2𝑇 − 𝜇𝐶𝑚𝐵. 𝑔 )𝑡 = 𝑚𝐵𝜐𝐵; (2) No Bloco C: CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 107 Do princípio do Impulso e da Quantidade de Movimento, temos: 𝑚𝐶𝜐𝐶𝑜 + ∫ 𝐹𝑟𝐶𝑑𝑡 𝑡 0 = 𝑚𝐶𝜐𝐶; 𝑐𝑜𝑚𝑜: 𝐹𝑟𝐶 = −4𝑇 − 𝐹𝐶; 𝐹𝐶 = 𝜇𝐶 . 𝑁𝐶; 𝑁𝐶 = 𝑃𝐶 = 𝑚𝐶 . 𝑔; 𝐹𝑟𝐶 = −4𝑇 − 𝜇𝐶𝑚𝐶 . 𝑔; Substituindo temos: 𝑚𝐶𝜐𝐶𝑜 + ∫ (−𝜇𝐶𝑚𝐶 . 𝑔 − 4𝑇)𝑑𝑡 𝑡 0 = 𝑚𝐶𝜐𝐶; 𝑚𝐶𝜐𝐶𝑜 − (𝜇𝐶𝑚𝐶 . 𝑔 + 4𝑇)𝑡 = 𝑚𝐶𝜐𝐶; Substituindo os valores, temos: 10. 𝜐𝐶 = 40,19 − 2𝑇; (3) O comprimento do cabo: 3(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴) + (𝑥𝐶 − 𝑥𝐵) + (𝑥𝐷 − 𝑥𝐵) = 𝑐𝑡𝑒; 4𝑥𝐶 − 3𝑥𝐴 − 2𝑥𝐵 + 𝑥𝐷 = 𝑐𝑡𝑒; Derivando, temos que: 4 𝑑𝑥𝐶 𝑑𝑡 − 3 𝑑𝑥𝐴 𝑑𝑡 − 2 𝑑𝑥𝐵 𝑑𝑡 = 0; 4𝜐𝐶 − 3𝜐𝐴 − 2𝜐𝐵 = 0; 4𝜐𝐶 = 3𝜐𝐴 + 2𝜐𝐵; (4) Para: 𝑡 = 0 𝑠. 4𝜐𝐶𝑜 = 3𝜐𝐴𝑜 + 2𝜐𝐵𝑜; 4 × 5 = 3 × 3 + 2𝜐𝐵𝑜; 𝜐𝐵𝑜 = 5,5 𝑚/𝑠. b.- Tensão no cabo: T=?. Substituindo em (2): 5 × 5,5 + (2𝑇 − 0,20 × 5 × 9,81) × 0,5 = 5𝜐𝐵 5𝜐𝐵 = 𝑇 + 22,6; (5) Substituindo na equação (4) as velocidades em função de T: 4(4,02 − 0,2𝑇) = 3(0,15𝑇 + 2,02) + 2(0,2𝑇 + 4,52) 1,65𝑇 = 0,98; 𝑇 = 0,59 𝑁; Portanto, substituindo nas equações (1), (3) e (5), temos: Na equação (5): 𝜐𝐵 = 0,98+22,6 5 = 4,72 𝑚/𝑠. Na equação (3): 𝜐𝐶 = 40,19−2 × 0,59 10 = 3,9 𝑚/𝑠. Na equação (1): 𝜐𝐴 = 1,5× 0,59+20,19 10 = 2,11 𝑚/𝑠. CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 108 Problema 3.10: Deixa-se cair verticalmente uma esfera sobre um corpo de massa muito grande, cuja superfície AB tem a forma de uma parábola de eixo vertical, com seu vértice localizado no ponto A. Considerando que a superfície é lisa e o coeficiente de restituição é igual a 0,64, determine a distância x para que a esfera após o choque assuma uma velocidade horizontal. Dados Esfera: Velocidade inicial: 𝜐𝑜 = 0 𝑚/𝑠. Corpo: Forma parabólica com vértice em A: Superfície lisa: 𝜇 ≈ 0; Coeficiente de restituição: 𝑒 = 0,64. Determine: Para uma velocidade horizontal após o impacto a distância: 𝑥 =?. Solução Diagrama A equação da parábola: 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏; Utilizando as condições de contorno para determinar as constantes a e b: Em “A”: 𝑥𝐴 = 0 𝑚; 𝑦𝐴 = 2 𝑚. 2 = 𝑎. 02 + 𝑏 𝑏 = 2 . 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 2; Em “B”: 𝑥𝐵 = 4 𝑚; 𝑦𝐵 = 0 𝑚. 0 = 𝑎. 42 + 2; 𝑎 = − 1 8 . A equação da parábola é então: 𝑦 = − 1 8 𝑥2 + 2; Diagrama das velocidades antes e após o impacto: O coeficiente de restituição é definido por: 𝑒 = 𝜐′𝐵𝑛−𝜐 ′ 𝐴𝑛 𝜐𝐴𝑛−𝜐𝐵𝑛 ; (1) como: 𝜐′𝐵𝑛 = 𝜐 ′ 𝑝 = 0𝑚/𝑠; 𝜐𝐵𝑛 = 𝜐𝑝 = 0𝑚/𝑠. 𝜐′𝐴𝑛 = 𝜐 ′ 𝑒𝑆𝑒𝑛(𝜃); 𝜐𝐴𝑛 = −𝜐𝑒𝐶𝑜𝑠(𝜃); Substituindo em (1) temos: 𝑒 = −𝜐′𝐴𝑛 𝜐𝐴𝑛 = 𝜐′𝑒𝑆𝑒𝑛(𝜃) 𝜐𝑒𝐶𝑜𝑠(𝜃) = 𝜐′𝑒 𝜐𝑒 𝑇𝑎𝑛(𝜃); 0,64 = 𝜐′𝑒 𝜐𝑒 𝑇𝑎𝑛(𝜃) (2) Princípio de impulso e quantidade de movimento para á esfera temos: CET166 – Dinâmica dos Sólidos Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB 109 Como não existem forças na direção tangente temos que: 𝜐𝐴𝑡 = 𝜐 ′ 𝐴𝑡; (3) 𝜐𝐴𝑡 = −𝜐𝑒𝑆𝑒𝑛(𝜃) ; 𝜐′𝐴𝑡 = −𝜐 ′ 𝑒𝐶𝑜𝑠(𝜃); Substituindo em (3): 𝜐′𝑒𝐶𝑜𝑠(𝜃) = 𝜐𝑒𝑆𝑒𝑛(𝜃); 𝜐′𝑒 𝜐𝑒 = 𝑇𝑎𝑛(𝜃); (4) Das equações (2) e (4) temos: 0,64 = 𝑇𝑎𝑛2(𝜃); (5) Da equação da parábola temos: 𝑦 = − 1 8 𝑥2 + 2; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 1 4 𝑥; Através da figura temos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑇𝑎𝑛(𝛽); 𝜃 + 𝛽 = 180𝑜; 𝛽 = 180𝑜 − 𝜃; 𝑇𝑎𝑛(𝛽) = 𝑇𝑎𝑛(180𝑜 − 𝜃) = −𝑇𝑎𝑛(𝜃); 𝑇𝑎𝑛(𝜃) = 1 4 𝑥; Substituindo na equação (5): 0,64 = 1 16 𝑥2 ; 𝑥 = 3,2 𝑚.
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