Apostila - OPERACOES BINARIAS

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Universidade Estadual de Santa Cruz
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas
Especialização em Matemática
Disciplina: Estruturas Algébricas
Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta
Operações Binárias
0.1 Definição. Seja A um conjunto. Uma operação binária � é uma aplicação de A�A em
A, ou seja, é uma regra que associa a cada par ordenado de elementos de A, algum elemento
em A:
� : A� A �! A
(a; b) 7�! a � b
Observe que a operação binária num conjunto A é uma regra de…nida para todos os
pares ordenados de elementos de A. Observe também o seguinte : uma operação binária � em
A é uma regra que associa a cada par de elementos em A algum elemento que também está em
A. Esta exigência de que o elemento associado ou resultante pela regra também esteja em A é
conhecida como condição de fechamento. Dizemos assim que A é um conjunto fechado sob
a operação binária �. E a operação binária é também chamada lei de composição interna.
Exemplos e Contraexemplos
Exemplo 0.1. A operação usual de adição no conjunto dos números reais, R (e também
em C ou Z) é uma operação binária.
Exemplo 0.2. A operação usual de multiplicação no conjunto dos números reais, R
é uma operação binária.
Exemplo 0.3. Seja M(R) o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. A
operação
+ : M(R)�M(R) �!M(R)
2
(A;B) 7�! A+B
não é uma operação binária.
Exemplo 0.4. Seja M = Mm�n(R) o conjunto das matrizes de tamanho m � n com
elementos reais, então a adição usual de matrizes é uma operação binária.
Exemplo 0.5. Seja M = Mn(R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n com
elementos reais, a operação multiplicação de matrizes é uma operação binária.
Exemplo 0.6. A subtração em Z (e também em Q,R e C) é uma operação binária.
Exemplo 0.7. A subtração em N não é uma operação binária.
Exemplo 0.8. Consideremos
+ : R� � R� �! R�
(a; b) 7�! a+ b:
Agora, analisemos se esta é uma operação binária.
Exemplo 0.9. Consideremos � : N� �N� �! N� dada por (a; b) 7�! ab, a operação de
potenciação em N� é uma operação binária em N�:
Consideremos os exemplos abaixo, analisando se apresentam uma operação binária:
Exemplo 0.10. A operação de potenciação em Z:
Exemplo 0.11. A operação de potenciação em Q:
Exemplo 0.12. A operação de potenciação em R:
Exemplo 0.13. A operação de divisão em Q� e em R�.
Exemplo 0.14. A operação de divisão em N, Z, Q, R, N� e em Z�
Exemplo 0.15. Seja F = F (R) o conjunto das funções de R em R. Para cada par
ordenado de funções (f; g) 2 F � F , de…nimos as seguintes operações binárias:
ADIÇÃO DE FUNÇÃO
+ : F � F �! F
3
(f; g) 7�! f + g
MULTIPLICAÇÃO DE FUNÇÃO
� : F � F �! F
(f; g) 7�! f � g
SUBTRAÇÃO DE FUNÇÃO
� : F � F �! F
(f; g) 7�! f � g
COMPOSIÇÃO DE FUNÇÃO
� : F � F �! F
(f; g) 7�! f � g
Exemplo 0.16. Vamos de…nir em Z+ uma operação * por
� : Z+ � Z+ �! Z+
(a; b) 7�! a � b
onde a � b é igual ao menor valor de a e b ou o valor comum se a = b.
Exemplo 0.17. Seja
�0 : Z+ � Z+ �! Z+
(a; b) 7�! a �0 b
onde a �0 b = (a � b) + 2 e � é a operação de…nida no exemplo anterior.
Exemplo 0.18.
�00 : Z+ � Z+ �! Z+
(a; b) 7�! a �00 b
onde a �00 b = a.
0.2 Definição. Uma operação binária em A é comutativa se a � b = b � a para todo a; b 2 A
4
Exemplo 0.19. Analisando os exemplos anteriores, temos operações comutativas em
...(responder).
0.3 Definição. Seja � : A�A �! A uma operação binária sobre um conjunto A. O elemento
a1 � a2 � a3 é o elemento obtido determinando primeiramente (a1 � a2) e daí (a1 � a2) � a3.
De…nimos por indução a1 �a2 � :::�an = (a1 � :::�an�1)�an: Costuma-se usar os parênteses para
enfatizar que vamos primeiro determinar a1 � a2(= a4) e então operar a4 � a3 Esta convenção
para a notação é referida como associação à esquerda.
0.4 Definição. Uma operação binária em A é associativa se (a � b) � c = a � (b � c) para todo
a; b; c 2 A.
Se a operação binária � for associativa, quaisquer expressão do tipo a1 � a2 � ::: � an
serão consideradas sem ambiguidade.
Qualquer modo de inserir parênteses para reduzir o cálculo a uma sequência com op-
erações binárias resultará sempre no mesmo elemento de A. E nesse caso, não há necessidade
de usar os parênteses.
Exemplo 0.20. A operação de adição em Z é associativa
(a+ b) + c = a+ (b+ c)
Exemplo 0.21. A operação de subtração em Z não é associativa.
Exemplo 0.22. Analisemos os exemplos anteriores e veri…quemos quais apresentam
operação binária associativa.
Exemplo 0.23. Analisemos os exemplos anteriores e veri…quemos quais apresentam
operação binária não associativa.
0.5 Definição. Dizemos que e 2 A é um elemento neutro à esquerda para a operação �
quando
e � x = x
para todo x 2 A:
E dizemos que e 2 A é um elemento neutro à direita para a operação � quando
x � e = x
5
para todo x 2 A:
Se e é um elemento neutro à direita e à esquerda para �, então dizemos que e é ele-
mento neutro para esta operação.
Exemplo 0.24. A subtração em Z admite 0 como elemento neutro à direita pois x�0 =
x; 8x 2 Z, mas não possui elemento neutro à esquerda pois não existe e tal que e�x = x; 8x 2 Z
Exemplo 0.25. A divisão em R� admite 1 como elemento neutro à direita pois x : 1 =
x; 8x 2 R� mas não possui elemento neutro à esquerda pois não existe e tal que e : x = x; 8x 2
R�:
Exemplo 0.26. Considerando a operação
� : R� R �! R
(x; y) 7�! y;
percebemos que ela tem in…nitos elementos neutros à esquerda pois e�y = y; 8y 2 R é satisfeita
por qualquer elemento de R, mas não existe e tal que x � e = x; 8x 2 R
0.6 Teorema. Se a operação � tem um elemento neutro e, ele é único.
0.7 Definição. Seja � uma operação binária com elemento neutro e. Dizemos que x 2 A é
um elemento simetrizável se existe y 2 A tal que
x � y = e = y � x:
O elemento y é chamado simétrico de x para a operação �.
Quando a operação é uma adição, +, o simétrico de x também é chamado oposto de
x e indicado por �x.
Quando a operação é uma multiplicação, �, o simétrico de x é chamado inverso de x
e indicado por x�1.
Exemplo 0.27. 2 é um elemento simetrizável para a adição em Z e seu simétrico é �2
pois 2 + (�2) = 0 = (�2) + 2:
Exemplo 0.28. 2 é um elemento simetrizável para a multiplicação em Q e seu simétrico
é 1
2
= 0; 5 pois 2 � 0; 5 = 1 = 1
2
� 2:
6
Exemplo 0.29. 0 não é simetrizável para a multiplicação em Q pois não há elemento
y 2 Q tal que 0 � y = 1 = y � 0
Exemplo 0.30. 2 não é simetrizável para a multiplicação em Z pois não existe y 2 Z
tal que 2 � y = 1 = y � 2:
Exemplo 0.31.
0@ 1 2
2 4
1A é simetrizável para a adição em M2�2(R) e seu simétrico é0@ �1 �2
�2 �4
1A pois
0@ 1 2
2 4
1A+
0@ �1 �2
�2 �4
1A =
0@ 0 0
0 0
1A =
0@ �1 �2
�2 �4
1A+
0@ 1 2
2 4
1A
Exemplo 0.32.
0@ 1 3
�2 �5
1A é simetrizável para a multiplicação em M2(R) e seu
simétrico é
0@ �5 �3
2 1
1A pois
0@ 1 3
�2 �5
1A �
0@ �5 �3
2 1
1A =
0@ 1 0
0 1
1A =
0@ �5 �3
2 1
1A �0@ 1 3
�2 �5
1A. Mas
0@ 1 2
2 4
1A não é simetrizável para a mesma operação.
De um modo geral, toda matriz B 2 M2(R) cujo determinante é igual a zero não é
simetrizável , enquanto, se det(B) 6= 0, para B =
0@ a b
c d
1A, B é simetrizável e seu simétrico
é dado por 1
ad�bc
0@ d �b
�c a
1A :
Exemplo 0.33. Todo elemento é simetrizável para a adição em Mm�n(R). Seja A 2
Mm�n(R); A =
0BBBBBB@
a11 a12 ::: a1n
a21 a22 ::: a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 ::: amn
1CCCCCCA e seu simétrico é B = (�A) =
0BBBBBB@
�a11 �a12 ::: �a1n
�a21 �a22 ::: �a2n
...
...
. . .
...
�am1 �am2 ::: �amn
1CCCCCCA
onde �aij; 1 6 i 6 m e 1 6 j 6 n é o simétrico de aij para a adição em R.
Exemplo 0.34. A função f(x) = 2x + 1 é bijetora de R em R , logo existe a função
inversa de f , f�1(x) = x�1
2tal que f�1 � f = id = f � f�1; onde id é a função identidade de R
em R. Então f é um elemento simetrizável para a composição em F (R). Já a função g(x) = x2
não é uma bijeção e consequentemente, não é um elemento simetrizável para a mesma operação.
0.8 Teorema. Se a operação � em A é associativa, tem elemento neutro e, e um elemento
x 2 A é simetrizável, então o simétrico de x é único.
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0.9 Teorema. Seja � uma operação em A com elemento neutro e.
(a) Se x 2 A é simetrizável, então x�1 também é e (x�1)�1 = x:
(b)Se � é associativa, x; y 2 A são simetrizáveis, então x�y é simetrizável e (x�y)�1 = y�1�x�1:
0.10 Definição. Sendo � uma operação sobre A, com elemento neutro e, indica-se por
[�(A) = fx 2 A;9x�1 2 A;x�1 � x = e = x � x�1g
o conjunto dos elementos simetrizáveis para esta operação em A.
Exemplo 0.35. [+(N) = f0g
Exemplo 0.36. [+(Z) = Z
Exemplo 0.37. [�(Z) = f1;�1g
Exemplo 0.38. [�(R) = R�
Exemplo 0.39. [+(Mm�n(R)) = Mm�n(R)
Exemplo 0.40. [�(M2�2(R)) = f
0@ a b
c d
1Ag; a; b; c; d 2 R e ad � bc 6= 0. De forma
geral, [�(Mn(R)) = fA 2Mn(R); det(A) 6= 0g:
Note que U�(A) 6= ; pois e 2 U�(A) uma vez que e � e = e:
0.11 Definição. Um elemento � 2 A é um elemento absorvente para uma operação � se
� � a = � = a � �; 8a 2 A:
Exemplo 0.41. � = 0 é elemento absorvente em R com a multiplicação pois 0 � a =
0 = a � 0;8a 2 R:
Exemplo 0.42. De…nindo
� : R� R �! R
(a; b) 7�! a � b = a+ b� ab:
Temos � = 1 elemento absorvente.
0.12 Definição. Dizemos que um elemento a 2 A é regular (ou simpli…cável) em relação
à operação � se:
8
(1) a � x = a � y ) x = y; 8x; y 2 A e
(2) x � a = y � a) x = y; 8x; y 2 A
Se temos apenas (1), dizemos que a é regular à esquerda.
Se temos apenas (2), dizemos que a é regular à direita.
Exemplo 0.43. 3 é regular para a adição em N pois 3 + x = 3 + y ) x = y; 8x; y 2 N
Exemplo 0.44. 3 é regular para a multiplicação em Z pois 3x = 3y ) x = y; 8x; y 2 N
Exemplo 0.45. 0 não é regular para a multiplicação em Z.
Exemplo 0.46.
0@ 1 2
3 4
1A é regular para a adição em M2�2(R):
Exemplo 0.47.
0@ 0 0
0 1
1A não é regular para a multiplicação em M2(R):
0.13 Teorema. Se a operação � é associativa, tem neutro e, e um elemento a 2 A é simetrizável,
então a é regular.
0.14 Definição. Sendo � uma operação sobre A, indica-se por
R�(A) = fa 2 A; a � x = a � y ) x = y e x � a = y � a) x = y; 8x; y 2 A:
o conjunto dos elementos regulares para esta operação em A.
Exemplo 0.48. R+(N) = N
Exemplo 0.49. [�(Z) = Z�
Exemplo 0.50. [+(Mm�n(R)) = Mm�n(R)
Exemplo 0.51. Identi…quemos para a operação de potenciação em N�, os elementos
regulares.
Note que se � tem elemento neutro em A, então e 2 R�(A); portanto, R�(A) 6= ;: Além
disso, se � é associativa, então [�(A) � R�(A); conforme proposição 0.13.
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0.15 Definição. Sejam � e 4 duas operações sobre A. Dizemos que 4 é distributiva em
relação a � se:
(1) x4(y � z) = (x4y) � (y4x)
(2) (y � z)4x = (y4x) � (z4x);8x; y; z 2 A:
Se vale (1), dizemos que 4 é distributiva à esquerda de �.
Se vale (1), dizemos que 4 é distributiva à direita de �.
Se 4 é comutativa, então distributiva à esquerda e distributiva à direita são equivalentes.
Exemplo 0.52. A multiplicação em Z é distributiva em relação à adição em Z pois
para todos x; y; z 2 Z temos x(y + z) = xy + xz e (y + z)x = yx+ zx
Exemplo 0.53. A multiplicação é distributiva em relação à adição em Mn(R):
Exemplo 0.54. A potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação em
N; mas não é distributiva à esquerda.
0.16 Definição. Seja � uma operação sobre um conjunto A 6= ;: Seja B um subconjunto não
vazio de A: Dizemos que B é uma parte fechada para a operação � (ou simplesmente que
B é fechado ), se a restrição de � a B � B é uma operação sobre B, isto é, se para todos
x; y 2 B temos x � y 2 B.
Exemplo 0.55. O conjunto Q dos números racionais é fechado para a operação de
adição sobre R.
Exemplo 0.56. O conjunto dos números irracionais não é fechado para a operação de
adição sobre R.
Exemplo 0.57. Z+ = fx 2 Z;x > 0g; o conjunto dos números inteiros estritamente
positivos é fechado sob a operação de adição e não é fechado sob a operação de subtração.
Exemplo 0.58. O conjunto dos números reais positivos, R�+, é fechado para multipli-
cação sobre R:
Exemplo 0.59. O conjunto R�� dos números negativos não é fechado para a operação
de multiplicação sobre R:
Exemplo 0.60. As funções bijetoras de R em R formam um subconjunto A fechado de
F para a operação composição.
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Tábua de uma operação
Se A é um conjunto …nito, uma operação binária em A pode ser de…nida através de
uma tábua.
Vejamos como construir e analisar essa tábua para identi…carmos características e
propriedades da operação no conjunto apresentado.
Seja A = fa1; a2; :::; ang; (n > 1) um conjunto com n elementos. Cada operação sobre
A é uma aplicação � : A � A �! A que associa a cada par (ai; aj); 1 6 i; j 6 n o elemento
ai � aj = aij: Vamos apresentar esse elemento aij por meio de uma tabela de dupla entrada,
fazendo:
1o) Chamando a 1a linha e a 1a coluna, respectivamente de linha fundamental e coluna fun-
damental, colocamos tanto nesta linha como na coluna, todos os elementos do conjunto A
ordenadamente. E chamamos de i-ésima linha aquela que começa com ai e de j-ésima coluna
aquela que começa com aj:
2o) Dado um elemento ai na coluna fundamental e um elemento aj na linha fundamen-
tal, marcamos na interseção da linha i com a coluna j; o elemento correspondente aij:
� a1 a2 ::: ai ::: aj ::: an
a1 a11 a12 a1i a1j a1n
a2 a21 a22 a2i a2j a2n
...
ai ai1 ai2 aii aij ain
...
aj aj1 aj2 aji ajj ajn
...
an an1 an2 ani anj ann
Montemos a tabela dos seguintes exemplos:
Exemplo 0.61. Seja A = f�1; 0; 1g com a operação de multiplicação usual.
Exemplo 0.62. Seja A = f1; 3; 5; 15g e � : A � A �! A dada por (a; b) 7�! a � b =
mdc(a; b):
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Exemplo 0.63. Seja A = ff1; f2; f3g onde as fi; 1 6 i 6 3 são funções assim descritas:
f1 = f(a; a); (b; b); (c; c)g; f2 = f(a; b); (b; c); (c; a)g e f3 = f(a; c); (b; a); (c; b)g:
Propriedades
Vejamos agora como se pode estudar as propriedades de uma operação binária � sobre
A = fa1; a2; :::; ang quando � é dada por meio de uma tábua.
COMUTATIVA
Chamamos de diagonal principal da tábua de uma operação o conjunto formado
pelos compostos a11; a22; a33; :::; ann:
Sabemos que uma operação é comutativa se: ai � aj = aj � ai; isto é, se aij = aji para
todo i; j = 1; :::; n:
Mas aij e aji ocupam posições simétricas relativamente à diagonal principal, portanto
uma operação � é comutativa desde que sua tábua seja simétrica em relação à diagonal principal,
isto é, compostos colocados simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.
Exemplo 0.64. Observando as tabelas, temos que os 3 exemplos anteriores apresentam
operações comutativas.
Exemplo 0.65. Analisemos a tábua para a operação � no conjunto A = fa; b; cg
� a b c
a a b c
b b c a
c c b a
:
ELEMENTO NEUTRO
Sabemos que um elemento e é neutro para a operação � quando:
(I) e � x = x; 8x 2 A e
(II) x � e = x; 8x 2 A
Da condição (I) decorre que a linha de e é igual à linha fundamental. Da condição (II)
decorre que a coluna de e é igual à coluna fundamental. Assim, uma operação � tem neutro
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desde que exista um elemento cuja linha e coluna são respectivamente iguais à linha e coluna
fundamentais.
Exemplo 0.66. Analisemos as tábuas dos últimos exemplos, observando que os ele-
mentos neutros são respectivamente 1; 15; f1 e a:
Exemplo 0.67. A tábua abaixo nos mostra uma operação sem neutro. Observe que a
é neutro à esquerda.
� a b c
a a b c
b c a b
c b a c
:
ASSOCIATIVA
É a propriedade cuja veri…cação exige maior trabalho. Pode ser feita de dois modos:
1o) Calcula-se todosos compostos do tipo ai � (aj � ak) e (ai � aj) � ak com i; j; k 2
f1; 2; :::; ng e compara-os. Notemos que este método exige o cálculo de 2n3 compostos.
2o) Encontra-se um conjunto F dotado de uma operação � que se sabe ser associativa,
de tal forma que exista f : A �! F com as seguintes propriedades:
(a) f é bijetora.
(b) f(x � y) = f(x) � f(y);8x; y 2 A: Neste caso, a lei � também será associativa.
ELEMENTOS SIMETRIZÁVEIS
Sabemos que um elemento ai 2 A é simetrizável para a operação � que tem elemento
neutro e; quando existe um aj 2 A tal que
(I) ai � aj = e(= aij);
(II) aj � ai = e(= aji):
Da condição (I) decorre que a linha de ai deve apresentar ao menos um composto igual
a e:
Da condição (II) decorre que a coluna de ai deve apresentar ao menos um composto
igual a e:
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Como aij = aji = e decorre que o neutro deve aparecer em posições simétricas relati-
vamente à diagonal principal.
Assim, um elemento ai é simetrizável quando o elemento neutro aparece ao menos
uma vez na linha i e na coluna i da tábua ocupando posições simétricas em relação à diagonal
principal.
Exemplo 0.68. A tábua abaixo de…ne uma operação � sobre A = fe; a1; a2; a3; a4g que
tem neutro e.
� e a1 a2 a3 a4
e e a1 a2 a3 a4
a1 a1 a2 a3 a4 e
a2 a2 a3 a4 a1 a2
a3 a3 a4 a1 a2 a1
a4 a4 e a3 a4 a1
Os elementos simetrizáveis são e; a1; a4:
ELEMENTOS REGULARES
Sabemos que um elemento a 2 A é regular em relação à operação � quando
(I) x 6= y ) a � x 6= a � y
(II) x 6= y ) x � a 6= y � a
onde x e y são elementos quaisquer de A:
Isto signi…ca que a é regular quando, composto com elementos distintos (à esquerda
deles ou à direita), produz resultados distintos. Assim, um elemento a é regular quando na sua
linha não aparecem elementos iguais, ou seja, repetidos e também na sua coluna não aparecem
elementos iguais.
Exemplo 0.69. A tábua abaixo de…ne uma operação sobre A = fe; a; b; c; dg onde os
elementos regulares são e; a; c:
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� e a b c d
e e a b c d
a a b d e c
b b c c b b
c c d e a b
d d e b d b
Exemplo 0.70. Vamos analisar os exemplos 0.61 até 0.68.
Exemplo 0.71. Sejam P (A) o conjunto das partes de um conjunto qualquer A e con-
sideremos a operação união de conjuntos, [; dada por B [ C = fx;x 2 B ou x 2 Cg;8B;C 2
P (A):
Então
[ : P (A)� P (A) �! P (A)
(C1; C2) 7�! C1 [ C2
é uma operação binária em P (A): Ela é associativa, comutativa, possui elemento neutro , não
possui elementos simetrizáveis além do neutro, e possui elemento absorvente.
Exemplo 0.72. De…namos agora,
\ : P (A)� P (A) �! P (A)
(C1; C2) 7�! C1 \ C2:
A interseção de conjuntos também é uma operação binária. Vamos analisar quais propriedades
ela possui.
Exemplo 0.73. Analisemos agora a operação diferença de conjuntos
� : P (A)� P (A) �! P (A)
(C1; C2) 7�! C1 � C2:
Exemplo 0.74. Analisemos agora a operação diferença simétrica
4 : P (A)� P (A) �! P (A)
(C1; C2) 7�! C1 4 C2:
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Exemplo 0.75. Seja Zm = f�0; �1; �2; :::;m� 1g a classe residual dos inteiros módulo m:
E analisemos a operação binária de…nida por
� : Zm � Zm �! Zm
(�a;�b) 7�! �a� �b = a+ b
Exemplo 0.76. Consideremos agora a operação binária de…nida por
� : Zm � Zm �! Zm
(�a;�b) 7�! �a� �b = a � b
Grupóide, Semigrupo e Monóide
0.17 Definição. Um grupóide é um conjunto com uma operação binária.
0.18 Definição. Um semigrupo é um grupóide que satisfaz a propriedade associativa.
0.19 Definição. Um monóide é um semigrupo que possui elemento neutro.
Os conjuntos nos quais de…nimos uma operação binária são todos grupóides. Veri…que-
mos entre eles quais são semigrupo e quais são monóide.
OBS.: Esta apostila têm como objetivo orientar o decorrer da aula, onde os con-
ceitos e resultados aqui descritos serão devidamente desenvolvidos, explicados e exempli…cados,
sendo portanto imprescindível o acompanhamento da aula para que esta apostila seja, de fato,
elucidativa.
Referência Bibliográ…ca:
Birkho¤ e Maclane. Álgebra Moderna Básica. Rio de Janeiro: Editora Guanabara,
1980.
Dean. Elementos de Álgebra Abstrata. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e cientí…cos
Editora S.A.,1974
Domingues e Iezzi. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 1982.
Fraleigh. A …rst course in Abstract Algebra. USA: Addison-Wesley Publishing Com-
pany, 1994(5aed).