l14_SolSistemaAutovaloresRepetidos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA -UAMat
DISCIPLINA: EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS LINEARES
Aluno(a):
Lista de Exerc´ıcios n014
Sistemas Lineares e o Me´todo dos Autovalores e Autovetores III
Autovalores Repetidos
(01.) Sejam Ψ(t) e Φ(t) matrizes fundamentais do sistema linear X = P (t)X, para α < t <
β. Seja t0 ∈ (α, β).
Mostre que Φ(t) = Ψ(t) (Ψ(t0))
−1
.
(02.) Sejam t, s ∈ IR, A uma matriz quadrada de ordem n e etA a matriz exponencial da
matriz tA. Mostre que.
(a) e(t+s)A = etA esA;
(b) e−tA =
(
etA
)−1
;
(c) e(t−s)A = etA
(
esA
)−1
.
(03.) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Mostre que eA+B = eA eB se, e somente
se AB = BA.
(04.) Nos itens a seguir encontre a soluc¸a˜o geral do sistema dado. Determine tambe´m uma
matriz fundamental Ψ(t) e a partir do Exerc´ıcio (1) determine a matriz exponencial
etA.
X ′ =
(
3 −4
1 −1
)
X , X ′ =
( −3 5/2
−5/2 2
)
X ,
X ′ =
 1 1 12 1 −1
0 −1 1
 X , X ′ =
 1 1 00 1 1
0 0 1
 X .
(05.) Nos itens a seguir resolva o PVI dado usando a fo´rmula dada pela matriz exponencial,
isto e´, X(t) = etAX(0).
X ′ =
(
1 −4
4 −3
)
X , X(0) =
(
3
2
)
,
X ′ =
(−5/2 3/2
−3/2 1/2
)
X , X(0) =
(
3
−1
)
,
X ′ =
 1 0 0−4 1 0
3 6 2
 X , X(0) =
 12
−30
 ,
X ′ =
−5/2 1 11 −5/2 1
1 1 −5/2
 X , X(0) =
 22
−1
 .
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