2. Encontre a solução dos PVIs dados: a) y′ − y = 2te2t, y(0) = 1; b) y′ + 2t y = cos(t)/t2, y(π) = 0, t > 0.

a) Para resolver esse PVI, podemos utilizar o método da variação de parâmetros. Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea y' - y = 0, que é yh(t) = c1e^t. Em seguida, encontramos a solução particular yp(t) utilizando a fórmula yp(t) = -u(t) * ∫[u(t) * f(t) * e^-∫p(t)dt]dt, onde u(t) é a função degrau unitário e p(t) = 1. Substituindo os valores, temos yp(t) = -t^2e^t. Portanto, a solução geral é y(t) = c1e^t - t^2e^t. Para encontrar o valor de c1, utilizamos a condição inicial y(0) = 1, o que nos dá c1 = 1 + 1 = 2. Portanto, a solução do PVI é y(t) = 2e^t - t^2e^t. b) Para resolver esse PVI, podemos utilizar o fator integrante e^(∫2t dt) = e^(t^2). Multiplicando ambos os lados da equação por esse fator integrante, temos e^(t^2)y' + 2te^(t^2)y = cos(t)/t^2 * e^(t^2). Podemos reescrever o lado esquerdo como (e^(t^2)y)' = cos(t)/t^2 * e^(t^2). Integrando ambos os lados em relação a t, temos e^(t^2)y = ∫[cos(t)/t^2 * e^(t^2)]dt. Essa integral não pode ser resolvida analiticamente, então precisamos utilizar métodos numéricos para encontrar uma aproximação da solução. Utilizando a condição de contorno y(π) = 0, podemos encontrar uma solução aproximada para o PVI.