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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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a forma:
fx(t) = x0 + v t . (3.14)
Como x = fx(t) e´ claro que (3.13) e (3.14) sa˜o equac¸o˜es perfeitamente
equivalentes, de modo que podemos chamar a relac¸a˜o entre t e x dada em (3.13) de
func¸a˜o-movimento. A func¸a˜o-movimento e´ especificada na forma (3.14), princi-
palmente para explorar os conceitos fundamentais sobre o movimento. Na pra´tica
e´ mais conveniente trabalhar com equac¸o˜es como a (3.13).
Para obter (3.13) e (3.14), escolhemos o instante inicial como sendo zero.
Poderı´amos ter escolhido qualquer outro instante fixo para ser o inicial, digamos,
um instante t0. Consideremos enta˜o que a partı´cula esteja em x0 no instante inicial
t0 e que no instante arbitra´rio t ela tenha posic¸a˜o x. Nesse caso, a fo´rmula (3.11)
nos fornece a func¸a˜o-movimento:
x = x0 + v (t− t0) . (3.15)
´E claro que essa func¸a˜o-movimento se reduz a` anterior (3.13) no caso da
escolha t0 = 0. A func¸a˜o-movimento na forma (3.15) e´ u´til na ana´lise de va´rias
situac¸o˜es, mas nessa sec¸a˜o na˜o teremos necessidade dela; vamos continuar a usar
a func¸a˜o-movimento na forma (3.13).
Dada a func¸a˜o-movimento (3.13), podemos, e´ claro, obter qualquer infor-
mac¸a˜o que quisermos sobre o MRU que ela descreve. Vamos enta˜o explorar esse
tipo de movimento, usando (3.13). Consideremos primeiramente o caso em que a
velocidade me´dia e´ nula: v = 0. A func¸a˜o-movimento (3.13) mostra que, nesse
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Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
caso, a partı´cula esta´ em repouso (na posic¸a˜o x0). ´E claro que isso e´ uma trivia-
lidade no caso do MRU, mas devemos nos lembrar que no caso de outros movi-
mentos uma velocidade me´dia nula em um intervalo de tempo na˜o implica que a
partı´cula tenha permanecido em repouso durante esse intervalo, como foi discu-
tido anteriormente. Suponhamos agora que a velocidade me´dia seja maior do que
zero: v > 0. Nesse caso, o deslocamento em qualquer intervalo de tempo [t1, t2]
e´ dado por:
x2 − x1 = v (t2 − t1) , (3.16)
conforme pode ser verificado usando a func¸a˜o-movimento (3.13). Sendo t2 − t1
positivo e v positiva, o deslocamento x2−x1 e´ sempre positivo. Como o intervalo
em questa˜o e´ arbitra´rio, concluı´mos que qualquer deslocamento no MRU se pro-
cessa no sentido positivo se a velocidade me´dia e´ positiva. De modo semelhante,
concluı´mos que qualquer deslocamento no MRU e´ negativo se a velocidade me´dia
e´ negativa.
Lembremo-nos que o mo´dulo |x|
de um nu´mero real x e´ igual a x
se x e´ positivo ou nulo e e´ igual a
−x se x e´ negativo; dessa
maneira o mo´dulo de um nu´mero
jamais e´ negativo.
Em suma: todos os deslocamentos em um dado MRU teˆm o mesmo sentido,
ou sa˜o sempre positivos, ou sa˜o sempre negativos. Em qualquer MRU a partı´cula
nunca inverte o sentido do movimento, de modo a retornar a um ponto pelo qual
ja´ tenha passado.
Uma vez que no MRU os deslocamentos na˜o mudam de sentido, o mo´dulo
do deslocamento em um intervalo de tempo e´ igual a` distaˆncia percorrida pela
partı´cula nesse intervalo. Temos de falar em mo´dulo porque no caso de velocidade
me´dia negativa o deslocamento e´ sempre negativo e torna-se necessa´rio tomar o
seu mo´dulo para obter a distaˆncia percorrida.
O x2 x1 X
distaˆncia = |x2 − x1|
Fig. 3.8: Em um deslocamento negativo, tanto como em um positivo, a distaˆncia percorrida e´ positiva.
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Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 3
A figura 3.8 mostra um deslocamento negativo, de x1 para x2
(x2 < x1). Nesse caso, o deslocamento x2 − x1 e´ um nu´mero negativo, enquanto
a distaˆncia percorrida e´ o nu´mero positivo |x2 − x1|. Voceˆ na˜o estaria longe da
verdade se dissesse que o
conceito de mo´dulo de um
nu´mero real foi inventado para
tratar situac¸o˜es desse tipo.
Lembremo-nos que a igualdade entre o mo´dulo do deslocamento em um
certo intervalo de tempo e a distaˆncia percorrida nesse intervalo na˜o e´ sempre
verdadeira para qualquer tipo de movimento, como discutimos acima. Ela ocorre
para o MRU e para outros movimentos que se processam sem mudar o sentido.
Tomemos agora dois intervalos, [t1, t2] e [t′1, t′2], com durac¸o˜es iguais: t′2 −
t′1 = t2 − t1. Usando a func¸a˜o-movimento (3.13), ou simplesmente o fato de que
no MRU a velocidade me´dia e´ a mesma em qualquer intervalo de tempo, obtemos:
x′2 − x′1
t′2 − t′1
=
x2 − x1
t2 − t1 , (3.17)
onde x2 − x1 e´ o deslocamento no intervalo [t1, t2] e x′2 − x′1, o deslocamento
no intervalo [t′1, t′2]. Usando o fato de que as durac¸o˜es dos intervalos sa˜o iguais,
obtemos da equac¸a˜o anterior que os respectivos deslocamentos sa˜o iguais:
x′2 − x′1 = x2 − x1 . (3.18)
Dessa equac¸a˜o concluı´mos que, em intervalos de tempo com a mesma dura-
c¸a˜o, a partı´cula em MRU percorre distaˆncias iguais. Essa propriedade costuma
ser enunciada na seguinte forma: “no MRU a partı´cula percorre distaˆncias iguais
em tempos iguais” (“tempos” aı´ significa, e´ claro, durac¸o˜es de intervalos).
Vamos finalizar esse estudo do MRU comparando dois movimentos retilı´ne-
os uniformes com velocidades me´dias diferentes. Para simplificar a ana´lise, va-
mos considerar as duas como positivas, mas se considera´ssemos outras situac¸o˜es,
obterı´amos as mesmas concluso˜es. Sejam os movimentos das duas partı´culas da-
dos pelas func¸o˜es-movimento:
x = x0 + v t e x
′ = x′0 + v
′ t , (3.19)
com a condic¸a˜o:
v′ > v . (3.20)
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Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
A posic¸a˜o da partı´cula de menor velocidade me´dia e´ representada por x e
sua posic¸a˜o inicial por x0. Ja´ a posic¸a˜o da partı´cula de maior velocidade me´dia e´
representada por x′ e sua posic¸a˜o inicial por x′0. Primeiramente, vamos comparar
os deslocamentos das partı´culas em um dado intervalo de tempo [t1, t2]. Usando
(3.19), obtemos que a raza˜o entre eles e´ dada por:
x′2 − x′1
x2 − x1 =
v′ (t2 − t1)
v (t2 − t1) =
v′
v
. (3.21)
Sendo v′ > v, concluı´mos que v′/v > 1 e, consequ¨entemente, obtemos da
equac¸a˜o (3.21) que a partı´cula de maior velocidade sofre o maior deslocamento.
Como estamos considerando que os movimentos sa˜o do tipo MRU, podemos di-
zer que a partı´cula de maior velocidade percorre uma distaˆncia maior. Podemos
enta˜o enunciar esse resultado do seguinte modo: “a distaˆncia percorrida por uma
partı´cula em MRU, em um dado intervalo de tempo, e´ tanto maior quanto maior
for a sua velocidade me´dia”.
Vamos agora comparar o tempo gasto pelas duas partı´culas para percorrer
uma mesma distaˆncia. Como estamos considerando que os movimentos sa˜o do
tipo MRU, a igualdade das distaˆncias percorridas e´ dada por x′2 − x′1 = x2 − x1.
Sejam t1 e t2 os respectivos instantes inicial e final do deslocamento da primeira
partı´cula e t′1 e t′2 os respectivos instantes inicial e final do deslocamento da se-
gunda partı´cula. Usando (3.19), obtemos que a raza˜o entre os tempos gastos nos
deslocamentos e´:
t′2 − t′1
t2 − t1 =
v
v′
. (3.22)
Essa equac¸a˜o mostra que: “no MRU, o tempo gasto para uma partı´cula
percorrer uma dada distaˆncia e´ tanto maior quanto menor for a sua velocidade
me´dia”. Essas duas propriedades elementares do MRU e´ que da˜o fundamento a`
noc¸a˜o intuitiva de rapidez. O MRU mais ra´pido e´ aquele no qual se percorre
uma distaˆncia maior em um dado intervalo de tempo, ou no qual se gasta menos
tempo para se percorrer um dado deslocamento. ´E claro, pela ana´lise simples que
fizemos acima, que o MRU mais ra´pido e´ o de maior velocidade me´dia. Desse
modo, e´ o conceito de velocidade me´dia que mede a rapidez dos movimentos
retilı´neos uniformes. Para descrever a rapidez com que se processam tambe´m os
outros tipos de movimento, vamos precisar de um conceito mais sofisticado, que
veremos na pro´xima aula: o de velocidade instantaˆnea.
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Deslocamento e velocidade me´dia no