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movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 3
Resumo
O deslocamento de uma partı´cula em um dado intervalo de tempo e´ a varia-
c¸a˜o de sua posic¸a˜o nesse intervalo. A velocidade me´dia da partı´cula em um dado
intervalo e´ a raza˜o entre o deslocamento no intervalo e a durac¸a˜o do intervalo ou,
como tambe´m se diz, a velocidade me´dia e´ o deslocamento por unidade de tempo.
Tanto o deslocamento quanto a velocidade me´dia em um intervalo de tempo da˜o
uma ide´ia global, na˜o detalhada, sobre o movimento no intervalo. Entretanto,
sa˜o conceitos u´teis para chegarmos a outros conceitos que descrevem melhor o
movimento. Um MRU e´ um movimento retilı´neo no qual a velocidade me´dia da
partı´cula e´ a mesma em qualquer intervalo de tempo. Num MRU, a partı´cula per-
corre distaˆncias iguais em tempos iguais e nunca muda o sentido do movimento.
Ale´m disso, num MRU, a distaˆncia percorrida pela partı´cula em um dado inter-
valo de tempo e´ tanto maior quanto maior for a sua velocidade me´dia. Por outro
lado, o tempo gasto para uma partı´cula percorrer uma dada distaˆncia e´ tanto maior
quanto menor for a sua velocidade me´dia.
Questiona´rio
1. O que e´ deslocamento de uma partı´cula em um dado intervalo de tempo?
2. O que e´ velocidade me´dia de uma partı´cula em um dado intervalo de tempo?
3. O que e´ movimento retilı´neo uniforme?
4. A distaˆncia percorrida por uma partı´cula em movimento retilı´neo e´
necessariamente nula se o seu deslocamento for nulo? E o deslocamento
e´ necessariamente nulo se a distaˆncia percorrida for nula?
5. Responda a` questa˜o anterior para o caso em que o movimento retilı´neo
e´ uniforme.
6. Em um MRU, as distaˆncias percorridas esta˜o na raza˜o direta ou inversa aos
tempos gastos para percorreˆ-las?
7. Para percorrer uma dada distaˆncia, os tempos gastos em diversos
movimentos retilı´neos uniformes esta˜o na raza˜o direta ou inversa a`s
velocidades me´dias?
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Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
Problemas propostos
1. Demonstre que ∆x[ti, t] +∆x[t, tf ] = ∆x[ti, tf ]. Generalize esse resultado
demonstrando que:
N−1∑
n=0
∆x[tn, tn+1] = ∆x[t0, tN ] ,
onde N e´ um inteiro positivo arbitra´rio.
2. Reconsidere o movimento do atleta tratado no exemplo 3.1 desta aula, mas
suponha agora que ele va´ de um extremo ao outro inu´meras vezes e de tal
forma que ele so´ mude o sentido de seu movimento quando atinge um dos
extremos (o ponto O no inı´cio da pista ou o ponto F no final da mesma).
Suponha ainda que em t = t0 ele inicie seu movimento de O, que em t = t1
ele atinja pela primeira vez o ponto F , que em t = t2 ele atinja o ponto O
pela segunda vez (a primeira vez foi em t = t0) e assim sucessivamente, de
modo que em t = t2n−1, n = 1, 2, ..., ele se encontre em F , pela n-e´sima
vez, e em t = t2n−2, ele se encontre em O, pela n-e´sima vez.
(a) Calcule o deslocamento do atleta nos intervalos: [t0, t1], [t1, t2], [t0, t2],
[t0, t7] e [t1, t8].
(b) Calcule a distaˆncia percorrida em cada um desses intervalos.
(c) Calcule o deslocamento do atleta no intervalo [tn, tn+n′]; discuta sepa-
radamente os casos em que n′ e´ par e n′ e´ ı´mpar.
(d) Quantas vezes o atleta deve percorrer a pista, isto e´, mover-se de um
extremo ao outro, para que tenha percorrido uma distaˆncia de 42km
(aproximadamente a distaˆncia total percorrida por um atleta que ter-
mine a maratona)?
3. Considere uma partı´cula em movimento retilı´neo cuja func¸a˜o-movimento
seja dada por x = C t2, onde C e´ uma constante. Demonstre que nesse
movimento, em intervalos de tempo sucessivos de mesma durac¸a˜o, contados
a partir do instante t = 0, os deslocamentos da partı´cula sa˜o proporcionais
aos nu´meros ı´mpares sucessivos. Em outras palavras, se a durac¸a˜o de todos
os intervalos e´ ∆t, temos:
∆x[0,∆t]
1
=
∆x[∆t, 2∆t]
3
=
∆x[2∆t, 3∆t]
5
= ... =
∆x[n∆t, (n + 1)∆t]
2n + 1
.
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Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 3
4. Na sec¸a˜o 4, desta aula, voceˆ demonstrou que se a velocidade me´dia de
uma partı´cula num movimento retilı´neo ao longo do eixo OX for igual ao
mesmo valor v para qualquer intervalo de tempo do movimento em questa˜o,
enta˜o o movimento dessa partı´cula sera´ descrito por x = x0 + v(t− t0).
Demonstre a recı´proca: se o movimento de uma partı´cula e´ dado por
x = x0 + v(t − t0), enta˜o a velocidade me´dia em qualquer intervalo de
tempo e´ igual a v.
5. Um dispositivo muito utilizado pelas prefeituras das cidades para multar
os motoristas que estiverem conduzindo seus carros com rapidez excessiva
esta´ ilustrado na figura 3.9.
d
Fig. 3.9: Dispositivo para medir a velocidade.
Sensores em locais convenientes da pista indicam qual a separac¸a˜o entre os
pneus dianteiros e traseiros e quanto tempo depois dos pneus dianteiros os
traseiros passam pelo mesmo ponto da pista. Explique como esses dados
permitem calcular a velocidade do carro.
6. Uma pedra lanc¸ada para cima atinge uma altura ma´xima em 2 segundos e
desce ao ponto de lanc¸amento realizando um movimento retilı´neo. Tomando-
se um eixo OX vertical apontando para cima e com a origem no ponto
de lanc¸amento da pedra, foi encontrado que sua func¸a˜o-movimento e´ dada
por x = 20t − 5t2, na qual o tempo t foi contado a partir do instante
de lanc¸amento.
(a) Calcule a velocidade me´dia de subida e a velocidade me´dia de descida.
(b) Quais as velocidades me´dias no primeiro segundo da subida? E no
segundo seguinte?
(c) Responda o item anterior para o movimento de descida.
(d) Qual a velocidade me´dia no intervalo [0, 4]?
57 CEDERJ
Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
7. Considere o movimento retilı´neo de uma partı´cula descrito pela func¸a˜o-
movimento: x = A sen(πt/2). Indique treˆs intervalos de tempo para os
quais a velocidade me´dia da partı´cula e´ nula, treˆs intervalos de tempo para
os quais sua velocidade me´dia e´ positiva e outros treˆs intervalos de tempo
para os quais sua velocidade me´dia e´ negativa.
8. Considere um intervalo de tempo [t1, t2] dividido em dois subintervalos
[t1, t
′] e [t′, t2], de durac¸o˜es ∆t1 e ∆t2, respectivamente. Suponha que as
respectivas velocidades me´dias nesses subintervalos sejam v1 e v2.
(a) Calcule a velocidade me´dia 〈v〉 no intervalo [t1, t2] em func¸a˜o das ve-
locidades me´dias v1 e v2 e das durac¸o˜es ∆t1 e ∆t2.
(b) Mostre que, no caso em que os dois subintervalos teˆm a mesma durac¸a˜o,
〈v〉 e´ a me´dia aritme´tica de v1 e v2 (isso ocorreu no exemplo 3.5).
9. Uma partı´cula em movimento retilı´neo no eixo OX passa pelas posic¸o˜es
x1, x
′ e x2, realizando os deslocamentos sucessivos: ∆x1 = x′ − x1 e
∆x2 = x2−x′. Suponha que no primeiro deslocamento a velocidade me´dia
seja v1, e no segundo, v2.
(a) Calcule a velocidade me´dia 〈v〉 no deslocamento de x1 a x2 em func¸a˜o
das velocidades me´dias v1 e v2 e dos deslocamentos ∆x1 e ∆x2.
(b) Mostre que, no caso em que os dois deslocamentos sa˜o iguais, temos:
〈v〉 = 2 v1 v2
v1 + v2
.
(c) Mostre que, no caso do item anterior, se v1 e v2 forem ambas positivas,
enta˜o 〈v〉 sera´ sempre menor do que a me´dia aritme´tica de v1 e v2.
Interprete esse resultado.
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Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 3
Auto-avaliac¸a˜o
Voceˆ deve ter observado que os problemas propostos nesta aula sa˜o bastante
heterogeˆneos. Voceˆ se deparou com pequenas demonstrac¸o˜es, como aquelas dos
problemas 1, 3, 4 e alguns dos itens dos prolemas 8 e 9; com problemas relaciona-
dos direta ou indiretamente a alguns exemplos discutidos no texto da aula, como
acontece com os problemas 2 e 8 e, finalmente, com problemas diferentes dos que
apresentamos na aula.
Embora voceˆ na˜o esteja muito familiarizado em fazer demonstrac¸o˜es, ja´ e´
hora de comec¸ar. Mesmo com alguma dificuldade, voceˆ deve