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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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a a´rea
delimitada acima pelo gra´fico de
.
fx, abaixo pelo eixo dos tempos, a` esquerda, pela
perpendicular ao eixo dos tempos levantada de t0, e a` direita, pela perpendicular
ao eixo dos tempos levantada de t.
Tomando-se o nu´mero n de subdiviso˜es em (6.4) cada vez maior e a durac¸a˜o
de todos os intervalos de tempo cada vez menor, obtemos uma sequ¨eˆncia de figu-
ras como a que esta´ indicada na figura 6.17.
O
O
O
vx
vx
vx
t0
t0
t0
t
t
t
t
t
t
Fig. 6.17: Se o nu´mero de retaˆngulos aumenta e suas larguras diminuem, a a´rea dos retaˆngulos torna-se mais pro´xima da
a´rea sob o gra´fico da func¸a˜o.
Intuitivamente, vemos que nessa sequ¨eˆncia as somas em (6.4) aproximam-se
mais e mais da a´rea sob a curva entre t0 e t. Na verdade, podemos obter somas ta˜o
pro´ximas da a´rea sob a curva quanto quisermos, bastando tomar n suficientemente
123 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
grande e as durac¸o˜es suficientemente pequenas. Isso significa que o limite
x− x0 = lim
n→∞
∆t→0
[ .
fx (t1)∆t1+
.
fx (t2)∆t2 + · · ·
.
fx (tn)∆tn
] (6.5)
e´ exatamente a a´rea sob o gra´fico de
.
fx entre t0 e t. Uma vez que esse limite e´ o
deslocamento x− x0, chegamos ao resultado em que o deslocamento da partı´cula
no intervalo de t0 a t e´ igual a` a´rea sob o gra´fico da func¸a˜o-velocidade entre t0 e
t. Essa igualdade entre deslocamento e a´rea sob o gra´fico foi obtida no caso em
que o deslocamento e´ positivo. Foi por isso que supusemos t0 < t e que o gra´fico
de
.
fx tivesse somente velocidades positivas no intervalo. Deslocamentos tambe´m
podem ser negativos ou nulos, enquanto a a´rea e´, normalmente, considerada como
uma grandeza positiva. Entretanto, e´ possı´vel definir uma grandeza denominada
a´rea alge´brica, que pode ser positiva, negativa ou nula, e que permite estender a
igualdade anterior, entre deslocamento e a´rea sob o gra´fico das velocidades, aos
casos em que o deslocamento na˜o e´ positivo. Passemos a` definic¸a˜o desse novo
conceito.
Seja o plano onde esta˜o os eixos do tempo e das velocidades. Nesse plano,
consideremos a regia˜o delimitada pelo gra´fico de
.
fx, pelas perpendiculares ao
eixo dos tempos levantadas de t0 e de t, e pelo pro´prio eixo dos tempos. A essa
regia˜o associamos uma grandeza que chamamos de a´rea alge´brica sob o gra´fico de
.
fx entre t0 e t. Ela e´ representada por A[
.
fx]
t
t0
e definida por quatro prescric¸o˜es que
iremos apresentar no para´grafo seguinte. Note que nas treˆs primeiras prescric¸o˜es
vamos considerar o instante t posterior ao instante t0, isto e´, t > t0. Na quarta
prescric¸a˜o, consideramos t anterior a t0. Para entender facilmente as prescric¸o˜es
que sera˜o dadas, voceˆ deve olhar as suas ilustrac¸o˜es na figura 6.18.
(i) Se t0 < t e
.
fx e´ sempre positiva ou sempre nula, de t0 a t, enta˜o a a´rea
alge´brica A[
.
fx]
t
t0 e´ simplesmente a a´rea da regia˜o; neste caso, a a´rea alge´brica
e´ positiva ou nula.
(ii) Se t0 < t e
.
fx e´ sempre negativa, de t0 a t, enta˜o a a´rea alge´brica A[
.
fx]
t
t0
e´
negativa, valendo menos a a´rea da regia˜o. Por exemplo, se o valor nume´rico
da a´rea for 7, enta˜o a a´rea alge´brica correspondente valera´ -7.
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Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
(iii) Se t0 < t e
.
fx muda de sinal no intervalo de t0 a t, enta˜o repartimos
esse intervalo em subintervalos nos quais a func¸a˜o na˜o muda de sinal. Em
cada subintervalo podemos usar as regras anteriores para calcular sua a´rea
alge´brica. Somando as a´reas alge´bricas dos subintervalos, obtemos a a´rea
alge´brica do intervalo total, isto e´, de t0 a t.
(iv) Se t0 > t, usamos as treˆs regras anteriores para calcular A[
.
fx]
t0
t e definimos
A[
.
fx]
t
t0 como sendo o negativo de A[
.
fx]
t0
t , isto e´,
A[
.
fx]
t
t0 = −A[
.
fx]
t0
t .
vx
vx
vx
vx
t0
t0
t0
t
t
t
t
t0
(ii)(i)
(iii) (iv)
Fig. 6.18: (i) ´Area alge´brica positiva. (ii) ´Area alge´brica negativa. (iii) ´Area alge´brica que e´ soma de algumas positivas e
algumas negativas. (iv) ´Area alge´brica com t0 > t; neste caso, ela e´ negativa.
O conceito de a´rea a´gebrica tem essa longa definic¸a˜o com quatro pres-
cric¸o˜es, mas pode ser entendido com facilidade se aplicarmos as quatro pres-
cric¸o˜es a alguns exemplos. A figura 6.19 mostra o gra´fico de uma func¸a˜o-velocidade
.
fx e va´rios instantes de tempo. O gra´fico e´ uma curva composta de cinco segmen-
tos de reta. Esse gra´fico pode parecer meio esquisito porque foi arbitrariamente
escolhido para que suas a´reas sejam facilmente calcula´veis. Voceˆ na˜o tera´ dificul-
dade em constatar que a a´rea alge´brica A[
.
fx]
12
0 e´ igual a 5, 5 metros.
Lembre-se de que no plano do
gra´fico de uma
func¸a˜o-velocidade versus tempo,
as a´reas sa˜o dadas em unidade de
comprimento e na˜o de
comprimento ao quadrado.
125 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
vx(m/s)
1
2
−1
2 5 7 10 12 t(s)
Fig. 6.19: ´Area alge´brica A[
.
fx]
t1
t0
= 5, 5 metros.
Como dissemos anteriormente, o conceito de a´rea alge´brica foi construı´do
com a finalidade de podermos afirmar que, em qualquer caso:
o deslocamento da partı´cula no intervalo de t0 a t e´ igual a` a´rea
alge´brica sob o gra´fico da func¸a˜o-velocidade entre t0 e t.
Em sı´mbolos:
x− x0 = A[
.
fx]
t
t0
. (6.6)
Ja´ fizemos a demonstrac¸a˜o dessa propriedade para o caso de deslocamento
positivo. A demonstrac¸a˜o para os outros casos e´ praticamente a mesma se usarmos
a definic¸a˜o de a´rea alge´brica. Por isso, na˜o nos deteremos nessa demonstrac¸a˜o.
Sabemos que o deslocamento x − x0 no intervalo de t0 a t e´ dado pela
integral da func¸a˜o-velocidade de t0 a t:
x− x0 =
∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ . (6.7)
Comparando essa equac¸a˜o com a equac¸a˜o (6.6), verificamos que a a´rea
alge´brica sob o gra´fico de
.
fx entre t0 e t e´ igual a` integral de
.
fx de t0 e t:
A[
.
fx]
t
t0
=
∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ . (6.8)
Desse modo, a a´rea alge´brica sob o gra´fico da func¸a˜o-velocidade representa
a integral da func¸a˜o-velocidade.
Voltemos agora a` equac¸a˜o (6.6) que da´ o deslocamento como a´rea alge´brica
sob o gra´fico da func¸a˜o-velocidade. Ela pode ser escrita como:
x = x0 + A[
.
fx]
t
t0
. (6.9)
CEDERJ 126
Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
Essa u´ltima fo´rmula permite resolver o problema proposto no comec¸o da
sec¸a˜o: como recuperar o gra´fico da func¸a˜o-movimento fx a partir do gra´fico da
func¸a˜o-velocidade e do conhecimento da posic¸a˜o da partı´cula em um instante par-
ticular. Chamemos de instante inicial t0 aquele em que conhecemos a posic¸a˜o da
partı´cula, de modo que a posic¸a˜o conhecida seja representada por x0. Suponha-
mos enta˜o que o gra´fico de
.
fx seja dado e que desejemos obter o gra´fico de fx. A
figura 6.20 mostra a` esquerda um gra´fico de
.
fx. No lado direito da figura, apare-
cem os eixos em relac¸a˜o aos quais desejamos obter o gra´fico de fx, quais sejam,
os eixo OX e o eixo dos tempos.
vx X
x0
x P
t0 t0t tt t
A[
.
fx]
t
t0
.
fx
Fig. 6.20: Determinac¸a˜o do gra´fico de fx, a partir do gra´fico de
.
fx, por meio da equac¸a˜o (6.9): x = x0 + A[
.
fx]
t
t0
.
No eixo dos tempos do gra´fico de
.
fx, levantamos uma perpendicular em
t0 e outra em um instante arbitra´rio t. A partir do gra´fico de
.
fx podemos enta˜o
determinar a a´rea alge´brica A[
.
fx]
t
t0 entre t0 e t. Substitutindo o valor encontrado
para essa a´rea em (6.9), encontramos a posic¸a˜o x da partı´cula no instante t. Agora
vamos ao sistema de eixos a` direita e marcamos no eixo dos tempos o instante
t, e no eixo OX o valor de x obtido. A esse par (t, x) corresponde um