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finalmente a func¸a˜o-movimento da queda livre:
y = y0 +
∫ t
0
(vy0 − gt′) dt′ =⇒ y = y0 + vy0t− 1
2
gt2 .
Vale a pena reunir essas treˆs func¸o˜es, pois com elas e´ que resolveremos
nossos problemas de queda livre:
{ ay = −g
vy = vy0 − gt
y = y0 + vy0t− 12gt2
De posse dessas equac¸o˜es, podemos calcular, por exemplo, o tempo gasto
para o corpo atingir o ponto mais alto de sua trajeto´ria, muitas vezes referido
como tempo de subida, e verificar que ele e´ igual ao tempo gasto para o corpo
retornar ao ponto de partida (de lanc¸amento), referido muitas vezes como tempo
de descida. Vejamos como isso pode ser feito.
Supondo que o corpo seja lanc¸ado do solo em t = 0s, temos y0 = 0m.
Designando por ts o instante em que o corpo atinge a altura ma´xima, vemos que
ts e´ o tempo de subida. Para determina´-lo, basta igualar a func¸a˜o-velocidade a
zero, pois nesse instante o corpo esta´ invertendo o sentido de seu movimento:
vy = 0 =⇒ vy0 − gts = 0 =⇒ ts = vyo
g
. (7.28)
Para encontramos o instante em que o corpo retorna ao solo, basta igualar
a posic¸a˜o do corpo a zero e, apo´s descartar a raiz que corresponde ao instante de
lanc¸amento, identificar o instante desejado. Vejamos:
y = 0 =⇒ vyot− 1
2
gt2 = 0 =⇒ t
(
vyo − 1
2
gt
)
= 0 .
Essa equac¸a˜o do segundo grau em t possui duas raı´zes. No entanto, a raiz
t = 0s corresponde ao instante de lanc¸amento. Desse modo, concluı´mos que o
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Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 7
instante em que o corpo retorna ao solo, muitas vezes chamado de instante de
queda, designado por tq , e´ dado por:(
vyo − 1
2
gtq
)
= 0 =⇒ tq = 2vyo
g
. (7.29)
Comparando as equac¸o˜es (7.28) e (7.29) vemos que tq = 2ts, o que nos
permite concluir que o tempo de subida e´ igual ao tempo de descida.
Se quisermos saber agora qual e´ a altura ma´xima atingida por um corpo,
basta calcular a posic¸a˜o do corpo em t = ts. Designando a altura ma´xima por
ymax, temos:
ymax = fy(ts) = vy0ts − 1
2
g(ts)
2 ,
ou seja,
ymax = vy0
vyo
g
− 1
2
g
(
vyo
g
)2
=
v2yo
2g
. (7.30)
Finalmente, podemos calcular a velocidade com que o corpo retorna ao solo
e verificar que ela possui o mesmo mo´dulo que a velocidade de lanc¸amento, mas
sentido oposto, obviamente. Para isso, basta calcular a velocidade em t = tq.
Designando tal velocidade por vq, temos:
vq = vyo − gtq = vyo − g
(
2vyo
g
)
=⇒ vq = −vyo .
Esse resultado ja´ era esperado, uma vez que o tempo de subida e´ igual
ao tempo de descida e a desacelerac¸a˜o na subida tem o mesmo mo´dulo que a
acelerac¸a˜o na descida. Como um comenta´rio final, note que supusemos y0 = 0m
e, consequ¨entemente, vyo > 0m/s (ja´ que a origem esta´ no solo), mas as equac¸o˜es
escritas acima para y e vy podem ser adaptadas para outras situac¸o˜es (voceˆ encon-
trara´ situac¸o˜es desse tipo nos exercı´cios).
Exemplo 7.7
Uma partı´cula e´ lanc¸ada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade
igual a 20m/s. Seja t = 0s o instante de lanc¸amento. Vamos enta˜o aplicar as
fo´rmulas anteriores para determinar a altura ma´xima atingida pela partı´cula e o
instante em que ela retorna ao solo.
Nessas condic¸o˜es, a func¸a˜o-movimento da partı´cula e´ dada por:
y = 20t− 5t2 .
155 CEDERJ
Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
Consequ¨entemente, a sua velocidade e´:
vy =
dy
dt
= 20− 10t .
Para obter o instante em que ela atinge a altura ma´xima, basta igualar a
func¸a˜o-velocidade a zero para obter (veja a equac¸a˜o (7.28)):
ts =
20
10
= 2s .
Nesse instante, a partı´cula se encontra na posic¸a˜o:
ymax = 20× 2− 5(2)2 = 20m .
Esse mesmo resultado poderia ter sido obtido aplicando-se diretamente a
equac¸a˜o (7.30), isto e´:
ymax =
202
2× 10 = 20m .
Quanto ao instante em que a partı´cula retorna ao solo, basta lembrar que o
tempo de descida e´ igual ao tempo de subida, de modo que ela retorna ao solo no
instante (tempo de queda):
tq = 2ts = 4s .
Resumo
Nesta aula, voceˆ aprendeu os conceitos de acelerac¸a˜o me´dia e acelerac¸a˜o
instantaˆnea de uma partı´cula num movimento retilı´neo. Em termos de derivadas,
vimos que a func¸a˜o-acelerac¸a˜o de uma partı´cula e´ a derivada temporal da func¸a˜o-
velocidade, ou ainda a segunda derivada temporal da func¸a˜o de posic¸a˜o. O pro-
cesso inverso, isto e´, o de obter a func¸a˜o-velocidade a partir da func¸a˜o-acelerac¸a˜o
e´ feito por meio de uma integrac¸a˜o. No entanto, para determinarmos univoca-
mente a func¸a˜o-velocidade a partir da func¸a˜o-acelerac¸a˜o, e´ necessa´rio ainda co-
nhecer a velocidade da partı´cula em um instante qualquer.
Graficamente, em analogia com o que foi feito na aula 6, vimos que a
acelerac¸a˜o me´dia num certo intervalo temporal [t1, t2] corresponde ao coeficiente
angular da reta secante ao gra´fico de velocidade versus tempo, passando pelos
pontos (t1, f˙x(t1)) e (t2, f˙x(t2)). Ja´ a acelerac¸a˜o num instante gene´rico t e´ dada
graficamente pelo coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de velocidade
versus tempo no ponto (t, f˙x(t)). Vimos ainda que a a´rea alge´brica sob o gra´fico
de acelerac¸a˜o versus tempo, num dado intervalo temporal, corresponde a` variac¸a˜o
da velocidade da partı´cula nesse intervalo.
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Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 7
Finalmente, discutimos um caso particular de movimento com acelerac¸a˜o
constante na˜o nula, a saber, o movimento de queda livre dos corpos. Esse mo-
vimento teve uma importaˆncia histo´rica muito grande no desenvolvimento da
mecaˆnica.
Questiona´rio
1. Dado um gra´fico da velocidade de uma partı´cula versus o tempo, como se
obte´m graficamente a acelerac¸a˜o me´dia da partı´cula no intervalo [ta, tb]?
2. Dado um gra´fico da velocidade de uma partı´cula versus o tempo, como se
obte´m graficamente a acelerac¸a˜o da partı´cula num certo instante t1?
3. Dado um gra´fico da velocidade de uma partı´cula versus o tempo, explique
como trac¸ar o gra´fico correspondente da func¸a˜o-acelerac¸a˜o versus o tempo.
4. Usando o conceito de acelerac¸a˜o, defina MRUV.
5. Sabemos que se a velocidade de uma partı´cula for negativa durante um certo
intervalo de tempo o seu deslocamento nesse intervalo sera´ necessariamente
negativo. E se a acelerac¸a˜o de uma partı´cula for negativa durante um certo
intervalo de tempo o seu deslocamento sera´ necessariamente negativo?
6. Uma partı´cula que se movimenta com acelerac¸a˜o constante na˜o nula pode
inverter o sentido de seu movimento? Tente ilustrar a sua resposta elabo-
rando um ou dois exemplos.
7. Dado um gra´fico da func¸a˜o-acelerac¸a˜o versus tempo de uma partı´cula, como
obter graficamente a variac¸a˜o da velocidade da partı´cula entre os instantes
t1 e t2?
8. Dado somente o gra´fico da acelerac¸a˜o versus tempo de uma partı´cula, po-
demos obter o gra´fico da func¸a˜o-velocidade versus tempo da partı´cula?
Problemas propostos
1. A Figura 7.6 mostra o gra´fico de uma func¸a˜o-movimento. Esboce os gra´ficos
da func¸a˜o-velocidade e da func¸a˜o-acelerac¸a˜o correspondentes.
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Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
x
t0 t1 t2 t3 t
fx
Fig. 7.6: Grafico de func¸a˜o-movimento da partı´cula referente ao problema 1.
2. Na Figura 7.5, do exemplo 7.6, e´ dada a func¸a˜o-acelerac¸a˜o de um certo
movimento. Desenhe os gra´ficos das correspondentes func¸o˜es-velocidade
e de movimento supondo que no instante inicial a partı´cula encontra-se em
repouso na origem.
3. Considere o lanc¸amamento vertical de uma determinada partı´cula. Demons-
tre graficamente que o tempo de subida e´ igual ao tempo de descida (utilize
o gra´fico de velocidade versus tempo).
4. Uma partı´cula e´ lanc¸ada verticalmente para cima a partir do solo. Transcor-
rido um intervalo de tempo igual a` metade do tempo de subida, mostre que
ela tera´ percorrido