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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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setas desenhadas no problema 2. Determine as projec¸o˜es
de cada uma delas ao longo dos vetores unita´rios ux (relativo ao eixo leste-
oeste) e uy (relativo ao eixo norte-sul).
6. Considere o vetor v = 3ux+4uy+5uz. Calcule o mo´dulo de v e os aˆngulos
que esse vetor faz, respectivamente, com os vetores unita´rios ux, uy e uz.
7. Considere um hexa´gono cujos lados medem 1cm cada. Seus ve´rtices esta˜o
localizados, respectivamente, nos pontos A, B, C, D, E, e F . Escolhemos
os eixos cartesianos de forma que o hexa´gono esteja no plano OXY , tenha
um de seus lados (o lado AB) sobre o eixo OX e a origem coincida com o
ponto A, como ilustra a Figura 8.22.
A = O
Fig. 8.22: Hexa´gono.
Por convenieˆncia, vamos denotar os vetores
−→
AB,
−→
BC,
−→
CD,
−→
DE,
−→
EF e
−→
FA
por a, b, c, d, e e f respectivamente.
(a) Desenhe os vetores a+ b, b+ c, a+ b+ c e a+ b+ c+ d.
(b) Calcule as projec¸o˜es ao longo do vetor unita´rio ux dos vetores a, b, c,
d, e e f .
(c) Desenhe os vetores
−→
AD,
−→
AE e a diferenc¸a
−→
AD −
−→
AE. Calcule o
mo´dulo dessa diferenc¸a.
(d) Calcule os mo´dulos dos vetores a+ b e a+ b+ c.
8. Considere os vetores:
u1 =
ux + uy√
2
; u2 =
ux + uz√
2
; u3 =
uy + uz√
2
.
(a) Demonstre que os vetores u1, u2 e u3 formam uma base para os veto-
res do espac¸o tridimensional.
CEDERJ 192
Movimentos na˜o-retilı´neos e vetores
M ´ODULO 1 - AULA 8
(b) Calcule as projec¸o˜es de cada um dos vetores ux, uy e uz ao longo dos
vetores unita´rios u1, u2 e u3.
Sugesta˜o: Basta expressar os antigos vetores unita´rios em termos dos
novos e o problema ja´ estara´ resolvido.
Auto-avaliac¸a˜o
Em princı´pio, voceˆ deve ser capaz de responder a todo o questiona´rio e
resolver todos os problemas propostos, pois nesta aula tratamos de um to´pico
com o qual, presumivelmente, voceˆ ja´ adquiriu alguma familiaridade durante o
seu curso do ensino me´dio (vetores). Caso voceˆ encontre dificuldade em mais de
vinte por cento das questo˜es e problemas, na˜o passe para a pro´xima aula, pois nela
voceˆ tera´ de utilizar os conceitos aqui aprendidos para definir quantidades muito
importantes na descric¸a˜o do movimento. Grandezas como posic¸a˜o, velocidade e
acelerac¸a˜o de uma partı´cula sa˜o descritas convenientemente a partir do conceito
de vetor e se as propriedades dos vetores na˜o estiverem bem compreendidas, o seu
estudo de cinema´tica vetorial estara´, desde ja´, comprometido.
193 CEDERJ
Cinema´tica vetorial
M ´ODULO 1 - AULA 9
Aula 9 – Cinema´tica vetorial
Objetivo
• Desenvolver a cinema´tica de um movimento geral, na˜o necessariamente re-
tilı´neo, usando o conceito de vetor.
Introduc¸a˜o
Nesta aula, aplicamos o conceito de vetor para apresentar a cinema´tica da
partı´cula. A aula anterior, sobre vetores, deve estar bem entendida para comec¸ar-
mos esta. Pelo que nela voceˆ aprendeu, voceˆ certamente ja´ sera´ capaz de perceber
que o conceito de vetor e´ perfeito para descrever deslocamentos. Voceˆ vera´, a
seguir, que os vetores tambe´m sa˜o um meio excelente de descrever as demais
grandezas cinema´ticas como posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o. Nesta sec¸a˜o, e´
inevita´vel o uso do conceito de derivada, com o qual agora voceˆ ja´ deve estar
acostumado. A sec¸a˜o Derivadas e integrais da aula 5 pode ser u´til para recordar
noc¸o˜es elementares sobre esses dois to´picos.
Os conceitos de cinema´tica aqui apresentados sa˜o necessa´rios para a dinaˆmi-
ca que estudaremos no Mo´dulo II. Sa˜o conceitos capazes de descrever completa-
mente qualquer movimento de uma partı´cula. Na˜o devemos nos esquecer que
foram necessa´rios dois mil anos de reflexo˜es e investigac¸o˜es, envolvendo algu-
mas das maiores inteligeˆncias da humanidade, para chegar a esses conceitos ci-
nema´ticos que hoje usamos apenas como um preaˆmbulo da dinaˆmica.
Conceitos vetoriais de posic¸a˜o e deslocamento
Considere uma partı´cula em um ponto P , com coordenadas x, y e z em
relac¸a˜o a um sistema de eixos OXYZ, tal como indicado na Figura 9.1. Es-
sas coordenadas especificam a posic¸a˜o da partı´cula em relac¸a˜o ao sistema de ei-
xos. Considere agora o vetor r, cuja extremidade final esta´ em P quando a ex-
tremidade inicial esta´ na origem O do sistema de eixos. A direc¸a˜o desse vetor
e´ a da reta que passa pela origem O e pela posic¸a˜o da partı´cula. Seu mo´dulo
e´ a distaˆncia entre a partı´cula e a origem O. Seu sentido e´ da origem O para
a posic¸a˜o da partı´cula. Vemos enta˜o que um sistema de eixos OXYZ e uma
posic¸a˜o da partı´cula especificam um u´nico vetor r, que vai da origem do sistema
ate´ a posic¸a˜o da partı´cula. A recı´proca tambe´m e´ verdadeira, isto e´, dado o vetor
r, com sua direc¸a˜o, seu mo´dulo e seu sentido, a posic¸a˜o da partı´cula fica univo-
camente determinada. Colocando-se o ponto inicial do vetor na origem O, a sua
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Cinema´tica vetorial
extremidade final determina exatamente a posic¸a˜o da partı´cula. Esse vetor r, que
vai da origem O do sistema de eixos OXYZ ate´ a posic¸a˜o da partı´cula, e´ cha-
mado vetor posic¸a˜o da partı´cula em relac¸a˜o ao sistema de eixos OXYZ. Desse
modo, o vetor posic¸a˜o e´ um vetor que determina a posic¸a˜o da partı´cula. Devido
a esse fato, muitas vezes nos referimos ao vetor posic¸a˜o como sendo a posic¸a˜o da
partı´cula, ao inve´s de dizer que ele determina a posic¸a˜o da partı´cula.
x
z
y
Fig. 9.1: Vetor posic¸a˜o de uma partı´cula de coordenadas x, y e z.
Para determinar a posic¸a˜o de uma partı´cula no espac¸o, em relac¸a˜o a um sis-
tema de eixosOXYZ , usamos as coordenadas x, y e z da partı´cula em relac¸a˜o ao
sistema de eixos. Agora temos uma outra opc¸a˜o: podemos determinar a posic¸a˜o
da partı´cula em relac¸a˜o a um sistema de eixos OXYZ , usando o vetor posic¸a˜o
r da partı´cula em relac¸a˜o a este sistema. As duas opc¸o˜es sa˜o equivalentes: ou
usamos os treˆs nu´meros x, y e z ou um u´nico vetor r. Nos dois casos, a posic¸a˜o
da partı´cula fica perfeitamente determinada, embora o vetor posic¸a˜o permita uma
descric¸a˜o de seu movimento mais geome´trica e intuitiva, e ale´m disso, mais pode-
rosa matematicamente.
Sejam agora os unita´rios ux, uy e uz do sistema de eixos OXYZ. Como
fica claro pela Figura 9.1, as componentes do vetor posic¸a˜o r ao longo dos unita´rios
sa˜o exatamente as respectivas coordenadas da partı´cula:
rx = x , ry = y e rz = z , (9.1)
de modo que
r = xux + y uy + z uz . (9.2)
Essa propriedade e´ ta˜o fundamental que podemos ate´ adota´-la como definic¸a˜o de
vetor posic¸a˜o:
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Cinema´tica vetorial
M ´ODULO 1 - AULA 9
vetor posic¸a˜o de uma partı´cula, em relac¸a˜o a um sistema de eixos
coordenados, e´ o vetor cujas componentes ao longo dos eixos sa˜o as
respectivas coordenadas da partı´cula em relac¸a˜o ao sistema de eixos.
O movimento de uma partı´cula e´ descrito pela func¸o˜es-movimento fx, fy
e fz, que determinam quais sa˜o as coordenadas x, y e z da partı´cula em cada
instante t do movimento. Temos:

x = fx(t),
y = fy(t),
z = fz(t).
(9.3)
Usando essas expresso˜es em (9.2), obtemos:
r = fx(t)ux + fy(t)uy + fz(t)uz . (9.4)
Essa equac¸a˜o nos mostra que, a cada instante t do movimento, as func¸o˜es-movi-
mento fazem corresponder uma u´nica trinca de componentes para o vetor posic¸a˜o
r, que com isso fica univocamente determinado. Ou seja, a cada instante t do
movimento corresponde um u´nico vetor posic¸a˜o r. Isso significa que existe uma
func¸a˜o que vamos chamar de f , que associa a cada instante t do movimento, um
u´nico vetor posic¸a˜o r. Dizemos que o vetor posic¸a˜o e´ uma func¸a˜o do tempo, e
escrevemos:
r = f(t) . (9.5)
Essa func¸a˜o f determina o movimento da partı´cula porque da´ a cada instante t
o vetor posic¸a˜o da partı´cula, ou seja, ela da´ a cada instante a posic¸a˜o em que a
partı´cula se encontra.