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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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iguais os intervalos de
tempo entre elas.
Em um instante arbritra´rio t, a posic¸a˜o da partı´cula e´ dada por:

x = 0 ,
y = 4t− t2 ,
z = 0 .
(2.6)
Exemplo 2.3
Considere as seguintes func¸o˜es-movimento de uma partı´cula: fx(t) = 3, fy(t) =
4 e fz(t) = 20− 5t2.
25 CEDERJ
A descric¸a˜o matema´tica do movimento
Novamente trata-se de um movimento retilı´neo, mas ao longo da reta para-
lela ao eixo OZ e que intercepta o plano OXY no ponto desse plano de coorde-
nadas x = 3 metros e y = 4 metros. Ja´ que −5t2 nunca assume valores positivos,
o ponto mais alto da trajeto´ria da partı´cula ocorre para t = 0 segundo, quando
z = 20 metros. Note ainda que a partı´cula atinge o plano OXY (z = 0 metros)
em t = 2 segundos.
A figura 2.4 mostra a trajeto´ria retilı´nea da partı´cula e as suas posic¸o˜es nos
instantes t = 0 segundo, t = 0, 5 segundo, t = 1 segundo, t = 1, 5 segundos e
t = 2 segundos.
X Y
Z
�trajeto´ria
3m 4m
Fig. 2.4: Movimento vertical na˜o uniforme de uma partı´cula.
A posic¸a˜o da partı´cula e´ dada em qualquer instante t por:

x = 3 ,
y = 4 ,
z = 20− 5t2 .
(2.7)
A partir da figura 2.4, constatamos que, durante intervalos consecutivos de
0, 5 segundo de durac¸a˜o, a partı´cula percorre distaˆncias cada vez maiores.
Exemplo 2.4
Considere as seguintes func¸o˜es-movimento de uma partı´cula: fx(t) = 0, fy(t) =
5t e fz(t) = 20t− 5t2.
A partı´cula se move no plano OYZ e em um instante qualquer t a sua
posic¸a˜o e´ dada por 

x = 0 ,
y = 5t ,
z = 20t− 5t2 .
(2.8)
CEDERJ 26
A descric¸a˜o matema´tica do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 2
A trajeto´ria da partı´cula se encontra no plano OYZ , pois temos sempre
x = 0 metro. Eliminando t das duas u´ltimas equac¸o˜es, em (2.8), obtemos:
z = 4y − y
2
5
,
que e´ a equac¸a˜o de uma para´bola no plano OYZ . Para encontrarmos os pontos
em que a para´bola intercepta o eixo OY , basta impor que x = 0 metro e z = 0
metro. A primeira condic¸a˜o ja´ esta´ assegurada em (2.8) e a segunda nos leva,
atrave´s da equac¸a˜o anterior, a buscar as raı´zes da equac¸a˜o de segundo grau:
4y − y
2
5
= 0 .
Tais raı´zes sa˜o dadas por y = 0 metro e y = 20 metros. Isso significa que os
pontos da trajeto´ria parabo´lica que interceptam o eixo OY sa˜o a origem (0, 0, 0)
e o ponto (0, 20, 0).
Para descobrirmos em que instantes a partı´cula se encontra nesses dois
pontos, recorremos, como para tudo o mais, a`s func¸o˜es-movimento, no caso, as
func¸o˜es dadas em (2.8). Substituindo em (2.8) os valores x = 0 metro, y = 20
metros e z = 0 metro, e resolvendo as equac¸o˜es resultantes, obtemos t = 4 se-
gundos. Portanto, a partı´cula intercepta o eixo OY a 20 metros da origem aos 4
segundos. Voceˆ pode descobrir por esse me´todo os instantes em que a partı´cula
passa por qualquer ponto dado. Experimente aplica´-lo para encontrar o instante
em que a partı´cula intercepta o outro ponto do eixo OY, a origem (0, 0, 0). Se o
seu conhecimento sobre para´bolas estiver em dia, voceˆ constatara´ com facilidade
que a partı´cula tem sua maior coordenada z no ponto (0, 10, 20), no instante t = 2
segundos.
A figura 2.5 mostra a trajeto´ria parabo´lica e as posic¸o˜es da partı´cula em
intervalos de tempo de 1 segundo, desde o instante 0 segundo ate´ o instante 4
segundos.
27 CEDERJ
A descric¸a˜o matema´tica do movimento
X
Y
Z
10m
20m t = 2s
Fig. 2.5: Trajeto´ria parabo´lica de uma partı´cula.
Exemplo 2.5
Considere as seguintes func¸o˜es-movimento de uma partı´cula:
fx(t) = 6 + 5 sen(2t), fy(t) = 7 + 5 cos(2t) e fz(t) = 0, nas quais os argu-
mentos das func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o, naturalmente, dados em radianos.
A partı´cula se move no plano OXY . Em um instante qualquer t, a sua
posic¸a˜o e´ dada por


x = 6 + 5 sen(2t) ,
y = 7 + 5 cos(2t) ,
z = 0 .
(2.9)
Eliminando t das duas primeiras equac¸o˜es em (2.9), e usando a identidade
trigonome´trica que afirma que a soma do quadrado do seno com o quadrado do
cosseno e´ sempre igual a um, obtemos:
(x− 6)2 + (y − 7)2 = 52[sen2(2t) + cos2(2t)] = 52 . (2.10)
Esse resultado mostra que a trajeto´ria e´ um cı´rculo no plano OXY , de raio
5 metros e centro no ponto de coordenada x = 6 metros e y = 7 metros. Como
os valores do seno e do cosseno oscilam entre 1 e−1, a coordenada x esta´ sempre
no intervalo 6 − 5 ≤ x ≤ 6 + 5, isto e´, no intervalo 1 metro ≤ x ≤ 11 metros,
enquanto a coordenada y esta´ sempre no intervalo 2 metros ≤ y ≤ 12 metros.
CEDERJ 28
A descric¸a˜o matema´tica do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 2
Em t = 0 segundo, a partı´cula esta´ na posic¸a˜o:

x = 6 + 5 sen(0) = 6 metros ,
y = 7 + 5 cos(0) = 12 metros ,
z = 0 metros .
Ja´ em t = 0, 5 segundo, a partı´cula se encontra na posic¸a˜o:

x = 6 + 5 sen(2× 0, 5) = 10, 2073... , metros
y = 7 + 5 cos(2× 0, 5) = 9, 7015... metros ,
z = 0 metro .
A figura 2.6 mostra a trajeto´ria e as posic¸o˜es da partı´cula em intervalos de
tempo de 0, 5 segundo, desde o instante 0 segundo ate´ o instante 2 segundos.
X Y
Z
7m
12m
t = 0s
t = 0, 5s
t = 2s
t = 1s
t = 1, 5s
6m
Fig. 2.6: Trajeto´ria circular da partı´cula.
´E fa´cil encontrar movimentos que sa˜o circulares em boa aproximac¸a˜o. Po-
demos citar os que ocorrem na he´lice de um ventilador ou de um liquidificador.
Um outro exemplo mais lento e majestoso e´ o das estrelas, que vemos percorrerem
arcos de cı´rculo quando as observamos durante as horas da noite.
Exemplo 2.6
Considere as seguintes func¸o˜es-movimento de uma partı´cula:
fx(t) = 5 sen(2t), fy(t) = 5 cos(2t) e fz(t) = 4t.
Em um instante qualquer t, a posic¸a˜o da partı´cula e´ dada por

x = 5sen(2t) ,
y = 5cos(2t) ,
z = 4t .
(2.11)
29 CEDERJ
A descric¸a˜o matema´tica do movimento
Se tive´ssemos fz(t) = 0, em lugar de fz(t) = 4t, o movimento dessa
partı´cula seria ideˆntico ao da partı´cula do exemplo anterior, exceto pelo fato de
que o centro de sua trajeto´ria circular estaria na origem e na˜o no ponto (6, 7, 0),
como naquele caso. No entanto, no problema em considerac¸a˜o, temos z = 4t e,
consequ¨entemente, a coordenada z cresce indefinidamente a` medida que o tempo
passa. Esse crescimento faz com que a trajeto´ria seja uma curva chamada de
he´lice. Um ponto na extremidade de uma he´lice de um avia˜o que avanc¸a em mo-
vimento retilı´neo trac¸a no espac¸o uma curva desse tipo se o velocı´metro do avia˜o
estiver indicando velocidade constante.
Imagine os eixos OX e OY fixos na superfı´cie horizontal de uma mesa e
o eixo OZ saindo da mesa e apontando para cima. Com a ponta do indicador,
fac¸a um movimento circular sobre a superfı´cie da mesa. Agora, sem interromper
o movimento circular, movimente para cima sua ma˜o na direc¸a˜o do eixo OZ , no
sentido de baixo para cima. Com esse procedimento, voceˆ podera´ obter um movi-
mento muito parecido com o descrito pelas func¸o˜es-movimento (2.11), ilustrado
na figura 2.7.
X Y
Z
Fig. 2.7: Trajeto´ria helicoidal da partı´cula.
Exemplo 2.7
Considere as seguintes func¸o˜es-movimento de uma partı´cula: fx(t) = 0, fy(t) =
π
2
t− sen (π
2
t
)
e fz(t) = 1− cos
(
π
2
t
)
.
Em um instante qualquer t, a posic¸a˜o da partı´cula e´ dada por

x = 0 ,
y = π
2
t− sen (π
2
t
)
,
z = 1− cos (π
2
t
)
.
(2.12)
CEDERJ 30
A descric¸a˜o matema´tica do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 2
Essas equac¸o˜es descrevem um tipo de movimento, chamado cicloidal, cuja
visualizac¸a˜o esta´ longe de ser o´bvia e direta. Ainda assim vale a pena incluı´-lo
como um u´ltimo exemplo. Primeiramente, para ficar claro que podemos estudar
um movimento mesmo que na˜o possamos visualiza´-lo. Qualquer informac¸a˜o so-
bre o movimento esta´ contida nas func¸o˜es-movimento e a matema´tica nos leva
muito ale´m das nossas possibilidades de visualizac¸a˜p.