A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
273 pág.
17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

Pré-visualização | Página 7 de 50

Em segundo lugar, demos
esse exemplo para que permanec¸a o desafio de entendeˆ-lo cada vez mais a` me-
dida que mais formos aprendendo. Finalmente, decidimos incluı´-lo por envolver
um tipo de curva que teve um papel importante na histo´ria da Fı´sica e tambe´m
ocorre com frequ¨eˆncia em muitos problemas do cotidiano. A figura 2.8 mostra a
trajeto´ria da partı´cula e suas posic¸o˜es em intervalos de tempo de 1 segundo, desde
o instante 0 segundo ate´ o instante 4 segundos.
X
O
Z
Y
t = 0s
t = 3s
t = 2s
t = 1s
t = 4s
Fig. 2.8: Trajeto´ria cicloidal da partı´cula.
Essa trajeto´ria e´ uma curva chamada de ciclo´ide, nome dado por Galileu,
considerado um dos descobridores dessa curva. A ciclo´ide foi descoberta inde-
A histo´ria da ciclo´ide e´ bastante
interessante e em inu´meras
ocasio˜es esteve misturada com a
histo´ria da Fı´sica. Intimamente
ligada a` histo´ria dos relo´gios de
peˆndulo, a ciclo´ide foi tambe´m
tema de discusso˜es cientı´ficas
entre gigantes do se´culo XVII,
como ocorreu por exemplo numa
disputa entre R. Descartes e P.
Fermat, ou ate´ mesmo tema de
disco´rdia entre membros de uma
mesma famı´lia, como ocorreu
com os irma˜os Jean e Jacques
Bernoulli, no final desse mesmo
se´culo.
pendentemente pelo padre franceˆs Mersenne, que lhe atribuı´a o nome la roullete.
Um ponto na periferia de um pneu de um carro que se movimenta em linha reta
trac¸a uma curva desse tipo, se o pneu na˜o derrapar durante o movimento.
Finalizamos esse exemplo com uma frase sobre essa curva do grande pen-
sador, matema´tico e fı´sico franceˆs Blaise Pascal:
a ciclo´ide e´ uma curva ta˜o usual e corrente que depois da reta e da
circunfereˆncia nenhuma outra curva e´ ta˜o comumente encontrada. ´E
descrita ta˜o frequ¨entemente diante de nossos olhos que e´ surpreen-
dente que na˜o tenha sido considerada pelos antigos(...)
31 CEDERJ
A descric¸a˜o matema´tica do movimento
Para finalizar esta aula, imaginemos que as treˆs coordenadas x, y e z de uma
partı´cula sejam dadas pelas respectivas func¸o˜es fx(t) = 2, fy(t) = 4 e fz(t) = 5.
Cada uma dessas func¸o˜es e´ uma func¸a˜o constante, que associa a todos os ins-
tantes do tempo sempre o mesmo nu´mero. Consequ¨entemente, essas func¸o˜es
descrevem a situac¸a˜o em que a partı´cula, em qualquer instante t, encontra-se na
posic¸a˜o dada por x = 2 metros, y = 4 metros e z = 5 metros, isto e´, a situac¸a˜o
em que a partı´cula esta´ em repouso nessa posic¸a˜o. Por comodidade, essas treˆs
func¸o˜es sera˜o tambe´m chamadas de func¸o˜es-movimento, embora estejam descre-
vendo uma situac¸a˜o de repouso. Basta dar a`s func¸o˜es-movimento o significado
de func¸o˜es que descrevem os estados de movimento e os estados de auseˆncia de
movimento. Sendo assim, continuaremos designando fx, fy e fz por func¸o˜es-
movimento, mesmo quando as treˆs forem constantes.
Resumo
O movimento de uma partı´cula e´ descrito matematicamente por treˆs func¸o˜es
chamadas func¸o˜es-movimento. Elas especificam as treˆs coordenadas da partı´cula
em cada instante do tempo. A trajeto´ria da partı´cula e´ o conjunto dos pontos pelos
quais ela passa durante o seu movimento. As func¸o˜es-movimento determinam a
trajeto´ria da partı´cula e, ale´m disso, em que ponto dela a partı´cula se encontra a
cada instante. Essas func¸o˜es descrevem completamente o movimento da partı´cula.
Se as conhecemos, podemos, em princı´pio, responder a qualquer questa˜o sobre
o movimento da partı´cula. O problema fundamental da mecaˆnica consiste em
encontrar as func¸o˜es-movimento de uma partı´cula em uma dada circunstaˆncia.
Questiona´rio
1. O que sa˜o func¸o˜es-movimento de uma partı´cula?
2. O que e´ trajeto´ria de uma partı´cula?
3. Considere o movimento de duas partı´culas cujas trajeto´rias possuem alguns
pontos em comum. Isso significa que elas ira˜o obrigatoriamente encontrar-
se em algum instante?
4. Suponha que duas partı´culas em movimento descrevam trajeto´rias circula-
res, de mesmo raio e centradas no mesmo ponto. Isso significa que elas
possuem necessariamente as mesmas func¸o˜es-movimento?
CEDERJ 32
A descric¸a˜o matema´tica do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 2
Problemas propostos
1. Considere quatro avio˜es da Esquadrilha da Fumac¸a que, durante uma exibic¸a˜o
comemorativa, descrevem, todos eles, movimentos retilı´neos com trajeto´rias
horizontais paralelas. Nenhum avia˜o se adianta em relac¸a˜o aos outros, de
modo que a cada instante esta˜o todos em um mesmo plano ortogonal a`s
trajeto´rias. Ale´m disso, os quatro avio˜es se localizam nos ve´rtices de um
quadrado com 20 metros de lado e com dois lados verticais e dois horizon-
tais. Os avio˜es que voam mais baixo esta˜o a 100 metros do solo. Vamos
escolher um sistema de eixos OXYZ fixo na Terra. O eixo OX esta´ no
solo, paralelo a`s trajeto´rias e exatamente embaixo de duas delas, conforme
ilustra a figura 2.9, que mostra a esquadrilha em um certo instante t > 0.
X
O
Z
Y
A
B
C
D
20m
100m
Fig. 2.9: Formac¸a˜o da esquadrilha em um certo instante.
As func¸o˜es-movimento de um dos avio˜es, identificado na figura como avia˜o
A, sa˜o dadas por: fx(t) = 40t, fy(t) = 0 e fz(t) = 100. Note que
essa u´ltima equac¸a˜o afirma que o avia˜o A esta´ a 100 metros de altitude e
que a unidade, de acordo com nossa convenc¸a˜o proviso´ria, na˜o aparece na
fo´rmula. Na soluc¸a˜o do problema, siga tambe´m a convenc¸a˜o de na˜o escre-
ver as unidades, deixando-as subentendidas.
Escreva as func¸o˜es-movimento para os outros treˆs avio˜es, denotados na fi-
gura 2.9 como avio˜es B, C e D.
2. Considere o movimento descrito no exemplo 2.2 desta aula.
(a) Em que instantes a partı´cula passa pelo ponto do eixo OY de coorde-
nada y = −12 metros? E de coordenada y = 12 metros?
33 CEDERJ
A descric¸a˜o matema´tica do movimento
(b) Demonstre que a partı´cula se encontra no semi-eixo positivo OY so-
mente durante o intervalo de tempo entre 0 e 4 segundos e no semi-
eixo negativo, somente nos instantes anteriores a 0 segundo ou poste-
riores a 4 segundos.
(c) Qual e´ o maior valor assumido pela coordenada y da partı´cula durante
todo o seu movimento e em que instante isso ocorre?
(d) Demonstre que a partı´cula passa duas vezes por qualquer ponto de
sua trajeto´ria, com excec¸a˜o de um, pelo qual ela passa uma u´nica vez.
Identifique esse ponto excepcional.
3. Nos treˆs itens desta questa˜o sera˜o dadas as func¸o˜es-movimento de duas
partı´culas, que designaremos por partı´culas A e B, respectivamente. Como
voceˆ observara´ de imediato, em todos os itens, ambas descrevem movimen-
tos retilı´neos ao longo do eixo OX . Pois bem, determine em cada item,
separadamente, se as partı´culas se encontram e, em caso afirmativo, onde e
em que instantes se encontram.
(a) 

xA = 30− 4t
yA = 0
zA = 0
e


xB = 2t
yB = 0
zB = 0
.
(b) 

xA = 10 + t
2
yA = 0
zA = 0
e


xB = −2t2
yB = 0
zB = 0
.
(c) 

xA = −12 + 8t− t2
yA = 0
zA = 0
e


xB = 2t− 4
yB = 0
zB = 0
.
4. Duas partı´culas, A e B, comec¸am a movimentar-se a partir de t = 0 segundo
com as seguintes func¸o˜es-movimento:

xA = 80− 4t2
yA = 0
zA = 0
e


xB = t
2
yB = 0
zB = 0
.
Quantas vezes essas partı´culas se encontram e em que instantes isso ocorre?
Onde elas se encontram?
CEDERJ 34
A descric¸a˜o matema´tica do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 2
5. Duas partı´culas, A e B, comec¸am a movimentar-se a partir de t = 0 segundo
com as seguintes func¸o˜es-movimento:

xA = 2t
yA = 2t
zA = 0
e


xB = 5t
yB = 20− 5t
zB = 0
.
(a) Trace as trajeto´rias dessas partı´culas e determine o ponto de intersec¸a˜o
entre elas.
(b) Essas partı´culas ira˜o encontrar-se nesse ponto?
6. Considere novamente duas partı´culas, A e B, que comec¸am