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chega no instante t2. (Note que a partı´cula se move no eixo OX , sendo as linhas tracejadas apenas indicac¸o˜es da sequ¨eˆncia em que os desloca- mentos sa˜o realizados com o passar do tempo.) O movimento em considerac¸a˜o ocorreu no intervalo [t1, t2], durante o qual a partı´cula sofre um deslocamento x2 − x1 que e´ positivo. Embora no intervalo todo [t1, t2] o deslocamento seja positivo, dentro desse intervalo ocorreram deslocamentos negativos. De fato, no intervalo [t′, t′′] que esta´ dentro do intervalo [t1, t2], o deslocamento x′′ − x′ e´ ne- gativo. A conclusa˜o e´ que: um deslocamento positivo em um intervalo de tempo [t1, t2] na˜o significa necessariamente que so´ houve movimento no sentido positivo nesse intervalo. Na verdade, o deslocamento em um intervalo de tempo da´ uma informac¸a˜o global e na˜o detalhada sobre o movimento no intervalo. ´E claro que um deslocamento negativo no intervalo inteiro tambe´m na˜o significa necessaria- mente que o movimento ocorreu sempre no sentido negativo durante o intervalo. Um deslocamento e´ nulo se, e somente se, x2 = x1, isto e´, a posic¸a˜o no final do intervalo [t1, t2] e´ a mesma que no comec¸o. Nesse caso, na˜o devemos necessariamente concluir que a partı´cula tenha ficado parada em x1 durante todo o intervalo de tempo. Ela pode ter ficado parada, mas tambe´m pode ter realizado um outro movimento qualquer, desde que tenha voltado no instante t2 a` mesma posic¸a˜o x1 que ocupava no instante t1. Por exemplo, quando jogamos uma pedra verticalmente para cima, podemos observar um ponto de sua trajeto´ria pelo qual a partı´cula passa duas vezes, na subida e na descida, conforme mostra a figura 3.4. Suponhamos que na subida ela tenha passado nesse ponto no instante t1 e na descida no instante t2. Se usarmos um eixoOX na vertical, ao longo da trajeto´ria, podemos atribuir a esse ponto uma certa coordenada x1. Com isso, no instante t2 a posic¸a˜o x2 da partı´cula e´ igual a x1, de modo que no intervalo de t1 a t2, o deslocamento da partı´cula foi nulo, x2 − x1 = 0, embora a partı´cula tenha se movido durante esse intervalo, subindo e descendo em sua trajeto´ria. Note que o deslocamento de uma partı´cula durante um certo intervalo de tempo [t1, t2] na˜o e´, obrigatoriamente, a distaˆncia percorrida por ela durante esse intervalo. No exemplo anterior, a variac¸a˜o de posic¸a˜o da pedra no intervalo [t1, t2] e´ zero, enquanto a distaˆncia percorrida por ela no mesmo intervalo na˜o e´ zero; e´ o dobro da altura que ela alcanc¸a acima da posic¸a˜o inicial x1, conforme indicado pela figura. CEDERJ 40 Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo M ´ODULO 1 - AULA 3 X O t=t1t=t2 subidadescida Fig. 3.4: A partı´cula passa pelo mesmo ponto na subida e na descida. Como dissemos, o deslocamento em um intervalo de tempo na˜o da´, em geral, informac¸o˜es detalhadas sobre o movimento da partı´cula durante o intervalo. Da´ apenas uma ide´ia global sobre este movimento. Ainda assim, o conceito de deslocamento e´ u´til para comec¸ar o estudo do movimento. No intervalo de tempo [t1, t2], o tempo decorrido e´ evidentemente t2 − t1; o tempo decorrido e´ tambe´m chamado de durac¸a˜o do intervalo. Note que no lugar da expressa˜o “intervalo de durac¸a˜o t2−t1”e´ comum utilizar a expressa˜o “intervalo t2− t1”. Por exemplo, se o intervalo vai de 1 a 4 segundos, a durac¸a˜o e´ de (4− 1) segundos, isto e´, de 3 segundos. Num linguajar preciso e rigoroso, dizemos “um intervalo de durac¸a˜o 3 segundos”. Ja´ numa linguagem mais informal, dizemos “um intervalo de 3 segundos”. Esse tipo de linguagem informal na˜o costuma causar nenhuma confusa˜o. Se x1 e´ a posic¸a˜o da partı´cula no instante t1 e x2 e´ sua posic¸a˜o no instante t2, dizemos que t2 − t1 e´ o tempo gasto para ocorrer o deslocamento de x1 para x2, ou que t2− t1 e´ o tempo gasto pela partı´cula para sofrer o deslocamento de x1 para x2. O tempo gasto em um deslocamento depende obviamente do movimento. Em um certo movimento, a partı´cula pode gastar um certo tempo para sofrer um deslocamento de x1 para x2, mas pode ocorrer um outro movimento, no qual ela gasta menos tempo para sofrer o mesmo deslocamento. 41 CEDERJ Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo Exemplo 3.1 Um atleta, em seu treinamento para uma corrida, utiliza uma pista retilı´nea de 1.500 metros de comprimento. No instante t0 = 0 segundo, ele comec¸a a correr a partir do inı´cio da pista. No instante t1 = 10 minutos, ele atinge o final da pista, faz meia-volta e retorna ao inı´cio da pista, onde chega no instante t2 = 20 minutos. Resolve seguir com seu treinamento e corre novamente ate´ o final da pista, atingindo-o em t3 = 30 minutos, retornando, por fim, ao ponto inicial em t4 = 40 minutos. Vamos escolher um eixo OX ao longo da pista, com origem no inı´cio e sentido positivo do inı´cio ao fim da pista. O inı´cio da pista tem coordenada x0 = 0 metro e o final, que chamaremos de ponto F , tem coordenada xF = 1.500 metros. Embora na˜o seja necessa´rio, vamos expressar os instantes de tempo em nossa unidade favorita, o segundo. Temos: t0 = 0 segundo, t1 = 600 segundos, t2 = 1.200 segundos, t3 = 1.800 segundos e t4 = 2.400 segundos. Chamaremos de fx a func¸a˜o-movimento do atleta, que na˜o supomos conhecida; do movimento so´ conhecemos as informac¸o˜es dadas acima, isto e´, os instantes nos quais o atleta atinge as extremidades da pista. XO t1 = 600s t3 = 1800s t0 = 0s t2 = 1200s t4 = 2400s F Fig. 3.5: Posic¸o˜es na pista de atletismo. Nos primeiros 600 segundos de treino, seu deslocamento foi de ∆x[0; 600] = fx(600)− fx(0) = 1.500− 0 = 1.500 metros. CEDERJ 42 Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo M ´ODULO 1 - AULA 3 O deslocamento do atleta entre 600 e 1.200 segundos foi de: ∆x[600; 1.200] = fx(1.200)− fx(600) = 0− 1.500 = −1.500 metros. Ja´ nos primeiros 1.200 segundos de movimento, seu deslocamento foi de: ∆x[0; 1.200] = fx(1.200)− fx(0) = 0− 0 = 0 metro . Esse resultado ja´ nos mostra que o deslocamento de uma partı´cula num dado intervalo de tempo e´ uma informac¸a˜o muito pobre no que diz respeito ao movi- mento da partı´cula nesse intervalo. Observe, por exemplo, que se soube´ssemos apenas que ∆x[0; 1.200] = 0 metro, na˜o poderı´amos afirmar que o atleta foi ate´ o final da pista e voltou ao inı´cio, nesse intervalo de tempo, ou se ficou sim- plesmente parado no inı´cio, durante todo o intervalo [0; 1.200]. Sabemos que a primeira possibilidade e´ a que ocorreu de fato, porque na primeira metade do in- tervalo [0; 1.200] o deslocamento e´ de 1.500 metros (foi ao final da pista) e na segunda metade e´ de −1.500 metros (voltou ao inı´cio). Note ainda que ∆x[0; 1.200] = ∆x[0; 600] + ∆x[600; 1.200], isto e´, o des- locamento no intervalo e´ a soma dos deslocamentos nos subintervalos que foram considerados. Esse resultado e´ consequ¨eˆncia direta da definic¸a˜o de deslocamento. Voltaremos a ele em um dos exercı´cios propostos. Como um u´ltimo comenta´rio, vale enfatizar que, embora o deslocamento do atleta nos primeiros 1.200 segundos de corrida tenha sido nulo, a distaˆncia percor- rida por ele, nesse mesmo intervalo, na˜o foi nula, mas igual a 2 × 1.500 = 3.000 metros. Fica patente a distinc¸a˜o entre distaˆncia percorrida, que e´ sempre posi- tiva ou nula, e deslocamento, que pode ser positivo, negativo ou nulo, conforme o modo como se processa o movimento. Voceˆ pode agora calcular os deslocamentos e as respectivas distaˆncias percorridas nos intervalos [1.200; 1.800], [1.800; 2.400] e [1.200; 2.400] e analisar os resultados de modo semelhante ao que fizemos para os primeiros 1.200 segundos. Exemplo 3.2 Filma-se uma bolinha de ac¸o descendo um plano inclinado. Apo´s cuidadoso exame do filme, obte´m-se que o movimento da bolinha e´ bem descrito pela func¸a˜o- movimento x = 2 t2, sendo t = 0 segundo o instante em