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chega no instante t2. (Note que a partı´cula se move no eixo OX ,
sendo as linhas tracejadas apenas indicac¸o˜es da sequ¨eˆncia em que os desloca-
mentos sa˜o realizados com o passar do tempo.) O movimento em considerac¸a˜o
ocorreu no intervalo [t1, t2], durante o qual a partı´cula sofre um deslocamento
x2 − x1 que e´ positivo. Embora no intervalo todo [t1, t2] o deslocamento seja
positivo, dentro desse intervalo ocorreram deslocamentos negativos. De fato, no
intervalo [t′, t′′] que esta´ dentro do intervalo [t1, t2], o deslocamento x′′ − x′ e´ ne-
gativo. A conclusa˜o e´ que: um deslocamento positivo em um intervalo de tempo
[t1, t2] na˜o significa necessariamente que so´ houve movimento no sentido positivo
nesse intervalo. Na verdade, o deslocamento em um intervalo de tempo da´ uma
informac¸a˜o global e na˜o detalhada sobre o movimento no intervalo. ´E claro que
um deslocamento negativo no intervalo inteiro tambe´m na˜o significa necessaria-
mente que o movimento ocorreu sempre no sentido negativo durante o intervalo.
Um deslocamento e´ nulo se, e somente se, x2 = x1, isto e´, a posic¸a˜o no
final do intervalo [t1, t2] e´ a mesma que no comec¸o. Nesse caso, na˜o devemos
necessariamente concluir que a partı´cula tenha ficado parada em x1 durante todo
o intervalo de tempo. Ela pode ter ficado parada, mas tambe´m pode ter realizado
um outro movimento qualquer, desde que tenha voltado no instante t2 a` mesma
posic¸a˜o x1 que ocupava no instante t1. Por exemplo, quando jogamos uma pedra
verticalmente para cima, podemos observar um ponto de sua trajeto´ria pelo qual a
partı´cula passa duas vezes, na subida e na descida, conforme mostra a figura 3.4.
Suponhamos que na subida ela tenha passado nesse ponto no instante t1 e na
descida no instante t2. Se usarmos um eixoOX na vertical, ao longo da trajeto´ria,
podemos atribuir a esse ponto uma certa coordenada x1. Com isso, no instante
t2 a posic¸a˜o x2 da partı´cula e´ igual a x1, de modo que no intervalo de t1 a t2,
o deslocamento da partı´cula foi nulo, x2 − x1 = 0, embora a partı´cula tenha se
movido durante esse intervalo, subindo e descendo em sua trajeto´ria.
Note que o deslocamento de uma partı´cula durante um certo intervalo de
tempo [t1, t2] na˜o e´, obrigatoriamente, a distaˆncia percorrida por ela durante esse
intervalo. No exemplo anterior, a variac¸a˜o de posic¸a˜o da pedra no intervalo [t1, t2]
e´ zero, enquanto a distaˆncia percorrida por ela no mesmo intervalo na˜o e´ zero; e´
o dobro da altura que ela alcanc¸a acima da posic¸a˜o inicial x1, conforme indicado
pela figura.
CEDERJ 40
Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 3
X
O
t=t1t=t2
subidadescida
Fig. 3.4: A partı´cula passa pelo mesmo ponto na subida e na descida.
Como dissemos, o deslocamento em um intervalo de tempo na˜o da´, em
geral, informac¸o˜es detalhadas sobre o movimento da partı´cula durante o intervalo.
Da´ apenas uma ide´ia global sobre este movimento. Ainda assim, o conceito de
deslocamento e´ u´til para comec¸ar o estudo do movimento.
No intervalo de tempo [t1, t2], o tempo decorrido e´ evidentemente t2 − t1; o
tempo decorrido e´ tambe´m chamado de durac¸a˜o do intervalo. Note que no lugar
da expressa˜o “intervalo de durac¸a˜o t2−t1”e´ comum utilizar a expressa˜o “intervalo
t2− t1”. Por exemplo, se o intervalo vai de 1 a 4 segundos, a durac¸a˜o e´ de (4− 1)
segundos, isto e´, de 3 segundos. Num linguajar preciso e rigoroso, dizemos “um
intervalo de durac¸a˜o 3 segundos”. Ja´ numa linguagem mais informal, dizemos
“um intervalo de 3 segundos”. Esse tipo de linguagem informal na˜o costuma
causar nenhuma confusa˜o.
Se x1 e´ a posic¸a˜o da partı´cula no instante t1 e x2 e´ sua posic¸a˜o no instante
t2, dizemos que t2 − t1 e´ o tempo gasto para ocorrer o deslocamento de x1 para
x2, ou que t2− t1 e´ o tempo gasto pela partı´cula para sofrer o deslocamento de x1
para x2. O tempo gasto em um deslocamento depende obviamente do movimento.
Em um certo movimento, a partı´cula pode gastar um certo tempo para sofrer um
deslocamento de x1 para x2, mas pode ocorrer um outro movimento, no qual ela
gasta menos tempo para sofrer o mesmo deslocamento.
41 CEDERJ
Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
Exemplo 3.1
Um atleta, em seu treinamento para uma corrida, utiliza uma pista retilı´nea de
1.500 metros de comprimento. No instante t0 = 0 segundo, ele comec¸a a correr
a partir do inı´cio da pista. No instante t1 = 10 minutos, ele atinge o final da
pista, faz meia-volta e retorna ao inı´cio da pista, onde chega no instante t2 = 20
minutos. Resolve seguir com seu treinamento e corre novamente ate´ o final da
pista, atingindo-o em t3 = 30 minutos, retornando, por fim, ao ponto inicial em
t4 = 40 minutos.
Vamos escolher um eixo OX ao longo da pista, com origem no inı´cio e
sentido positivo do inı´cio ao fim da pista. O inı´cio da pista tem coordenada x0 =
0 metro e o final, que chamaremos de ponto F , tem coordenada xF = 1.500
metros. Embora na˜o seja necessa´rio, vamos expressar os instantes de tempo em
nossa unidade favorita, o segundo. Temos: t0 = 0 segundo, t1 = 600 segundos,
t2 = 1.200 segundos, t3 = 1.800 segundos e t4 = 2.400 segundos. Chamaremos
de fx a func¸a˜o-movimento do atleta, que na˜o supomos conhecida; do movimento
so´ conhecemos as informac¸o˜es dadas acima, isto e´, os instantes nos quais o atleta
atinge as extremidades da pista.
XO
t1 = 600s
t3 = 1800s
t0 = 0s
t2 = 1200s
t4 = 2400s
F
Fig. 3.5: Posic¸o˜es na pista de atletismo.
Nos primeiros 600 segundos de treino, seu deslocamento foi de
∆x[0; 600] = fx(600)− fx(0) = 1.500− 0 = 1.500 metros.
CEDERJ 42
Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 3
O deslocamento do atleta entre 600 e 1.200 segundos foi de:
∆x[600; 1.200] = fx(1.200)− fx(600) = 0− 1.500 = −1.500 metros.
Ja´ nos primeiros 1.200 segundos de movimento, seu deslocamento foi de:
∆x[0; 1.200] = fx(1.200)− fx(0) = 0− 0 = 0 metro .
Esse resultado ja´ nos mostra que o deslocamento de uma partı´cula num dado
intervalo de tempo e´ uma informac¸a˜o muito pobre no que diz respeito ao movi-
mento da partı´cula nesse intervalo. Observe, por exemplo, que se soube´ssemos
apenas que ∆x[0; 1.200] = 0 metro, na˜o poderı´amos afirmar que o atleta foi ate´
o final da pista e voltou ao inı´cio, nesse intervalo de tempo, ou se ficou sim-
plesmente parado no inı´cio, durante todo o intervalo [0; 1.200]. Sabemos que a
primeira possibilidade e´ a que ocorreu de fato, porque na primeira metade do in-
tervalo [0; 1.200] o deslocamento e´ de 1.500 metros (foi ao final da pista) e na
segunda metade e´ de −1.500 metros (voltou ao inı´cio).
Note ainda que ∆x[0; 1.200] = ∆x[0; 600] + ∆x[600; 1.200], isto e´, o des-
locamento no intervalo e´ a soma dos deslocamentos nos subintervalos que foram
considerados. Esse resultado e´ consequ¨eˆncia direta da definic¸a˜o de deslocamento.
Voltaremos a ele em um dos exercı´cios propostos.
Como um u´ltimo comenta´rio, vale enfatizar que, embora o deslocamento do
atleta nos primeiros 1.200 segundos de corrida tenha sido nulo, a distaˆncia percor-
rida por ele, nesse mesmo intervalo, na˜o foi nula, mas igual a 2 × 1.500 = 3.000
metros. Fica patente a distinc¸a˜o entre distaˆncia percorrida, que e´ sempre posi-
tiva ou nula, e deslocamento, que pode ser positivo, negativo ou nulo, conforme o
modo como se processa o movimento. Voceˆ pode agora calcular os deslocamentos
e as respectivas distaˆncias percorridas nos intervalos [1.200; 1.800], [1.800; 2.400]
e [1.200; 2.400] e analisar os resultados de modo semelhante ao que fizemos para
os primeiros 1.200 segundos.
Exemplo 3.2
Filma-se uma bolinha de ac¸o descendo um plano inclinado. Apo´s cuidadoso
exame do filme, obte´m-se que o movimento da bolinha e´ bem descrito pela func¸a˜o-
movimento x = 2 t2, sendo t = 0 segundo o instante em