Um Curso de C´alculo e Equações

1), de centro (3, 0).
O coeficiente angular da reta ligando O a P e´:
− f(x)
c− x = −
Cx2
x+ 2x3C2 − x = −
1
2xC
.
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 103
Ora, para passarmos ro raio do c´ırculo para a tangente basta tomar a reta ortog-
onal. E o coeficiente angular ortogonal ao anterior − 1
2xC
e´:
2Cx.
Logo a reta tangente ao gra´fico em P vem dada por:
y − Cx2
x− x = 2Cx ⇔ y = (2Cx) x+ (Cx
2 − 2Cx2).
Exemplo 6.2. Considere y = Cx3 e tome P = (x, Cx2), com x > 0. Queremos uma
ra´ız dupla de:
(Cx3)2 + (x− c)2 − r2 = 0,
ou seja queremos encontrar uma fatorac¸a˜o:
(Cx3)2 + (x− c)2 − r2 = (x− x)2q(x)
onde q(x) agora e´ um polinoˆmio de grau 4.
Ou seja queremos encontrar uma fatorac¸a˜o do tipo:
(Cx3)2 + (x− c)2 − r2 = (x− x)2 · (a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x+ a0).
Expandindo ambos os lados, formam-se dois polinoˆmios de grau 6, a` esquerda e a`
direita. Comparando como fizemos antes os coeficientes de cada monoˆmio, fazemos
surgir equac¸o˜es, que va˜o sendo resolvidas uma a uma, produzindo nesta ordem:
a4 = C
2, a3 = 2xC
2, a2 = 3x
2C2,
a1 = 4x
3C2, a0 = 1 + 5x
4C2, c = x+ 3x5C2.
Logo o C´ırculo cujo centro e´ o ponto
O = (c, 0) = (x+ 3x5C2, 0)
e que passa por P = (x, Cx3) tangencia o gra´fico de y = Cx3 nesse ponto P .
y
3
-1
4
2
-2
-3
x
765432
0
1
10
Figura: O gra´fico de y = x3 e o c´ırculo tangente em P = (1, 1), de centro (4, 0).
8. EXERCI´CIOS 104
O coeficiente angular da reta ligando O a P e´:
− f(x)
c− x = −
Cx3
x+ 3x5C2 − x = −
1
3x2C
,
O coeficiente angular da reta ortogonal a esta e´
3x2C
e da´ı se obte´m em seguida a equac¸a˜o toda da reta tangente ao gra´fico.
7. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939
So´ com o material desenvolvido ate´ este Cap´ıtulo ja´ se pode resolver o seguinte
problema:
Problema: Seja P ponto da curva y = x3 tal que a reta tangente ao gra´fico em P
intersecta de novo o gra´fico num ponto Q 6= P .
Mostre que a reta tangente ao gra´fico em Q tem inclinac¸a˜o igual a 4 vezes a
inclinac¸a˜o em P .
Soluc¸a˜o:
Seja P = (a, a3). Enta˜o a 6= 0 pois de P = (0, 0) a reta tangente e´ horizontal e
na˜o intersecta o gra´fico noutro ponto Q 6= P .
A reta tangente em P tem equac¸a˜o:
y = 3a2 · x− 2a2
e Q = (x, x3) verifica a equac¸a˜o:
x3 = 3a2 · x− 2a2 ⇔ x3 − 3a2 · x+ 2a2 = 0.
Ora, a e´ ra´ız dupla essa equac¸a˜o, ja´ que em P ha´ tangeˆncia, logo:
x3 − 3a2 · x+ 2a2 = (x− a)2 · p(x)
onde p(x) e´ de grau 1 e facilmente se veˆ, por divisa˜o, que:
p(x) = x+ 2a.
Ou seja, o ponto Q tem coordenadas Q = (−2a,−8a3).
A inclinac¸a˜o da reta tangente por Q e´:
3 · (−2a)2 = 3 · (4a2) = 4 · (3a2),
ou seja, 4 vezes a inclinac¸a˜o em P .
8. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 8.1. Qual e´ o coeficiente angular da reta y = y(x) determinada pela
equac¸a˜o 3y + 4x− 27 = 0 ?
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 105
Exerc´ıcio 8.2. i) determine a reta, na forma y = a · x + b, que passa por (1, 2) e
(4, 13).
ii) determine a reta, na forma y = a · x + b, que passa por (1, 2) com coeficiente
angular 5.
Exerc´ıcio 8.3. (resolvido)
Tentei resolver o sistema de equac¸o˜es:
y − 5x− 2 = 0 e 2y − 10x− 1 = 0,
e fiz o seguinte: da primeira equac¸a˜o obtive y = 5x+2 e substitui esse y na segunda,
obtendo:
2(5x+ 2)− 10x− 1 = 3 = 0,
o que e´ um absurdo, pois 3 6= 0.
Voceˆ poderia explicar, com os conceitos deste Cap´ıtulo por queˆ chego nesse ab-
surdo?
Exerc´ıcio 8.4. Agora tentei resolver os sistemas de duas equac¸o˜es:
y − ax+ 1 = 0 e y − x+ 2 = 0
(sim sa˜o va´rios sistemas de duas equac¸o˜es pois a ∈ R pode ser mudado).
Da primeira obtive: y = ax− 1 e substituindo na segunda obtive:
(ax− 1)− x+ 2 = x(a− 1) + 1 = 0.
i) Supondo a− 1 6= 0 continue a resoluc¸a˜o dos sistemas.
ii) explique geometricamente qual o significado da condic¸a˜o a− 1 6= 0.
Exerc´ıcio 8.5. Um outro modo se pensar a questa˜o de como determinar a reta
y = a · x + b passando por dois pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) e´ resolver o
sistema:
y1 = a · x1 + b e y2 = a · x2 + b,
cujas inco´gnitas sa˜o a, b.
i) qual a condic¸a˜o sobre P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) para que o sistema tenha
soluc¸a˜o u´nica ? O que diz a chamada Regra de Cramer neste caso ?
Agora considere o problema de determinar qual a curva da forma
y2 = x3 + b · x+ a
passa pelos pontos P1 = (−3, 0) e P2 = (4, 0).
ii) qual o sistema de equac¸o˜es a ser resolvido ? E´ muito diferente do anterior ?
iii) qual a soluc¸a˜o (a, b) ?
Exerc´ıcio 8.6. (resolvido)
Seja y = ax+ b a equac¸a˜o de uma reta r e seja P = (A,B) 6∈ r.
i) Encontre o ponto Q na reta r tal que o segmento PQ e´ ortogonal a r em Q.
ii) pode acontecer que a coordenada x de Q seja A ? Exatamente em que situac¸o˜es
?
8. EXERCI´CIOS 106
Exerc´ıcio 8.7. Prove que o circuncentro
C = (1
2
,
A(A− 1)
2B
+
B
2
),
equidista dos treˆs ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (A,B) do triaˆngulo (B 6= 0).
Conclua que ha´ um c´ırculo centrado em C que passa pelos ve´rtices do triaˆngulo.
Dica: expanda os quadrados e simplifique.
Exerc´ıcio 8.8. (resolvido)
Veremos en detalhe no Cap´ıtulo 20 que as equac¸o˜es:
x2 +
y2
b2
= 1
definem elipses com centro na origem.
Determine b2 para que a elipse correspondente seja tangente a` reta y = −x + 5
em algum ponto dessa reta. (Dica: da´ para fazer isso no estilo de Descartes).
Exerc´ıcio 8.9. (resolvido)
Deˆ a func¸a˜o inversa de f : R \ {0} → R, f(x) = 1
x
.
Conclua que essa func¸a˜o tem gra´fico sime´trico em relac¸a˜o a` diagonal.
CAP´ıTULO 8
A Tangente ao gra´fico, segundo o Ca´lculo
No final do Cap´ıtulo anterior vimos que Descartes desenvolveu um engenhoso
me´todo alge´brico para definir e calcular retas tangentes a gra´ficos de polinoˆmios.
Mas precisamos de um me´todo mais geral. Para isso, estudaremos primeiro as
secantes a gra´ficos e depois, via o conceito de limite, definiremos as tangentes a
gra´ficos.
1. Retas secantes a um gra´fico
Sera´ interessante para no´s pegarmos dois pontos de um mesmo gra´fico e calcular-
mos a equac¸a˜o da reta que os liga, chamada secante ao gra´ficos pelos dois pontos.
Estaremos interessados pricipalmente em seu coeficiente angular.
Por exemplo, (x1, f(x1) e (x2, f(x2) definem uma reta y = ax+ b com coeficiente
angular
a =
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
,
e coeficiente linear
b = f(x1)− (
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
) · x1.
Exemplos:
1)- Tome um x1 > 0 e fixe no gra´fico da func¸a˜o f(x) = |x| o ponto (x1, x1). Note
que os x2 pro´ximos de x1 tambe´m sa˜o positivos e portanto as secantes determinadas
por (x1, x1) e (x2, x2) sa˜o sempre as mesmas, de fato, sa˜o todas iguais a` diagonal
y = x. Analogamente, se x1 < 0 as secantes que envolvem o ponto (x1,−x1) e outro
do gra´fico bem pro´ximo coincidem com a antidiagonal y = −x.
2) - Certamente nenhuma secante ao gra´fico de y = x2 coincide com o gra´fico;
vemos que aqui as secantes mudam de inclinac¸a˜o.
2. A reta tangente a um gra´fico
Olhe agora somente o coeficiente angular da secante ao gra´fico de y = f(x) por
dois de seus pontos :
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
.
Imagine que (x1, f(x1)) fica parado mas que (x2, f(x2)) esta´ se movendo, no gra´fico
de f , indo cada vez mais pro´ximo de (x1, f(x1)). Se f e´ cont´ınua, basta supor que a
coordenada x2 fica pro´xima de x1 para necessariamente f(x2) ficar mais pro´xima de
f(x1).
107
2. A RETA TANGENTE A UM GRA´FICO 108
Como x2 fica pro´ximo de x1 sua diferenc¸a
h := x2 − x1
tem mo´dulo pequeno. Para deixarmos o ponto (x1, f(x1)) em destaque, vamos escr-
ever o coeficiente angular acima como:
ax1,h :=
f(x1 + h)− f(x1)
h
, onde x1 + h = x2.
4
2
-2
3
1
x
1,510,50
-1
0
2
Figura: Duas secantes pelo ponto (1, 1) do gra´fico de y = x2
A grande questa˜o e´:
Sera´ que esses coeficientes angulares ax1,h tendem