999894 Primeira avaliação de Cálculo IV CONTAGEM (1)

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Primeira Avaliac¸a˜o de Ca´lculo IV
Professor Vitor Luiz de Almeida
LEIA ATENTAMENTE AS INFORMAC¸O˜ES FORNECIDAS ABAIXO ANTES DE
INICIAR A RESOLUC¸A˜O DA PROVA:
• A resoluc¸a˜o de cada questa˜o deve ser apresentada no espac¸o destinado a ela. Se necessa´rio,
utilize o verso da folha;
• Na˜o e´ permitido o uso de qualquer aparelho eletroˆnico, incluindo, dentre esses, celulares,
smartphones, tablets, calculadoras e notebooks.
• Na˜o e´ permitida a consulta a qualquer tipo de fonte bibliogra´fica (livros-textos, caderno da
disciplina, listas de exerc´ıcios, etc.);
• E´ vedado qualquer tipo de comunicac¸a˜o entre os alunos;
• A avaliac¸a˜o e´ INDIVIDUAL e SEM CONSULTA;
• Ao aluno que descumprir as regras citadas anteriormente sera´ atribu´ıda NOTA ZERO nesta
avaliac¸a˜o;
• A durac¸a˜o dessa avaliac¸a˜o e´ de 01 hora e 40 minutos;
• A avaliac¸a˜o conte´m 4 questo˜es discursivas, cada uma delas no valor de 10, 0 pontos, totalizando
40,0 pontos;
• E´ obrigato´ria a apresentac¸a˜o de racioc´ınio em TODAS AS QUESTO˜ES;
• Todos os ca´lculos devem ser apresentados de forma clara e organizada;
• Na˜o omita nenhum ca´lculo;
• Respostas sem justificativas sera˜o anuladas;
• Respostas finais a` tinta;
Nome:
Boa Prova!
INTEGRAIS DUPLAS
Considere a seguinte integral iterada
∫ 2
0
∫ √2y−y2
0
√
x2 + y2 dx dy
(a) (5,0 pontos) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e expresse-a no sistema de coordenadas polares.
(b) (5,0 pontos) Calcule o valor da integral iterada.
Resoluc¸a˜o:
2
APLICAC¸O˜ES DE INTEGRAIS DUPLAS
(a) (5,0 pontos) Um estado deseja criar um novo munic´ıpio em uma regia˜o limitada D ⊂ R2. Estudos
revelam que a densidade populacional no ponto (x, y) ∈ D e´ dada por ρ = ρ(x, y), em que ρ : D −→ R
e´ uma func¸a˜o cont´ınua e na˜o-negativa. Explique, de forma detalhada e usando somas de Riemann,
como o estado pode calcular o nu´mero total de habitantes dessa regia˜o.
(b) (5,0 pontos) Suponha que a regia˜o D e´ a regia˜o plana limitada pelas curvas y =
√
x, x = 0 e y = 9.
Sabe-se que a densidade populacional na regia˜o e´ ρ(x, y) = ye−0,2x mil habitantes por quiloˆmetro
quadrado e que, devido a questo˜es constitucionais, o governo so´ pode criar um novo munic´ıpio se
houver, no mı´nimo, 800000 habitantes na regia˜o. Nessas condic¸o˜es, a exigeˆncia e´ cumprida?
Resoluc¸a˜o:
3
INTEGRAIS TRIPLAS E APLICAC¸O˜ES
(a) Considere a seguinte integral iterada:
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
∫ 1−x
0
z dy dz dx
Reescreva essa integral de duas maneiras distintas:
(i) (3,0 pontos) Utilizando o sistema de coordenadas cartesianas e na ordem de integrac¸a˜o z, x e y;
(ii) (3,0 pontos) Utilizando o sistema de coordenadas cil´ındricas.
(b) (4,0 pontos) Calcule o volume da regia˜o so´lida que esta´ dentro da esfera x2 + y2 + (z − 1)2 = 1 e
abaixo do cone z =
√
x2 + y2.
Resoluc¸a˜o:
4
TEOREMA DE MUDANC¸A DE VARIA´VEIS PARA INTEGRAIS DUPLAS
Utilizando uma mudanc¸a de varia´veis apropriada, calcule
∫∫
D
3
√
x+ y dA,
em que D e´ a regia˜o limitada pelas retas y = x, y = 3x, x+ y = 4.
Resoluc¸a˜o:
5