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Questa˜o 2 (2,5 pontos). Utilizando transformadas de Laplace, encontrar a soluc¸a˜o expl´ıcita do seguinte PVI: y ′′(t)− y(t) = { 2t , se t < 3; 0 , se t ≥ 3; y(0) = 0; y ′(0) = 2. Soluc¸a˜o: A func¸a˜o definida por duas expresso˜es pode ser reescrita como 2t − 2t u3(t), onde u3(t) = u0(t − 3), e u0 e´ a func¸a˜o-degrau de Heaviside, tambe´m denotada por H e por u. Assim: y ′′(t)− y(t) = 2t− 2t u3(t). Aplicando-se a Regra 18 (com f = y e n = 2) ao primeiro membro, e as regras 3 (com n = 1) e 13 (com c = 3 e f(t) = t + 3 para que f(t− 3) seja igual a t) ao segundo, obte´m-se que:( s2Y (s)− 0s− 2 ) − Y (s) = 2 s2 − 2 e−3s ( 1 s2 + 3 s ) ∴ (s2 − 1)Y (s) = 2 + 2 s2 − 2 e−3s ( 1 s2 + 3 s ) ∴ ∴ Y (s) = 2 s2 − 1 + 2 s2(s2 − 1) ( 1− e−3s ) − 6 s(s2 − 1) e−3s. Para as expan- so˜es em frac¸o˜es parciais, podem-se considerar termos do tipo M s− 1 + N s+ 1 , dos quais se obte´m e±t ou, alternativamente, combina´-los em Ms +N s2 − 1 , do qual se obte´m cosseno e seno hiperbo´licos de t. Ambas sera˜o exemplificadas: 2 s2(s2 − 1) = A s + B s2 + C s− 1 + D s+ 1 = (As+B)(s2 − 1) + Cs2(s+ 1) +Ds2(s− 1) s2(s2 − 1) ∴ (As+B)(s2 − 1) + Cs2(s+ 1) +Ds2(s− 1) = 2. Calculando-se isto em s = 0 e s = ±1, obte´m-se, respectivamente, que −B = 2, 2C = 2 e −2D = 2 ∴ B = −2, C = 1 e D = −1. Mas 0 = (A+C+D)s3 ∴ 0 = A+1−1 = A. Os termos com C e D podem ser combinados como um termo 2 s2(s2 − 1). 6 s(s2 − 1) = E s + Gs+H s2 − 1 = E(s2 − 1) +Gs2 +Hs s(s2 − 1) = (E +G)s2 +Hs−E s(s2 − 1) ∴ 6 = (E +G)s2 +Hs− E ∴ E +G = 0 = H e E = −6 ∴ G = 6. Logo: y(t) = L−1 { 2 s2 − 1 + ( 2 s2 − 1 − 2 s2 ) ( 1− e−3s ) − 6 ( s s2 − 1 − 1 s ) e−3s } (t) = L−1 { 4 s2 − 1 − 2 s2 + e−3s ( 2 s2 + 6 s − 6s+ 2 s2 − 1 )} (t). 2 Das regras 1, 3 (com n = 1), 7 e 8 (ambas com a = 1), tem-se que: L −1 { 4 s2 − 1 − 2 s2 } (t) = 4 senh(t)− 2t; e L−1 { 2 s2 + 6 s − 6s+ 2 s2 − 1 } (t) = 2t+ 6− 6 cosh (t)− 2 senh(t). Aplicando-se a Regra 13 (com c = 3) a esta u´ltima, conclui-se que: y(t) = 4 senh(t)− 2t + u3(t) (6 + 2(t− 3)− 6 cosh (t− 3)− 2 senh(t− 3)) ∴ y(t) = 4 senh(t)− 2t + u3(t) (2t− 6 cosh (t− 3)− 2 senh(t− 3)) = y(t) = 2et − 2e−t − 2t+ u3(t) ( 2t− 4e(t−3) − 2e(3−t) ) . Questa˜o 3. Encontrar a soluc¸a˜o completa expl´ıcita de cada EDO abaixo: 3.a (2,5 pontos). y(3)(t) + 4y ′(t) = 8 sen (2t) pelo me´todo dos coeficientes indeterminados; 3.b (1,5 pontos). y ′′(t) + y(t) = tan (t) para 0 < t < pi 2 Soluc¸a˜o – 3.a: Associado a` EDO dada, esta˜o o operador P (D) = D3 + 4D e a equac¸a˜o caracter´ıstica 0 = r3 + 4r = r(r2 + 4), cujas ra´ızes sa˜o 0 e ±2i, todas com multiplicidade 1. Logo, a soluc¸a˜o complementar (da EDO homogeˆ- nea associada) e´ yc(t) = C1 + C2 sen (2t) + C3 cos (2t), onde C1, C2, C3 ∈ R. Observe-se que a EDO homogeˆnea z(3)(t) + 4z′(t) = 0 em termos de func¸o˜es complexas z(t) da varia´vel real t tem soluc¸a˜o completa dada por: zc(t) = E1 + E2e −i2t + E3e i2t, onde E1, . . . , E3 ∈ C Um caminho para se encontrar uma soluc¸a˜o particular da EDO dada pelo me´todo dos coeficientes indeterminados e´: 8 sen (2t) = ℑ(8 ei2t). Resolva-se, pois, a EDO (D3+4D)[z(t)] = ei2t para z(t) func¸a˜o complexa da varia´vel real t. Mas P (D) = (D−2i) ◦ (D+2i) ◦D, enquanto o anulador de ei2t e´ D−2i. Compondo-os, tem-se (D−2i)2◦(D+2i)◦D, cuja EDO homogeˆnea associada tem soluc¸a˜o completa dada por zc(t)+E4t e i2t, onde E4 ∈ C e´ qualquer. Isto mostra que uma soluc¸a˜o particular para a EDO complexa na˜o-homogeˆnea e´ da forma Ht ei2t para um nu´mero complexo H a ser determinado. Isto tambe´m pode ser visto ao se corrigir o termo H ei2t (tentativa gene´rica para mu´ltiplos de ei2t) com o fator t1, onde o 1 e´ a multiplicidade da raiz 2i na equac¸a˜o caracter´ıstica da EDO homogeˆnea associada a P (D): 3
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