Função Logaritmica

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PMI - Projeto Matemática Interativa 
Fundamentos de Matemática 
Logaritmos 
0 – Introdução: 
Textos babilônios de cerca de 600 a. C. trazem a seguinte questão ”A que 
potência deve ser elevado certo número para fornecer um número dado?” É 
também desde os babilônios que se tem notícias de tabelas contendo potências 
sucessivas de um dado número, semelhantes às tabelas atuais de logaritmos. 
Apesar dos rudimentos do que viriam a ser os logaritmos, já serem 
conhecidos pelos babilônios, a introdução dos logaritmos como o instrumento 
que revolucionou a arte de calcular só ocorreu muito tempo depois. No início 
do século XVII, os cálculos envolvidos nos assuntos de Astronomia eram 
excessivamente trabalhosos. Os logaritmos, como instrumento de cálculo, 
surgiram para realizar simplificações, pois transformam multiplicações e divisões 
em operações mais simples, agilizando também a potenciação e a radiciação. É 
fundamental, também, em outras matérias como, por exemplo, na Química para 
o cálculo do pH (potencial de hidrogênio) e na Física, em acústica, para 
determinarmos a intensidade de um som. 
O nobre escocês John Napier (1550 - 1617) foi um dos matemáticos que 
impulsionaram seu desenvolvimento, sendo considerado o inventor dos 
logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham 
trabalhado com este conteúdo, sendo seu principal rival o suíço Jobst Burgi 
(1552 – 1632). Os logaritmos de base 10, chamados de comuns ou briggsianos, 
tão úteis nos cálculos, foram estudados pelo professor Henri Briggs (1561 – 
1631). 
A palavra logaritmo vem do grego: logos (razão) e arithmos (número) é o 
expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência. 
 
 
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1 – Definição: 
Chamamos de logaritmo de b, na base a, ao número c, tal que: 
 
bac cba =↔=log , 
sendo a (base), b (logaritmando) e c (logaritmo). 
 
Assim, o expoente a que se deve elevar 3 para se obter 81 é ______. Ou, em 
linguagem simbólica, . 
 
a) Qual é o expoente a que se deve elevar 2 para se obter 32? ____, ou _____. 
b) Qual é o expoente a que se deve elevar 
5
1
 para se obter 25? ____, ou ____. 
Uma observação importante sobre o estudo dos logaritmos diz respeito 
ao seu domínio ou campo de existência. Só existem logaritmos reais de 
números positivos, com bases também positivas e diferentes de 1. Ou seja, para 
calcular o é necessário que com b > 0, a > 0 e a ≠ 1. 
 
2 – Consequências da Definição: 
Sendo b > 0, a > 0 e a ≠ 1, tem-se: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 – Propriedades Operatórias: 
 Sendo x, y ∈ IR*+, a ∈ IR*+ e a ≠1, m∈ IR: 
 
 
1) Logaritmo do produto: 
 
2) Logaritmo do quociente: 
 
 
 
3) Logaritmo de uma potência: 
 
 
4) Mudança de base 
 (b ≠1) 
 
 
 
 
4 – Função Logarítmica: 
 
4.1 – Definição: 
 A função f: IR*+ Æ IR definida por f(x) = loga x, com a > 0 e a ≠ 1, é 
chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto 
IR*+ (reais positivos) e o contradomínio é IR (reais). 
 
4.2 – Exemplos: 
 Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada 
caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
yxyx aaa loglog).(log +=
yx
y
x
aaa logloglog −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
xmx a
m
a log.log =
a
xx
b
b
a log
loglog =
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1) y = log2x 
Atribuindo alguns valores a y e calculando os correspondentes valores de x, 
obtemos a tabela e o gráfico abaixo: 
 
 
x --- ... 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
O 
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2) 1
2
y = log x 
 
x --- ... 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 – Resumindo: 
 
Nos dois exemplos, podemos observar que: 
a) o gráfico nunca intersecta o eixo y; 
b) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x = 1; 
c) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im = R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
O 
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Além disso, podemos estabelecer o seguinte: 
 
a > 1 0 < a <1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é crescente e Im = IR 
 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2 ≥ x1 → y2 ≥ y1 (as desigualdades têm 
mesmo sentido) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é decrescente e Im = IR 
 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2 ≥ x1 → y2 ≤ y1 (as desigualdades têm 
sentidos contrários) 
 
6 – Exercícios: 
∗6.1 – Calcule o valor da expressão 27log64log 3
2
1 − . 
∗6.2 – Resolva em IR. 
 a) ( ) 2310log =+ xx b) 
c) d) 
e) f) log2 (x + 2) > log2 8 
g) log2(log3x) ≥ 0 h) log3 (2x + 1) < log3 7 
i) log
2
1 (2x – 1) > log
2
1 9 j) log (x + 2) + log (x – 2) < log (3x)
 
6.3 – Determine o domínio da função real de variáveis reais definida por 
( ) )3(log)(
2
2 xxxf x −= − . 
6.4 – Dados log 2 = a, log 3 = b, aplicando as propriedades dos logaritmos, 
calcule 24log3 . 
 
y
x
y
x
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∗6.5 – Dados log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771, calcule: 
a) 12log b) 2log3 c) 5log 
∗6.6 – A fórmula para se calcular os juros contínuos de um capital após t anos 
de aplicação é dada por , onde é o capital inicial, i é a taxa e t é o 
tempo em anos. 
Empregando-se um capital a juros contínuos de 20% ao ano, em 
quanto tempo esse capital será dobrado? 
∗6.7 – Uma das fórmulas usadas para medir terremotos de longas distâncias é 
 
sendo MS a magnitude do terremoto na escala Richter, A a amplitude do 
movimento da onda registrada no sismógrafo (em µm) e f a frequência da onda 
(em hertz). A margem de erro na medição de um terremoto é de 0,3 pontos, 
para mais ou para menos. 
Suponhamos que um terremoto teve como amplitude 1000 micrometros 
e a frequência a 0,1Hz. Qual a magnitude desse terremoto no local onde está 
instalado o sismógrafo? Considerando a margem de erro, entre quais números 
reais pode variar a magnitude desse terremoto?