Integração de Funções Racionais

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Integração de funções Racionais
 Ticiano A. Campigotto
Um polinômio em x é uma função da forma nn
nn axaxaxa ++++ −
−
1
1
10 ... onde os
coeficientes “a” são constantes, 00 ≠a e n um número inteiro positivo que pode ser
nulo.
Se dois polinômios do mesmo grau são iguais, qualquer que seja o valor atribuído à
variável, os coeficientes das potencias semelhantes da variável nos dois polinômios são
iguais.
Todo polinômio de coeficientes reais pode ser expresso como um produto de fatores
lineares reais, da forma bax + , e fatores do 2o grau, irredutíveis, da forma cbxax ++2
Uma função 
)(
)(
)(
xg
xf
xF = , onde )(xf e )(xg são polinômios, é chamada fração
racional.
Se o grau de )(xf é menos do que grau de )(xg , )(xF é uma fração racional própria;
do contrário, )(xF é denominada imprópria
Uma fração racional imprópria pode ser expressa como a soma de um polinômio e de
uma fração racional própria.
Assim,
11 22
3
+
−=
+ x
x
x
x
x
Toda fração racional própria pode ser expressa como uma soma de frações mais
simples, cujos denominadores são da forma 
nbax )( + e ncbxax )( 2 ++ , n sendo um
inteiro positivo. Pode-se ter quatro casos, dependendo da natureza do denominador.
Caso I. Fatores lineares distintos.
A cada fator linear da forma bax + que aparece uma vez no denominador de uma
fração racional própria, corresponde uma fração parcial da forma: 
bax
A
+
. Onde A é uma constante a determinar.
Exemplo 1: Calcular dx
x
]
4
1
[
2∫ −
Solução
a) Fatoração do denominador : 2).(2(4
2 +−=− xxx .
Faz-se 
224
1
2 +
+
−
=
− x
B
x
A
x
 
)2).(2(
)2()2(
4
1
2 +−
−++
=
− xx
xBxA
x
 e eliminando os denominadores temos:
)22()(1
221
)2()2(1
BAxBA
BBxAAx
xBxA
−++=
−++=
−++=
b) Determinação das constantes: 
Resolvendo o sistema:





−=
=
⇒



=−
=+
4
1
4
1
122
0
B
A
BA
BA
Portanto;
2
4
1
2
4
1
4
1
2 +
−
−
=
− xxx
 e
c
x
x
ldx
x
cxlxldx
x
dxxdxxdx
x
x
dx
x
dx
dx
x
n
nn
+
+
−
=
−
++−−=
−
+−−=
−
+
−
−
=
−
∫
∫
∫∫∫
∫∫∫
−
−
2
2
4
1
]
4
1
[
)2(
4
1
)2(
4
1
]
4
1
[
])2[(
4
1
])2[(
4
1
]
4
1
[
24
1
24
1
]
4
1
[
2
2
1
1
2
2
Exemplo 2 Calcular dx
xxx
x
]
6
1
[
23∫ −+
+
Solução
a) Fatoração do denominador : )3)(2(6
23 +−=−+ xxxxxx
2
Então 
AxCBAxCBAx
xxx
xCxxBxxxA
xxx
x
x
C
x
B
x
A
xxx
x
6)23()(1
3)(2(
)2()3(3)(2(
6
1
326
1
2
23
23
−−++++=+
+−
−++++−
=
−+
+
+
+
−
+=
−+
+
b) Determinação das constantes . 
Resolvendo o sistema de equações








−=
=
−=
⇒





=−
=−+
=++
15
2
10
3
6
1
16
123
0
C
B
A
A
CBA
CBA
Logo;
c
xx
x
ldx
xxx
x
cxlxlxldx
xxx
x
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xxx
x
n
nnn
+
+
−
=
−+
+
++−−+−=
−+
+
+
−
−
+−=
−+
+
∫
∫
∫∫∫∫
15
2
6
1
10
3
23
23
23
)3(
)2(
]
6
1
[
)3(
15
2
)2(
10
3
6
1
]
6
1
[
315
2
210
3
6
1
]
6
1
[
Caso II. Fatores lineares repetidos.
A cada fator linear da forma bax +
 Que aparece n vezes no denominador de uma fração racional própria corresponde uma
soma de n frações parciais da forma: 
n
n
bax
A
bax
A
bax
A
)(
...
)( 2
21
+
++
+
+
+
, sendo nAAA ,...,, 21 constante a determinar
Exemplo 1: Calcular: dx
xxx
x
]
1
53
[
23∫ +−−
+
Solução
a) Fatoração do denominador : 
223 )1)(1(1 −+=+−− xxxxx
3
Daí
223 )1(111
53
−
+
−
+
+
=
+−−
+
x
C
x
B
x
A
xxx
x
2
2
23 )1)(1(
)1()1)(1()1(
1
53
−+
++−++−
=
+−−
+
xx
xCxxBxA
xxx
x
Eliminando os denominadores temos:
)()2()(53
)1()1)(1()1(53
2
2
CBAxCAxBAx
xCxxBxAx
+−++−++=+
++−++−=+
b) Determinação das constantes. 
Resolvendo o sistema linear:






=
−=
=
⇒





=+−
=+−
=+
4
2
1
2
1
5
32
0
C
B
A
CBA
CA
BA
 
Logo;
c
x
x
l
x
dx
xxx
x
c
x
xlxldx
xxx
x
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xxx
x
n
nn
+
−
+
+
−
−=
+−−
+
+
−
−−−+=
+−−
+
−
+
−
−
+
=
+−−
+
∫
∫
∫∫∫∫
1
1
2
1
1
4
]
1
53
[
1
4
)1(
2
1
)1(
2
1
]
1
53
[
)1(
4
12
1
12
1
]
1
53
[
23
23
223
Exemplo 2: Calcular dx
xxx
xxxx
]
2
223
[
23
234
∫ −+
+−−−
Solução
O Integrante é uma fração em que o grau do numerador é maior do que o denominador. 
Por divisão, obtemos:
)2)(1.(
26
2
2
223
2
26
2
2
223
2
23
234
3
2
23
234
2
+−
+−
+−=
−+
+−−−
−+
+−
+−=
−+
+−−−
xxx
xx
x
xxx
xxxx
xxx
xx
x
xxx
xxxx
Fazendo:
4
AxCBAxCBAxx
xxx
xCxxBxxxA
xxx
xx
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
2)2()(26
)!)(1(
)1()2()1)(1(
)1)(1(
26
21)1)(1(
26
22
2
2
−−++++=+−
+−
−++++−
=
+−
+−
+
+
−
+=
+−
+−
Resolvendo o sistema linear:





=
−=
−=
⇒





=−
−=−+
=++
3
1
1
22
62
1
C
B
A
A
CBA
CBA
Logo;
c
x
x
lx
x
cxlxlxlx
x
x
dx
x
dx
x
dx
dxx
xxx
xxxx
n
nnn
+
−
+
+−=
+++−−−−=
+
+
−
−−−=
=
−+
+−−−
∫∫∫ ∫
∫
1
)2(
2
2
1
)2(3)1(2
2
1
2
3
1
)2(
]
2
223
[
32
2
23
234
Exemplo 3: Calcular dx
xx
xxx
]
1
[
23
34
∫ −
−−−
Solução
)1(
111
22323
34
−
+
−=
−
+
−=
−
−−−
xx
x
x
xx
x
x
xx
xxx
Fazendo
)1(
)1()1(
)1(
1
1)1(
1
2
2
2
22
−
+−+−
=
−
+
−
++=
−
+
xx
CxxBxAx
xx
x
x
C
x
B
x
A
xx
x
BxBAxCAx
CxBBxAxAxx
CxxBxAxx
−+−++=+
+−+−=+
+−+−=+
)()(1
1
)1()1(1
2
22
2
5
Resolvendo o sistema:





=
−=
−=
⇒





=−
=+−
=+
2
1
2
1
1
0
C
B
A
B
BA
CA
Logo;
c
x
x
l
x
x
cxl
x
xl
x
x
dx
x
dx
x
dx
xdxdx
xx
xxx
n
nn
+
−
+−=
+−−−+=
=
−
−++=
−
−−−
∫∫∫ ∫∫
1
2
1
2
)1(2
1
2
2
1
1
22]
1
[
2
2
223
34
Caso III. Fatores distintos do 2 o grau. 
A cada fator do 2o grau irredutível cbxax ++2 que aparece uma vez no denominador
de uma fração racional própria correspondente uma fração parcial da forma:
cbxax
BAx
++
+
2
, onde A e B são constantes a determinar.
Exemplo 1: Calcular dx
x
x
]
1
2
[
3
2
∫ −
+
Solução
)1)(1(1 23 ++−=− xxxx
)1)(1(
)1)(()1(
1
2
111
2
2
2
3
2
23
2
++−
−++++
=
−
+
++
+
+
−
=
−
+
xxx
xCBxxxA
x
x
xx
CBx
x
A
x
x
)()()(2
2
22
222
CAxCBAxBAx
CCxBxBxAAxAxx
−++−++=+
−+−+++=+
Resolvendo osistema de equações temos: 





−=
=
=
⇒





=−
=+−
=+
1
0
1
2
0
1
C
B
A
CA
CBA
BA
6
Logo:
c
x
tgarcxl
x
dx
x
dx
xx
dx
x
dx
dx
x
x
n +
+
−−=
++
−
−
=
=
++
−
−
=
−
+
∫∫
∫∫∫
3
12
.
3
32
)1(
4
3
)
2
1
(
1
11
]
1
2
[
2
23
2
Caso IV. Fatores repetidos do 2 o grau. 
A cada fator do 2o grau irredutível cbxax ++2 que aparece n vezes no denominador
de uma fração racional própria corresponde uma soma de n frações parciais da forma:
n
nn
n cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
)(
...
)( 22
22
2
11
++
+
++
++
+
+
++
+
 
onde nn BBBAAA ...,,;,...,, 2121 são constantes a determinar. 
Exemplo Calcular dx
xx
xx
]
)32(
2
[
22
2
∫ ++
++
Solução
Faz-se: 22222
2
)32(32)32(
2
++
+
+
++
+
=
++
++
xx
DCx
xx
BAx
xx
xx
Daí: 
).3()23()2(2
)32).((2
232
22
DBxCBAxBAAxxx
DCxxxBAxxx
+++++++=++
+++++=++
Resolvendo o sistema de equações:







−=
−=
=
=
⇒







=+
=++
=+
=
1
1
1
0
23
123
12
0
D
C
B
A
DB
CBA
BA
A
Assim:
c
xx
x
arctg
dx
xx
x
dx
xx
dx
xx
xx
+
++
+
+
=
=
++
+
−
++
=
++
++
∫∫∫
)32(2
1
2
1
2
2
]
)32(
1
[]
32
1
[]
)32(
2
[
2
22222
2
7
Exercícios: Calcular a Integral de:
1. dx
xx
x
]
32
35
[
2∫ −−
−
2. ∫ −+ 22 xx
dx
3. dx
xx
xxx
]
32
342
[
2
23
∫ −−
−−−
4. dx
xxx
x
]
103
4
[
23∫ −+
+
5. dx
xx
]
2
1
[
2∫ −+
6. dx
xx
x
]
2
42
[
23∫ −
+
7. dx
xx
x
]
23
3
[
2∫ ++
+
8. dx
xx
xx
]
12
83
[
2
2
∫ +−
−−
9. dx
xxx
]
45
1
[
23∫ ++
10. dx
x
xx
]
81
2
[
4
3
∫ −
−
Respostas
1. cxlxl nn +−++= 3312
2. cxlxl nn ++−− 2
3
1
1
3
1
⇒ c
x
x
+
+
−
=
2
1
ln
3
1
3. cxlxlx nn +−+++= 3312
2
4. c
x
xlxlxl nnn +
−
−−−−+−=
1
1
)1(
35
1
2
7
3
5
2
5. c
x
x
lcxlxl nnn +
+
−
=++−−=
2
1
3
1
2
3
1
1
3
1
6. c
xx
x
lcxl
x
xl nnn ++
−
=+−++=
22
222
2
2
7. c
x
x
lcxlxl nnn +
+
+
=++−+=
2
)1(
212
2
8. c
x
xlx n +
−
+−−=
1
10
1
9. c
x
xx
lcxlxlxl nnnn +
+
+
=++++−= ]
)1(
)4(
[
12
1
)4(
12
1
1
3
1
4
1
4
3
10. cxxln ++−= ])9()9[(
36
1 11272
8
Referências Bibliográficas
FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Miriam Buss. Cálculo A: Funções,
limites, derivação e integração. 6a ed. São Paulão: Pearson Pretice Hall, 2006.
THOMAS, George B. Cálculo 10a ed. Volume 1. São Paulo: Addisn Wesley, 2002.
HOFFMANN, Laurence D. Cálculo : Um curso moderno e suas aplicações. 7a ed.
Tradução de Denise Paravato. Rio de janeiro : Livros Técnicos e Científicos, 2002.
Tradução de Calculus for Business, Economics, and the Social and Life Science.
LEITHOLD, Louis. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo:
Harbra,1988.
MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada Para cursos de: Administração,
Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002.
MORETTIN, Pedro A. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Ed.
Saraiva, 2003.
9