Geometria espacial Volume dos sólidos geométricos

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Geometria Euclidiana 
Plana e Espacial
Volume dos Sólidos Geométricos
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Conceição Aparecida Cruz Longo. 
Revisão Textual:
Prof. Ms. Claudio Brites.
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• Introdução
• Unidade de volume e de capacidade
• Cálculo do Volume dos Sólidos
Os primeiros estudos sobre volume de sólidos e capacidade surgiram a partir da necessidade de 
diversas sociedade agrícolas de armazenar alimentos. Dessa necessidade, foram se desenvolvendo 
métodos para o cálculo aproximado de volumes até serem elaboradas as fórmulas para o cálculo de 
volumes de alguns sólidos geométricos, tais como: prismas, cilindros, pirâmides. 
É preciso levar em consideração que o ensino do conceito de volume não é apenas o ensino de fórmulas, 
prescindido de um estudo sobre as unidades de medida utilizadas e sobre as noções de aplicabilidade.
Diante do exposto, nesta unidade estudaremos o volume dos sólidos geométricos classificados como 
poliedros e não poliedros.
No grupo dos poliedros, calcularemos a área da superfície e o volume do cubo, do paralelepípedo, 
dos prismas e das pirâmides. Para os não poliedros, efetuaremos os cálculos para o cilindro, o 
cone e a esfera.
Alguns cálculos você já viu nas unidades anteriores, mas é sempre bom ver, rever e reforçar.
Nesta unidade, você estudará e aprenderá a calcular o volume 
dos sólidos geométricos.
Para o cálculo de um volume, podemos usar diferentes unidades 
de medida. Certamente você já ouviu falar do litro e do metro 
cúbico, portanto, vamos aprofundar esses conceitos.
Volume dos Sólidos Geométricos
• O volume dos Prismas
• Áreas e volumes das Pirâmides
• A medida da altura do tetaedro
• Cone
• Esfera
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
Contextualização
Observando os corpos que temos ao nosso redor, isto é, aqueles 
que ocupam um certo lugar no espaço como as plantas, os animais, 
os lagos, os monumentos ou qualquer outro tipo de construção, 
percebemos que tudo que nos rodeia tem uma superfície e ocupa 
certo espaço, portanto, tudo tem uma certa extensão. 
Frequentemente temos de calcular a área da superfície de um 
corpo sólido ou o volume de espaço que ele ocupa. É fundamental 
para as indústrias, por exemplo, os estudos da capacidade dos 
recipientes – qual o melhor formato de recipiente para conter certa 
capacidade de produto?
Mas nem todos esses corpos possuem formas regulares (esfera, 
cubo, pirâmide, etc.); na maioria das vezes, nos deparamos com sólidos 
irregulares – por exemplo: como medir o volume de uma batata?
Para este caso vamos determinar o volume do sólido pela variação 
do volume da água de um recipiente graduado. Colocamos a água 
até um certo ponto, marcamos o volume expresso pela graduação 
do recipiente. Colocamos a batata dentro do recipiente e medimos a 
variação do volume. O aumento do volume do líquido corresponde 
ao volume da batata. Thinkstock/Getty Images
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Introdução
A natureza continuamente nos presenteia com a beleza de suas formas geométricas. O 
homem, inspirado em sólidos geométricos, constrói monumentos espetaculares.
Seja nas estruturas naturais ou em construções prediais, estamos diariamente em contato 
com diversos objetos de formatos variados.
Thinkstock/Getty Images
Na matemática, esse conjunto de objetos ou corpos com características semelhantes a esses 
objetos são chamados de sólidos geométricos.
Todos esses objetos que nos cercam ocupam um determinado lugar no espaço. Medir esse 
espaço ocupado por esses objetos é calcular o seu volume.
 
 Explore
Se você ficou curioso, pode encontrar mais formas geométricas na natureza assistindo 
a esse vídeo: http://vimeo.com/9953368
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
O que é medir o volume de um sólido?
Medir o volume de um sólido é encontrar a medida do espaço ocupado por esse sólido, ou 
seja, o volume de um corpo é o espaço que ele ocupa.
Volume ou capacidade?
 Segundo Imennes (2002), em seu dicionário matemático, a capacidade é o volume interno 
de um recipiente. Duas unidades de medida de capacidade muito usadas são o litro e o mililitro. 
Dizemos, por exemplo, “que certa jarra tem capacidade para 1,5 litro de água”. Já Centurión 
(2003) indica que quando consideramos garrafas, copos, tambores, na maior parte das vezes, 
o volume do objeto em si não importa; o que importa é o volume que ele pode conter, ou seja, 
a capacidade do objeto. Nesse mesmo livro, define: “o volume de um objeto é a medida do 
espaço que ele ocupa”. 
Volume ou capacidade de um corpo (ou recipiente) é a quantidade de espaço que esse corpo 
ocupa ou que ele dispõe para armazenar alguma coisa.
Thinkstock/Getty Images
Esses recipientes têm a capacidade de armazenar um litro de líquido, conforme a indicação em 
cada embalagem. Podemos dizer que o volume ou a capacidade de cada um deles é de um litro.
Unidade de volume e de capacidade
O litro (l) e o metro cúbico (m³) são unidades de medida de volume e capacidade. Além dessas 
unidades, temos também o centímetro cúbico (cm³), o decímetro cúbico (dm³) e o mililitro (ml). 
Existem outras unidades de medida de volume, mas essas são as mais conhecidas.
A escolha da unidade de medida adequada depende do que vai se medir e de seu tamanho.
Para medir grandes volumes, é mais adequado usarmos o metro cúbico. Já para volumes 
menores, costuma-se usar o litro.
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O litro
O litro (l) é a quantidade de líquido que é preciso para encher 
completamente um cubo vazio, com 10 cm de aresta. 
Para calcular quantos litros tem um metro cúbico, 
imaginamos um cubo com 1 m de aresta. Tanto na altura, 
como na largura, quanto na profundidade cabem 10 cubinhos 
com 1 litro de capacidade.
1 ³ 1 000m = 
O mililitro
Em algumas situações, o volume a ser medido é tão pequeno que o litro se torna uma 
unidade inadequada, nesses casos usamos o mililitro (ml). 
Isso acontece, por exemplo, quando queremos indicar a quantidade de líquido de um vidro 
de remédio. 
O mililitro é a quantidade de líquido que cabe num cubo vazio com 1 cm de aresta.
1 ³ 1 cm m=  
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
Equivalência de Medidas
 
1 1000 ³ cm= 1 ³ 1000 m = 
1 ³ 1 cm m=  1 1 ³ dm=
Exemplos:
1. O consumo de água na casa de Raul, no último mês, foi de 42 m3. Quantos litros de água 
foram consumidos?
Como 1 m³ = 1 000
42 m3 = 42 x 1000 = 42 000 
2. Quantos litros de água são necessários para encher uma piscina cujo volume interno é 90 m3?
Como 1 m³ = 1000
90 m3 = 90 x 1000 = 90 000 dm3 = 90 000
3. Uma torneira está estragada e, mesmo fechada, pinga. Durante meia hora essa torneira 
perdeu 2 dm3 de água. Quantos litros de água a torneira perdeu em um dia?
Se em meia hora perde 2 dm³, em uma hora perde 4 dm³
Um dia tem 24 horas, portanto: 24 x 4 = 96 dm³
Como 1 = 1 dm³, a torneira perdeu 96 litros de água em um dia.
Cálculo do Volume dos Sólidos
De acordo com o sólido que se quer medir, temos uma fórmula específica para ele. No 
grupo dos sólidos, denominados poliedros (que apresentam apenas superfícies planas), vamos 
calcular o volume dos cubos, dos paralelepípedos retângulos, dos prismas e das pirâmides.
No grupo dos sólidos denominados de não poliedros (que apresentam superfícies planas e 
curvas), vamos calcular o volume dos cilindros, dos cones e da esfera.
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Paralelepípedo: elementos, áreas e volume
Um bloco retangular é o mesmo que um paralelepípedo. 
Volume do bloco retangular = comprimento . largura . altura
Área da base
Volume do paralelepípedo = área da base . altura
Se mudarmos a posição de um paralelepípedo, podemos com isso modificar a nomenclatura 
que descreve seus elementos: o que era base pode ser face lateral e vice-versa.
V = a. b. c
Exemplos:
Calcular o volume doparalelepípedo cujas dimensões são 5 cm, 12 cm e 20 cm.
 V = a . b . c
V = 5 . 12 . 20 
V = 1200 cm³
Área da superfície total do paralelepípedo
Para cobrir todas as faces desses sólidos com papel, por exemplo, calcularemos a área total 
desse paralelepípedo.
Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c, obtemos a figura:
ATotal = 2ab + 2 ac + 2 bc
ATotal = 2 (ab + ac + bc)
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
Diagonal do paralelepípedo
A diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos. 
A diagonal de um paralelepípedo é o segmento de reta que une dois vértices que não têm em 
comum qualquer uma das faces do paralelepípedo.
d² = a² + b² (diagonal do retângulo da base do 
paralelepípedo)
D² = d² + c²
D² = a² + b² + c²
 
a² b² c²D = + +
Não existe uma face do paralelepípedo que contenha as duas extremidades de sua diagonal.
Exemplo: 
Calcule a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 2 cm, 2 cm e 2,5 cm.
a² b² c²D = + +
2² 2² 2,5²D = + +
4 4 6, 25D = + +
14,25D =
D = 3,77 cm.
O cubo
O que acontece quando um paralelepípedo tem todas as suas arestas com medidas iguais? 
Para Pensar
Você conhece outro nome para esse sólido?
 
Existe um caso particular de paralelepípedo, chamado cubo.
 Consideremos um cubo de aresta a.
a → medida de cada uma das arestas
d → diagonal da face
D → diagonal do cubo
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Área da base
Sb = a . a
Sb = a²
Área de uma face
Sf = a . a
Sf = a²
Área total
St = 6 . Sf
St = 6 . a²
Diagonal de uma face
d a.= 2
Diagonal do cubo
D a.= 3
Volume do cubo
Vcubo = a³
Exemplo: 
Um cubo tem de aresta “a” cm e área de superfície total numericamente igual ao volume. Calcule:
a. A medida “a” de uma aresta;
b. A medida da diagonal de uma face;
c. A medida da diagonal de um cubo;
d. A área da superfície total;
e. O volume.
Solução
a. Se o cubo tem aresta a, então a Sf = a²
St = 6 . Sf
St = 6 . a²
Como a área da superfície total é numericamente igual ao volume, temos: 
V = a³, logo 6 . a² = a³
6 . a . a = a . a . a (cancela a dos dois lados da igualdade)
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
a = 6 cm
b. d = a . √2
d = 6 . √2 cm
c. D = a . √3
D = 6 . √3 cm
d. St = 6 . a²
St = 6 . 6²
St = 6 . 36
St = 216 cm²
e. V = a³
V = 6³
V = 216 cm³
O volume dos Prismas
Vamos agora considerar um paralelepípedo e um prisma que possuem a mesma área da base, 
apoiados em um plano horizontal β. Como qualquer plano horizontal que seccione os prismas 
vai gerar regiões como áreas iguais, o volume do prisma será o mesmo do paralelepípedo 
retângulo. Por isso, poderemos calculá-lo da mesma maneira.
Volume prisma = área da base x altura
 
 
Vprisma = Sb . H
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Exemplo: 
Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 2 cm e a altura do prisma é igual a 
5 cm. Calcular:
a. A área de uma base;
b. A área de uma face lateral;
c. A área lateral;
d. A área total;
e. O volume.
Solução
a. Área de uma base: Sb = 6 . Striângulo equilátero
Primeiro, vamos calcular a altura por meio do Teorema de Pitágoras.
2² = h² + 1²
4 = h² + 1
h² = 4 – 1
h² = 3
h = 3 cm
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
Agora, calcular a área do triângulo equilátero de base 2 e altura 3.
A∆ = 2 . 3 
2
A∆ = 3 cm
Área da base é Sb = 6 . A∆
Ab = 6 . 3 cm²
b. Área de uma face lateral;
2cm
5cm
A face lateral é um retângulo:
 Aretângulo = b . h
Aretângulo = 2 . 5 = 10 cm² (área de uma face lateral)
SF = 10 cm²
c. Área lateral: SL = 6 . SF 
SL = 6 . 10
SL = 60 cm²
d. Área total: ST = 2 . Sb + SL
ST = 2 . 6 . 3 + 60
ST = 12 . 3 + 60 → colocamos 12 em evidência
ST = 12 . ( 3 + 5) cm² 
e. Volume: V = Sb. h
V = 6 . 3 . 5
V = 30 . 3 cm³
Áreas e volumes das Pirâmides
A pirâmide é considerada um dos mais antigos sólidos geométricos construídos pelo homem. 
Uma das mais famosas é a pirâmide de Quéops, construída em 2.500 a.C., com 150 m de altura, 
aproximadamente – o que pode ser comparado a um prédio de 50 andares.
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Quando pensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da pirâmide egípcia, cuja base é 
um quadrado. Contudo, o conceito geométrico de pirâmide é um pouco mais amplo: sua base pode 
ser formada por qualquer polígono. As figuras abaixo representam pirâmides e suas planificações:
TRIANGULAR QUADRANGULAR PENTAGONAL HEXAGONAL
Base: triangulo Base: quadrilátero Base: pentágono Base: hexágono
Uma definição simples para pirâmide é: um sólido geométrico cuja base é um polígono e 
cujas faces laterais são triângulos que possuem um vértice comum.
Uma pirâmide diz-se reta se a projeção do vértice da pirâmide coincide com o centro da base. 
Uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular é chamada de pirâmide regular. Quando a 
projeção do vértice não coincide com o centro do polígono da base, diz-se que a pirâmide é oblíqua. 
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
Pirâmide reta Pirâmide regular Pirâmide oblíqua
A altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base e que passa por V (vértice). Uma 
pirâmide é regular se a base é um polígono regular e as faces laterais são triângulos isósceles 
iguais. Com isso, o pé da altura é o centro do polígono da base, como mostram as figuras abaixo:
A altura de cada uma das faces laterais é denominada de apótema da pirâmide. É 
evidente que, sendo a base um polígono regular, essa também tem um apótema, a que se 
chama apótema da base. 
Cálculo da área da base 
Calcular a área da superfície da base de uma pirâmide é determinar a área de um polígono 
convexo (triângulo, quadrilátero, pentágono, etc.).
Área lateral
Calcular a área da superfície lateral de uma pirâmide é a soma das faces laterais. As 
faces das pirâmides são triangulares, a área lateral será a soma das áreas dos triângulos que 
limitam a pirâmide.
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Nas pirâmides regulares, as faces laterais são triângulos isósceles e a área de cada um desses 
triângulos pode ser obtida da seguinte forma:
s
a
Striângulo = . 
2
base altura
Sface lateral = . 
2
aresta dabase apótemada pirâmide
Área total
A área da superfície total será a soma da área lateral com a área da base.
Volume
O volume de uma pirâmide qualquer é igual a um terço do produto da área da base pela 
medida da altura, ou seja: 
 
1 . . 
3 base
V S h=
Exemplo 1:
 A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta 3 cm. Sabendo que a altura da pirâmide 
mede 10 cm, calcular o volume dessa pirâmide.
 1 . . 
3 base
V S h=
 
Cálculo da Sbase
Como a base dessa pirâmide é um quadrado, temos:
Sbase = lado² = 3² = 9 cm²
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
Cálculo do volume
V = 
1
3
 . Sbase . h
V = 1
3
 . 9 . 10
V = 30 cm³
Exemplo 2: Em um tetraedro regular uma aresta mede 6 cm. Calcule:
a. A área da base;
b. A área de uma face lateral;
c. A área lateral;
d. A área total;
e. A medida da altura do tetraedro;
f. O volume.
Vamos lá:
a. A área da base é a área do triângulo equilátero (Tetraedro regular) de lado 6 cm.
6cm
3cm
h
6cm
3cm
Vamos calcular a altura usando o Teorema de Pitágoras.
6² = h² + 3²
h² = 36 - 9
h² = 27
h = 27
h = 3 3 cm
Sbase = 
 . 
2
b h
Sbase = 
6 . 3 3 
2
21
Sbase = 18 3 
2
Sbase = 9 3 cm²
b. A área de uma face lateral é igual a área da base, então: 
Slateral de uma face = 9 3 cm²
c. A área lateral é a soma das três áreas das 3 faces laterais, ou então:
Slateral = 3 . 9 3 = 27 3 cm²
d. A área total será de 4 vezes a da área de uma face.
Stotal = 4 . 9 3 = 36 3 cm²A medida da altura do tetaedro
No caso do tetraedro, a altura será calculada pela fórmula: h = 
6 . 
3
a (a é aresta).
 
 Explore
Para ver a demonstração dessa fórmula, consulte: http://literamati.
dominiotemporario.com/doc/tetra.pdf
h = 6 . 
6 . 
3
a = 2 √6 cm
h = 2 √6 cm
f. Volume
V = 
1
3
 . Sbase . h
V = 1
3
 . 9 3 . 2 6
V = 18
3
 . 18
V = 6 . 3 2
V = 18 2 cm³
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
Exemplo 3:
 Calcule o volume da pirâmide cuja altura é de 15 cm e cuja base quadrada tem arestas de 20 
cm de comprimento.
Inicialmente, é necessário determinar a área da base. Como a base é quadradaa, fazemos: 
Sbase = 20² = 400 cm²
Substituindo as medidas da área da base e da altura na expressão que representa o 
volume, teremos:
V = 
1
3 . Sbase . h
V = 
1
3 . 400 . 15
V = 2 000 cm³
Cilindro
Um cilindro é um sólido geométrico não poliedro que apresenta duas bases paralelas 
circulares congruentes e uma face lateral que liga essas duas bases. Quando as linhas que 
formam a face lateral são perpendiculares às bases, dizemos que o cilindro é reto; caso 
contrário, dizemos que é oblíquo.
Cilindro oblíquo
São elementos do cilindro:
 » Bases: os círculos idênticos de centro O e O’ e raios r; 
 » Altura: a distância h entre os planos α e β;
 » Geratriz: qualquer segmento da superfície lateral de 
extremidades nos pontos das circunferências das bases que 
seja paralelo ao eixo central. 
Cálculo da área da superfície do Cilindro Circular
A área total da superfície de um cilindro circular é a soma da área da superfície lateral 
com a área dos dois círculos das bases.
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A área da superfície lateral é igual ao produto do perímetro da base pela altura do cilindro: 
Sl = 2 . π . r . h 
 A área de cada base é igual ao produto de π pelo quadrado do raio da base, visto que as 
base são círculos: Sb = π . r²
Para não precisarmos calcular as áreas separadamente, podemos utilizar uma única fórmula: 
St = Sl + 2 . Sb
St = 2 . π . r . h + 2 . π . r²
St = 2 . π . r . h + 2 . π . r²
( ) 2 . . tS r h rπ= +
Calculando o volume de um cilindro
O volume de um cilindro pode ser representado pela expressão:
 ²V r hπ= ⋅ ⋅
Observe que π é um número irracional cujo valor é aproximadamente 3,14, r, é a medida do 
raio do cilindro e h é a medida de sua altura.
Para calcular o volume do cilindro, devemos substituir esses valores na expressão 
correspondente e resolver as operações indicadas.
Veja mais alguns exemplos:
1. Determine o volume de um cilindro cuja medida do diâmetro da base e da altura do sólido 
sejam iguais a 10 cm.
V = π ⋅ r² ⋅ h
Diâmetro = 2 . raio
Raio = 5 cm
V = π ⋅ r² ⋅ h
V = 3,14 . 5² . 10
V = 3,14 . 25 . 10
V = 785 cm³
24
Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
2. Um cilindro é inscrito em um cubo cujo volume é de 64 cm³. Calcule a área total e o 
volume do cilindro.
Vcubo = 64 cm³
a³ = 64
a = 4 cm (medida da aresta do cubo, da altura do cilindro e também do diâmetro do 
cilindro, portanto o raio do cilindo é de 2 cm)
St = 2 . π . r (h + r)
St = 2 . π. 2 (4 + 2)
St = 4 . π . 6 
St = 24 . π cm²
V = π ⋅ r² ⋅ h
V = π ⋅ 2² ⋅ 4
V = 16 π cm³
Cone
Um cone é um sólido geométrico classificado como não poliedro, que apresenta uma única 
base circular e uma face lateral.
No cone, podem ser destacados os seguintes elementos: 
O vértice de um cone é o ponto para o qual concorrem 
todos os segmentos de reta que formam a superfície lateral 
desse sólido.
Geratriz é cada um dos segmentos de reta que tem uma 
extremidade no vértice do cone e a outra na circunferência que 
envolve a base.
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A base de um cone é formada pelo círculo no qual ele se apóia e pela circunferência que 
delimita esse círculo.
O eixo do cone é a reta definida pelos centros de todas as seções paralelas à base, ou ainda, 
é a reta definida pelo vértice do cone e pelo centro de sua base.
A altura do cone é a distância do vértice do cone ao plano que contém a sua base.
Observa-se que num cone reto, pelo teorema de Pitágoras, pode-se estabelecer a seguinte 
relação: g² = r² + h²
 
Áreas e volume do cone circular reto 
Área da base (Sb): Como a base é um círculo, temos: Sb = π . r²
Área lateral (Sl): A figura nos mostra o desenvolvimento num plano da superfície lateral de 
um cone circular reto. Observamos que o desenvolvimento num plano da superfície lateral do 
cone resultou num setor circular de raio g, cujo arco tem um comprimento.
C = 2 . π . r
 
Assim, temos:
Área do setor = 
 
2
comprimento x raio
Área lateral = área do setor
Como no cone o comprimento é = 2 . π . r e o raio = g, temos:
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
Sl = 
2 . . . 
2
r gπ
Sl = π . r . g
 
Área total (St)
St = Sb + Sl
St = π . r² + π . r . g
St = π . r (r + g)
Volume (V)
O volume do cone é igual a um terço do produto da área da base pela altura, ou seja, pode 
ser representado pela expressão: V = 
1
3
 •(Sb • h) 
V = . 
3
b hS , sendo Sb a área da base do cone e h a medida de sua altura. 
Lembrando que a base do cone é um círculo de raio r, ou seja, de área de base igual a π ⋅ r², 
podemos representar o volume de um cone pela expressão:
V = 
2 . . 
3
r hπ
 
Exemplos:
1. Calcule o volume de um cone cuja altura mede 10 cm e a base tem raio medindo 5 cm.
V = 
2 . . 
3
r hπ
V = 
23,14 . 5 . 1 0
3
V = 3,14 . 25 . 1 03
V = 261,67 cm³ (aproximadamente)
2. Seja um cone circular reto de raio 8 cm e de altura 6 cm, calcular a área da base, a área 
lateral, a área total e o volume do cone.
Primeiro, vamos calcular a geratriz do cone.
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g² = h² + r²
g² = 6² + 8²
g² = 36 + 64
g² = 100
g = 10 cm
Sb = π . r²
Sb = π . 8²
Sb = 64 π cm²
Sl = π . r . g
Sl = π . 8 . 10
Sl = 80 π cm²
St = π . r (r + g)
St = π . 8 (8 + 10)
St = π . 8 . 18
St = 144 π cm²
V = 
2 . . 
3
r hπ
V = 
2 . 8 . 6
3
π
V = 
 . 64 . 6
3
π
V = 128 π cm³
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
Esfera
O que é uma esfera?
Podemos descrever uma esfera como sendo:
um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua, cujos pontos 
estão equidistantes de outro ponto fixo e interior, chamado centro; 
uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma 
distância de seu centro, ou ainda: de qualquer ponto de vista de sua superfície 
a distância em relação ao centro é a mesma;
sólido obtido pela rotação de um círculo por qualquer reta que passa por seu diâmetro. 
Elementos de uma esfera
Para determinarmos o volume de uma esfera, precisamos conhecer alguns de seus elementos:
Raio é distância de um ponto qualquer da superfície esférica até o centro.
Centro é o ponto O que se encontra no ponto médio do diâmetro da superfície esférica. 
A superfície de uma esfera é a fronteira entre o sólido e o espaço, e pode ser comparado à 
casca de uma laranja se esta for considerada perfeitamente esférica.
A área de uma superfície esférica (Se) de raio r é dada por:
 4 . . ²eS rπ=
Volume de uma esfera
A expressão que utilizamos no cálculo do volume de uma esfera é:
V = 
4
3
 • π • r³, sendo r a medida do raio da esfera.
29
Exemplo 1:
Calcule o volume de uma esfera com raio igual a 5 cm.
V = 
4
3 • π • r³
V = 
4
3
 • 3,14 • 5³
V = 
4
3
 • 3,14 • 125
V = 523,33 cm³
Exemplo 2:
O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B, se o raio da esfera B mede 10 cm, 
então quanto mede o raio da esfera A?
Vesfera A = 
8
esfera BV
B
A
. .r
r
π
π• • =
3
3
4
4 3
3 8
4
3 • π • r³ = 
4 · · r³
3
8(cancelamos o π)
4
3
 • r³ = 
4 · 1 000
3
8
4
3
 • r³ = 4000
24
 (multiplicamos em “cruz”)
96 . r³ = 12000
r³ = 125
r = 5 cm
π
30
Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
Material Complementar
 
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 » http://www.mat.ufmg.br/~pgmat/monografias/Mono001.pdf
 » http://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/avila/rpm10.pdf
 
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SMOOTHEY, Marion Atividades e jogos com áreas e volumes. 
Editora: Scipione
PERKINS David,A Banheira de Arquimedes. Editora: Ediouro
 
 
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Me Salva! GE03 - Entendendo o cálculo de volume de sólidos
Disponível: https://goo.gl/qYUgA3
Me Salva! GE01 - Poliedros Regulares e Teorema de Euler
Disponível : https://goo.gl/uoFBRL
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Referências
BIGODE, A.J.L. Projeto Velear: Matemática (9º Ano). São Paulo: Scipione, 2012.
BUCCHI, P. Matemática – volume único. São Paulo: Moderna, 1994. 
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações – 1º ano. São Paulo: Ática, 2011.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. M. A Matemática do Ensino 
Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1998. (Coleção Professor de Matemática, 2)
PAIVA, M. Matemática: volume único. São Paulo: Moderna, 1999.
RIBEIRO, J. Matemática: ciência e linguagem – volume único. São Paulo: Scipione, 2007.
SOUZA, J. R.; PATARO, P. R. M. Vontade De Saber Matemática – 6º e 7º Ano. São 
Paulo: FTD, 2009. 
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Unidade: Volume dos Sólidos Geométricos
Anotações
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