Estatística - Distribuição normal

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PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA 
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br 
Aula 8 
Distribuição Normal 11/2014 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 3/41 
¨  Vamos apresentar distribuições de probabilidades para 
variáveis aleatórias contínuas. 
¨  Para ilustrar a correspondência entre área e 
probabilidade, vamos aprender as 
. 
¨  Em seguida, as , que 
ocorrem frequentemente em aplicações reais e têm 
papel importante nos métodos de inferência 
estatística. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 4/41 
Distribuição Normal 
¨  Se uma variável aleatória contínua tem uma 
distribuição com um gráfico simétrico e em forma 
de sino, e que pode ser descrito pela equação a 
seguir, dizemos que ela tem 
 
y = e
−
1
2
x−µ
σ
"
#
$
%
&
'
2
σ 2π
Depende 
apenas de µ e σ	
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 5/41 
Distribuição Normal Padrão 
¨  A tem as seguintes 
propriedades: 
 
1.  Seu gráfico tem forma de sino; 
2.  Sua média é igual a 0 (µ = 0); 
3.  Seu desvio-padrão é igual a 1 (σ = 1). 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 6/41 
Distribuições Uniformes 
¨  O foco será o estudo da Distribuição de Probabilidade 
Normal, porém iremos começar com a 
, que nos dará informações para compreender 
estas duas propriedades importantes: 
1.  A área sob o gráfico de uma distribuição de probabilidades 
é igual a 1; 
2.  Há uma correspondência entre área e probabilidade (ou 
frequência relativa), de modo que algumas propriedades 
podem ser encontradas pela identificação das áreas 
correspondentes. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 7/41 
Distribuição Uniforme 
¨  Uma variável aleatória contínua tem uma 
 se seus valores se espalham uniformemente 
sobre a faixa de valores possíveis. 
¨  O gráfico de uma Distribuição Uniforme resulta em uma 
forma retangular. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 8/41 
EXEMPLO 
¨  A companhia de Energia fornece eletricidade com níveis de 
voltagem que são uniformemente distribuídos entre 123 e 
125 volts. Isto é, qualquer quantidade de voltagem entre 123 
e 125 volts é possível, e todos os possíveis valores são 
equiprováveis. Se selecionamos aleatoriamente um dos 
níveis de voltagem e representarmos seu valor pela variável 
aleatória x, então x tem uma distribuição que tem um gráfico 
como: 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 9/41 
EXEMPLO 
¨  Um gráfico de uma distribuição de probabilidade contínua, 
como este, é chamado de . 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 10/41 
EXEMPLO 
¨  Dada a distribuição uniforme do nível de voltagem, ache a 
probabilidade de que um nível de voltagem selecionado 
aleatoriamente seja maior do que 124,5 volts. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 11/41 
Curva de Densidade 
¨  Uma curva de densidade deve satisfazer os seguintes 
requisitos: 
1.  A área sob a curva tem que ser igual a 1. 
2.  Cada ponto na curva tem que ter uma altura vertical maior 
ou igual a 0, ou seja, a curva não pode estar abaixo do 
eixo x. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 12/41 
Área × Probabilidade 
¨  Como a área total sob a curva de densidade é igual a 1, 
e x i s t e u m a c o r r e s p o n d ê n c i a e n t r e e 
. 
¨  No caso da Distribuição Uniforme, a área abaixo da curva, 
que é facilmente calculada por: Área = Base × Altura, 
corresponderá à probabilidade referente a esta área. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 13/41 
Área × Probabilidade 
¨  Como a curva de densidade de uma Distribuição Normal tem 
a forma de sino, é mais difícil acharmos a área, porém o 
princípio básico é o mesmo: 
Há uma correspondência entre 
 e 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 14/41 
Distribuição Normal Padrão 
¨  A distribuição normal padrão é uma distribuição de 
probabilidade normal com média µ = 0 e desvio-padrão 
σ = 1, e a área total sob a curva de densidade é 1. 
-3 -2 -1 0 1 2 3 
Escore z 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 15/41 
Distribuição Normal Padrão 
¨  Não é fácil a determinação de áreas para a curva de 
densidade da distribuição normal padrão, então necessitamos 
de valores já calculados previamente e que constam na 
seguinte tabela: 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 16/41 
Distribuição Normal Padrão 
¨  Ao usar a Tabela da distribuição normal padrão, temos que: 
1.  A tabela refere-se apenas à , 
que tem média 0 e desvio padrão 1; 
2.  A tabela é apresentada em duas páginas, uma para 
 e a outra para ; 
3.  Cada valor no corpo da tabela é a 
 até uma reta vertical sobre um valor 
específico do escore z; 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 17/41 
Distribuição Normal Padrão 
4.  Ao trabalhar com um gráfico, entre escores 
z e áreas. 
 
Escore z 
Distância na escala horizontal 
da distribuição normal 
padrão; refere-se à coluna à 
esquerda e à linha do topo da 
tabela. 
Área 
Região sob a curva; refere-se 
aos valores no corpo da 
tabela. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 18/41 
Distribuição Normal Padrão 
z ,00 ,01 
-3,4 0,0003 0,0003 
-3,3 0,0005 0,0005 
-3,2 0,0007 0,0007 
-3,1 0,0010 0,0009 
Área 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 19/41 
EXEMPLO 1 
¨  Uma companhia de instrumentos científicos de precisão 
fabrica termômetros que devem informar temperaturas de 
0oC no ponto de congelamento da água. Testes em uma 
grande amostra desses instrumentos revelam que, no ponto 
de congelamento da água, alguns termômetros indicam 
temperaturas abaixo de 0oC e alguns dão temperaturas acima 
de 0oC. Suponha que a leitura média seja 0oC e que o 
desvio-padrão das leituras seja 1,00oC. Suponha, também, 
que as leituras sejam normalmente distribuídas. Se um 
termômetro é selecionado aleatoriamente, ache a 
probabilidade de que, no ponto de congelamento da água, a 
leitura seja menor que 1,27oC. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 20/41 
EXEMPLO 1 
¨  Gostaríamos de saber agora, qual a probabilidade de 
selecionarmos aleatoriamente um termômetro que apresente 
leitura (no ponto de congelamento da água) superior a 
-1,23oC. 
¨  Agora, determine a probabilidade de selecionarmos 
aleatoriamente um termômetro que apresente letirua (no 
ponto de congelamento da água) entre -2,00oC e 1,50oC. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 21/41 
¨  O último resultado do exemplo 1, pode ser generalizado 
como a seguinte regra: 
¨  A área correspondente à região entre dois escores z 
específicos pode ser encontrada achando-se 
. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 22/41 
¨  Com uma distribuição de probabilidade contínua, tal como a 
distribuição normal, a probabilidade de se obter qualquer 
valor único exato é 0 (P(z=a) = 0). 
¨  De modo que: 
P (a ≤ z ≤ b) = P (a < z < b) 
 
¨  Então, a probabilidade de se obter um escore z no 
 é igual à probabilidade de se obter um escore z 
. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 23/41 
Escores z × Áreas conhecidas 
¨  Em muitos casos, temos que: 
¨  Dada uma área (ou probabilidade), achar o escore z 
correspondente. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 24/41 
Escores z × Áreas conhecidas 
¨  Procedimento para a determinação de um Escore z a partir 
de uma área conhecida. 
1.  Desenhe uma curva em forma de sino e identifique a região 
sob a curva quecorresponde à probabilidade dada. Se a 
região não é uma região acumulada à esquerda, trabalhe 
com regiões conhecidas que sejam regiões acumuladas à 
esquerda. 
2.  Usando a área acumulada à esquerda, localize a 
probabilidade mais próxima no corpo da tabela da 
distribuição normal padrão e identifique o escore z 
correspondente. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 25/41 
Escores z × Áreas conhecidas 
¨  Se um valor desejado de área na tabela, selecione 
o valor ; 
¨  Se um valor está a entre dois valores da 
tabela, selecione o ; 
¨  Para escores z , podemos usar como 
uma aproximação para a área acumulada à esquerda; 
¨  Para escores z , podemos usar como 
uma aproximação para a área acumulada à esquerda. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 26/41 
EXEMPLO 2 
¨  Use os mesmos termômetros do exemplo anterior, com 
leituras de temperatura no ponto de congelamento da água 
normalmente distribuídas, com média de 0oC e desvio-
padrão de 1oC. 
¨  Ache a temperatura correspondente a P95, o 95o percentil. 
Isto é, ache a temperatura que separa os 95% inferiores dos 
5% superiores. 
¨  Ache, agora, as temperaturas separando os 2,5% inferiores e 
os 2,5% superiores. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 27/41 
Valores Críticos 
¨  Para uma distribuição normal, um valor crítico é um escore z 
na fronteira que separa os escores z que têm ocorrência 
provável daqueles que têm ocorrência improvável. 
¨  Valores críticos comuns são z = -1,96 e z = 1,96. 
¨  Os valores abaixo de 1,96 são improváveis de acontecer, 
pois ocorrem em apenas 2,5% dos dados, e os valores acima 
de z = 1,96 também são improváveis de acontecer, pois 
também ocorrem em apenas 2,5% das leituras. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 28/41 
Valores Críticos 
¨ 
¨  Na expressão zα, faça α = 0,025 e ache o valor de z0,025. 
¨  A notação de z0,025 é usada para representar o escore z com 
uma área de 0,025 à sua direita. 
¨  Recorrendo à tabela da distribuição normal, podemos 
observar que z0,025 = 1,96. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 29/41 
Valores Críticos 
¨ 
¨  Para encontrar o valor de zα , usando a tabela de 
distribuição normal padrão, use o valor 1 – α. 
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Probabilidade e Estatística 30/41 
Aplicações da distribuição normal 
¨  É pouco comum encontrarmos situações que seguem uma 
distribuição normal padrão. 
¨  As distribuições normais típicas envolvem médias diferentes 
de 0 e desvios-padrão diferentes de 1. 
¨  Nestes casos, devemos ser capazes de encontrar 
probabilidades correspondentes a valores da variável x e, 
dado algum valor de probabilidade, devemos ser capazes de 
encontrar o valor correspondente da variável x. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 31/41 
Aplicações da distribuição normal 
¨  Para trabalhar com distribuições normais não padronizadas, 
simplesmente iremos padronizar os valores para usar os 
mesmo procedimentos aprendidos até aqui. 
¨  Se convertermos valores para escores z padronizados usando 
a fórmula a seguir, os procedimentos usados serão os 
mesmos usados para a distribuição normal padrão. 
 z = x −µ
σ
Arredonde os escores z 
para 2 casas decimais 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 32/41 
Aplicações da distribuição normal 
¨  Procedimento para achar áreas com uma distribuição normal 
não padronizada: 
1.  Esboce a curva normal, marque a média e os valores 
específicos de x e, então, sombreie a região que representa a 
probabilidade desejada; 
2.  Para cada valor relevante de x que representa um limite da 
região sombreada, converta o valor em seu escore z 
equivalente; 
3.  Consulte a tabela para achar a área da região sombreada. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 33/41 
EXEMPLO 3 
¨  Uma porta típica de uma casa tem uma altura de 2 metros. 
Dado que as alturas de homens são normalmente 
distribuídas, com média de 1,725 m e desvio-padrão de 7 
cm,. 
¨  Ache a porcentagem de homens que passarão por uma porta-
padrão sem se curvar e sem bater a cabeça. 
¨  Essa porcentagem é alta o bastante para que se continue a 
usar 2 metros como padrão de altura? 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 34/41 
EXEMPLO 3 
¨  O valor do escore z é 3,93, dando uma área de 0,9999. 
¨  Conclui-se que a proporção de homens que podem passar 
pelas portas com altura-padrão de 2 m é 0,9999 ou 99,99%. 
¨  Muitos poucos homens não poderão passar sem abaixarem 
ou baterem a cabeça. Essa porcentagem é alta o suficiente 
para justificar o suo de 2 m como altura-padrão para portas. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 35/41 
EXEMPLO 4 
¨  Os pesos ao nascer nos Estados Unidos são distribuídos 
normalmente, com média de 3420 g e desvio-padrão de 
495 g. O Hospital Geral de Newport exige tratamento 
especial para bebês que nasçam com menos de 2450 g (não 
usualmente leves) ou mais de 4390 g (não usualmente 
pesados). Qual é a porcentagem de bebês que não requerem 
tratamento especial por terem pesos ao nascer entre 2450 g e 
4390g? Sob essas condições, muitos bebês precisam de 
cuidados especiais? 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 36/41 
EXEMPLO 4 
¨  Expressando o resultado em porcentagem, podemos concluir 
que 95% dos bebês não exigem cuidados especiais por terem 
pesos entre 2450 g e 4390 g. Segue que 5% dos bebês 
requerem tratamento especial por serem não usualmente 
leves ou pesados. 
¨  A taxa de 5%, provavelmente, não é muito alta para hospitais 
típicos. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 37/41 
Áreas conhecidas 
¨  Não confunda escores z e áreas; 
¨  Escolha o lado correto (direito/esquerdo) do gráfico; 
¨  Um escore z tem que ser negativo sempre que se localizar na 
metade esquerda da distribuição normal; 
¨  Áreas (ou probabilidades) são valores positivos ou nulos, 
mas NUNCA negativos. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 38/41 
Áreas conhecidas 
¨  Procedimento para achar valores a partir de áreas conhecidas 
1.  Esboce o gráfico da distribuição normal, introduza a 
probabilidade ou porcentagem dada na região apropriada do 
gráfico e identifique o(s) valor(es) x de interesse; 
2.  Use a Tabela para achar o escore z correspondente à área 
mais próxima e, em seguida, identifique o escore z 
correspondente; 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 39/41 
Áreas conhecidas 
3.  Usando a fórmula de conversão de valores para escore z, 
encontre o valor de x; 
4.  Consulte o esboço da curva para verificar se a solução faz 
sentido no contexto do gráfico e no contexto do problema. 
z = x −µ
σ
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 40/41 
EXEMPLO 5 
¨  No planejamento de um ambiente, um critério comum é que 
se ajuste a 95% da população. Qual a altura de uma porta se 
95% dos homens devem passar por ela sem se abaixar e sem 
bater a cabeça? 
¨  Isto é, ache o 95º percentil das alturas dos homens, que são 
normalmente distribuídas, com média de 1,75m e desvio-
padrão de 0,07 m. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 41/41 
EXEMPLO 5 
¨  O resultado é: x = 1,87 m. 
¨  Isto significa que uma altura de porta de 1,87 permitiria que 
95% dos homens passassem sem se curvar ou bater a cabeça. 
Assim, 5% dos homens não passariam por uma porta com 
altura de 1,87 m. 
¨  Como muitos homens passam por portas com muita 
frequência, esta taxa de 5%, provavelmente, não seria 
prática. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 42/41 
EXEMPLO 6 
¨  O Hospital Geralde Newport deseja redefinir os pesos ao 
nascer mínimo e máximo que exigem tratamento especial 
por serem não usualmente baixos ou altos. Depois de 
considerar fatores relevantes, um comitê recomenda um 
tratamento especial para os 3% inferiores e os 1% superiores 
dos pesos ao nascer. Ajude o comitê a identificar os pesos ao 
nascer que separam os 3% inferiores e os 1% superiores. 
¨  Os pesos ao nascer, nos Estados Unidos, são normalmente 
distribuídos, com média de 3420 g e desvio-padrão de 495g. 
Aulas 5 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 43/41 
EXEMPLO 6 
¨  O Resultado nos indica que: 
¨  O peso ao nascer de 2489 g (arredondado) separa os 3% 
inferiores dos pesos ao nascer, e 4573 (arredondado) separa 
o 1% superior dos pesos ao nascer. 
¨  Agora, o hospital tem critérios bem definidos para 
determinar se um bebê recém-nascido deve receber 
tratamento especial relativo a um peso ao nascer não 
usualmente baixo ou alto.