Resolução Lista 9 Parte I

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1) Verifique se é verdadeiro ou falso 
a)|𝑥 − 2| < 10−1 ⟹ |𝑓(𝑥) − 5| < 10−1, onde 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
Resolução 
Lembrando da definição de limite, a segunda parte nos diz “Para todo 𝜖 > 0 existe pelo menos um 𝛿 > 0”. Em 
outras palavras, como o 𝜖 é genérico (para todo), temos que encontrar 𝛿 em função de 𝜖. No caso do exercício, 
partimos do segundo membro: 
|𝑓(𝑥) − 5| < 10−1 
Substituindo 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, temos: 
|2𝑥 + 1 − 5| < 10−1 
|2𝑥 − 4| < 10−1 
Dividindo os dois lados por 2: 
|𝑥 − 2| <
1
2
. 10−1 
|𝑥 − 2| <
1
20
 
Esse resultado pode ser interpretado da seguinte maneira: Para 𝜖 = 10−1, 𝛿 pode assumir qualquer valor no 
intervalo aberto (0,
1
20
), de modo que o máximo é 
1
20
. Para verificar se a proposição do exercício é falsa, basta 
verificar se o 𝛿 dado está dentro do intervalo. No caso do exercício, 𝛿 = 10−1 =
1
10
 está fora do intervalo, de modo 
que a proposição do exercício é falsa. 
b)|𝑥 − 2| < 10−2 ⟹ |𝑓(𝑥) − 5| < 10−1, onde 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
Novamente, partindo do segundo termo: 
|𝑓(𝑥) − 5| < 10−1 
|2𝑥 + 1 − 5| < 10−1 
|2𝑥 − 4| < 10−1 
|𝑥 − 2| <
1
2
. 10−1 
|𝑥 − 2| <
1
20
 
Observamos que o intervalo de valores para 𝛿 = (0,
1
20
). Como 
1
100
 está dentro desse intervalo, a proposição é 
verdadeira! 
c e d) |𝑥 − 1| < 10−1 ⟹ |𝑓(𝑥) − 3| < 10−1, onde 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 1 
Vou resolver direto o c e o d, pois são “iguais”, só muda o 𝛿 
|𝑓(𝑥) − 3| < 10−1 
|4𝑥 − 1 − 3| < 10−1 
|4𝑥 − 4| < 10−1 
|𝑥 − 1| <
1
4
. 10−1 
|𝑥 − 1| <
1
40
 
Como, no item c, 𝛿 =
1
10
 é maior que 
1
40
, então a proposição é falsa. Para o item d, 𝛿 =
1
100
 é menor que 
1
40
, então a 
proposição é verdadeira. 
2- 
Da mesma forma que o anterior, a diferença é que antes havia valores para 𝛿, agora ele é uma variável: 
Observe que as funções usadas são idênticas ao do exercício anterior, de modo que já discutimos os dois resultados, 
é só olhar o exercício anterior. 
a) 𝛿 = (0,
1
20
) 
b) 𝛿 = (0,
1
40
) 
3 – Também é igual ao anterior, a diferença é que 𝜖 agora também é variável, mas o exercício não muda: 
a)|𝑥 − 2| < 𝛿 ⟹ |𝑓(𝑥) − 5| < 𝜖, onde 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 1 
Novamente, partindo do segundo termo: 
|𝑓(𝑥) − 5| < 𝜖 
|2𝑥 + 1 − 5| < 𝜖 
|2𝑥 − 4| < 𝜖 
|𝑥 − 2| <
1
2
. 𝜖 
|𝑥 − 2| <
𝜖
2
 
Observamos que, para a proposição ser verdadeira, o intervalo de valores para 𝛿 = (0,
𝜖
2
). 
b) 
|𝑓(𝑥) − 3| < 𝜖 
|4𝑥 − 1 − 3| < 𝜖 
|4𝑥 − 4| < 𝜖 
|𝑥 − 1| <
1
4
. 𝜖 
|𝑥 − 1| <
𝜖
4
 
Portanto, para a proposição ser verdadeira, o intervalo de valores para 𝛿 = (0,
𝜖
4
) 
 
6) 
Pela definição de limites, 𝑓(𝑥) será contínuo no ponto dado se lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
a) 𝑓(1) = 14 = 1, portanto 𝑓(𝑥) é continuo no ponto. 
b) 𝑓(0) = |0| = 0, portanto 𝑓(𝑥) é contínuo no ponto. 
c) 𝑓(4) = √4 = 2, portanto 𝑓(𝑥) é contínuo no ponto. 
Etc.