Topologia Geral

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Topologia Geral
Ofelia Alas
Lu´cia Junqueira
Marcelo Dias Passos
Artur Tomita
Suma´rio
Cap´ıtulo 1. Alguns conceitos ba´sicos 5
Cap´ıtulo 2. Espac¸os topolo´gicos 9
1. Espac¸os topolo´gicos. Conjuntos abertos e fechados. 9
2. Subespac¸os 12
3. Vizinhanc¸as. Bases 13
4. Fecho, interior e fronteira. Conjuntos densos 17
5. Axiomas de enumerabilidade. 20
6. Func¸o˜es cont´ınuas. 22
7. Axiomas de separac¸a˜o. 24
8. Homeomorfismos. Func¸o˜es abertas e fechadas. Topologia mais fina. Topologias
geradas por func¸o˜es 32
Cap´ıtulo 3. Operac¸o˜es sobre espac¸os topolo´gicos. 35
1. Subespac¸os. 35
2. Produtos Cartesianos 39
3. Espac¸os quocientes e func¸o˜es quocientes 47
Cap´ıtulo 4. Espac¸os conexos 51
Cap´ıtulo 5. Espac¸os compactos 55
1. Introduc¸a˜o 55
2. Espac¸os compactos 55
3. O Teorema de Tychonoff 62
4. Espac¸os localmente compactos 65
5. Espac¸os de Lindelo¨f 68
6. Espac¸os enumeravelmente compactos 70
7. Famı´lias localmente finitas e paracompacidade 72
Cap´ıtulo 6. Espac¸os me´tricos 79
1. Espac¸os me´tricos 79
2. Espac¸os me´tricos compactos e completos 81
3
CAP´ıTULO 1
Alguns conceitos ba´sicos
Neste cap´ıtulo introduziremos alguns conceitos ba´sicos e notac¸o˜es da teoria dos conjuntos
que sera˜o usados ao longo desta apostila.
Definic¸a˜o 1.1. Sejam A e B dois conjuntos.
(i) Diremos que A e´ um subconjunto de B, denotado por A ⊂ B, se todo elemento de A
e´ tambe´m um elemento de B.
(ii) Diremos que A e B sa˜o iguais, A = B, se A ⊂ B e B ⊂ A.
(iii) O conjunto vazio e´ o u´nico conjunto que na˜o possui nenhum elemento e sera´ denotado
por ∅.
E 1.1. Diga precisamente o que significa dois conjuntos serem diferentes.
E 1.2. Mostre que, para todo conjunto A, ∅ ⊂ A.
Usaremos o s´ımbolo ∈ para indicar que um elemento pertence a um conjunto. Note que
este elemento pode ser um outro conjunto. Por exemplo, se X e´ um conjunto, {X} e´ o
conjunto cujo u´nico elemento e´ X. E´ importante na˜o confundir ∈ com ⊂. A ⊂ B diz que
todos elementos de A tambe´m sa˜o elementos de B, ou seja, se x ∈ A, enta˜o x ∈ B.
E 1.3. Diga se cada afirmac¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa e justifique:
(a) ∅ ∈ {∅};
(b) ∅ ∈ ∅;
(c) ∅ ⊂ ∅;
(d) {a} ∈ {{a}};
(e) a ∈ {b} se e so´ se a = b.
Definic¸a˜o 1.2. O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto X e´ chamado
conjunto das partes de X. Este conjunto sera´ denotado por P(X).
E 1.4. Como e´ o conjunto P({1, 2, 3})?
E 1.5. Quantos elementos voceˆ acha que tem o conjunto P({1, 2, 3, 4})? E o conjunto
P({1, 2, . . . , n}), onde n e´ um nu´mero inteiro?
E 1.6. Diga se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira ou falsa e justifique:
(a) x ∈ X se e so´ se {x} ∈ P(X).
(b) {x} ∈ P(X) se e so´ se {x} ⊂ X.
(c) {x} ⊂ P(X) se e so´ se x ⊂ X.
E 1.7. Mostre que ∅ ∈ P(X) e que X ∈ P(X) , para todo conjunto X.
5
6 1. ALGUNS CONCEITOS BA´SICOS
E´ comum vermos famı´lias de conjuntos que estejam indexadas pelos inteiros positivos,
algo do tipo {A1, A2, A3, . . .}. Mas podemos tambe´m usar outros conjuntos (que sera˜o cha-
mados conjuntos de ı´ndices) para indexar famı´lias de conjuntos. Por exemplo, o conjunto
{]p, q[⊂ R : p, q ∈ Q} e´ o conjunto de todos intervalos abertos de R com extremos racionais.
E 1.8. Escreva explicitamente os conjuntos:
(a) {2n+ 1 : n ∈ N, 1 ≤ n < 9};
(b) {2r : r ∈ R};
(c) {rq : r ∈ R e q ∈ Q};
(d) { n
m
: n,m ∈ N, n 6= 0};
(e) {i : i ∈ {j}}.
Recordamos que dados dois conjuntos A e B, a unia˜o de A e B, denotada por A∪B, e´ o
conjunto {x : x ∈ A ou x ∈ B}. A intersecc¸a˜o de A e B, denotada por A ∩ B, e´ o conjunto
{x : x ∈ A e x ∈ B}.
De modo geral podemos definir:
Definic¸a˜o 1.3. Seja C = {Ai : i ∈ I} uma famı´lia de conjuntos.
(i) A unia˜o de C e´ o conjunto
{x : x ∈ Ai para algum i ∈ I}.
Este conjunto sera´ denotado por
⋃
C, ou
⋃
{Ai : i ∈ I}, ou ainda
⋃
i∈I Ai.
(ii) Se C 6= ∅, a intersecc¸a˜o de C e´ o conjunto
{x : x ∈ Ai para todo i ∈ I}.
Este conjunto sera´ denotado por
⋂
C, ou
⋂
{Ai : i ∈ I}, ou ainda
⋂
i∈I Ai.
Quando tomamos uma unia˜o (ou intersecc¸a˜o) de uma colec¸a˜o finita de conjuntos, e´
comum dizermos simplesmente unia˜o (ou intersecc¸a˜o) finita.
E 1.9. Mostre que para quaisquer conjuntos X e Y :
(a)
⋃
{X} = X;
(b)
⋃
{X,Y } = X ∪ Y ;
(c)
⋂
{X,Y } = X ∩ Y
(d)
⋃
P(X) = X;
(e)
⋂
P(X) = ∅;
(f) X ∩ {Y } 6= ∅ se e so´ se Y ∈ X.
E 1.10. Em cada um dos ı´tens abaixo, diga quem e´
⋃
C e
⋂
C:
(a) C = {[−n, n] : n ∈ N, n 6= 0}.
(b) C = {(− 1
n
, 1
n
) : n ∈ N, n 6= 0}.
(c) C = {(−1 + 1
n
, 1− 1
n
) : n ∈ N, n 6= 0}.
(d) C = {(a, b) : a, b ∈ Q, a < b}.
(e) C = {[r,+∞) : r ∈ R}.
E 1.11. Seja C = {Ai : i ∈ I} uma famı´lia de conjuntos. Mostre que
⋂
C ⊂ Ai ⊂
⋃
C,
para todo i ∈ I.
1. ALGUNS CONCEITOS BA´SICOS 7
Definic¸a˜o 1.4. Sejam A e B dois conjuntos. O complemento de A em relac¸a˜o a B ,
denotado por B \ A, e´ o conjunto
{x : x ∈ B e x /∈ A}.
E 1.12. Prove as seguintes afirmac¸o˜es abaixo:
(a) Se A ⊂ X, enta˜o X \ (X \ A) = A.
(b) Se A,B ⊂ X, enta˜o A ⊂ B se e so´ se X \ A ⊃ X \B.
(c) Se A,B ⊂ X, enta˜o A = B se e so´ se X \ A = X \B.
(d) Se A,B ⊂ X, enta˜o A \B = A ∩ (X \B).
Teorema 1.5. (Leis de De Morgan) Seja C uma famı´lia de subconjuntos de X. Enta˜o
(1) X \
⋃
C =
⋂
{X \ A : A ∈ C} e
(2) X \
⋂
C =
⋃
{X \ A : A ∈ C}.
Demonstrac¸a˜o: Exerc´ıcio. �
E 1.13. Sejam A e B dois conjuntos. Mostre que:
(a) A ∩B = A se e so´ se A ⊂ B.
(b) A ∪B = A se e so´ se B ⊂ A.
(c) A ∩B = A e A ∪B = A se e so´ se A = B.
E 1.14. Se A ⊂ B e C ⊂ D sa˜o conjuntos, mostre que:
(a) A ∩ C ⊂ B ∩D e
(b) A ∪ C ⊂ B ∪D.
E 1.15. (Propriedade distributiva) Seja C uma colec¸a˜o de subconjuntos de um conjunto
X e B ⊂ X. Mostre que:
(a) B ∩ (
⋃
C) =
⋃
{B ∩ A : A ∈ C} e
(b) B ∪ (
⋂
C) =
⋂
{B ∪ A : A ∈ C}.
E 1.16. Seja C uma colec¸a˜o na˜o vazia de subconjuntos de X e B ⊂ X. Mostre que:
(a) B ∪ (
⋃
C) =
⋃
{B ∪ A : A ∈ C} e
(b) B ∩ (
⋂
C) =
⋂
{B ∩ A : A ∈ C}
E 1.17. Dados A = {x ∈ P(N) : 2 ∈ x} ∪ {x ∈ P(N) : 3 ∈ x} e B = {x ∈ P(N) :
pelo menos um divisor de 6 pertence a x}. (a) Mostre que se {xi : i ∈ I} e´ uma famı´lia
qualquer de elementos de A, enta˜o
⋃
{xi : i ∈ I} e´ um elemento de A. O mesmo vale para
intersecc¸a˜o? (b) Determine A ∪B e A ∩B.
E 1.18. Escreva explicitamente o conjunto P(X), onde X e´:
(a) X = {∅, {∅}}; (b) X = {3, {1, 4}};
(c) X = {a, {a}, {a, {a}}}; (d) X = P({a});
(e) X = P({a, b}).
E 1.19. Mostre ou deˆ contraexemplo:
(a) A ∩ (B \ C) = (A ∩B) \ C;
(b) A ⊂ B ∩ C se e so´ se A ⊂ B e A ⊂ C;
(c) A ⊂ B ∪ C implica A ⊂ B ou A ⊂ C;
(d) B ∩ C ⊂ C implica que B ⊂ A ou C ⊂ A.
(e) A ∩B = A e A ∪B = A se e so´ se A = B.
8 1. ALGUNS CONCEITOS BA´SICOS
E 1.20. Se A e B sa˜o dois conjuntos, a diferenc¸a sime´trica entre A e B e´ o conjunto
A△B = (A \B) ∪ (B \ A). Mostre:
(a) A△B = B△A; (b) (A△B)△C = A△(B△C);
(c) A ∩ (B△C) = (A ∩B)△(A ∩ C);
(d) A ∪B = (A△B)△(A ∩B).
CAP´ıTULO 2
Espac¸os topolo´gicos
O objetivo deste cap´ıtulo e´ introduzir va´rias noc¸o˜es ba´sicas de topologia.
1. Espac¸os topolo´gicos. Conjuntos abertos e fechados.
Definic¸a˜o 2.1. Um espac¸o topolo´gico e´ um par (X, T ), onde X e´ um conjunto e T e´
uma colec¸a˜o de subconjuntos de X satisfazendo as seguintes propriedades:
(1) O conjunto vazio e o conjunto X sa˜o elementos de T .
(2) A intersecc¸a˜o finita (na˜o vazia) de elementos T e´ um elemento de T .
(3) A unia˜o qualquer de elementos de T e´ um elemento de T .
Neste caso dizemos que T e´ uma topologia sobre X (ou que X esta´ munido da topologia
T ) e que X e´ o suporte do espac¸o topolo´gico (X, T ). Os elementos de X sa˜o chamados de
pontos do espac¸o. Por abuso de notac¸a˜o, quando estiver claro qual e´ a topologia, denotaremos
o espac¸o topolo´gico simplesmente por X.
Definic¸a˜o 2.2. Os elementos de Tsa˜o chamados de abertos de X.
Como consequeˆncia da definic¸a˜o de topologia temos que os abertos satisfazem as seguintes
propriedades:
(i) o conjunto vazio e o espac¸o todo sa˜o conjuntos abertos;
(ii) a intersecc¸a˜o finita de abertos e´ aberta;
(iii) a unia˜o qualquer de abertos e´ um aberto.
Definic¸a˜o 2.3. Seja X um espac¸o topolo´gico. Dizemos que um subconjunto F de X e´
fechado se e somente se X \ F e´ um conjunto aberto.
Usando as leis de De Morgan, podemos ver que as seguintes propriedades esta˜o satisfeitas:
Proposic¸a˜o 2.4. Para um espac¸o topolo´gico X temos:
(1) O espac¸o todo e o conjunto vazio sa˜o subconjuntos fechados.
(2) A unia˜o finita de conjuntos fechados e´ um conjunto fechado.
(3) A intersecc¸a˜o de qualquer colec¸a˜o de conjuntos fechados e´ um conjunto fechado.
Demonstrac¸a˜o: Vamos verificar, por exemplo, que (3) esta´ satisfeita. Seja F uma colec¸a˜o de
subconjuntos fechados de X. Por definic¸a˜o, para mostrar que
⋂
{F : F ∈ F} =
⋂
F e´ um
conjunto fechado precisamos mostrar que X \
⋂
F e´ um conjunto aberto. Usando as leis de
De Morgan, temos
X \
⋂
{F : F ∈ F} =
⋃
{X \ F : F ∈ F}.
Enta˜o, como para cada F ∈ F , X \ F e´ um conjunto aberto, temos que X \
⋂
{F ∈ F} e´
uma unia˜o de abertos, e portanto e´ um aberto pela propriedade (3). �
Antes de prosseguirmos com a teoria, daremos va´rios exemplos de espac¸os topolo´gicos:
9
10 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
Exemplo 2.5. Topologia discreta. Seja X um conjunto e seja T a colec¸a˜o de todos
os subconjuntos de X, i.e. T = P(X). E´ facil verificar que T satisfaz as condic¸o˜es (1)-(3)
da definic¸a˜o 2.1.
Dizemos que X esta´ munido da topologia discreta ou que (X, T ) e´ o espac¸o topolo´gico
discreto.
Exemplo 2.6. Topologia cao´tica. Seja X um conjunto e seja T o conjunto cujos dois
u´nicos elementos sa˜o ∅ e X, i.e. T = {∅, X}. Claramente T e´ uma topologia sobre X.
Note que se X e´ um conjunto contendo mais de um ponto, enta˜o a topologia discreta e
a topologia cao´tica sa˜o distintas. Note, tambe´m, que qualquer topologia sobre X conte´m a
topologia cao´tica e esta´ contida na topologia discreta.
E 2.1. Seja X = {0, 1}. Quais sa˜o as poss´ıveis topologias em X?
Passaremos agora a alguns exemplos menos triviais de espac¸os topolo´gicos:
Exemplo 2.7. Topologia cofinita. Seja X um conjunto infinito e defina T = {∅} ∪
{V ⊆ X : X \ V e´ finito }.
E 2.2. Mostre que T do exemplo anterior e´ uma topologia sobre o conjunto X.
E 2.3. Se X um conjunto infinito e T = {∅} ∪ {V ⊆ X : V e´ finito }, enta˜o T e´ uma
topologia sobre X? Justifique.
Para o pro´ximo exemplo precisaremos da seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 2.8. Um conjunto X e´ enumera´vel se X e´ finito ou se existe um bijec¸a˜o entre
X e o conjunto dos nu´meros naturais N.
Exemplo 2.9. Topologia coenumera´vel. SejaX um conjunto na˜o-enumera´vel e defina
T = {∅} ∪ {V ⊆ X : X \ V e´ enumera´vel }.
E 2.4. Mostre que a topologia T do exemplo anterior e´ uma topologia sobre o conjunto
X.
E 2.5. Seja X um conjunto na˜o-enumera´vel e seja T1 a topologia discreta sobre X, T2
a topologia cao´tica sobre X, T3 a topologia cofinita sobre X e T4 a topologia coenumera´vel
sobre X. Compare as topologias duas a duas com relac¸a˜o a inclusa˜o.
Exemplo 2.10. A reta real com a topologia usual. Vamos denotar este espac¸o
topolo´gico por R. Um subconjunto A sera´ aberto nesta topologia se e somente se para cada
ponto x de A existe um ǫ > 0 tal que ]x− ǫ, x+ ǫ[ esta´ contido em A.
E 2.6. Verifique que a topologia usual e´ de fato uma topologia sobre a reta real.
O pro´ximo espac¸o topolo´gico aparecera´ diversas vezes como contra-exemplo:
Exemplo 2.11. A reta de Sorgenfrey A reta de Sorgenfrey tem como suporte o
conjunto dos nu´meros reais, mas a topologia e´ diferente da topologia usual da reta. Um
subconjunto A nesta topologia sera´ aberto se e somente se para cada ponto x em A existe
um ǫ > 0 tal que [x, x+ ǫ[ esta´ contido em A.
Iremos denotar a reta de Sorgenfrey por RS.
1. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS. CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS. 11
E 2.7. Verifique que de fato foi definida uma topologia no exemplo acima. Verifique que
se A e´ um conjunto aberto na topologia usual da reta, enta˜o A e´ um conjunto aberto na
topologia de Sorgenfrey.
Segue abaixo mais exerc´ıcios sobre conjuntos abertos e conjuntos fechados.
E 2.8. Mostre que se X e´ um espac¸o topolo´gico com a topologia discreta, enta˜o todo
subconjunto de X e´ aberto e fechado.
No exerc´ıcio anterior vimos um exemplo de espac¸o topolo´gico no qual todos os subcon-
juntos sa˜o abertos e fechados. De modo geral, em um espac¸o topolo´gico qualquer podemos
ter subconjuntos abertos e fechados (por exemplo o ∅), conjuntos que sa˜o so´ abertos ou so´
fechados e podem existir conjuntos que na˜o sa˜o nem abertos e nem fechados.
Um conjunto que e´ aberto e fechado ao mesmo tempo sera´ chamado de conjunto aberto-
fechado.
E 2.9. Mostre que os intervalos da forma [a, b[ e da forma ]a, b] (a, b reais, a < b) na˜o
sa˜o nem abertos e nem fechados em R.
E 2.10. Considere os espac¸os topolo´gicos (R, I), (R,D), (R, T ), (R,F) e RS, onde I e´
a topologia cao´tica, D e´ a topologia discreta, T e´ a topologia usual em R e F e´ a topologia
cofinita.
(a) Se x ∈ R, {x} e´ aberto em algum desses espac¸os? Quais?
(b) Se x ∈ R, {x} e´ fechado em algum desses espac¸os? Quais?
(c) Em quais desses espac¸os o conjunto ]a, b[ e´ aberto? Em quais e´ fechado? E os
conjuntos [a, b[, ]a, b] e [a, b]?
(d) O conjunto {x ∈ R : x 6= 1
n
} e´ aberto em algum desses espac¸os? E´ fechado?
(e) O conjunto {x ∈ R : x 6= 1
n
e x 6= 0} e´ aberto em algum desses espac¸os? E´ fechado?
E 2.11. Seja X um conjunto e T1 e T2 duas topologias distintas sobre X.
(a) T1 ∩ T2 e´ uma topologia sobre X? Justifique.
(b) T1 ∪ T2 e´ uma topologia sobre X? Justifique.
1.1. Espac¸os me´tricos. Uma classe especial de espac¸os topolo´gicos sa˜o os espac¸os
me´tricos. Vamos primeiro recordar a definic¸a˜o destes espac¸os:
Definic¸a˜o 2.12. Um espac¸o me´trico e´ um par (M,d), onde M e´ um conjunto e d e´
uma func¸a˜o do conjunto M ×M em R+ (o conjunto dos reais na˜o negativos) satisfazendo as
seguintes propriedades:
(M1) para todos x, y ∈M , d(x, y) = 0 se e somente se x = y.
(M2) para todos x, y ∈M temos que d(x, y) = d(y, x).
(M3) para todos x, y e z em M , d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Lembramos que a propriedade (M3) e´ chamada de desigualdade triangular. A func¸a˜o d
e´ chamada de me´trica ou distaˆncia sobre M . Por abuso de notac¸a˜o, quando estiver claro
qual a me´trica, denotaremos o espac¸o me´trico simplesmente por M .
12 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
Definic¸a˜o 2.13. Seja (M,d) um espac¸o me´trico, x um elemento deM e ǫ um nu´mero real
positivo. Chamamos de bola aberta de centro x e raio ǫ ao conjunto { y ∈M : d(x, y) < ǫ},
o qual denotaremos por Bd(x, ǫ) (ou simplesmente por B(x, ǫ) quando estiver claro qual e´ a
me´trica utilizada). Chamamos de bola fechada de centro x e raio ǫ ao conjunto { y ∈ M :
d(x, y) ≤ ǫ}, ao qual denotaremos por Bd[x, ǫ] (ou simplesmente por B[x, ǫ] quando na˜o
houver ambiguidade).
Lembramos que a reta real e´ um espac¸o me´trico com a seguinte distaˆncia: para todos
x, y ∈ R, d(x, y) = |x− y|, onde | | e´ a func¸a˜o mo´dulo. Nesta me´trica, B(x, ǫ) =]x− ǫ, x+ ǫ[.
Assim como no caso da topologia usual na reta, para cada espac¸o me´trico podemos definir
uma topologia utilizando as bolas abertas:
Definic¸a˜o 2.14. Seja (M,d) um espac¸o me´trico e Td a colec¸a˜o de subconjuntos de M
definida por:
Td = {U ⊆M : para cada x ∈ U existe ǫ > 0 tal que B(x, ǫ) ⊆ U}.
Dizemos que Td e´ a topologia associada a me´trica d.
E 2.12. Verifique que de fato Td e´ uma topologia sobre M . Mostre que toda bola aberta
e´ um conjunto aberto do espac¸o (M, Td).
E 2.13. Seja X o espac¸o topolo´gico associado a uma me´trica d.Verifique que asbolas
fechadas sa˜o conjuntos fechados.
E 2.14. Seja (M,d) um espac¸o me´trico. Defina as func¸o˜es d′ e d∗ do seguinte modo: para
cada x, y ∈M ,
d′(x, y) = min{d(x, y), 1} e
d∗(x, y) = 2d(x, y).
Verifique que d′ e d∗ sa˜o me´tricas sobre M e que Td = Td′ = Td∗.
Observac¸a˜o 2.15. Note que nem toda topologia esta´ associada a uma me´trica. Um
exemplo simples e´ a topologia cao´tica num conjunto com mais de um ponto. Alia´s, como
veremos futuramente, o caso em que a topologia esta´ associada a uma me´trica e´ um caso
“especial”.
E 2.15. Seja X um conjunto e defina uma me´trica d em X por d(x, y) = 0 se x = y e
d(x, y) = 1 se x 6= y. Mostre que a topologia associada a me´trica d e´ a topologia discreta.
E 2.16. Considere as seguintes me´tricas em R2:
d((x1, y1), (x2, y2)) =
√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 (me´trica euclidiana),
d′((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 − x2|+ |y1 − y2| e
d′′((x1, y1), (x2, y2)) = max{|x1−x2|, |y1−y2|}, para todos (x1, y1), (x2, y2) ∈ R
2. Verifique
se as topologias associadas a essas me´tricas sa˜o iguais ou na˜o.
2. Subespac¸os
Lema 2.16. Se (X, T ) e´ um espac¸o topolo´gico e Y um subconjunto de X, enta˜o a famı´lia
O = {Y ∩ U : U ∈ T } forma uma topologia sobre Y .
3. VIZINHANC¸AS. BASES 13
Demonstrac¸a˜o: Exerc´ıcio. �
Podemos enta˜o dar a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 2.17. Seja (X, T ) um espac¸o topolo´gico e Y um subconjunto de X. Se
O = {Y ∩U : U ∈ T }, enta˜o dizemos que (Y,O) e´ um subespac¸o de X, e que O e´ a topologia
induzida por X.
Definic¸a˜o 2.18. Dado um subespac¸o Y de um espac¸o topolo´gico X, diremos que Y e´
um subespac¸o fechado se Y e´ um subconjunto fechado de X. De forma ana´loga, definimos
subespac¸o aberto.
E 2.17. Seja X um espac¸o topolo´gico infinito com a topologia cofinita. Se Y e´ um
subconjunto infinito de X, como e´ a topologia em Y induzida por X?
Proposic¸a˜o 2.19. Seja X um espac¸o topolo´gico e M um subespac¸o de X. Um conjunto
A ⊆M e´ fechado em M se e somente se existe um fechado F de X tal que F ∩M = A.
Demonstrac¸a˜o: (⇒) Se A ⊆ M e´ fechado em M , enta˜o M \ A e´ aberto em M , portanto
existe um aberto U em X tal que U ∩M = M \A. Enta˜o F = X \ U e´ um fechado tal que
F ∩M = (X \ U) ∩M = M \ (M ∩ U) = M \ (M \ A) = A.
(⇐) Seja F um fechado de X. Enta˜o X \ F e´ um aberto de X. Logo, M ∩ (X \ F ) =
M\(M∩F ) e´ um aberto deM . Portanto,M\(M\(M∩F )) = M∩F e´ um fechado deM . �
Fica a cargo do leitor verificar a seguinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 2.20. Seja X um espac¸o topolo´gico e M um subespac¸o de X. Enta˜o, dado
um subconjunto L de M , as topologias induzidas em L por X e M coincidem.
Proposic¸a˜o 2.21. Seja (M,d) um espac¸o me´trico e Y um subconjunto de M . Se res-
tringirmos a me´trica d ao conjunto Y × Y , temos uma me´trica sobre Y . Podemos enta˜o
definir em Y a topologia induzida por essa me´trica. Essa topologia coincide com a topologia
de subespac¸o induzida por M .
Demonstrac¸a˜o: Exerc´ıcio. �
Exemplo 2.22. O intervalo [0, 1] com a topologia induzida pela me´trica usual e´ um
subespac¸o fechado da reta real R com a topologia usual. Note que o intervalo ]a, 1] (onde
0 < a < 1) e´ aberto em [0, 1] (verifique!), mas na˜o e´ aberto em R.
E 2.18. Mostre que Z, o conjunto dos nu´meros inteiros, e´ um subespac¸o discreto de R,
isto e´, a topologia induzida por R e´ a topologia discreta. Mostre que o subespac¸o A = { 1
n
:
n ∈ N \ {0}} tambe´m e´ discreto. A ∪ {0} tambe´m e´ discreto?
3. Vizinhanc¸as. Bases
Definic¸a˜o 2.23. Seja X um espac¸o topolo´gico e x um elemento de X. Dizemos que
um subconjunto A de X e´ uma vizinhanc¸a de x se existe um aberto U tal que x ∈ U ⊆ A.
Quando a vizinhanc¸a e´ um conjunto aberto, dizemos que e´ uma vizinhanc¸a aberta.
Observac¸a˜o 2.24. Segue imediatamente da definic¸a˜o, que todo aberto e´ uma vizinhanc¸a
dos seus pontos, ou seja, se U e´ aberto e x ∈ U , enta˜o U e´ uma vizinhanc¸a de x.
14 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
Definic¸a˜o 2.25. Seja X um espac¸o topolo´gico e seja x um ponto de X. Dizemos que
uma colec¸a˜o Vx de subconjuntos de X e´ um sistema fundamental de vizinhanc¸as de x se
(i) cada V em Vx e´ uma vizinhanc¸a de x;
(ii) cada vizinhanc¸a de x conte´m algum elemento de Vx.
Definic¸a˜o 2.26. Se Vx e´ um sistema fundamental de vizinhanc¸as de um ponto x em X
e se os elementos de Vx sa˜o conjuntos abertos, enta˜o dizemos que Vx e´ uma base (local) para
o ponto x ou que e´ um sistema fundamental de vizinhanc¸as abertas de x.
O pro´ximo resultado pode ser muito u´til para mostrarmos que um conjunto e´ aberto:
Proposic¸a˜o 2.27. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) U e´ um conjunto aberto;
(ii) para cada x ∈ U existe uma vizinhanc¸a Vx de x contida em U ;
(iii) para cada x ∈ U existe um aberto Vx contido em U e tal que x ∈ Vx.
Demonstrac¸a˜o: O fato que (i) implica (ii) segue da observac¸a˜o feita acima: se U e´ aberto e
x ∈ U , enta˜o U e´ uma vizinhanc¸a de x e U ⊆ U .
Suponha agora que vale (ii). Fixe x ∈ U e uma vizinhanc¸a Vx de x contida em U . Pela
difinic¸a˜o de vizinhac¸a temos que existe um aberto Wx tal que x ∈ Wx ⊆ Vx e enta˜o temos
(iii).
Resta apenas mostrar que (iii) implica (i). Seja U satisfazendo (iii). Para cada x ∈ U
fixe um aberto Vx ⊆ U tal que x ∈ Vx. Teremos enta˜o que U =
⋃
{Vx : x ∈ U}. Logo U e´
aberto, pois e´ uma unia˜o de abertos. �
Corola´rio 2.28. Para cada x em um espac¸o topolo´gico X, seja Vx o conjunto de todas
as vizinhanc¸as de x. Enta˜o U ⊆ X e´ aberto se e somente se U ∈ Vx para todo x ∈ U .
Demonstrac¸a˜o: Exerc´ıcio. �
Os seguintes exemplos sa˜o deixados como exerc´ıcio:
Exemplo 2.29. Seja X o espac¸o topolo´gico associado a uma me´trica d. Enta˜o para cada
x ∈ X, o conjunto das bolas de centro x e raio 1
n
, onde n = 1, 2, ..., forma uma base de
abertos para o ponto x.
Exemplo 2.30. Seja x um ponto da reta de Sorgenfrey. Enta˜o, o conjunto dos intervalos
semi-abertos [x, x+ 1
n
[, onde n = 1, 2, ..., forma uma base de abertos para o ponto x.
Definic¸a˜o 2.31. Seja (X, T ) um espac¸o topolo´gico. Dizemos que uma colec¸a˜o B de
conjuntos abertos de X e´ uma base de abertos para o espac¸o topolo´gico X se todo aberto
pode ser escrito como a unia˜o de uma subcolec¸a˜o de elementos de B, i.e., para todo V ∈ T ,
existe B′ ⊆ B tal que V =
⋃
B′.
Proposic¸a˜o 2.32. Seja B uma colec¸a˜o de abertos de X. Enta˜o B e´ uma base da topologia
se e somente se, para todo aberto V e todo ponto x de V , existe U ∈ B tal que x ∈ U ⊆ V .
Demonstrac¸a˜o: Exerc´ıcio. �
E 2.19. Seja X um espac¸o topolo´gico associado a uma me´trica d. Mostre que o conjunto
de todas as bolas abertas forma uma base para X.
3. VIZINHANC¸AS. BASES 15
E 2.20. Mostre que cada intervalo semi-aberto [x, x+ ǫ[ e´ um conjunto aberto na reta de
Sorgenfrey. Mostre tambe´m que o conjunto dos intervalos semi-abertos forma uma base de
abertos para este espac¸o.
E 2.21. (a) Mostre que se B e´ uma base de um espac¸o topolo´gico X, enta˜o, para cada x
em X, a famı´lia B(x) = {B ∈ B : x ∈ B} e´ uma base para o ponto x.
(b) Mostre tambe´m que, por outro lado, se para cada x ∈ X, B(x) e´ uma base para o
ponto x, enta˜o a unia˜o B =
⋃
{B(x) : x ∈ X} e´ uma base para X.
Diversas propriedades de um espac¸o topolo´gico que estudaremos dependera˜o apenas de
uma base de abertos ao inve´s do conjunto de todos os abertos. Em particular, no caso
de propriedades envolvendo um ponto x, muitas delas dependera˜o apenas de uma base de
abertos no ponto x. Por isso, em muitos casos, fica mais conveniente (e mais claro) definir
a topologia em func¸a˜o de uma base de abertos ou dos sistemas fundamentais de vizinhanc¸as
de cada ponto do espac¸o.
Vejamos primeiro quais propriedades sa˜o necessa´rias para que possamos definir uma
topologia a partir de uma famı´lia de subconjuntos de modo que esta famı´lia seja uma base.
Definic¸a˜o 2.33. Seja B uma colec¸a˜ode subconjuntos de um conjunto X e seja B∗ a
colec¸a˜o de todos os subconjuntos de X que sa˜o unio˜es de elementos de B (inclusive a unia˜o
vazia). Se B∗ e´ uma topologia sobre X, enta˜o B∗ e´ chamada de topologia gerada por B, e B
e´ uma base para a topologia B∗.
Olhando a definic¸a˜o acima e´ natural perguntar quais propriedades a colec¸a˜o B precisa ter
para que possamos garantir que B∗ e´ uma topologia sobre X. O exerc´ıcio seguinte mostra
que essa pergunta faz sentindo, ou seja, na˜o e´ verdade que B∗ e´ sempre uma topologia:
E 2.22. Seja B a colec¸a˜o de todos os intervalos fechados [a, b] da reta real tais que a < b.
Mostre que a colec¸a˜o B∗, de todas as poss´ıveis unio˜es de elementos de B, na˜o e´ uma topologia
sobre os reais.
A seguinte proposic¸a˜o nos da´ uma condic¸a˜o nescessa´ria e suficiente sobre a colec¸a˜o B
para que B∗ seja uma topologia:
Proposic¸a˜o 2.34. Sejam X um conjunto e B uma colec¸a˜o de subconjuntos de X satis-
fazendo as seguintes propriedades:
(1) Para cada U1, U2 ∈ B e cada x ∈ U1 ∩ U2, existe U ∈ B tal que x ∈ U ⊆ U1 ∩ U2.
(2) Para cada x ∈ X, existe U ∈ B tal que x ∈ U .
Enta˜o, a colec¸a˜o B∗, formada pelas unio˜es de subcolec¸o˜es de B e´ uma topologia sobre X
e B e´ uma base para o espac¸o topolo´gico (X,B∗).
Demonstrac¸a˜o: Para verificarmos que ∅ ∈ B∗, basta tomar a unia˜o da subcolec¸a˜o vazia.
Temos que X e´ um elemento de B∗, pois, X =
⋃
B, por (2).
Vamos mostrar apenas que a intersecc¸a˜o de dois elementos de B∗ esta´ em B∗ (para
intersecc¸a˜o finita qualquer e´ ana´logo ou segue por induc¸a˜o). Sejam U, V ∈ B∗ e x ∈ U ∩ V
qualquer. Pela definic¸a˜o de B∗, temos que existe B′ ⊆ B tal que U =
⋃
B′. Como x ∈ U ,
temos que existe U ′ ∈ B′ tal que x ∈ U ′ ⊆ U . Como B′ ⊆ B, U ′ ∈ B. Analogamente, existe
V ′ ∈ B tal que x ∈ V ′ ⊆ V . Sendo assim, x ∈ U ′ ∩ V ′, e por (1), posso fixar Wx ∈ B tal que
x ∈ Wx ⊆ U
′ ∩ V ′. Portanto, Wx ⊆ U ∩ V . Podemos enta˜o, para todo x ∈ U ∩ V achar Wx
16 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
coma acima e assim U ∩ V =
⋃
{Wx : x ∈ U ∩ V }. Como {Wx : x ∈ U ∩ V } ⊆ B, temos que
U ∩ V ∈ B∗.
Falta apenas verificarmos que a unia˜o qualquer de elementos de B∗ e´ um elemento de B∗
. Seja U uma subcolec¸a˜o de B∗. Para cada U ∈ U , existe uma subcolec¸a˜o B(U) de B tal que
U =
⋃
B(U). Enta˜o
⋃
U =
⋃⋃
{B(U) : U ∈ U}. Basta agora notar que
⋃
{B(U) : U ∈ U}
e´ uma subcolec¸a˜o de B.
Pela definic¸a˜o de base temos que B e´ uma base para a topologia B∗. �
Observac¸a˜o 2.35. Se X e´ um espac¸o topolo´gico e B e´ uma famı´lia de subconjuntos
abertos de X satisfazendo as propriedades (1) e (2) da proposic¸a˜o acima, enta˜o a topologia
gerada por B na˜o precisa ser a topologia original, pore´m, claramente qualquer aberto da
topologia gerada por B sera´ um aberto da topologia original.
E 2.23. Seja X um conjunto na˜o enumera´vel e fixemos um ponto x0 de X. Seja
B = {{x} : x ∈ X \ {x0}} ∪ {A ⊆ X : x0 ∈ A e X \ A e´ enumera´vel }.
Verifique que B satisfaz as condic¸o˜es (1) e (2) da proposic¸a˜o 2.34.
Veremos agora como definir a topologia a partir dos sitemas fundamentais de vizinhanc¸as
de cada ponto.
Usando a difinic¸a˜o de vizinhanc¸a e´ fa´cil mostrarmos:
Proposic¸a˜o 2.36. Seja X um espac¸o topoloo´gico e para cada x ∈ X denotemos por Vx
o conjunto de todas as vizinhanc¸asde x. Enta˜o vale que:
(I) x ∈ V , para todo V ∈ Vx;
(II) se V1 e V2 pertencem a Vx, enta˜o V1 ∩ V2 tambe´m pertence a Vx;
(III) se V ∈ Vx e V ⊆ U ⊆ X, enta˜o U ∈ Vx;
(IV) se V ∈ Vx, enta˜o existe U ∈ Vx tal que U ⊆ V e U ∈ Vy, para todo y ∈ U .
Teorema 2.37. Seja X um conjunto na˜o vazio e suponhamos que para cada x ∈ X esta´
associado um conjunto Vx de subcojuntos de X de modo que as condic¸o˜es I, II, III e IV
acima estejam verificadas. Enta˜o existe uma u´nica topologia T sobre X de modo que cada
Vx seja o conjunto das vizinhanc¸as de x em (X, T ).
Demonstrac¸a˜o: Com efeito, seja T = {U ⊆ X : U ∈ Vx para todo x ∈ U}. Enta˜o T e´ uma
topologia sobre X. E´ imediato que o ∅ e X pertencem a T e que a intersecc¸a˜o finita e a
reunia˜o qualquer de elementos de T pertence a T .
Note que o conjunto U em IV sera´ aberto em T . Em vista disso, em (X, T ) cada Vx sera´
o conjunto de todas as vizinhanc¸as de x, para todo x ∈ X.
Mostremos agora a unicidade da topologia. Suponhamos que T ′ fosse uma topologia
sobre X tal que Vx e´ o conjunto das vizinhanc¸as de x em (X, T
′), para todo x ∈ X. Enta˜o,
se U ∈ T ′, U ∈ Vx, para todo x ∈ U e U pertenceria a T . Por outro lado, se U ∈ T , enta˜o
U ∈ Vx, para todo x ∈ U e U seria aberto em T
′. �
Exemplo 2.38. O plano de Niemytzki. Seja L o conjunto de todos os pontos do
plano com a segunda coordenada maior ou igual a zero, ou seja, L = { (x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 }.
Denotemos por L1 a reta y = 0 e seja L2 = L \ L1. Para cada x ∈ L1 e r > 0, seja U(x, r)
o conjunto de todos os pontos em L no interior da bola de raio r tangente a L1 no ponto
4. FECHO, INTERIOR E FRONTEIRA. CONJUNTOS DENSOS 17
x e seja Ui(x) = U(x,
1
i
) ∪ {x} para i = 1, 2, . . .. Para cada x ∈ L2 e r > 0, seja V (x, r) o
conjunto de todos os pontos de L dentro do c´ırculo de raio r e centro x e seja Ui(x) = V (x,
1
i
)
para i = 1, 2 . . .. Para cada x ∈ L, seja Bx = {Ui(x)}
∞
i=1.
E´ fa´cil verificar que a colec¸a˜o B =
⋃
{Bx : x ∈ L} satisfaz as condic¸o˜es 1) e 2) da
proposic¸a˜o 2.34. O conjunto L1 e´ fechado com respeito a` topologia gerada pelo sistema de
vizinhanc¸as abertas {Bx}x∈L. O espac¸o L e´ chamado de Plano de Niemytzki.
E 2.24. Mostre que no exemplo acima, L1 com a topologia de subespac¸o e´ discreto.
4. Fecho, interior e fronteira. Conjuntos densos
Seja (X, T ) um espac¸o topolo´gico.
Definic¸a˜o 2.39. Um ponto x ∈ A e´ ponto interior de A se existe V ∈ T tal que
x ∈ V ⊆ A. Ao conjunto dos pontos interiores chamamos interior de A e denotamos por A˚.
E 2.25. Mostre que A e´ aberto se e somente se A˚ = A.
Definic¸a˜o 2.40. Um ponto x ∈ X e´ ponto aderente (ou ponto de clausura, ou ponto de
fecho) de A se para todo V ∈ T tal que x ∈ V tem-se que V ∩ A 6= ∅.
Definic¸a˜o 2.41. Um ponto x ∈ X e´ ponto de acumulac¸a˜o de A se para todo V ∈ T tal
que x ∈ V tem-se (V \{x})∩A 6= ∅. Ao conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de A chamamos
derivado de A.
E 2.26. Mostre que nas definic¸o˜es de ponto aderente e ponto de acumulac¸a˜o poder´ıamos
substituir “para todo V ∈ T ” por “para todo V ∈ calV x, onde calV x e´ um sistema funda-
mental de vizinhanc¸as de x qualquer.
E 2.27. Seja X = {1, 2, 3} e T = {∅, {1}, {1, 2}, X}. Mostre que 3 e´ ponto de acumulac¸a˜o
de {1} e de {1, 2} e que 1 na˜o e´ ponto de acumulac¸a˜o de {1, 2}.
E 2.28. Sobre o conjunto dos nu´meros reais R considere a topologia T abaixo definida:
um subconjunto V de R pertence a T se e somente se para cada x ∈ V \ Q existe ǫx > 0
tal que ]x − ǫx, x + ǫx[⊆ V . Mostre que qualquer que seja A ⊆ R, A na˜o tem pontos de
acumulac¸a˜o racionais. Por outro lado, se x ∈ R e´ ponto de acumulac¸a˜o de um subconjunto
A nesta topologia T , tambe´m sera´ ponto de acumulac¸a˜o de A na topologia habitual de R.
E 2.29. Na reta de Sorgenfrey mostre que 1 na˜o e´ ponto de acumulac¸a˜o de [0, 1]; no
entanto, e´ ponto de acumulac¸a˜o na reta real.
Veremos agora o conceito de fecho de um conjunto, que esta´ relacionado com o conceito
de ponto adereˆncia, como veremos a seguir.
Definic¸a˜o 2.42. Seja (X, T ) um espac¸o topolo´gico e seja A um subconjunto de X. O
fecho (ou adereˆncia ou clausura) de A e´ a intersecc¸a˜o de todos os fechados que conte´m A
e sera´ denotado por A
T
ou clT (A). Quando estiver claro qual a topologia, denotaremos por
A
X
ou clX(A), ou simplesmente por A ou cl(A).
O operador fecho e´ a func¸a˜o que associa a cada subconjunto de X o seu fecho.
Como vimos anteriormente, a intersec¸ca˜o de conjuntos fechados e´ um conjunto fecha-
do. Segue enta˜o da definic¸a˜o defecho a seguinte proposic¸a˜o, cuja demonstrac¸a˜o fica como
exerc´ıcio.
18 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
Proposic¸a˜o 2.43. Seja X um espac¸o topolo´gico e A ⊆ X. Enta˜o:
(i) A e´ um conjunto fechado;
(ii) A ⊆ A; e
(iii) A e´ o menor fechado contendo A, i.e., se F e´ conjunto fechado e A ⊆ F , enta˜o
A ⊆ F .
A seguinte caracterizac¸a˜o de fecho e´ muito u´til e relaciona fecho com pontos aderentes:
Proposic¸a˜o 2.44. Para cada A ⊆ X as seguintes condic¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) o ponto x pertence a A.
(ii) para cada vizinhanc¸a V de x temos V ∩ A 6= ∅.
(iii) para todo sistema fundamental de vizinhanc¸as Vx do ponto x, para cada V ∈ Vx
temos que V ∩ A 6= ∅.
Demonstrac¸a˜o: Para mostrar que (i) ⇒ (ii), suponhamos que x ∈ A e seja V uma
vizinhanc¸a de x. Pela definic¸a˜o de vizinhanc¸a, existe um aberto U tal que x ∈ U ⊆ V .
Como V ∩A ⊇ U ∩A, basta mostrar que U ∩A 6= ∅. De fato, se U ∩A = ∅, enta˜o A ⊆ X \U .
O conjunto U e´ aberto, logo, o conjunto X \ U e´ fechado por definic¸a˜o. Portanto, pela
proposic¸a˜o acima, temos que A ⊆ X \ U , ou seja, U ∩ A = ∅, contradic¸a˜o, pois x ∈ U ∩ A.
Com isto mostramos que U ∩ A 6= ∅.
E´ fa´cil ver que (ii) ⇒ (iii).
So´ resta mostrar que (iii)⇒ (i). Suponha que (i) na˜o esteja satisfeita, ou seja, que x /∈ A.
Enta˜o, pela definic¸a˜o de fecho, existe um fechado F contendo A tal que x /∈ F . Logo X \F e´
uma vizinhanc¸a aberta de x e portanto existe V ∈ Vx tal que V ⊆ X \F , ou seja, V ∩F = ∅.
Como A ⊆ F , isso implica que V ∩ A = ∅, contradizendo (iii). �
Corola´rio 2.45. O fecho de um conjunto A e´ o cojunto dos pontos aderentes de A.
E 2.30. Calcule os fechos dos seguintes subconjuntos da reta dos reais com relac¸a˜o a`s
diferentes topologias dadas no exerc´ıcio 2.10:
(a) (0, 1);
(b) [0, 1];
(c) [0, 1);
(d) (0, 1];
(e) {0};
(f) Q;
(g) { 1
n
: n ∈ Z \ {0}};
(h) ∅.
E 2.31. Sejam X = {a, b, c, d} e T = {∅, X, {a}, {a, b}, {c, d}, {a, c, d}} uma topologia
sobre X. Calcule {a, d} e {b, d}.
E 2.32. Mostre que um conjunto e´ fechado se, se somente se, ele e´ igual ao seu fecho
E 2.33. Mostre que o interior de um conjunto A e´ o maior aberto (com relac¸a˜o a inclusa˜o)
que esta´ contido em A.
E 2.34. Mostre que x e´ um ponto de acumulac¸a˜o de A se e somente se x ∈ A \ {x}.
Definic¸a˜o 2.46. Um ponto x ∈ X e´ ponto de fronteira de A se para todo V ∈ T tal
que x ∈ V tem-se V ∩ A 6= ∅ e V ∩ (X \ A) 6= ∅. Ao conjunto dos pontos de fronteira de A
chamamos fronteira de A e denotamos por Fr(A).
4. FECHO, INTERIOR E FRONTEIRA. CONJUNTOS DENSOS 19
E 2.35. Mostre que:
(i) Fr(A) = A ∩X \ A e
(ii) A e´ aberto-fechado se e somente se Fr(A) = ∅.
No pro´ximo teorema temos as principais propriedades do operador fecho:
Teorema 2.47. O operador fecho em um espac¸o topolo´gico X tem as seguintes proprie-
dades:
(1) ∅ = ∅.
(2) (A) = A.
(3) Para todo A,B ⊆ X, temos A ∪B = A ∪B.
Demonstrac¸a˜o: As propriedades (1) e (2) seguem diretamente da definic¸a˜o de fecho e do
fato de A ser um conjunto fechado.
Vamos mostrar agora que a propriedade (3) e´ va´lida.
“⊇” : Pela proposic¸a˜o 2.43, temos que A ⊆ A ∪ B ⊆ A ∪B, e que isso implica que
A ⊆ A ∪B. Analogamente, temos que B ⊆ A ∪B e portanto temos que A ∪B ⊆ A ∪B.
“ ⊆ ” : Por outro lado, temos que A ⊆ A e B ⊆ B, e portanto, temos que A∪B ⊆ A∪B.
Como o u´ltimo conjunto e´ uma unia˜o de dois conjuntos fechados, ele e´ um conjunto fechado.
Utilizando a proposic¸a˜o 2.43 novamente, segue enta˜o que A ∪B ⊆ A ∪B.
Com isto, mostramos que a igualdade em (3) esta´ satisfeita. �
E 2.36. E´ verdade que para quaisquer subconjuntos A e B de um espac¸o topolo´gico X
(i)A ∩B = A ∩B e
(ii) A \B = A \B?
Prove ou deˆ contraexemplos.
E 2.37. Seja X um espac¸o topolo´gico e M um subespac¸o de X. Mostre que se A e´ um
subconjunto de M , enta˜o A
M
= A
X
∩M .
Definic¸a˜o 2.48. Seja X um espac¸o topolo´gico. Dizemos que um subconjunto D de X
e´ denso em X se o fecho de D e´ igual a X.
Claramente X e´ denso em X. Vamos dar alguns outros exemplos menos triviais:
Exemplo 2.49. O conjunto Q dos racionais e´ um conjunto denso na reta de Sorgenfrey.
Exemplo 2.50. Se X e´ um espac¸o discreto, enta˜o X e´ o u´nico subconjunto denso de X.
Exemplo 2.51. Se X e´ um espac¸o cao´tico, enta˜o qualquer subconjunto na˜o-vazio e´ denso
em X.
E 2.38. Mostre as afirmac¸o˜es feitas nos exemplos acima.
E 2.39. Mostre que as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes para um espac¸o topolo´gico
X:
(i) D e´ denso em X;
(ii) D ∩ U 6= ∅, para todo aberto na˜o-vazio U em X;
(iii) para qualquer base B de X, D ∩B 6= ∅, para todo B ∈ B.
E 2.40. (i) Seja X um conjunto infinito com a topologia cofinita. Mostre que um sub-
conjunto D de X e´ denso se, e somente se, D e´ infinito.
(ii) Seja X um conjunto na˜o-enumera´vel com a topologia coenumera´vel. Mostre que um
subconjunto D de X e´ denso se, e somente se, D e´ na˜o-enumera´vel.
20 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
E 2.41. Mostre que D e´ denso em R se, e somente se, D e´ denso em RS.
E 2.42. Seja X um espac¸o topolo´gico e D ⊆ X. Prove que D e´ denso em X se, e somente
se, D ∩ V = V , para todo aberto V .
5. Axiomas de enumerabilidade.
Definic¸a˜o 2.52. Seja X um espac¸o topolo´gico.
(a) Se cada ponto do espac¸o X possui um sistema fundamental de vizinhanc¸as que e´
enumera´vel, dizemos que ele satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.
(b) Quando X possui uma base enumera´vel, dizemos que X satisfaz o segundo axioma
de enumerabilidade.
(c) Dizemos que X e´ separa´vel ou que satisfaz o terceiro axioma de enumerabilidade, se
possui um conjunto denso enumera´vel.
Exemplo 2.53. Seja (X, d) um espac¸o me´trico. Para todo ponto x de X, temos que
{Bd(x,
1
n
) : n = 1, 2, . . .} e´ um sistema fundamental de vizinhanc¸as de x, logo X satisfaz o
primeiro axioma de enumerabilidade.
Exemplo 2.54. Considere a reta real com a topologia usual. Facilmente tem-se que Q e´
denso em R, logo a reta real e´ separa´vel. Ale´m disso, {]r − 1
n
, r + 1
n
[: r ∈ Q, n = 1, 2, . . .} e´
uma base que e´ enumera´vel. Portanto R satisfaz tambe´m o primeiro e o segundo axioma de
enumerabilidade. Note que {]a, b[: a < b e a, b ∈ Q} tambe´m e´ uma base enumera´vel de R.
Exemplo 2.55. Seja X um conjunto na˜o-enumera´vel com a topologia cofinita. Enta˜o
nenhum ponto de X tem sistema fundamental de vizinhanc¸as enumera´vel.
E 2.43. Mostre a afirmac¸a˜o do exemplo anterior. X e´ separa´vel? O que acontece quando
X e´ um conjunto enumera´vel?
E 2.44. Considere o espac¸o definido no exerc´ıcio 2.23. Prove que somente o ponto x0
na˜o tem sistema fundamental de vizinhanc¸as que seja enumera´vel.
E 2.45. Prove que todo espac¸o que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade satisfaz
tambe´m o primeiro.
E 2.46. Mostre que se X e´ enumera´vel e satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade,
enta˜o X tambe´m satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade.
Proposic¸a˜o 2.56. Todo espac¸o topolo´gico X satisfazendo o segundo axioma de enume-
rabilidade e´ separa´vel.
Demonstrac¸a˜o: Por hipo´tese, existe uma base de abertos B de X que e´ enumera´vel. Podemos
assumir, sem perda de generalidade, que cada elemento de B e´ na˜o vazio. Logo, para cada
U ∈ B, podemos fixar um ponto xU pertencente a U . Claramente D = {xU : U ∈ B} e´
um subconjunto enumera´vel de X e, para cada aberto U ∈ B, xU ∈ U ∩D. Logo, segue do
exerc´ıcio 2.39, que D e´ um subconjunto denso. �
Veremos agora que a rec´ıproca da Proposic¸a˜o 2.56 vale no caso dos espac¸os me´tricos:
Proposic¸a˜o 2.57. Seja X um espac¸o topolo´gico associado a uma me´trica d. Enta˜o X
satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se e somente se X e´ separa´vel.
5. AXIOMAS DE ENUMERABILIDADE. 21
Demonstrac¸a˜o: (⇒) Segue da Proposic¸a˜o 2.56.
(⇐) Suponhamos que X e´ separa´vel e seja D um subconjunto enumera´vel denso de X.
Vamos mostrar que a famı´liaB = {Bd(x,
1
n
) : x ∈ D e n = 1, 2, . . .} e´ uma base de abertos
de X. Seja y ∈ X e U uma vizinhanc¸a aberta de y. Como as bolas abertas de centro y
formam uma base para o ponto y, existe um ǫ > 0 tal que Bd(y, ǫ) ⊆ U . Seja m um inteiro
positivo tal que 2
m
< ǫ. Como D e´ denso, existe um ponto x ∈ D tal que x ∈ Bd(y,
1
m
).
Como d(x, y) = d(y, x), temos que y ∈ Bd(x,
1
m
). Ale´m disso, se z ∈ Bd(x,
1
m
), enta˜o
d(y, z) ≤ d(y, x) + d(x, z) < 1
m
+ 1
m
< ǫ, ou seja z ∈ Bd(y, ǫ). Logo Bd(x,
1
m
) ⊆ Bd(y, ǫ).
Enta˜o y ∈ Bd(x,
1
m
) ⊆ Bd(y, ǫ) ⊆ U . Como y e U eram arbitra´rios temos que B e´ uma base
de abertos de X. Como B e´ enumera´vel (pois D e´ enumera´vel), temos que X satisfaz o
segundo axioma de enumerabilidade. �
Vimos anteriormente que o conjunto dos racionais e´ denso na reta de Sorgenfrey e por-
tanto ela e´ separa´vel. Temos tambe´m que ela satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade
pois, para cada x ∈ RS, a famı´lia {[x, x +
1
n
[}∞n=1 e´ uma base enumera´vel para o ponto x.
Veremos agora que a reta de Sorgenfrey na˜o satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.
Isto mostra que a proposic¸a˜o acima na˜o vale para espac¸os topolo´gicos arbitra´rios, mesmo
que estes satisfac¸am o primeiro axioma de enumerabilidade.
Teorema 2.58. A reta de Sorgenfrey na˜o satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos por contradic¸a˜o que B seja uma base enumera´vel para RS.
Como B e´ uma base, para cada x ∈ RS, podemos fixar um aberto Ux ∈ B tal que x ∈
Ux ⊆ [x, x + 1[. Note que Ux 6= Uy, sempre que x 6= y. De fato, se x 6= y, sem perda
de generalidade, podemos assumir que x < y. Como Uy ⊆ [y, y + 1[, teremos que x /∈ Uy.
Portanto, Ux \ Uy 6= ∅.
Podemos enta˜o construir uma func¸a˜o injetora do conjunto dos reais no conjunto B, o que
e´ uma contradic¸a˜o, pois na˜o existe uma func¸a˜o injetora de um conjunto na˜o enumera´vel num
conjunto enumera´vel. �
Teorema 2.59. Para um espac¸o topolo´gico X satisfazendo o segundo axioma de enume-
rabilidade, cada base B conte´m uma subcolec¸a˜o enumera´vel que forma uma base.
Demonstrac¸a˜o: Como X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, podemos fixar uma
base enumera´vel B0 para X. Seja B uma base qualquer para X.
Seja D o conjunto de todos os pares ordenados (U, V ) tais que U e V sa˜o elementos de
B0 e existe um aberto W ∈ B tal que U ⊆ W ⊆ V . Para cada par (U, V ) ∈ D, fixemos
um aberto W (U, V ) ∈ B tal que U ⊆ W (U, V ) ⊆ V . Como D e´ enumera´vel, claramente
a famı´lia W = {W (U, V ) : (U, V ) ∈ D} e´ um conjunto enumera´vel. Para terminarmos a
demonstrac¸a˜o, e´ suficiente mostrar que W e´ uma base de abertos para X.
Seja x ∈ X e V uma vizinhanc¸a aberta de x. Como B0 e´ uma base, existe V0 ∈ B0 tal
que x ∈ V0 ⊆ V e como B e´ uma base, existe W0 ∈ B tal que x ∈ W0 ⊆ V0. Usando nova-
mente que B0 e´ uma base, temos que existe U0 ∈ B0 tal que x ∈ U0 ⊆ W0 ⊆ V0. Portanto,
(U0, V0) ∈ D e x ∈ U0 ⊆ W (U0, V0) ⊆ V0 ⊆ V . Mostramos enta˜o que existe W ∈ W tal que
x ∈ W ⊆ V . Como x e V eram arbitra´rios, conclu´ımos que W e´ uma base de X. �
Definic¸a˜o 2.60. Uma sequeˆncia em X e´ uma enumerac¸a˜o {xn : n ∈ N} tal que xn ∈ X,
para cada n ∈ N. Dizemos que uma sequeˆncia {xn : n ∈ N} converge para x, se, para cada
vizinhanc¸a V de x, o conjunto {n ∈ N : xn /∈ V } e´ finito.
22 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
E 2.47. Verifique que uma sequeˆncia {xn : n ∈ N} converge para x se, e somente se, para
cada vizinhanc¸a V de x, existe n0, tal que xn ∈ V , para todo n ≥ n0.
E 2.48. Verifique que se X e´ a reta real, enta˜o a definic¸a˜o de convergeˆncia de sequeˆncias
coincide com a definic¸a˜o dada nos cursos de Ca´lculo.
E 2.49. Seja X um espac¸o topolo´gico que satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.
Mostre que, para cada ponto x ∈ X, existe uma base {Bn : n ∈ N} no ponto x tal que
Bn+1 ⊆ Bn, para todo n ∈ N.
Proposic¸a˜o 2.61. Sejam X um espac¸o topolo´gico que satisfaz o primeiro axioma de
enumerabilidade e A um subconjunto de X. Mostre que, se x ∈ A, enta˜o existe uma sequeˆncia
{xn : n ∈ N} em A (i.e., xn ∈ A, para todo n ∈ N) convergindo para x.
Demonstrac¸a˜o: Seja x ∈ A. Fixemos B = {Bn : n ∈ N} uma base de abertos no ponto x
dada pelo exerc´ıcio anterior. Pela proposic¸a˜o 2.44, temos que Bn∩A 6= ∅, sempre que n ∈ N.
Fixemos xn ∈ Bn ∩ A, para cada n ∈ N. Vejamos que {xn : n ∈ N} converge para x. Seja
V uma vizinhanc¸a de x. Como B e´ base de abertos no ponto x, temos que Bn0 ⊆ V , para
algum n0 ∈ N. Logo xn ∈ Bn ⊆ Bn0 ⊆ V , para todo n ≥ n0. �
E 2.50. Mostre que a rec´ıproca da proposic¸a˜o anterior vale, mesmo quando o espac¸o na˜o
satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, ou seja, se A ⊆ X e {xn : n ∈ N} e´ uma
sequeˆncia em A convergindo para x, enta˜o x ∈ A.
6. Func¸o˜es cont´ınuas.
A noc¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua de R em R ou em espac¸os me´tricos e´ definida em termos de
ǫ’s e δ’s, logo, pode parecer que esta noc¸a˜o na˜o tenha um ana´logo em espac¸os topolo´gicos.
Vamos definir agora a continuidade de uma func¸a˜o para espac¸os topolo´gicos arbitra´rios e
veremos que esta noc¸a˜o e´ equivalente a` noc¸a˜o ja´ conhecida para espac¸o topolo´gico associado
a uma me´trica.
Definic¸a˜o 2.62. Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos e seja f uma func¸a˜o de X em Y .
Dizemos que f e´ cont´ınua no ponto x se para cada vizinhanc¸a V de f(x) existe uma vizi-
nhanc¸a U de x tal que f(U) ⊆ V . Dizemos que f e´ cont´ınua (em um conjunto A) se f e´
cont´ınua em todo ponto x ∈ X (em todo x ∈ A).
A demonstrac¸a˜o da seguinte proposic¸a˜o fica como exerc´ıcio:
Proposic¸a˜o 2.63. Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos e seja f uma func¸a˜o de X em Y .
Sa˜o equivalentes:
(i) f e´ cont´ınua em x;
(ii) para cada vizinhanc¸a aberta V de f(x) existe uma vizinhanc¸a aberta U de x tal que
f(U) ⊆ V ;
(iii) se Bx e Df(x) sa˜o bases para os pontos x e f(x), respectivamente, enta˜o, para cada
V ∈ Df(x) existe um U ∈ Bx tal que f(U) ⊆ V .
O pro´ximo exemplo mostra que a definic¸a˜o de continuidade, dada acima, coincide com a
de espac¸os me´tricos, quando X e´ um espac¸o me´trico.
6. FUNC¸O˜ES CONTI´NUAS. 23
Exemplo 2.64. Sejam (X, d) e (Y, d′) dois espac¸os me´tricos e sejam T e T ′ as topologias
associadas a` d e d′ respectivamente. Para cada x ∈ X, seja Bx o conjunto de todas as bolas
abertas de centro x e para cada y ∈ Y , seja Dy o conjunto de todas as bolas abertas de
centro y. Pela equivaleˆncia da proposic¸a˜o anterior, uma func¸a˜o f de X em Y e´ uma func¸a˜o
cont´ınua do espac¸o topolo´gico (X, T ) no espac¸o topolo´gico (Y, T ′) se e somente se para cada
x ∈ X e para cada bola de centro f(x) e raio ǫ > 0, existe uma bola de centro x e raio δ > 0
tal que f(Bd(x, δ)) ⊆ Bd′(f(x), ǫ). Isto equivale a dizer que para cada ponto x ∈ X e para
cada ǫ > 0 existe δ > 0 tal que para cada y ∈ X se d(x, y) < δ enta˜o d′(f(x), f(y)) < ǫ.
Proposic¸a˜o 2.65. Seja (X, T ) e (Y, T ′) dois espac¸os topolo´gicos. Uma func¸a˜o f de X
em Y e´ cont´ınua se e somente se f−1(U) ∈ T , para cada U ∈ T ′, isto e´, a imagem inversa
de um aberto de Y e´ um conjunto aberto de X.
Demonstrac¸a˜o: (⇒) Seja U ∈ T ′. Dado x ∈ f−1(U), temos que existe Vx ∈ T , vizinhanc¸a
de x, tal que f(Vx) ⊆ U , ja´ que f e´ cont´ınua em x. Portanto Vx ⊆ f
−1f(Vx) ⊆ f
−1(U) e
enta˜o segue que f−1(U) =
⋃
{Vx : x ∈ f
−1(U)}. Logo f−1(U) ∈ T .
(⇐) Sejam x ∈ X e U ∈ T ′, tais que f(x) ∈ U . Enta˜o x ∈ f−1(U) e f−1(U) ∈ T . Logo
f−1(U) e´ um vizinhanc¸a aberta de x e f(f−1(U)) ⊆ U . �
A proposic¸a˜o acima nos fornece uma equivaleˆncia de continuidade que em geral e´ mais
fa´cil de lembrar e que e´ frequentemente usada. Note que ela trata diretamente da continui-
dade “global”, ou seja na˜o precisamos primerio definir a continuidade num ponto particular
para depois definir a continuidade da func¸a˜o no domı´nio.
Proposic¸a˜o 2.66. Para uma func¸a˜o f de um espac¸o topolo´gicoX num espac¸o topolo´gico
Y , as seguintes condic¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) a func¸a˜o f e´ cont´ınua.
(ii) a imagem inversa de cada aberto em uma base B de Y e´ aberta em X.
(iii) a imagem inversa de cada fechado de Y e´ um fechado de X.
E 2.51. Demonstre a proposic¸a˜o anterior.
E 2.52. Seja f : X −→ Y . Mostre que as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) a func¸a˜o f e´ cont´ınua;
(ii) para cada A ⊆ X temos f(A) ⊆ f(A);
(iii) para cada B ⊆ Y temos f−1(B) ⊆ f−1(B).
Exemplo 2.67. Se X e´ um espac¸o topolo´gico munido da topologia discreta enta˜o para
todo espac¸o topolo´gico Y , qualquer func¸a˜o f de X em Y e´ cont´ınua.
Exemplo 2.68. Se Y e´ um espac¸o topolo´gico munido da topologia cao´tica, enta˜o para
cada espac¸o topolo´gico X, toda func¸a˜o f de X em Y e´ cont´ınua.
Exemplo 2.69. Seja R a reta real com a topologia usual e RS a reta de Sorgenfrey.
Defina a func¸a˜o f de RS em R por f(x) = [x], para todo x ∈ RS, onde [x] e´ o maior inteiro
≤ x. Temos enta˜o que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
E 2.53. Mostre que a func¸a˜o f do exemplo acima e´ cont´ınua.
E 2.54. Seja X o espac¸o definido no exerc´ıcio 2.23 e f uma func¸a˜o cont´ınua qualquer
de X em R. Mostre que existe um subconjunto enumera´vel X0 de X tal que para cada
24 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
x ∈ X \X0, temos f(x) = f(x0), ou seja, a menos de um conjunto enumera´vel, a func¸a˜o f
e´ igual a func¸a˜o constante de valor f(x0). (Dica: A imagem inversa por f de um ponto e´
fechada)
Teorema 2.70. Seja f uma func¸a˜o cont´ınua sobrejetora de um espac¸o topolo´gico X em
um espac¸o topolo´gico Y . Enta˜o se D e´ um subconjunto denso de X, o conjunto f(D) e´ um
subconjunto denso de Y .
Demonstrac¸a˜o: Seja D um subconjunto denso de X. Para mostrarmos que f(D) e´ denso em
Y , e´ suficiente mostrar que para cada aberto na˜o vazio V de Y , o conjunto f(D) ∩ V e´ na˜o
vazio.
Seja V um aberto na˜o vazio de Y . Como f e´ cont´ınua, temos que f−1(V ) e´ um aberto
de X. Temos ainda que f−1(V ) 6= ∅, pois f e´ sobrejetora. Portanto, como D e´ denso em X,
temos que existe x ∈ D ∩ f−1(V ). Enta˜o f(x) ∈ f(D) ∩ f(f−1(V )) ⊆ f(D) ∩ V e portanto
f(D) ∩ V e´ na˜o vazio. Como V era um aberto arbitra´rio de Y , f(D) e´ denso em Y . �
Corola´rio 2.71. Seja f uma func¸a˜o cont´ınua sobrejetora de X em Y . Se X e´ separa´vel,
enta˜o Y tambe´m e´ separa´vel.
Note que o mesmo tipo de resultado na˜o e´ verdade em geral para os outros axiomas de
enumerabilidade. Tente achar exemplos.
E 2.55. Sejam T1 e T2 duas topologias em um conjunto X. Mostre que a func¸a˜o identidade
idX(x) = x do espac¸o topolo´gico (X, T1) no espac¸o topolo´gico (X, T2) e´ cont´ınua se, e somente
se, T2 ⊆ T1.
E 2.56. Mostre que a composta de func¸o˜es cont´ınuas e´ cont´ınua.
E 2.57. Seja X um conjunto infinito com a topologia cofinita. Mostre que se f e´ uma
func¸a˜o sobrejetora de X em X, enta˜o f e´ cont´ınua se, e so´ se, f−1({x}) e´ finito, para todo
x ∈ X.
7. Axiomas de separac¸a˜o.
A definic¸a˜o de espac¸o topolo´gico e´ muito geral e isso leva a ter poucos resultados de
interesse que valem para todos os espac¸os topolo´gicos. Por outro lado, assumir que o espac¸o
topolo´gico esta´ associado a uma me´trica, por exemplo, e´ uma restric¸a˜o muito grande. Os
axiomas de separac¸a˜o consideram diferentes possibilidades para separar pontos e fechados.
Definic¸a˜o 2.72. Um espac¸o topolo´gico X e´ chamado de espac¸o T0 se para cada dois
pontos x1, x2 ∈ X distintos, existe um aberto que conte´m apenas um desses pontos.
A topologia cao´tica num conjunto com mais de um ponto e´ um exemplo de uma topologia
que na˜o e´ T0.
E 2.58. Seja X um espac¸o topolo´gico. Mostre que X e´ T0 se, e somente se, para cada
x, y ∈ X distintos e para cada Bx e By, bases de abertos dos pontos x e y respectivamente,
temos Bx 6= By.
E 2.59. Mostre que um espac¸o topolo´gico X e´ T0 se, e somente se, {x} 6= {y}, sempre
que x 6= y.
7. AXIOMAS DE SEPARAC¸A˜O. 25
Definic¸a˜o 2.73. Seja X um espac¸o topolo´gico. Dizemos que X e´ um espac¸o T1 se para
cada dois pontos x, y ∈ X distintos, existe uma vizinhanc¸a de x que na˜o conte´m y.
Note que na definic¸a˜o de espac¸o T0 era suficiente que um dos pontos tivesse uma vizi-
nhanc¸a que na˜o contivesse o outro ponto. No caso de espac¸o T1 cada um dos dois pontos
deve ter uma vizinhanc¸a que na˜o conte´m o outro ponto.
Exemplo 2.74. Seja X um conjunto com mais de um ponto e fixemos um ponto x0 em
X. Para cada x ∈ X \ {x0} definimos Bx = {{x}} e para o ponto x0, definimos Bx0 = {X}.
Temos que {Bx}x∈X satisfaz as propriedades (1) e (2) da proposic¸a˜o 2.34 e portanto gera
uma topologia em X. Na topologia gerada pela famı´lia {Bx}x∈X , o espac¸o X e´ T0 mas na˜o
e´ T1.
E 2.60. Mostre as afirmac¸o˜es feitas no exemplo acima.
A seguinte caracterizac¸a˜o de espac¸os T1 e´ muito usada:
Proposic¸a˜o 2.75. Seja X um espac¸o topolo´gico. Enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o
equivalentes:
(i) X e´ um espac¸o T1.
(ii) para cada ponto x de X, o conjunto {x} e´ fechado.
Demonstrac¸a˜o:
(i) ⇒ (ii). Seja x um ponto de X e vamos mostrar que X \ {x} e´ um conjunto aberto.
De fato, se y ∈ X \ {x}, enta˜o y e´ um ponto distinto de x. Pela definic¸a˜o de T1, temos que
existe um aberto U que conte´m y mas na˜o conte´m x. Logo, y ∈ U ⊆ X \{x}. Como o ponto
y era arbitra´rio, o conjunto X \ {x} e´ aberto e portanto {x} e´ fechado.
(ii)⇒ (i). Sejam x e y dois pontos distintos de X. Como {x} e {y} sa˜o fechados, X \{x}
e X \ {y} sa˜o conjuntos abertos. Portanto existe uma vizinhanc¸a de x na˜o contendo y e
existe uma vizinhanc¸a de y na˜o contendo x. �
E 2.61. Seja X um espac¸o topolo´gico. Mostre que as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalen-
tes:
(i) X e´ um espac¸o T1.
(ii) para cada ponto x de X existe uma famı´lia Ux de vizinhanc¸as abertas de x tal que⋂
Ux = {x}.
(iii) para cada ponto x de X e para cada base Bx de x, temos
⋂
Bx = {x}.
Definic¸a˜o 2.76. Um espac¸o topolo´gico X e´ T2, ou de Hausdorff, se para cada par de
pontos distintos x, y ∈ X existem vizinhanc¸as U de x e V de y tais que U ∩ V = ∅.
E´ fa´cil ver que todo espac¸ de Hausdorff e´ T1.
Exemplo 2.77. Seja X um conjunto infinito com a topologia cofinita. Fica como
exerc´ıcio verificar que T e´ uma topologia T1 que na˜o e´ T2.
E 2.62. Verifique que um espac¸o topolo´gico X e´ de Hausdorff se, e somente se, para cada
ponto x de X, a intersecc¸a˜o de todas as vizinhanc¸as fechadas de x e´ o conjunto {x}.
E 2.63. Seja X um espac¸o me´trico com a topologia associada a me´trica. Mostre que X
e´ um espac¸o T2.
26 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
O pro´ximo resultado sera´ utilizado posteriormente:
Teorema 2.78. Para cada par f, g de func¸o˜es cont´ınuas de um espac¸o topolo´gico X em
um espac¸o de Hausdorff Y , o conjunto {x ∈ X : f(x) = g(x)} e´ um subconjunto fechado
de X.
Demonstrac¸a˜o: Vamos mostrar que o conjunto A = {x ∈ X : f(x) 6= g(x)} e´ aberto. Seja
x ∈ A. Como f(x) 6= g(x) e Y e´ de Hausdorff, existem abertos U contendo f(x) e V
contendo g(x) tais que U ∩ V = ∅. Pela continuidade de f , temos que f−1(U) e g−1(V ) sa˜o
vizinhanc¸as abertas de x e portanto W = f−1(U) ∩ g−1(V ) e´ uma vizinhanc¸a aberta de x.
Resta mostrar que W ⊆ A. De fato, se y ∈ W , enta˜o temos que f(y) ∈ U e g(y) ∈ V . Como
U ∩ V = ∅, segue que f(y) 6= g(y) e portanto y ∈ A.
Como x ∈ A foi escolhido arbitrariamente, o conjunto A e´ aberto e portanto X \ A =
{x ∈ X : f(x) = g(x)} e´ fechado. �
Proposic¸a˜o 2.79. Sejam g e h duas func¸o˜es cont´ınuas de um espac¸o topolo´gico X em
um espac¸o topolo´gico Hausdorff Y e seja D um conjunto denso em X. Se g ↾ D = h ↾ D,
enta˜o g = h.
Demonstrac¸a˜o: Se g ↾ D = h ↾ D, enta˜o D ⊆ {x ∈ X : g(x) = h(x)}. Pelo teorema 2.78,
temos que {x ∈ X : g(x) = h(x)} e´ um conjunto fechado, portanto X = D ⊆ {x ∈ X :
g(x) = h(x)}, ou seja, g = h. �
Definic¸a˜o 2.80. Seja X um espac¸o topolo´gico. Dizemosque X e´ T3 se para cada x ∈ X
e cada fechado F ⊆ X tal que x /∈ F existem abertos U contendo x e V contendo F tais que
U ∩ V = ∅. Dizemos que X e´ um espac¸o regular se X e´ T1 e T3.
Todo espac¸o regular e´ T2 pois assumimos explicitamente a propriedade T1 (e portanto
todo ponto e´ fechado). Sem assumir a propriedade T1 na definic¸a˜o, o espac¸o cao´tico satisfaz
a propriedade de regularidade e na˜o e´ T1. Para alguns autores (por exemplo o Engelking),
regular e T3 sa˜o a mesma propriedade e ambas incluem T1.
Proposic¸a˜o 2.81. Um espac¸o X e´ T3 se e somente se para cada x ∈ X e para cada
vizinhanc¸a aberta W de x existe uma vizinhanc¸a aberta U de x tal que U ⊂ W .
Demonstrac¸a˜o: Primeiro suponha que X e´ T3. Seja x ∈ X e W uma vizinhanc¸a aberta de
x. Enta˜o X \W e´ um fechado na˜o contendo x e portanto existem abertos U contendo x e
V contendo X \W tais que U ∩ V = ∅. Logo U ⊆ X \ V e como X \ V e´ fechado, temos
que U ⊆ X \ V . Ale´m disso, temos que X \ V ⊆ X \ (X \W ) = W e portanto U ⊆ W .
Para mostramos a rec´ıproca, seja x ∈ X e F um fechado que na˜o conte´m x. Enta˜o X \F
e´ uma vizinhanc¸a aberta de x, logo por hipo´tese, existe um aberto U tal que x ∈ U ⊆ U ⊆
X \F . Note que X \U e´ um aberto contendo X \ (X \F ) = F . Ale´m disso, U ∩ (X \U) = ∅,
portanto X e´ T3. �
Corola´rio 2.82. Um espac¸o X e´ T3 se, e somente se, todo ponto x em X tem um
sistema fundamental de vizinhanc¸as fechadas.
Demonstrac¸a˜o: Seja Bx uma base de abertos de x em X e defina Vx = {B : B ∈ Bx}. Pela
proposic¸a˜o anterior, temos que Vx e´ um sistema fundamental de vizinhanc¸as de x. �
E 2.64. Seja X um espac¸o me´trico com a topologia associada a me´trica. Mostre que X
e´ um espac¸o T3.
7. AXIOMAS DE SEPARAC¸A˜O. 27
Vamos agora dar um exemplo de um espac¸o Hausdorff que na˜o e´ regular:
Exemplo 2.83. Seja X o conjunto dos nu´meros reais e seja Z o conjunto { 1
n
: n =
1, 2, . . .}. Para cada x em X seja Bx a seguinte famı´lia de subconjuntos de X:
Bx =
{
{]x− 1
i
, x+ 1
i
[: i = 1, 2 . . .} se x 6= 0
{]x− 1
i
, x+ 1
i
[\Z : i = 1, 2 . . .} se x = 0
Note que {Bx}x∈X satisfaz as propriedades (1) e (2) da proposic¸a˜o 2.34 e que o espac¸o
X com a topologia gerada pelo sistema de vizinhanc¸as abertas {Bx}x∈X e´ Hausdorff.
Vamos verificar agora que X nesta topologia na˜o e´ regular. De fato, o conjunto Z e´ um
fechado de X que na˜o conte´m 0. Fica a cargo do leitor verificar que qualquer aberto de X
contendo 0 tem intersecc¸a˜o na˜o vazia com um aberto contendo Z.
Definic¸a˜o 2.84. Seja X um espac¸o topolo´gico. Dizemos que X e´ um espac¸o T4 se para
cada par de fechados F e G disjuntos, existem abertos disjuntos U e V contendo F e G
respectivamente. Se X e´ T1 e T4 dizemos que X e´ um espac¸o normal.
Um espac¸o normal e´ um espac¸o regular. Como anteriormente, alguns autores colocam
normal e T4 como a mesma propriedade, onde ambas incluem a propriedade T1.
Analogamente ao caso dos espac¸os regulares, temos a seguinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 2.85. Um espac¸o X e´ T4 se, e somente se, para cada par de fechados
disjuntos A e B existe um aberto U tal que A ⊆ U ⊆ U ⊆ X \B.
Demonstrac¸a˜o: Exerc´ıcio. �
Ainda iremos definir uma classe de espac¸os intermedia´ria, entre os espac¸os regulares e
os espac¸os normais, portanto na˜o veremos agora um exemplo de espac¸o regular que na˜o e´
normal.
Veremos depois que os reais e o intervalo [0, 1] sa˜o espac¸os normais. Na verdade, todos
os espac¸os me´tricos sa˜o espac¸os normais. Vamos primeiro mostrar que:
Exemplo 2.86. A reta de Sorgenfrey e´ um espac¸o normal.
De fato, sejam A e B dois fechados disjuntos de RS. Para cada a ∈ A, fixemos um aberto
[a, x(a)) cuja intersecc¸a˜o com B e´ vazia. Analogamente, para cada b ∈ B, fixemos um aberto
[b, x(b)) cuja intersecc¸a˜o com A e´ vazia. Sejam
U =
⋃
a∈A
[a, x(a)) e V =
⋃
b∈B
[b, x(b)).
Enta˜o U e´ um aberto contendo A e V e´ um aberto contendo B. Para concluirmos a
demonstrac¸a˜o de que a reta de Sorgenfrey e´ normal, basta mostrarmos que U ∩ V = ∅.
Suponhamos por contradic¸a˜o que existe y ∈ U ∩ V . Enta˜o existe a ∈ A e b ∈ B tal que
a ≤ y < x(a) e b ≤ y < x(b). Temos dois casos a considerar: a < b ou b < a. Ambos os
casos sa˜o ana´logos, portanto vamos assumir que a < b. Enta˜o temos a < b ≤ y < x(a), ou
seja b ∈ [a, x(a)) ∩B, contradizendo a escolha de x(a). Portanto U ∩ V = ∅.
Teorema 2.87. Todo espac¸o regular satisfazendo o segundo axioma de enumerabilidade
e´ normal.
28 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
Demonstrac¸a˜o: Seja X um espac¸o nas condic¸o˜es acima e sejam A e B dois fechados disjuntos
de X. Fixemos uma base enumera´vel de abertos B. Pela regularidade deX, para cada a ∈ A,
existe uma vizinhanc¸a aberta Ua de a tal que Ua ∈ B e Ua ∩B = ∅.
Como B e´ enumera´vel, podemos fixar uma famı´lia {Un : n ∈ N} de abertos de B tal
que para cada a ∈ A, existe n ∈ N tal que Ua = Un. Temos enta˜o uma famı´lia de abertos
{Un : n ∈ N} tal que
⋃∞
n=0 Un ⊇ A e para cada n ∈ N temos que Un ∩B = ∅.
Analogamente, podemos encontrar uma famı´lia de abertos {Vn : n ∈ N} tal que⋃∞
n=0 Vn ⊇ B e para cada n ∈ N temos que Vn ∩ A = ∅.
Seja U∗n = Un \ (
⋃n
m=0 Vm). Como cada
⋃n
m=0 Vm e´ fechado, U
∗
n e´ um conjunto aberto,
para todo n ∈ N, e portanto o conjunto U =
⋃∞
n=0 U
∗
n e´ aberto. Note que A ∩ Un = A ∩ U
∗
n
e que A = A ∩
⋃∞
n=1 Un. Portanto A = A ∩
⋃∞
n=1 Un =
⋃∞
n=1(A ∩ Un) =
⋃∞
n=1(A ∩ U
∗
n) =
A ∩
⋃∞
n=1 U
∗
n = A ∩ U . Logo, A ⊆ U .
Seja V ∗n = Vn \ (
⋃n
m=0 Um) e V =
⋃∞
n=0 V
∗
n . Analogamente, teremos que V e´ um aberto
contendo B.
Para terminarmos a demonstrac¸a˜o, falta apenas verificar que U ∩V = ∅. Para isso basta
mostrar que U∗n∩V
∗
m = ∅ para todo n 6= m. De fato, se n ≤ m, enta˜o, V
∗
m = Vm \ (
⋃m
i=0 Ui) ⊆
Vm \ Un ⊆ X \ Un ⊆ X \ U
∗
n. De modo ana´logo, podemos mostrar que a intersecc¸a˜o e´ vazia
se m ≤ n. �
Corola´rio 2.88. A reta real R e o intervalo [0, 1] com a topologia induzida pela me´trica
usual sa˜o espac¸os normais.
Teorema 2.89. Todo espac¸o enumera´vel regular e´ normal.
Demonstrac¸a˜o: Basta adaptarmos a demonstrac¸a˜o acima. Como antes, para cada ponto de
um dos fechados, podemos achar uma vizinhanca cujo fecho na˜o intercepta o outro fechado.
Como o espac¸o e´ enumera´vel, uma quantidade enumera´vel de abertos sera´ suficiente para
cobrir os fechados e portanto poderemos encontrar abertos disjuntos contendo os fechados.
Os detalhes ficam como exerc´ıcio. �
A ide´ia das duas demonstrac¸o˜es anteriores aparecem em outras demonstrac¸o˜es e podem
ser usadas para mostrar:
E 2.65. Seja X um espac¸o topolo´gico. Suponha que para quaisquer fechados F e K de
X, existem famı´lias de abertos {Un}n∈N e {Vn}n∈N tais que F ⊆
⋃
n∈N Un, K ⊆
⋃
n∈N Vn e
ale´m disso para cada n ∈ N, Un ∩K = ∅ e Vn ∩ F = ∅. Mostre que X e´ T4.
O principal resultado desta sec¸a˜o talvez seja:
Teorema 2.90. (Lema de Urysohn) Seja X um espac¸o T4. Enta˜o para cada par de
fechados disjuntos A e B de X, existe uma func¸a˜o cont´ınua f : X −→ [0, 1] tal que f(x) = 0,
para cada x ∈ A, e f(x) = 1, para cada x ∈ B.
Demonstrac¸a˜o: Sejam A e B dois fechados disjuntos de X. Seja Q o conjunto de todos os
racionais no intervalo [0, 1] e seja {qn : n ∈ N} uma enumerac¸a˜o de Q tal que q0 = 0, q1 = 1
e para cada n,m ∈ N distintos, temos qn 6= qm.
Iremos primeiro definir indutivamente uma sequeˆncia de abertos {Un : n ∈ N} satisfa-
zendo as seguintes propriedades:
(i) A ⊆ Un ⊆ Un ⊆ X \B, para todo n ∈ N;
7. AXIOMAS DE SEPARAC¸A˜O. 29
(ii) para cada n,m ∈ N se qn < qm, enta˜o Un ⊆ Um.
Como X e´ T4, existe um aberto U tal que A ⊆ U ⊆ U ⊆ X \ B. Enta˜o podemos tomar
U0 = U e claramente as propriedades (i) e (ii) estara˜o satisfeitas.
Vamos agora escolher U1. Pelo fato de X ser T4 e pelo fato de que U0 ⊆ X \ B, existe
um abertoU1 tal que U0 ⊆ U1 ⊆ U1 ⊆ X \ B. Como q0 < q1, temos que (i) e (ii) esta˜o
satisfeitas.
Suponhamos por hipo´tese de induc¸a˜o que k > 1 e que ja´ esta˜o definidos {U0, . . . , Uk−1}
satisfazendo as condic¸o˜es (i) e (ii) acima. (Caso haja alguma dificuldade, sugerimos ao leitor
tentar primeiro assumir que k = 2, para melhor visualizar o que faremos a seguir.) Temos
que escolher Uk satisfazendo (i) e (ii).
Seja i ∈ {0, . . . , k − 1} tal que qi = maxM , onde M = {qm : 0 ≤ m < k e qm < qk},
i.e. qi e´ o maior racional de {q0, . . . , qk−1} menor que qk. Note que como q0 = 0, o conjunto
M e´ na˜o vazio, portanto i esta´ bem definido. Analogamente, seja j ∈ {0, . . . , k − 1} tal
que qj = minN , onde N = {qn : 0 ≤ n < k e qn > qk}, i.e. qj e´ o menor racional de
{q0, . . . , qk−1} maior que qk. Como q1 = 1, N e´ na˜o vazio e j esta´ bem definido.
Obeserve que pela escolha de i e j, temos qi < qj. Pela condic¸a˜o (ii) da hipo´tese de
induc¸a˜o, temos enta˜o que Ui ⊆ Uj. Logo, por X ser T4, existe um aberto Uk tal que
Ui ⊆ Uk ⊆ Uk ⊆ Uj.
Resta apenas verificar que as condic¸o˜es (i) e (ii) esta˜o satisfeitas:
Temos (i), pois por hipo´tese de induc¸a˜o, A ⊆ Ui e Uj ⊆ B e escolhemos Uk de modo que
Ui ⊆ Uk ⊆ Uk ⊆ Uj.
Para checarmos (ii), e´ suficiente considerarmos os casos m = k ou n = k, pois os outros
casos valem pela hipo´tese de induc¸a˜o. Suponhamos que n < k e qn < qk (se qn > qk e´ analogo
e fica como exerc´ıcio). Vamos primeiro mostrar que Un ⊆ Ui, para i definido acima. Se i = n
na˜o ha´ nada a fazer. Se i 6= n, qn < qi pela definic¸a˜o de i. Logo, pela hipo´tese de induc¸a˜o,
temos que Un ⊆ Ui ⊆ Ui.
Pela definic¸a˜o de Uk, segue que Un ⊆ Ui ⊆ Uk. Portanto a condic¸a˜o (ii) esta´ satisfeita e
terminamos assim a construc¸a˜o da sequeˆncia {Un : n ∈ N}.
Vamos agora definir a func¸a˜o f usando essa sequeˆncia.
Para cada x ∈ X defina
f(x) = inf({qn : x ∈ Un} ∪ {1}).
Mostraremos que f e´ a func¸a˜o procurada. Primeiro note que, como 0 ≤ qn ≤ 1, para cada
n ∈ N, temos que f(x) ∈ [0, 1].
Se x ∈ A, pela propriedade (i), temos que x ∈ Un, para todo n ∈ N. Portanto f(x) =
inf{q : q ∈ Q} = 0, para cada x ∈ A. Por outro lado, se x ∈ B, pela propriedade (ii), temos
que x /∈ Un, para cada n ∈ N. Logo, f(x) = inf(∅∪ {1}) = 1, para cada x ∈ B. Enta˜o resta
apenas verificar que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Pela equivaleˆncia (ii) da Proposic¸a˜o 2.66, basta mostrar que imagem inversa de cada
aberto em uma base B de [0, 1] e´ aberta. Como para todo 0 < a < b < 1, (a, b) = [0, b)∩(a, 1],
e´ suficiente mostrar que f−1[0, b) e f−1(a, 1] sa˜o abertos, para cada b tal que 0 < b ≤ 1 e
para cada a tal que 0 ≤ a < 1.
Vamos primeiro mostrar que f−1[0, b) e´ aberto. Pela definic¸a˜o de f , temos que x ∈
f−1[0, b) se, e somente se, f(x) = inf({qn : x ∈ Un} ∪ {1}) < b. Mas isso acontece se, e
somente se, existe qn < b tal que x ∈ Un. Podemos concluir enta˜o que x ∈ f
−1[0, b) se, e
30 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
somente se, x ∈
⋃
{Un : qn < b}, ou seja, f
−1[0, b) =
⋃
{Un : qn < b}. Como cada Un e´
aberto e unia˜o de conjuntos abertos e´ aberto, temos que f−1[0, b) e´ aberto.
Resta apenas mostrar que f−1(a, 1] e´ aberto. Se x ∈ f−1(a, 1], enta˜o f(x) > a, o
que implica que existe qn e qm tais que a < qn < qm e x /∈ Um. Mas qn < qm implica
que Un ⊆ Um. Portanto temos que x /∈ Un, ou seja x ∈ X \ Un. Mostramos enta˜o que
f−1(a, 1] ⊆
⋃
{X \ Un : qn > a}. Suponha agora que x ∈
⋃
{X \ Un : qn > a}. Temos enta˜o
que x /∈ Un (e portanto x /∈ Un), para algum qn > a. Como Um ⊆ Un se qm < qn, podemos
concluir que x /∈ Um para todo qm < qn. Logo, f(x) > a, ou seja, x ∈ f
−1(a, 1], pois qn > a.
Mostramos assim que f−1(a, 1] =
⋃
{X \ Un : qn > a} e portanto e´ aberto. �
Note que vale a rec´ıproca do Lema de Urysohn:
Proposic¸a˜o 2.91. Seja X um espac¸o tal que para cada par de conjuntos fechados dis-
juntos A e B existe uma func¸a˜o cont´ınua f de X em [0, 1] tal que f(A) ⊆ {0} e f(B) ⊆ {1}.
Enta˜o X e´ um espac¸o T4.
Demonstrac¸a˜o: Exerc´ıcio. �
Observac¸a˜o 2.92. No enunciado acima, exigimos que f(A) ⊆ {0} e f(B) ⊆ {1}. Se ao
inve´s disso, tive´ssemos exigido f−1(0) = A e f−1(1) = B a condic¸a˜o seria mais forte que T4.
Iremos agora definir uma classe entre os espac¸os regulares e os espac¸os normais:
Definic¸a˜o 2.93. Dizemos que um espac¸o topolo´gico X e´ T3 1
2
se para cada ponto x ∈ X
e cada fechado F na˜o contendo x, existe uma func¸a˜o real f , cont´ınua, tal que f(x) = 0 e
f(F ) ⊆ {1}. Se X e´ T1 e T3 1
2
dizemos que X e´ um espac¸o de Tychonoff ou e´ completamente
regular,
Como assumimos que espac¸os normais sa˜o T1, temos que os pontos sa˜o fechados e por-
tanto, pelo lema de Urysohn, segue que todo espac¸o normal e´ completamente regular. Temos
tambe´m:
E 2.66. Mostre que todo espac¸o completamente regular e´ regular.
Os pro´ximos dois exemplos mostram que: regular 6⇒ completamente regular 6⇒ normal.
Exemplo 2.94. Seja M0 = {(x, y) ∈ R
2 : y ≥ 0}, z0 = (0,−1) e M = M0 ∪ {z0}. Seja
L a reta y = 0 e para cada i = 1, 2 . . . seja Li = {(x, 0) : i − 1 ≤ x ≤ i}. Para cada ponto
z = (x, 0) ∈ L, definimos
A1(z) = {(x, y) ∈ R
2 : 0 ≤ y ≤ 2}
e
A2(z) = {(x+ y, y) ∈ R
2 : 0 ≤ y ≤ 2}.
Se z ∈M0 \L, definimos por Bz o conjunto {{z}}. Se z ∈ L, definimos por Bz o conjunto
{(A1(z) ∪ A2(z)) \ F : F e´ um subconjunto finito de M0 que na˜o conte´m z }. Finalmente,
se z = z0, enta˜o definimos por Bz o conjunto {Ui : i = 1, 2, . . .}, onde para cada i = 1, 2, . . .,
Ui = {z0} ∪ {(x, y) ∈ M0 : 0 ≤ y e x ≥ i}. Fica a cargo do leitor fazer a simples verificac¸a˜o
de que {Bz : z ∈M} de fato gera uma topologia Hausdorff sobre M .
Vamos agora mostrar que M e´ um espac¸o regular. Se z ∈ M0, enta˜o z possui uma
vizinhanc¸a que e´ aberta e fechada, portanto, basta verificarmos a regularidade para z0 e um
fechado na˜o contendo z0. Se F e´ um fechado na˜o contendo z0, existe uma vizinhanc¸a Ui0 de
7. AXIOMAS DE SEPARAC¸A˜O. 31
z0 que e´ disjunta de F . Temos enta˜o que existe um aberto V contendo F que e´ disjunta da
vizinhanc¸a Ui0+2 de z0. Logo M e´ um espac¸o regular.
Para verificarmos que M na˜o e´ um espac¸o Tychonoff, basta mostramos que se L1 e´ um
fechado que na˜o conte´m o ponto z0 e f e´ uma func¸a˜o cont´ınua tal que f(z) = 1 para cada
z ∈ L1, enta˜o f(z0) = 1.
Primeiro vamos mostrar que, para cada i = 1, 2, . . .,
(*) o conjunto f−1({1}) ∩ Li e´ infinito.
Este fato sera´ demonstrado por induc¸a˜o sobre i. Claramente (*) e´ va´lido para i = 1.
Suponhamos que (*) e´ va´lido para i ≤ k, onde k ≥ 1, e mostraremos que e´ va´lido para
i = k+1. Seja Z um conjunto infinito enumera´vel de Lk tal que f(z) = 1, para cada z ∈ Z.
Analogamente ao exerc´ıcio 2.23, para cada ponto z ∈ Z, podemos mostrar que, para apenas
um nu´mero enumera´vel de pontos w em (A1(z)∪A2(z)), teremos f(w) 6= 1. Logo,W = {w ∈⋃
z∈Z A2(z) : f(w) 6= 1} e´ um conjunto enumera´vel. Seja L
′ = {z ∈ Lk+1 : A1(z) ∩W 6= ∅},
isto e´, o conjunto dos pontos da projec¸a˜o de W na reta L que pertencem a Lk+1. Enta˜o L
′
tambe´m e´ enumera´vel. Portanto Lk+1 \ L
′ e´ um conjunto infinito (na˜o-enumera´vel).
Afirmamos que Lk+1 \ L
′ ⊆ f−1({1}). De fato, seja z′ ∈ Lk+1 \ L
′ e F um subconjunto
finito de M0 que na˜o conte´m z
′.
Para cada z ∈ Z, temos que A2(z) intercepta A1(z
′) e para z’s distintos o ponto na
intersecc¸a˜o e´ distinto, pontanto, para apenas um subconjunto finito Z∗ ⊆ Z, teremos que
A2(z) ∩ F 6= ∅. Portanto para cada z ∈ Z \ Z
∗, existe az ∈ A2(z) ∩ (A1(z
′) \ F ). Como
z′ /∈ L′, temos que f(az) = 1. Portanto a imagem de toda vizinhanc¸a de z
′ conte´m o ponto
1. Logo, como o espac¸o e´ Hausdorff e f e´ cont´ınua em z′, temos que f(z′) = 1 (verifique!).
Com isto, temos que (*) vale para cada i = k + 1, e portanto, mostramos por induc¸a˜o
que (*) vale para cada i ∈ {1, 2, . . .}. Para mostrarmos que f(z0) = 1 basta agora notarque
a imagem de toda vizinhanc¸a de z0 pela f conte´m o ponto 1, logo segue da continuidade da
f em z0 que f(z0) deve ser 1.
Exemplo 2.95. O plano de Niemytzki e´ um espac¸o T3 1
2
que na˜o e´ normal.
Como na definic¸a˜o do exemplo, denotaremos este espac¸o por L e a reta y = 0 por L1; e´
fa´cil ver que L e´ um espac¸o de Hausdorff.
Se x ∈ L1 denotemos por Sn(x) o c´ırculo de raio
1
n
, contido em L, que e´ tangente a` reta
L1 no ponto. Se x ∈ L \L1 denotamos por Sn(x) a intersecc¸a˜o de L com o c´ırculo de centro
x e raio 1
n
.
Mostremos que L e´ T3 1
2
. Seja x ∈ L e F um fechado ao qual x na˜o pertence; fixemos
n ∈ {1, 2, . . .} de modo que o c´ırculo de centro x e raio 1
n
esteja contido em L no caso de x
na˜o pertencer a L1. Para cada ponto y ∈ Sn(x) seja y
′ o u´nico ponto da fronteira de Sn(x)
tal que y pertence ao segmento de extremidades x e y′. Vamos definir uma func¸a˜o fn de L
em [0, 1] do seguinte modo:
fn(y) =


0 para y = x
1 para y ∈ L \ U1(x)
|xy|
|xy′|
para y ∈ U1(x) \ {x}
onde |ab| denota o comprimento do segmento de extremidades a e b. Note que a func¸a˜o esta´
bem definida. Fica a cargo do leitor verificar que a func¸a˜o e´ cont´ınua.
Temos enta˜o que fn e´ uma func¸a˜o cont´ınua tal que fn(x) = 0 e fn(F ) ⊆ {1}. Portanto
o espac¸o e´ Tychonoff.
32 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
Vamos agora mostrar que L na˜o e´ normal. Primeiro, note que L conte´m um subconjunto
enumera´vel denso D (por exemplo, o conjunto Q × (Q∩]0,∞[)). Seja C o conjunto das
func¸o˜es cont´ınuas de L em R. Pela Proposic¸a˜o 2.79, podemos definir uma func¸a˜o injetora ϕ
que leva cada f ∈ C na func¸a˜o f ↾ D. Contudo, existe uma bijec¸a˜o do conjunto das func¸o˜es
de D em R no conjunto dos reais. Temos assim que existe uma func¸a˜o injetora do conjunto
C no conjunto dos reais.
Pela definic¸a˜o da topologia em L e´ fa´cil mostrar que todo subconjunto A de L1 e´ um
conjunto fechado (verifique!). Vamos assumir por contradic¸a˜o que L e´ um espac¸o normal.
Enta˜o, pelo Lema de Urysohn, para cada subconjunto A de L1 existe uma func¸a˜o cont´ınua
fA de L em [0, 1] tal que fA(A) ⊆ {0} e fA(L1 \A) ⊆ {1} (pois A e L1 \A sa˜o fechados em
L). Note que se A 6= B, enta˜o fA 6= fB. Logo, temos uma func¸a˜o injetora do conjunto P(L1)
de todos os subconjunto de L1, para o conjunto C. Como L1 = R× {0}, temos uma bijec¸a˜o
entre P(L1) e P(R). Ale´m disso, vimos acima que existe uma func¸a˜o injetora do conjunto
C no conjunto dos reais. Fazendo a composta dessas func¸o˜es, podemos concluir que existe
uma func¸a˜o injetora de P(R) em R, o que e´ uma contradic¸a˜o.
E 2.67. Seja (X, τ1) um espac¸o topolo´gico. Suponha que τ2 seja outra topologia em X,
tal que τ1 ⊆ τ2. Mostre que, se (X, τ1) e´ um espac¸o Ti, enta˜o (X, τ2) tambe´m sera´ Ti, para
i = 0, 1, 2.
E 2.68. Verifique quais axiomas de separac¸a˜o o espac¸o topolo´gico definido no exerc´ıcio
2.23 satisfaz.
E 2.69. Suponha X um conjunto na˜o-vazio munido da topologia coenumera´vel. Mostre
que:
(i) X e´ sempre T1.
(ii) X e´ T2 se, e so´ se, X e´ um conjunto enumera´vel.
E 2.70. Consideremos τ a topologia sobre o conjunto dos nu´meros reais R gerada por
B = {{x} : x ∈ Q} ∪ {((x− ǫ;x+ ǫ) ∩Q) ∪ {x} : x ∈ R \Q, ǫ > 0}.
Mostre que este espac¸o topolo´gico satisfaz T2 mas na˜o satisfaz T3.
E 2.71. Seja X um espac¸o de Hausdorff. Mostre que uma sequeˆncia {xn}n∈N de pontos
de X converge para, no ma´ximo, um ponto de X.
E 2.72. Suponha X um conjunto na˜o-vazio munido da topologia coenumera´vel. Mostre
que:
(i) X e´ sempre T1.
(ii) X e´ T2 se, e so´ se, X e´ um conjunto enumera´vel.
(iii) Mostre que toda sequeˆncia de pontos de X converge para, no ma´ximo, um ponto de
X.
8. Homeomorfismos. Func¸o˜es abertas e fechadas. Topologia mais fina.
Topologias geradas por func¸o˜es
Comec¸aremos esta secc¸a˜o definindo a noc¸a˜o de homeomorfismo:
8. HOMEOMORFISMOS. FUNC¸O˜ES ABERTAS E FECHADAS. TOPOLOGIA MAIS FINA. TOPOLOGIAS GERADAS POR
Definic¸a˜o 2.96. Sejam 〈X, T 〉 e 〈Y,O〉 dois espac¸os topolo´gicos. Dizemos que uma
func¸a˜o bijetora f de X em Y e´ um homeomorfismo de 〈X, T 〉 em 〈Y,O〉 se f e f−1 sa˜o
func¸o˜es cont´ınuas. Dois espac¸os topolo´gicos sa˜o ditos homeomorfos quando existe um home-
ormorfismo entre eles.
E 2.73. Seja f uma bijec¸a˜o de um espac¸o X no espac¸o Y . Verifique que sa˜o equivalentes:
(i) f e´ um homeomorfismo.
(ii) um subconjunto A de X e´ aberto se e somente se f(A) e´ aberto.
(iii) um subconjunto B de X e´ fechado se e somente se f(B) e´ fechado.
Fica a cargo do leitor verificar que ser homeomorfo e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia(isto e´,
e´ uma relac¸a˜o reflexiva, sime´trica e transitiva).
Definic¸a˜o 2.97. Seja f uma func¸a˜o de X em Y . Enta˜o f e´ uma func¸a˜o aberta se a
imagem de todo aberto de X pela f e´ um aberto de Y . Dizemos que f e´ uma func¸a˜o fechada
se a imagem de todo fechado de X pela f e´ um fechado de Y .
E 2.74. Verifique que uma func¸a˜o cont´ınua aberta (fechada) f de X em Y e´ um homeo-
morfismo se e somente se f e´ bijetora.
E 2.75. Uma propriedade topolo´gica e´ uma propriedade que e´ preservada por homeomor-
fismos, ou seja, se um espac¸o X satisfaz uma propriedade P e Y e´ homeomorfo a X, enta˜o
Y tambe´m satisfaz P . Verifique que ser Ti, para i ∈ {0, 1, 2, 3, 3
1
2
, 4}, e´ uma propriedade
topolo´gica.
Teorema 2.98. As propriedades T1 e T4 sa˜o preservadas por func¸o˜es cont´ınuas fechadas
e sobrejetoras.
Demonstrac¸a˜o: Seja X um espac¸o T1 e f uma func¸a˜o cont´ınua fechada de X sobre um espac¸o
Y . Para mostrarmos que Y e´ T1, basta mostrar que para cada y ∈ Y temos {y} fechado.
Fixe y ∈ Y . Como f e´ sobrejetora, existe x ∈ X tal que f(x) = y. Mas X T1 implica que o
conjunto {x} e´ fechado. Portanto o conjunto f({x}) = {y} e´ um conjunto fechado de Y .
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua fechada e sobrejetora de um espac¸o T4 X em um espac¸o Y .
Sejam F e G dois conjuntos fechados disjuntos de Y . Enta˜o f−1(F ) e f−1(G) sa˜o fechados
disjuntos de X, logo por X ser T4 temos que existem abertos disjuntos U e V tais que
f−1(F ) ⊆ U e f−1(G) ⊆ V . Como f e´ uma func¸a˜o fechada, f(X \ U) e f(X \ V ) sa˜o
conjuntos fechados de Y . Portanto, Y \ f(X \U) e Y \ f(X \V ) sa˜o abertos de Y . Note que
f−1(Y \ f(X \ U)) ⊆ U (pois se x /∈ U enta˜o x ∈ X \ U e assim f(x) ∈ f(X \ U), ou seja
f(x) /∈ Y \ f(X \ U)). Analogamente, f−1(Y \ f(X \ V )) ⊆ V . Logo f−1(Y \ f(X \ U)) ∩
f−1(Y \f(X \V )) ⊆ U ∩V = ∅. Como f e´ sobrejetora, Y \f(X \V )∩Y \f(X \U) = ∅. Para
conclu´ırmos a demonstrac¸a˜o, resta mostrarmos que F ⊂ Y \f(X\U) e que G ⊆ Y \f(X\U).
Vamos apenas mostrar a primeira relac¸a˜o, ja´ que a segunda e´ ana´loga a primeira. Lembramos
que f−1(F ) ⊆ U , portanto, f(X \ f−1(F )) ⊇ f(X \ U) e F ∩ f(X \ f−1(F )) = ∅. Enta˜o
F ⊆ Y \ f(X \ f−1(F )) ⊆ Y \ f(X \ U). �
Observac¸a˜o 2.99. O fato acima na˜o e´ va´lido para os outros axiomas de separac¸a˜o.
Veremos agora que os axiomas de separac¸a˜o na˜o sa˜o preservados por func¸o˜es abertas. De
fato, existe uma func¸a˜o aberta sobrejetora de um espac¸o normal no espac¸o cao´tico.
Exemplo 2.100. Sejam R a reta real com a topologia usual e D = {a, b} o espac¸o cao´tico
com dois pontos. Defina f de R em D por f(x) = a, para cada x ∈ Q, e f(x) = b, para
34 2. ESPAC¸OS TOPOLO´GICOS
cada x ∈ R \ Q. Como D e´ um espac¸o cao´tico f e´ cont´ınua. Por Q ser denso e co-denso,
a imagem de todo aberto de R pela f e´ o conjunto {a, b} que e´ aberto. Portanto f e´ uma
func¸a˜o aberta.
Definic¸a˜o 2.101. Seja X um conjunto e T e U duas topologias sobre X. Dizemos que
T e´ uma topologia mais fina que U (ou que U e´ uma topologia menos fina que T ) se T ⊇ U ,
ou seja, todo aberto em (X,U) e´ aberto em (X, T ).
Exemplo 2.102. A topologia de Sorgenfrey e´ mais fina que a topologia usual da reta.
A topologia de Niemytzki e´ mais fina que a topologia do semi-plano superior induzida pela