Um Breve Resumo em Topologia

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Universidade Estadual Paulista - UNESP
UM BREVE RESUMO EM:
Topologia
(X, τ ) (Y, σ)
(
X
∼ , σf
)
Pedro Bortolucci
20 de julho de 2021
Conteúdo
1 Axiomas de Enumeração 3
1.1 Axiomas de Enumareação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Axiomas de Separação 5
2.1 Espaços Regulares e Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Espaços Normeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Lema de Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Demonstração do Lema De Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Convergência de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Teorema da Metrização de Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Espaços Métricos Completos 11
3.1 De�nições Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Resultados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Espaço de Funções 14
4.1 Topologia da Convergência Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Equicontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Topologia da Convergência Simples e Compacta . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Introdução aos Espaços de Baire 17
5.1 De�nição e Teorema da Categoria de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Aplicação da Teoria de Espaços de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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Capítulo 1
Axiomas de Enumeração
1.1 Axiomas de Enumareação
Temos dois axiomas de enumeração principais, um mais importante que o outro. Vamos
estabelecê-los primeiramente e dpois ver algumas de suas consequências.
De�nição 1.1.1. Se X tem uma coleção enumerável de vizinhanças de um ponto x ∈ X,
B satisfazendo que toda vizinhança de x contém pelo menos um elemento de B, então
dizemos que X tem uma base enumerável em x. Um espaço que tem base enumerável em
todo ponto x ∈ X é dito satisfazer o Primeiro Axioma de Enumeração (ou ser primerio-
enumerável).
De�nição 1.1.2. Se X tem uma base enumerável para sua topologia, então X é dito
satisfazer o Segundo Axioma de Enumeração (ou ser segundo-enumerável).
Assim, veja que o segundo axioma de enumeração implica automaticamente o primeiro,
ou seja, temos que o segundo axioma é mais forte que o primeiro. De fato, o segundo
axioma de enumeração é um dos mais importantes axiomas da topologia, por conta de
quão forte ele é, para se ter idéia nem mesmo espaços métricos são, de modo geral,
segundo-enumeráveis.
Vimos que se uma sequência de pontos de um subconjunto converge para um ponto
no espaço, então o limite da sequência pertence ao fecho do subconjunto. Além disso,
se tomarmos a imagem de uma sequência convergente por uma função contínua, temos
que sua imagem converge para a imagem do limite da sequência. Essas duas implicações
tornan-se equivalências quando o espaço satisfaz o primeiro axioma de enumeração, ou
seja, se o espaço é primeiro-enumerável, temos que uma sequência de termos de um
subconjunto converge para um ponto x se, e somente se, x é um ponto do fecho. Bem
como em espaços primeiro-enumeráveis, imagem de sequências convergentes convergem
para a imagem de seu limite se, e somente se, a função é contínua.
Os espaços segundo-enumeráveis possuem prorpiedades de bom comportamento em
relação à subespaços e produtos enumeráveis, ou seja, subespaços de espaços segundo-
enumeráveis são espaços segundo-enumeráveis, e produtos enumeráveis de espaços segundo-
enumeráveis são segundo-enumeráveis. O mesmo ocorre para espaços primeiro-enumeráveis.
Essas características são extremamente úteis na topologia.
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Apresentaremos agora dois conceitos que podem também ser tratados como axiomas
de enumeração, o chamados Espaços de Lindelöf e os separáveis. Dizemos que um espaço
é de Lindelöf quando toda cobertura aberta do espaço adimite subcobertura enumerável.
Perceba a semelhança com o conceito de compacidade, entretanto aqui, espaços compactos
são de Lindelöf, mas não necessariamente espaços de Lindelöf são compactos, uma vez que
conjuntos enumeráveis não necessariamente são �nitos, mas conjutos �nitos são sempre
enumeráveis.
Agora, os espaços separáveis, apesar do nome, não tem a ver com conexidade, ou o
conceito de separação de um espaço, mas um espaço é dito separável quando ele contém
um subconjunto que enumerável e denso, lembrando que um subconjunto de um espaço
é denso quando seu fecho é o próprio espaço. Temos então que os espaços segundo-
enumeráveis são tanto de Lindelöf quanto separáveis. Entretanto, existem espaços que
são primeiro-enumeráveis, separáveis e de Lindelöf, mas que ainda não são segundo enu-
meráveis. Importante observar também que no caso de um espaço ser metrizável temos
as equivalências:
X metrizável ⇒ (Espaços Separáveis ⇔ Segundo-enumerável)
X metrizável ⇒ (Espaços de Lindelöf ⇔ Segundo-enumeráveis).
Os espaços de Lindelöf não são espaços tão bem comportados quanto às relações de
subespaços e produtos enumeráveis. De fato se considerarmos R` o conjunto dos números
reais com a topologia do limite inferior, temos que este espaço é tanto primeiro-enumerável,
separável e de Lindelöf, mas ainda não é um espaço segundo-enumerável. Além disso, o
produto cartesiano R`×R` = R2` , chamado de Espaço de Sorgenfrey, não é um espaço de
Lindelöf, embora R[`] seja. De maneira semelhante, temos que o espaço I2o o quadrado
ordenado, ou seja, o conjunto [0, 1] × [0, 1] com a topologia da ordem, é um espaço de
Lindelöf, mas seu sibespaço A = [0, 1] × (0, 1), não é um espaço de Lindelöf. Essas
obervações deixam claro o não bom comportamento desses espaços.
Como mencionamos no início deste capítulo, existem espaços métricos que não são
segundo-enumeráveis, isso implica que existem espaços métricos que não são Lindelöf e
espaços métricos que não são separáveis. Se todo espaço métrico fosse um dos dois, espaços
métricos seriam todos segundo-separáveis.
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Capítulo 2
Axiomas de Separação
Veremos aqui três axiomas de separação. Na verdade, um deles já foi visto anteriormente,
os chamados Espaços Hausdor�. Muitas das consequências dele já foram estudadas. Por-
tanto veremos os outros dois com mais detalhes aqui.
2.1 Espaços Regulares e Normais
De�nição 2.1.1. Chamamos de Espaço Regular, um espaço topológico X tal que cada
conjunto unitário é um conjunto fechado e para todo par (p, F ) com p um ponto e F
um conjunto fechadom temos que existem abertos disjuntos, um contendo p e o outro
contendo F .
Dizemos que X é um textcolor�reengineredEspaço Normal quando cada conjunto uni-
tário em X é fechado e para cada par (A,B) de conjuntos fechados em X, existem abertos
disjuntos, um contendo A e o outro contendo B.
Veja que o nome Axiomas de Separação, vem da noção de separarmos os conjuntos
fechados através de abertos disjuntos no espaço. Entretanto, este nome nada tem a ver
com os conceitos de separação de espaços conexos, como podemos perceber por essas
de�nições.
Repare também que espaços Normais são automaticamente espaços Regulares e es-
paços Regulares são automaticamente espaços Hausdor�. Assim, se N , R e H são as
coleções de espaços respectivamente, Normais, Regulares de Hausdor�, devemos ter
H ⊂ R ⊂ N .
Veja que essa inclusão é válida graças à necessidade que estamos impondo em cada
de�nição de conjuntos unitários serem fechados. Se isso não fosse imposto, teríamos
que conjuntos formados por dois pontos com a topologia discreta são espaços Normais e
Regulares, mas não são Hausdor�.
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Lema 2.1.1. Seja X um espaço topológico com conjuntos unitários fechados.
(a) X é Regular se, e somente se, para todo ponto x ∈ X e um aberto U contendo
x, existe uma vizinhança V de x com V ⊂ U ;
(b) X é Normal se, e somente se, para todo conjunto fechado F de X e um aberto
U contendo F , existe um aberto V contendo F e tal que V ⊂ U .
Teorema 2.1.1. (a) Subespaço de Hausdor� é Hausdor�. Produto de Hausdor� é
Hausdor�;
(b) Subespaço de Regular é Regular. Produto deRegular é Regular.
Ou seja, os axiomas de Hausdor� e de Regularidade são bem comportados com respeito
à essas operações de subsespaço e produtos. Entretanto, como veremos espaços Normais
não gozam dessa propriedade.
Alguns exemplos importantes são do espaço RK (vide Munkres) que é um espaço de
Hausdor� que não satisfaz o axioma da Regularidade e, por consequência tmabém não
satisfaz o axioma da Normalidade. O espaço R` é normal, ou seja, satisfaz todos os
axiomas. E o plano de Sorgenfrey R2` não é um espaço normal, embora seja regular. Veja
que este último exemplo mostra que produto de Normais não é necessariamente normal,
já que como vimos R` é normal, mas R` × R` = R2` não é normal.
2.2 Espaços Normeias
Vamos agora focar no terceiro axioma de separação, o da Normalidade.
Teorema 2.2.1. Todo espaço Regular com base enumerável é Normal.
Teorema 2.2.2. Todo espaço metrizável é Normal.
Teorema 2.2.3. Todo espaço Hausdor� compacto é Normal.
Teorema 2.2.4. Todo conjunto bem ordenado é Normal na topologia da ordem.
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Alguns exemplos importantes em relação à espaços Normais. Se considerarmos J
um conjunto não-enumerável, então RJ não é Normal. Veja que isso nos implica que
subespaços de espaços normais não necessariamente são Normais, uma vez que o conjunto
RJ é homeomorfo ao conjunto (0, 1)J como subespaço do compacto e Hausdor� (portanto
normal) [0, 1]J , logo (0, 1)J não é Normal, embora [0, 1]J seja. Além disso, vemos também
que produto não enumerável de Normais não é necessariamente Normal, já que R é normal
(é claro que aqui estamos falando da topologia usual).
Agora, considere o produto SOmega × SΩ que é um espaço regular, mas não é normal.
Além disso, cada parcela desse produto é Noemal, entretanto, o produto em si não é
Normal, ou seja, produto de dois Normais não é necessariamente Normal.
2.3 Lema de Urysohn
Vamos estabelecer primeiramente o Lema de Urysohn, que apesar do nome, é um teorema,
depois disso vamos dar uma estudada em suas consequências e depois estudaremos de
maneira breve sua demonstração.
Teorema 2.3.1 (Lema de Urysohn). Seja X um espaço Normal, A e B fechados
disjuntos de X. Seja [a, b] um intervalo fechado da reta. Então existe uma aplicação
f : X → [a, b]
tal que f(x) = a, ∀x ∈ A e f(x) = b ∀x ∈ B.
De�nição 2.3.1. Se A e B são conjuntos de X e se existe uma função contínua f : X →
[0, 1] tal que f(A) = {0} e f(B) = {1} entãodizemos que A e B podem ser separados por
uma função contínua.
De�nição 2.3.2. X é Completamente Regular se conjuntos unitários forem fechados em
X e se para cada x0 ∈ X e cada fechado F em X não contendo x0, existir uma função
contínua f : X → [0, 1] com f(x0) = 0 e f(F ) = 1.
A necessidade da criação deste axioma, vem como uma forma de "resover"o problema
de usar o Lema de Urysohn como uma versão adaptada para o axioma da Regularidade.
Entretanto, o Lema não é necessariamente válido para espaços Regulares, assim, os espaços
que satisfazem o "Lema de Urysohn adaptado"são os espaços chamados de Completamente
Regulares. Esses espaços satisfazem também o axioma da Regularidade, mas não o da
Normalidade e, portanto, o axioma da Regularidade Completa é intermediário com relação
à esses últimos dois.
Teorema 2.3.2. Um subespaço de espaço Completamente Regular é Completamente
Regular. Um produto de espaços Completamente Regulares é Completamente Regular.
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Ou seja, o axioma do Completamente Regular é bem comportado com respeito às
operações de tomar um subespaço e de produtos, coisa que os espaços Normais não são
como já vimos. Os espaços R2` e SΩ×SΩ são exemplos de espaços completamente regulares
mas não Normais. Exemplos de espaços que são Completamente Regulares que não são
Regulares são mais difíceis de encontrar, mas existem.
2.4 Demonstração do Lema De Urysohn
Comecemos notando que como [a, b] ' [0, 1], trabalharemos com o intervalo [0, 1] por
simplicidade, mas o resultado se extende ao caso geral facilmente. A demonstração do
teorema consiste em 4 partes, primeiro, de�nimos uma coleção de conjuntos com certa pro-
priedades. Mostramos que essa coleção se extende ao conjunto dos reais, dpois de�nimos
a função f e �nalmente, mostramos que f é contínua.
Passo 1: Considere P = [0, 1] ∩ Q que é enumerável. Tome uma enumeração para
P de tal forma que os primeiros elementos sejam 0 e 1. Vamos de�nir uma família
{Up; p ∈ P} de tal forma que sempre que p < q, temos Up ⊂ Uq. Para tanto, comece
tomando U1 = X − B e, do lema da normalidade, como X é espaço Normal, temos que
existe um aberto U0 tal que A ⊂ U0 e U0 ⊂ U1. Por indução (oou por recursão) podemos
costruir a família dos conjuntos Up dessa foram.
Passo 2: Vamos extender este conceito à todos os números reais da seguinte forma,
tome Up = ∅ quando p < 0 e Up = X quando p > 1. Assim, temos que a propriedade
dessa famlía continua valendo, ou seja, para quaisquer p, q ∈ Q, se p < q, temos Up ⊂ U1.
Passo 3: Considere o conjunto Q(x) = {p ∈ Q;x ∈ Up}, que é um conjunto limitado
inferiormente e logo existe seu ín�mo. De�na então f : X → [0, 1] por f(x) = inf Q(x).
Daí,
0 ≤ inf Q(x) ≤ 1, ∀x ∈ X e ((1,∞) ∩Q) ⊂ Q(x).
Assim A ⊂ U0 ⇒ f(a) = inf{[0,∞) ∩ Q} = 0, ∀a ∈ A. E como B ∩ U1 = ∅ e
Up ⊂ U1 ∀p < 1, B ∩ Up = ∅ ∀p < 1. Assim, b ∈ Up apenas quando p < 1 portanto
Q(b) = (1,∞) ∩Q portanto f(b) = inf Q(b) = 1, ∀b ∈ B.
Passo 4: Finalmente, resta mostrar que f assim de�nida é contínua. Para tanto,
temos que mostrar que
(1) x ∈ U r ⇒ f(x) ≤ h;
(2) x 6∈ Ur ⇒ f(x) ≥ h;
Dado x0 ∈ X e um aberto (c, d) ⊂ R tal que f(x0) ⊂ (c, d). Escolhendo p, q ∈ Q tais
que
c < p < f(x0) < q < d
temos que o conjunto U = Uq − Up é aberto em X, contém o ponto x0 e f(U) ⊂ (c, d),
logo f é uma função contínua.
8
2.5 Convergência de Funções
Considere X um conjunto não vazio e Y um espaço métrico. Seja fn : X → Y , n ∈ N
uma família de funções, então (fn)n∈N é uma sequência de funções e (fn(x))n∈N é uma
sequência de pontos em Y . Dizemos que
� (fn) converge pontualmente (ou simplesmente) para a função f : X → Y se para
cada x ∈ X (fn(x))n∈N converge para f(x). Dizemos que f(x) é o limite de (fn(x))
e que f(x) = lim
n→∞
fn(x). Denotamos por fn
p−→ f ;
� (fn) converge uniformemente para f : X → Y se para todo ε > 0, existir n0 ∈ N tal
que ∀n ≥ n0 temos d(fn(x), f(x)) < ε para todo x ∈ X. Notação: fn
u−→ f .
Teorema 2.5.1 (Teorema da Convergência Uniforme). Seja fn : S → Y , com X
espaço topológico e Y espaço métrico, contínua para todo n ∈ N. Se fn
u−→ f então f
é contínua.
Teorema 2.5.2 (Extensão de Tietze). Seja X um espaço Normaç e A ⊂ X subespaço
fechado de X, temos:
(a) Se f : A → [a, b] é contínua, então existe g : X → [a, b] contínua e tal que
g|A = f ;
(b) Se f : A→ R é contínua, então existe h : X → R contínua tal que h|A = f .
Lema 2.5.1. Seja X Regular com base enumerável (ou seja, segundo-enumerável).
Então existe uma coleção enumerável fn : X → [0, 1] n ∈ N de funções contínuas
satisfazendo a propriedade:
Dado x0 ∈ X e U aberto em X com x0 ∈ U , existe r ∈ N tal que fr(x0) > 0 e
fr(x) = 0 para todo x ∈ X − U .
2.6 Teorema da Metrização de Urysohn
Esse teorema de grandíssima importância para o estudo dos espaços topológicos, nos dá
uma condição para identi�carmos quando um espaço é mtrizável ou não. Na realidade,
veremos nele que basta que um espaço topológico seja Regular e segundo-enumerável, para
que ele seja metrizável. Na verdade, mais estudos envolvendo este tema foram feitos e
descubriu-se que a hipótese de ser segundo-enumerável pode ser descartada e substituída
por outras, mais fracas, hipóteses, entretanto isso é um assunto que não será tratado aqui.
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Teorema 2.6.1. X espaço topológico Regular com base enumerável então X é me-
trizável.
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Capítulo 3
Espaços Métricos Completos
3.1 De�nições Iniciais
De�nição 3.1.1. Uma sequência (xn)n∈N de pontos em (X, d) chama-se sequência de
Cauchy, se para todo ε > 0, existir um n0 ∈ N tal que ∀n,m ≥ n0 d(xn, xm) < ε.
De�nição 3.1.2. Um espaço métrico é dito completo se toda sequência de Cauchy em
X convergir para um pontoem X.
De�nição 3.1.3. Sejam X e Y espaços métricos. f : X → Y é um homeomor�smo
uniforme se satisfaz:
(i) f é uniformemente contínua;
(ii) f é bijetora;
(iii) f−1 é uniformemente contínua.
Notação. X
u' Y .
Importante lembrarmos aqui que uma função é dita uniformemente contínua quando
para quaisquer pontos x, y no domínio, e para qualquer ε > 0, existir δ > 0 tal que
dX(x, y) < δ ⇒ dY (f(x), f(y)) < ε.
De�nição 3.1.4. d e d′ são ditas uniformemente equivalentes se id : (X, d) → (X, d′) é
um homeomor�smo uniforme.
Notação. d u∼ d′.
De�nição 3.1.5. (X, d) um espaço métrico. Um completamento deX é um par ((X̂,D), ϕ)
tal que:
(i) (X̂,D) é um espaço métrico completo;
(ii) ϕ : X → X̂ é contínua, bijetora e ϕ : X → ϕ(X) é isometria;
(iii) ϕ(X)) = X̂.
Lembre-se de Análise Funcional que uma isometria é uma bijeção que preserva distân-
cias, i.e. d(x, y) = D(ϕ(x), ϕ(y)).
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3.2 Resultados Principais
Estamos munidos agora de maneira adequada para vermos os principais resultados nos
estudos dos espaços métricos competos. Embora esses estudos estejam mais voltados para
a área de espaços métricos, ainda existem resultados extremamente interessantes do ponto
de vista da topologia, como veremos.
(1) (xn) de Cauchy em X. Se existir uma subsequência (xnk)k∈N tal que xnk → p ∈ X
então xn → p.
(2) X é completo e A ⊂ X é fechado, então A é completo.
(3) Todo espaço métrico compacto é completo.
(4) A ⊂ X, A completo, então A é fechado em X.
(5) (XI , di) espaços métricos completos, então X =
n∏
i=1
é completo com D, D1 ou D2.
(6) Toda sequência de Cauchy num espaço vetorial normado é limitada.
(7) (R, dusual é completo.
(8) (Rn, D), (Rn, D1) e (Rn, D2) são completos.
(9) X, Y espaços métricos e f : X → Y uniformemente contínua e (xn) uma sequência
de Cauchy em X, então (fn(xn)) é de Cauchy em Y .
(10) X
u' Y e X completo, então Y é completo.
(11) d u∼ d′ em X. (X, d) é completo se, e somente se, (X, d′) é completo.
(12) Rn, D, D1, D2. D1
u∼ D2
u∼ D.
(13) Seja d̄ : X ×X → R dada por d̄(x, y) = min{1, d(x, y)} temos que d̄ u∼ d e
(a) (xn) sequência de Cauchy em (X, d) se, e somente se, (xn) é sequência de
Cauchy em (X, d̄);
(b) (X, d) completo se, e somente se, (X, d̄) completo.
(14) Teorema do completamento: Todo espaço métrico tem um completamento.
Vimos que se X é um espaço métrico então
X é compacto ⇒ X é completo
X é compacto ⇒ X é totalmente limitado
X é compacto ⇒ X é sequencialmente compacto.
Agora, temos o seguinte teorema.
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Teorema 3.2.1. Um espaço métrico X é compacto se, e somente se, X é completo
e totalmente limitado.
IMPORTANTE: (R, dusual) é completo e (] − 1, 1[, dusual) não é completo, entretanto
R ']− 1, 1[ ou seja, COMPLETUDE NÃO É PROPRIEDADE TOPOLÓGICA!
13
Capítulo 4
Espaço de Funções
4.1 Topologia da Convergência Uniforme
Considere o conjunto F(J, Y ) = {f : J → Y ; f é função}, denotado também por Y J . Se
(Y, d) é um espaço métrico, de�nimos em Y J a métrica:
∀f, g ∈ Y J , ρ̄(f, g) = sup{d̄(f(x), g(x); x ∈ J}
ρ̄ é chamada de métrica uniforme sobre Y J correspondente à métrica d em Y . Assim,
(Y J , ρ̄) é um espaço métrico.
Teorema 4.1.1. (Y, d) é completo se, e somente se, (Y J , ρ̄) é completo.
Teorema 4.1.2. X espaço topológico e (Y, d) espaço métrico. Seja C(X, Y ) ⊂ Y X
o conjunto das funções contínuas de X em Y . Então C(X, Y ) é fechado em (Y X , ρ̄).
Assim, se (Y, d) é completo, C(X, Y ) também é.
Seja F ⊂ Y X tal que para quaisquer f, g ∈ F , temos limitado o conjunto {d(f(x), g(x); x ∈
X, então podemos de�nir em F :
ρ(f, g) = sup{d(f(x), g(x)); x ∈ X}
ρ é uma métrica em F chamada de métrica do sup.
Seja B(X, Y ) o conjunto das funções de X em Y limitadas, e (Y, d) um espaço métrico
e f ∈ B(X, Y ) então f(X) é limitado, logo d(f(x), f(y) < Kf para todo x, y ∈ X e
para algum Kf ∈ R+. Em B(X, Y ) temos que as métricas ρ̄ e ρ são uniformemente
equivalentes. Assim,
(B(X, Y ), ρ̄) é completo se, e somete se, (mathcalB(X, Y ), ρ) é completo.
τρ de�nida em B(X, Y ) é chamada de Topologia da Convergência Unifrome. Nome
esse que se justi�ca pois se (fn) ⊂ B(X, Y ) então fn
ρ−→ f ⇔ fn
u−→ f em (Y, d).
14
Teorema 4.1.3. X espaço topológico e (R, τusual). (B(X,R), ρ) é completo.
Observe que se X for espaço topológico e Y um espaço métrico então (C(X, Y ), ρ̄) é su-
bespaço de (Y X , ρ̄). Se X é compacto, C(X, Y ) ⊂ B(X, Y )⇒ (C(X, Y ), ρ) = (C(X, Y ), ρ̄)
e τρ = τρ̄). Além disso, se (Y, d) for completo e X for compacto, então (C(X, Y ), ρ) é
completo.
4.2 Equicontinuidade
De�nição 4.2.1. (Y, d) espaço métrico X espaço topológico. Seja E ⊂ C(X, Y ). E é
dito Equicontínuo em x0 ∈ X se para qualquer ε > 0 existir uma vizinhança aberta U
de x0 tal que para todo x ∈ U e todo f ∈ E, tem-se d(f(x), f(x0)) < ε. Ou seja, para
qualqeur f ∈ E f(U) ⊂ B(f(x0), ε).
Lema 4.2.1. X espaço topológico compacto. Um subconjunto E de C(X, Y ) é equi-
contínuo se, e somente se, E é totalmente limitado na métrica ρ.
Lema 4.2.2. X espaço métrico compacto e (Rn, D). Seja C(X,Rn) com a métrica
do sup. Se E ⊂ C(X,Rn) é limitado então existe um subespaço Y de Rn tal que
E ⊂ C(X, Y ) ⊂ C(X,Rn) e Y é compacto.
Teorema 4.2.1 (Teorema de Áscoli). X espaço topológico compacto. E ⊂ C(X,Rn)
na métrica ρ é compacto se, e somente se, E é fechado, limitado e equicontínuo.
4.3 Topologia da Convergência Simples e Compacta
Introduziremos agora três novas topologias para o espaço Y X , a da convergência simples,
da convergência compacta e a compacto-aberta.
De�nição 4.3.1. Dado x ∈ X e um aberto U do espaço Y , seja
S(x, U) = {f ; f ∈ Y X e f(x) ∈ U}
os conjuntos S(x, U) formam uma subbase para uma topologia τCS chamada de topologia
da convergência simples.
Essa topologia não é nada nova, já que coincide com a topologia produto para produtos
arbitrários de espaços. De fato, veja que chamando X = J e um elemento de J por α
então os conjuntos S(α, U) são os conjuntos das funções x : J → X tais que x(α) ∈ U ,
isto é, S(α, U) = π−1α (U) de Y
J que forma uma subbase para a topologia produto. Assim,
veja que
15
Teorema 4.3.1. (fn) converge para f pontualmente na topologia da convergência
simples se, e somente se, para cada x ∈ X, fn(x) converge para f(x) em (Y, d).
De�nição 4.3.2. Seja (Y, d) um espaço métrico X espaço topológico. Dado f ∈ Y X , C
compacto em X e ε > 0. Seja
BC(f, ε) = {g ∈ Y X ; sup{d(f(x), g(x)); x ∈ C} < ε}.
Os conjuntos BC(f, ε) formam uma base para uma topologia em Y X chamada de topologia
da convergência compacta denotada por τCC .
Veja que enquanto a topologia da convergência simples tem como subbase (e portanto
básicos) conjuntos de funções que são próximas de f em um número �nito de pontos, a
topologia da convergência compacta tem como básicos conjuntos que são próximos de f
em in�nitos pontos, mais precisamente, em todos os pontos de um conjunto compacto. O
seguinte teorema justi�ca o nome da topologia:
Teorema 4.3.2. Uma sequência (fn) converge para uma função f em τCC se, e
somente se, para cada compacto C de X, fn|C converge uniformemente para f |C.
Para a próxima e última topologia que apresentaremos, precisamos de�nir
De�nição 4.3.3. Um espaço X é dito compactamente gerado se satisfaz: A aberto em
X se, e somente se, A ∩ C é aberto em C para cada conjunto C compacto em X.
Essa de�nição também pode ser dada em termos dos conjuntos fechados.
De�nição 4.3.4. X e Y espaços topológicos. Se C for um subconjunto compacto de X
e U for um aberto em X. De�na:
S(C,U) = {f ; f ∈ C(X, Y ) e f(C) ⊂ U}.
Então S(C,U) forma uma subbase para uma topologia em C(X, Y ) chamada de topo-
logia compacto-aberta denotada por τCA.
Uma importante consequência dessa topologia é dada na forma do seguinte teorema:
Teorema 4.3.3. X espaço topológico (Y, d) espaço métrico. Então, em C(X, Y ) as
topologias compacto-aberta e da convergência compacta coincidem.
Ou seja, a topologia compacto-aberta é uma topologia de�nida em espaços topológicos
quaisquer. Porém quando o espaço do contra domínio for um espaço métrico, devemos
ter a topologia coincidindocom a topologia da convergência compacta.
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Capítulo 5
Introdução aos Espaços de Baire
5.1 De�nição e Teorema da Categoria de Baire
Vamos introduzir agora o conceito de um espaço de Baire, bem como daremos apenas
brevemente um resultado que nos permite de�nir de maneira equivalente um espaço de
Baire, bem como veremos também uma bela aplicação do estudo dos espaços de Baire,
além de vermos o Teorema da Categoria de Baire.
Lembre que podemos de�nir o interior de um conjunto como sendo a união de todos
os abertos contidos nesse conjunto. Por essa linha, dizemos que um conjunto tem interior
vazio quando nenhum conjunto aberto diferente do vazil está contido nesse conjunto.
Usaremos essa ideia na de�nição dos espaços de Baire.
De�nição 5.1.1. X é dito um Espaço de Baire se satisfaza a propriedade:
Dada uma coleção enumerável {An} de conjuntos fechados de X todos com interior
vazio. Então o conjunto
∞⋃
n=1
tem interior vazio em X.
Uma de�nição completamente equivalente, mas dada em termos de conjuntos abertas
é dada na forma do seguinte lema
Lema 5.1.1. X é um espaço de Baire se, e somente se, para qualquer coleção enu-
merável {Un} de abertos com complementar denso em X temos que
(
∞⋂
i=1
Un
)
= X,
i.e., a intersecção desses conjuntos é densa em X.
Veja que a condição de o complementar de um conjunto aberto ser denso no espaço
é equivalente à dizer que o conjunto tem interior vazio, já que nesse caso todo ponto do
conjunto é ponto de acumulação do complementar.
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Teorema 5.1.1 (Teorema da Categoria de Baire). X Hausdor� compacto, ou espaço
métrico completo, então X é um espaço de Baire.
5.2 Aplicação da Teoria de Espaços de Baire
Para �nalizar nossos estudos em Topologia Geral, vamos ver uma aplicação do estudo de
Espaços de Baire. Veja que é uma pergunta natural se uma função que é o limite pontual
de uma sequência de funções contínuas, é uma função contínua. Em análise, vemos que
isso não é verdade, entretanto, nos perguntamos o quão longe esses limite está de ser uma
função contínua. No caso dos espaços de Baire veremos que o conjunto em que a função
é contínua, deve ser um conjunto denso no espaço. Para ver isso precisamos do lema a
seguir.
Lema 5.2.1. Qualquer subespaço aberto Y de um espaço de Baire X é um espaço
de Baire.
E �nalmente, respondemos à perugunta original.
Teorema 5.2.1. Sejam X um espaço topológico, (Y, d) um espaço métrico. Seja
fn : X → Y uma sequência de funções contínuas tais que fn(x) → f(x) para todo
x ∈ X, onde f : X → Y . Se X é um espaço de Baire, o conjunto de pontos onde f
é contínua é denso em X.
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