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TOPOLOGIA GERAL
Mauricio A. Vilches
Departamento de Análise - IME
UERJ
2
Copyright by Mauricio A. Vilches
Todos os direitos reservados
Proibida a reprodução parcial ou total
3
PREFÁCIO
Provavelmente a Topologia é a mais novas das linhas da Matemática clássica, pois
a Topologia aparece no século XV II com o nome de Analyse Situs, isto é análise da
posição. Muitos autores concordam que o primeiro a tentar estudar propriedades to-
pológicas foi Leibniz, em 1679. Posteriormente, Euler em 1736 publica a solução do
problema das pontes da cidade de Köenigsberg, institulado "Solutio problematis ad ge-
ometriam situs pertinentis". As bases da Topologia moderna foram estabelicidas no Con-
gresso Internacional de Matemática de 1909, em Roma, onde Riesz propõe um carater
axiomático da Topologia, baseado na teoria dos conjuntos, sem o conceito de distância
subjacente. Em 1914, Hausdorff define os conjuntos abertos através de axiomas, sem
consideraçãoes métricas. Existem outras vertentes onde a topologia encontrou novos
impulsos para seu desenvolvimento, por exemplo, na Análise Funcional e nas Equa-
ções Diferenciais Ordinárias, através de Banach e Poincaré, respectivamente.
A Topologia utiliza os mesmos objetos que a Geometria, com a seguinte diferença: não
interessa a distância, os ângulos nem a configuração dos pontos. Na Topologia, objetos
que possam transformar-se em outros, através de funções contínuas reversíveis, são
equivalentes e indistinguiveis. Por exemplo, círculos e elipses, esferas e paralelelpípe-
dos.
A Topologia é pré-requisito básico em quase todas as áreas da Matemática moderna,
da Geometria Diferencial à Álgebra e é fonte atual de efervescente pesquisa.
Mauricio A. Vilches
Rio de Janeiro
4
Conteúdo
1 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 9
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Topologias e Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Sub-bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Topologia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Pontos e Conjuntos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9 Topologia Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.10 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.11 Abertos e Fechados em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.12 Espaços Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.13 Espaços Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.14 Topologia de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.15 Topologia de Zariski em Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.16 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 45
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Continuidade em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Topologia Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Topologia Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Funções Abertas e Fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 HOMEOMORFISMOS 61
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Exemplos de Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Grupos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Homeomorfismos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5
6 CONTEÚDO
3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 TOPOLOGIA QUOCIENTE 83
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Topologia Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.1 Espaço Projetivo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 Faixa de Möebius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Espaços Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.1 O Círculo como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.2 O Cilindro como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.3 A Faixa de Möebius como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . 89
4.3.4 A Esfera como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.5 O Toro como Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.6 A Garrafa de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.7 O Cone e Suspensão de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5 Ações de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.1 Espaço Projetivo Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6 G-espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6.1 O Círculo como Z-espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6.2 O Toro como Z× Z -espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 COMPACIDADE 111
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.5 Compacidade em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6 AXIOMAS DE SEPARAÇÃO 125
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Espaços de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3 Espaços de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4 Espaços de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.5 Topologia Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.6 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.7 Variedades Topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
CONTEÚDO 7
7 CONEXIDADE 145
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.2 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3 Aplicacões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.4 Conexidade por Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Bibliografia 159
8 CONTEÚDO
Capítulo 1
ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
1.1 Introdução
A seguir apresentaremos a definição de Topologia que é, essencialmente, a generaliza-
ção de algumas das propriedades intrínsecas dos intervalos abertos em R.
Se espera do leitorconhecimentos básicos da Teoría de Conjuntos. As notações que
utilizaremos, são as usuais da Teoría de Conjuntos.
1.2 Topologias e Conjuntos Abertos
Notações
Seja X um conjunto não vazio. Denotemos por P(X) a família de todos os subconjun-
tos de X e por Ac = X − A o complementar de A em X .
Definição 1.1. Uma topologia sobre X é uma família T ⊂ P(X) tal que:
1. X, ∅ ∈ T.
2. Dada uma família arbitrária {Aα ∈ T / α ∈ Γ}, então:⋃
α∈Γ
Aα ∈ T.
3. Dados B1, B2, . . . , Bn ∈ T, então:
n⋂
i=1
Bi ∈ T.
9
10 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Observação 1.1. Em outras palavras, uma topologia é uma família de subconjuntos de
X tais que o conjunto vazio e o conjunto X devem pertencer à topologia; a reunião
arbitrária de elementos da topologia deve pertencer à topologia e a interseção finita de
elementos da topologia deve pertencer à topologia.
Definição 1.2.
1. Os elementos de T são ditos conjuntos abertos de X ou simplesmente abertos
de X .
2. O par
(
X,T
)
é chamado espaço topológico.
1.3 Exemplos
A seguir apresentaremos uma série de exemplos que utilizaremos em todos os capítu-
los seguintes.
[1] Todo conjunto X não vazio possui as seguintes topologias:
1. Tind = {X, ∅}, chamada topologia indiscreta. Logo, os únicos subconjuntos aber-
tos de X são ∅ e X .
2. Tdis = P(X), chamada topologia discreta. Logo, todos os subconjuntos de X são
abertos.
3. Se X tem mais de 2 elementos, então:
Tind 6= Tdis.
[2] Seja X = {a, b, c}. Verifiquemos se as seguintes famílias de subconjuntos de X são
uma topologia em X .
1. T1 = {∅, X, {a}}.
2. T2 = {∅, X, {a}, {b}}.
3. T3 = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}}.
1.3. EXEMPLOS 11
Claramente, T1 e T3 são topologias para X . T2 não é uma topologia em X , pois:
{a} ∪ {b} /∈ T2.
[3] Seja X = {a, b}. A topologia:
Tsier = {∅, X, {a}}
é dita de Sierpinski.
[4] Seja X = R e definamos a seguinte topologia:
T = {∅, A ⊂ R},
onde A ∈ T se, e somente se para todo x ∈ A existe um intervalo aberto (a, b) tal que:
x ∈ (a, b) ⊂ A.
1. Claramente ∅, R ∈ T.
2. Seja {Aα ∈ T / α ∈ Γ}, então: ⋃
α∈Γ
Aα ∈ T.
De fato, seja x ∈
⋃
α∈Γ
Aα, então existe α0 ∈ Γ tal que x ∈ Aα0 ∈ T; logo, existe (a, b)
e:
x ∈ (a, b) ⊂ Aα0 ⊂
⋃
α∈Γ
Aα.
3. Sejam B1, B2 ∈ T; então, dado x ∈ B1 ∩ B2 temos que x ∈ B1 ∈ T e x ∈ B2 ∈ T,
logo existem (a1, b1) e (a2, b2) tais que x ∈ (a1, b1) ⊂ B1 e x ∈ (a2, b2) ⊂ B2. Se
denotamos por a = max{a1, a2} e b = min{b1, b2}, temos:
x ∈ (a, b) ⊂ B1 ∩B2.
Por indução: Se B1, B2, . . . , Bn ∈ T, então
n⋂
i=1
Bi ∈ T.
12 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Observação 1.2. Esta topologia é chamada euclidiana ou usual e será denotada por
Tus.
[5] Seja X = R2 e definamos a seguinte topologia:
T = {∅, A ⊂ R2},
ondeA ∈ T se, e somente se para todo (x, y) ∈ A existe um retângulo aberto (a, b)×(c, d)
tal que:
(x, y) ∈ (a, b)× (c, d) ⊂ A.
Observação 1.3. De forma análoga ao exemplo anterior, T é uma topologia e é tam-
bém chamada euclidiana ou usual e será denotada por Tus. Não é difícil ver que esta
topologia pode ser estendida a Rn.
[6] Seja R2 e consideremos a família:
Tk = {∅, R2, Gk / k ∈ R},
onde:
Gk = {(x, y) ∈ R2 / x > y + k}.
Então,
(
R2,Tk
)
, é um espaço topológico.
1. ∅, R2 ∈ Tk, por definição.
2. Seja Gk ∈ Tk tal que k ∈M ⊂ R:
Se M é limitado inferiormente, seja m = inf M , então:
⋃
k∈M
Gk = Gm ∈ Tk.
De fato, seja (x, y) ∈
⋃
k∈M
Gk; então, existe k ∈ M tal que (x, y) ∈ Gk, isto é
x− y > k ≥ m; logo, (x, y) ∈ Gm e⋃
k∈M
Gk ⊂ Gm.
1.3. EXEMPLOS 13
Seja (x, y) ∈ Gm; então, x − y > m; logo, existe k ∈ M tal que x − y > k, caso
contrário x− y seria uma cota inferior de M maior que m; então:
Gm ⊂
⋃
k∈M
Gk.
Se M não é limitado inferiormente, então:
⋃
k∈M
Gk = R2.
De fato, seja (x, y) ∈ R2, então, existe k ∈ M tal que x− y > k; caso contrário, M
seria limitado inferiormente por x− y, logo (x, y) ∈ Gk.
3. Sejam Gk1 , Gk2 ∈ Tk e considere k1 = max{k1, k2}; então, Gk1 ⊂ Gk2 e:
Gk1 ∩Gk2 = Gk1 ∈ Tk.
[7] Seja X um conjunto não vazio e:
T = {A ⊂ X /Ac é finito ou é X}.
T é uma topologia para X .
1. Claramente, X e ∅ pertencem a T.
2. Seja {Aα ∈ T / α ∈ Γ}; então: ⋃
α∈Γ
Aα ∈ T.
De fato: ( ⋃
α∈Γ
Aα
)c
=
⋂
α∈Γ
Acα,
como Acα é finito, a interseção é finita ou é todo X .
14 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
3. Sejam B1, B2, . . . , Bn ∈ T, então:( n⋂
i=1
Bi
)c
=
n⋃
i=1
Bci ,
a união é finita ou todo X , pois cada conjunto é finito ou todo X .
Observação 1.4. Esta topologia é chamada de cofinita e denotada Tcof . Se X é finito,
então Tcof = Tdis.
Exemplo 1.1. Seja X = R com a topologia Tcof .
O conjunto (−∞, 1) não é aberto nesta topologia, pois seu complementar é [1,+∞) e
não é finito nem igual a R. Mas, o conjunto (−∞, 1)∪(1,+∞) é aberto. Nesta topologia
os abertos são da forma:
A = R−
n⋃
i=1
{xi / xi ∈ R}.
SejaX = R com a topologia Tus. SeA ⊂ R é finito, entãoA não é aberto. Analogamente
em Rn.
1.4 Conjuntos Fechados
Os conjuntos fechados são os duais dos conjuntos abertos, num espaço topológico. Ve-
remos que a topologia num espaço topológico, também pode ser caracterizada atraves
dos conjuntos fechados.
Definição 1.3. Seja F ⊂ X . F é dito fechado em X se F c ∈ T.
Observação 1.5. Isto é, um conjunto é fechado se, e somente se seu complementar é
um conjunto aberto.
Exemplo 1.2.
[1] X e ∅ são fechados em X .
[2] Seja
(
X,Tsier
)
; então os fechados de X são ∅, X e {b}.
[3] Considere X = {a, b, c} com a T3 do exemplo [??]. Determinemos os conjuntos
fechados de X .
1.4. CONJUNTOS FECHADOS 15
Primeiramente X e ∅ são fechados em X . Os conjuntos {a} e {b} não são fechados; de
fato:
{a}c = {b, c} /∈ T3
{b}c = {a, c} /∈ T3.
Por outro lado {c}, {a, c} e {b, c} são fechados em X :
{c}c = {a, b} ∈ T3
{a, c}c = {b} ∈ T3
{b, c}c = {a} ∈ T3.
Teorema 1.1. Seja
(
X,T
)
espaço topológico e F a família de conjuntos fechados; então:
1. X, ∅ ∈ F.
2. Sejam F1, F2, . . . , Fn conjuntos fechados em X ; então:
n⋃
i=1
Fi
é fechado em X .
3. Sejam Fα ∈ F, arbitrários tal que α ∈ Γ, então:⋂
α∈Γ
Fα ∈ F.
Prova: A prova é imediata. De fato:
( n⋃
i=1
Fi
)c
=
n⋂
i=1
F ci ∈ T
( ⋂
α∈Γ
Fα
)c
=
⋃
α∈Γ
F cα ∈ T.
16 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Exemplo 1.3. Seja
(
R,Tus
)
; então todo conjunto finito é fechado.
De fato, dado x ∈ R, então {x} é fechado em R pois:
{x}c = (−∞, x) ∪ (x,+∞);
logo se A = {x1, x2, . . . xn} temos que:
A =
n⋃
i=1
{xi}.
O exemplo anterior vale em Rn.
Observações 1.1.
1. A propriedade de ser aberto ou fechado é independente uma da outra.
2. Um conjunto pode ser simultaneamante fechado e aberto, aberto e não fechado,
fechado e não aberto ou nehum dos dois.
3. A união infinita de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado. Por
exemplo, para todo subconjunto B ⊂ X , temos:
B =
⋃
b∈B
{b}.
4. Uma topologia num espaço topológico também pode ser caracterizada, pelos
seus conjuntos fechados.
Exemplo 1.4.
[1] Se X tem a topologia discreta, todo subconjunto de X é aberto e fechado.
[2] Seja X = R− {0} com a topologia euclidiana; então os conjuntos (−∞, 0) e (0,+∞)
são abertos. Como cada um deles é complementar do outro, também são fechados.
[3] O conjunto Q ⊂ R não é aberto nem fechado com a topologia usual e nem com a
topologia cofinita de R.
Definição 1.4. Sejam T1 e T2 topologias sobre X . Se T1 ⊂ T2, então dizemos que a
topologia T2 é mais fina que T1.
1.5. BASES 17
Exemplo 1.5.
[1] Em R2, Tcof é menos fina que a Tus. De fato, seja A ∈ Tcof ; então Ac é finito; logo Ac
é fechado em Tus e A é aberto em Tus.
[2] As topologias sobre um conjunto nem sempre podem ser comparadas. Por exem-
plo:
Seja X = {a, b} com as topologias: T1 = {∅, {a}, X} e T2 = {∅, {b}, X}. então T1 e T2
não podem ser comparadas.
Para toda topologia T sobre X temos:
Tind ⊂ T ⊂ Tdis.
No exemplo [1], temos:
Tind ⊂ T1 ⊂ T3 ⊂ Tdis.
1.5 Bases
Muitas vezes para introduzir uma topologia num conjunto não é necessário descrever
todos os conjuntos abertos da topologia, mas apenas alguns conjuntos especiais, os
chamados abertos básicos da topologia.
Sejam
(
X,T
)
um espaço topológico e B umafamília de subconjuntos de X tal que
B ⊂ T.
Definição 1.5. B é uma base para T se para todo A ∈ T, temos que:
A =
⋃
B∈B
B.
Observações 1.2.
1. Como B ⊂ T, então toda união de elementos de B também pertence a T. Os
elementos de B são ditos abertos básicos da topologia.
2. Se B é uma base de T, dizemos que B gera a topologia T, ou que T é a topologia
gerada por B.
18 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
3. Para todo A ∈ T existe B ∈ B tal que B ⊂ A. De fato, seja x ∈ A; como A ∈ T e
B é uma base de T, então:
A =
⋃
α∈Γ
Bα,
onde Bα ∈ B. Logo, existe α ∈ Γ tal que:
x ∈ Bα ⊂ A.
O seguinte teorema é um ótimo critério para verificar se uma família de subconjuntos
é uma base.
Teorema 1.2. Seja B ⊂ T. A família B é uma base de T se, e somente se
1. X =
⋃
B∈B
B.
2. Para todo B1B2 ∈ B, se x ∈ B1 ∩B2, então, existe B ∈ B tal que:
x ∈ B ⊂ B1 ∩B2.
Prova : Se B é uma base de alguma topologia T, entãoX é aberto; logo se escreve como
união de abertos básicos. Se B1, B2 ∈ B, então B1, B2 são abertos e B1 ∩ B2 é aberto;
logo se x ∈ B1 ∩B2, existe um aberto B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ B1 ∩B2.
Reciprocamente, se B satisfaz 1. e 2. e se exitir uma topologia que tem B como base,
todo aberto nesta topologia pode ser escrito como união arbitrária de elementos de B.
Definamos:
T = {U ⊂ X /U é união arbitrária de elementos de B}.
Devemos provar que T é uma topologia sobre X . Claramente ∅ ∈ T; por outro lado
X ∈ T, pelo ítem 1.
Sejam Aα ∈ T, arbitrários; cada Aα =
⋃
µ
Bα,µ, onde Bα,µ ∈ B; então:
A =
⋃
α
(⋃
µ
Bα,µ
)
=
⋃
α,µ
Bα,µ ∈ T.
Agora consideremos A1 e A2 ∈ T, então A1 =
⋃
α
Bα e A2 =
⋃
µ
Bµ, então:
1.5. BASES 19
A1 ∩ A2 =
(⋃
α
Bα
)
∩
(⋃
µ
Bµ
)
=
⋃
α,µ
(
Bα ∩Bµ
)
.
Se x ∈ A1 ∩ A2, existe pelo menos um par de índices (α, µ) tal que x ∈ Bα ∩ Bµ; por 2.
existe B ∈ B tal que:
x ∈ B ⊂ Bα ∩Bµ ⊂ A1 ∩ A2;
logo, A1 ∩ A2 é aberto. O caso geral segue por indução.
Definição 1.6. Os conjuntos B ∈ B tal que x ∈ B são chamados vizinhanças do ponto
x.
Exemplo 1.6.
[1] Uma topologia é base de si própria.
[2] Para Tind, a base é B = {X}.
[3] Para Tdis, a base é B = {{x} / x ∈ X}.
[4] Logo, bases diferentes podem gerar a mesma topologia.
[5] (Fundamental) Seja X = R e a, b ∈ R tal que a < b, então:
B = {(a, b)}
gera a topologia usual ou euclidiana de R.
De fato:
1. R =
⋃
a<b
(a, b).
2. Para todo x ∈ R, (x− 1, x+ 1) ∈ B.
3. Para todo x ∈ R tal que x ∈ (a1, b1) ∩ (a2, b2), temos:
x ∈ (a, b) ⊂ (a1, b1) ∩ (a2, b2),
onde a = max{a1, a2} e b = min{b1, b2}.
20 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
[6] Sejam R, B a base da topologia euclidiana e B′ = {[a, b) / a < b}. Suponha que B′ é
uma base. (Veja os exercícios). Então estas bases geram topologias diferentes.
Seja (a, b) ∈ B; para todo x ∈ (a, b), existe [x, b) ∈ B′ tal que:
x ∈ [x, b) ⊂ (a, b).
Por outro lado, dado [x, d) ∈ B′, não existe (a, b) ∈ B tal que:
x ∈ (a, b) ⊂ [x, d).
Logo, as bases geram topologias diferentes.
1.6 Sub-bases
Seja
(
X,T
)
um espaço topológico e S uma família de subconjuntos deX tal que S ⊂ T.
Definição 1.7. S é uma sub-base de T se a coleção de interseções finitas de elementos
de S é uma base de T.
Proposição 1.1. Sejam X um cojunto não vazio e S uma família de elementos de X
tais que para todo x ∈ X existe A ∈ S tal que x ∈ A. Seja B a coleção de interseções
finitas de elementos de S. Então, a família T formada por ∅, X e as uniões arbitrárias
de elementos de B é uma topologia para X e é a menor topologia que contém S.
Prova : Claramente ∅, X ∈ T e toda união de elementos de T pertence a T. Mostrare-
mos que qualquer interseção finita de elementos de T está em T, ou melhor, provare-
mos que se A, B ∈ T, então A ∩B ∈ T:
Se A ou B é vazio, está provada a proposição.
1. Suponha que A e B são não vazios. Então:
A =
⋃
α
Aα, B =
⋃
β
Bβ,
onde Aα, Bβ ∈ B. Logo:
A ∩B =
(⋃
α
Aα
)
∩
(⋃
β
Bβ
)
=
⋃
α, β
(
Aα ∩Bβ
)
.
Por outro lado Aα e Bβ são interseções finitas de elementos de S, logo Aα ∩ Bβ é
uma interseção finita de elementos de S e, A ∩B ∈ T.
1.7. TOPOLOGIA RELATIVA 21
2. Claramente S ⊂ T.
3. Se T′ é outra topologia em X que também contém S, então B ⊂ T′; logo, T′ deve
conter as uniões arbitrárias de elementos B, isto é T ⊂ T′. Então T é a menor
topologia sobre X que contém S, isto é, S é uma sub-base de X .
Observação 1.6. Em geral S não é uma base de T, pois os elementos de T não podem
ser escritos, necessariamente, como uniões de elementos de S.
Exemplo 1.7.
[1] Toda topologia é sub-base de si mesma.
[2] S = {(−∞, a), (b,+∞) / a, b ∈ R} é uma sub-base para a topologia usual de R.
[3] S = {(−∞, a], [b,+∞) / a, b ∈ R} é uma sub-base para a topologia discreta de R.
[4] Sejam
(
X,T1
)
e
(
Y,T2
)
espaços topológicos; então:
S = {U × Y, X × V /U ∈ T1, V ∈ T2}
é uma sub-base para a topologia produto em X × Y .
1.7 Topologia Relativa
Uma questão natural que surge das últimas definições é: fixada uma topologia num
conjunto, um subconjunto não vazio herda de alguma forma esta estrutura?
Definição 1.8. Seja
(
X,T
)
um espaço topológico e ∅ 6= Y ⊂ X , então:
1. O conjunto:
TY = {A ∩ Y /A ∈ T},
é uma topologia sobre Y chamada topologia relativa a Y .
2. O par
(
Y,TY
)
é dito subespaço topológico de
(
X,T
)
.
22 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
3. Os elementos de TY são ditos abertos relativos.
Observação 1.7. Em geral, os abertos relativos não são abertos no espaço total. Veja os
exemplos.
Exemplo 1.8.
[1] Seja R com a topologia usual e consideremos Q ⊂ R com a topologia relativa, então
A = {x ∈ Q / 0 < x < 1} é aberto em Q.
De fato, pois A = (0, 1) ∩Q e A não é aberto em R.
[2] Seja R com a topologia usual. N e Z ⊂ R são subespacos topológicos tais que a
topologia relativa é a topologia discreta.
De fato, se n ∈ Z então:
{n} = Z ∩
(
n− 1
2
, n+
1
2
)
.
[3] Seja R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞} com a topologia gerada por:
{+∞} ∪ (a,+∞) e {−∞} ∪ (−∞, a).
A topologia T gerada por estes conjuntos é dita topologia estendida.
[4] Seja Y = R ⊂ R com a topologia relativa; então TY é a topologia euclidiana.
Proposição 1.2. Seja
(
Y,TY
)
subespaço topológico de
(
X,T
)
.
1. Seja B = {Bγ / γ ∈ Γ} uma base de T; então BY = {Bγ ∩ Y / γ ∈ Γ} é uma base
para BY .
2. A ⊂ Y é fechado se, e somente se A = Y ∩ F , onde F ⊂ X é fechado.
3. Se A é fechado (aberto) em Y e Y é fechado (aberto) em X , então A é fechado
(aberto) em X .
Prova:
1. Imediata.
1.7. TOPOLOGIA RELATIVA 23
2. Se A ⊂ Y é fechado, então A = Y −W , onde W é aberto em Y ; logo W = Y ∩ U ,
onde U é aberto em X ; por outro lado:
A = Y −
(
Y ∩ U
)
= Y ∩ U c.
Reciprocamente, se A = Y ∩ F , onde F ⊂ X é fechado, então:
Y − A = Y ∩ F c;
logo, A é fechado em Y .
3. Como A = Y ∩ F e ambos são fechados em X , então A é fechado em X .
Exemplo 1.9.
[1] Seja R2 com a topologia usual. O conjunto
S1 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 = 1} ⊂ R2
com a topologia relativa é dito círculo unitário. Os abertos relativos em S1 são os arcos
abertos de círculos.
Figura 1.1: Abertos relativos de S1
[2] Em geral, seja Rn+1 com a topologia usual. O conjunto:
Sn = {(x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1 /
n∑
i=1
x2i = 1}
com a topologia induzida, é chamado esfera unitária.
24 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
1.8 Pontos e Conjuntos Notáveis
Nesta seção estudaremos alternativas para determinar se um conjunto é aberto, e/ou
fechado.
Definições 1.1. Seja
(
X,T
)
um espaço topológico e A ⊂ X
1. x ∈ X é um ponto interior a A se existe U vizinhança de x tal que:
x ∈ U ⊂ A.
2. O conjunto de todos os pontos interiores a A é denotado por:
◦
A ou Int(A).
3. x ∈ X é um ponto exterior a A se é interior a Ac.
O conjunto de todos os pontos exteriores a A é denotado por:
ExtA.
4. x ∈ X é um ponto aderente a A se para toda vizinhança U de x temos:
A ∩ U 6= ∅.
5. O conjunto de todos os pontos aderentes a A é denotado por:
A.
6. O conjunto A é dito fecho de A.
1.8. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 25
7. x ∈ X é um ponto de acumulação de A se para toda vizinhança U de x temos:
(
A− {x}
)
∩ U 6= ∅.
O conjunto de todos os pontos de acumulação aA é denotado por:
A′.
8. x ∈ X é um ponto da fronteira de A se é aderente a A e a Ac.
9. O conjunto de todos os pontos da fronteira de A é denotado por:
∂A.
10. x ∈ X é um ponto isolado de A se {x} é vizinhança de x
11. Um conjunto onde todos os pontos são isolados é dito discreto.
12. A ⊂ X é dito denso em X se:
A = X.
Observações 1.3.
1. Se A ⊂ X , então X =
◦
A ∪ ∂ A ∪ ExtA, onde as uniões são disjuntas. ∅ = ∅ e
X = X .
◦
A ⊂ A e, por definição, é um conjunto aberto.
2. x /∈ A se, e somente se existe uma vizinhança U de x tal que U ∩ A = ∅, isto é:
x /∈ A ⇔ x ∈
◦(
Ac
)
.
26 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
3. Logo,
(
A
)c
=
◦(
Ac
)
= ExtA e como X =
◦
A ∪ ∂A ∪ ExtA, onde as uniões são
disjuntas, temos:
A =
◦
A ∪ ∂A,
sendo a união disjunta.
4. Para todo A ⊂ X , o conjunto A é fechado.
De fato,
(
A
)c
=
◦(
Ac
)
que é aberto.
5. Para todo A ⊂ X , temos A ⊂ A.
De fato, se x /∈ A, então existe U vizinhança de x tal que U ∩ A = ∅, isto é
x ∈ U ⊂ Ac; logo x /∈ A.
6. Para todo A, B ⊂ X , temos: se A ⊂ B, então A ⊂ B.
De fato, se x /∈ B, então existe U vizinhança de x tal que U ∩ B = ∅, isto é
x ∈ U ⊂ Bc; como Bc ⊂ Ac, então x /∈ A ⊂ A.
7. Para todo A ⊂ X , ∂ A é um conjunto fechado, pois:
(
∂A
)c
=
◦
A ∪
◦
Ac
que é aberto:
8. Para todo A ⊂ X :
∂
(
∂ A
)
= ∅.
Exemplo 1.10.
[1] Sejam R com a topologia usual e A = (0, 1) ∪ {2}; então:
◦
A = (0, 1), ExtA = (−∞, 0] ∪ [1, 2) ∪ (2,+∞),
A = [0, 1] ∪ {2}, A′ = [0, 1] ∂ A = {0} ∪ {1}.
[2] Sejam N, Z e Q ⊂ R e R com a topologia usual; então:
1.8. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 27
1. N e Z são discretos.
◦
Z = ∅ e Z = ∂ Z = Z.
◦
Q = ∅, pois nenhum intervalo aberto
pode ser formado apenas por racionais.
2. ∂Q = R, pois todo intervalo aberto contem racionais e irracionais.
3. Q = R, isto é, Q é denso em R. De fato, suponha que Q 6= R, então existe
x ∈ R−Q. Como R−Q é aberto, existe (a, b) tal que:
x ∈ (a, b) ⊂ R−Q.
Como todo intervalo contém números racionais, existe q ∈ Q tal que:
q ∈ (a, b) ⊂ R−Q;
logo q ∈ R−Q, o que é uma contradição.
4. Por outro lado Q ′ = R.
Proposição 1.3. Sejam
(
X,T
)
e A ⊂ X :
1. A é fechado se, e somente se A = A.
2. A = A.
Prova :
1. Suponha A fechado; então Ac é aberto. Se x /∈ A, então x ∈ Ac, logo existe U
vizinhança de x tal que x ∈ U ⊂ Ac; então U ∩ A = ∅ isto é x /∈ A; logo A ⊂ A.
A = A ⇔ se x /∈ A, então existe uma vizinhança U de x tal que U ∩ A = ∅ se, e
somete se x ∈ U ⊂ Ac isto é Ac é aberto se, e somete se A é fechado.
2. Como A é fechado, pelo ítem anterior A = A.
28 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Teorema 1.3. Seja
(
X,T
)
e A ⊂ X ; então A é o menor conjunto fechado que contem A,
isto é:
A =
⋂ {
F /A ⊂ F e F é fechado
}
.
Prova :
(⊂) Se x /∈
⋂ {
F
}
, então x ∈
(⋂ {
F
})c
=
⋃ {
F c
}
que é aberto; logo, existe pelo
menos um F c tal que x ∈ F c; como F c é aberto, existe U vizinhança de x tal que
x ∈ U ⊂ F c ⊂ Ac; então U ∩ A = ∅; logo x /∈ A.
(⊃) A é fechado e A ⊂ A; então: ⋂ {
F} ⊂ A.
.
Exemplo 1.11.
[1] Seja
(
X,Tsier
)
; então {b} = {b} e {a} = X .
[2] Seja
(
X,T
)
onde T é a topologia discreta. Como todos os subconjuntos de X são
fechados, o único conjunto denso em X é X .
[3] Seja X = {a, b, c, d, e} com a seguinte topologia:
T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}.
Pelo teorema temos que:
{b} = {b, e}, {a, c} = X e {b, d} = {b, c, d, e}.
Logo, o menor fechado que contém {b} é {b, e}. Note que {a, c} é denso em X .
Teorema 1.4. Sejam
(
X,T
)
e A ⊂ X ; então
◦
A é o maior conjunto aberto contido em A,
isto é:
◦
A =
⋃ {
U /U ⊂ A e U é aberto
}
.
Prova :
(⊂)
◦
A é aberto e
◦
A ⊂ A; então
◦
A ⊂
⋃ {
U
}
.
(⊃) Seja x ∈
⋃ {
U
}
, então existe pelo menos um U tal que x ∈ U ⊂ A, isto é x ∈
◦
A.
1.8. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 29
Proposição 1.4. Sejam
(
X,T
)
e A ⊂ X .
1. A = A ∪ A′. Em particular, A é fechado se, e somente se A′ ⊂ A.
2.
◦
A =
(
Ac
)c. Em particular, A é aberto se, e somente se A = ◦A.
Prova :
1. Por definição A′ ⊂ A; por outro lado A ⊂ A, então A ∪ A′ ⊂ A. Reciprocamente,
seja x ∈ A. Se x ∈ A está provado. Se x /∈ A, então toda vizinhança U de x é tal
que
(
U − {x}
)
∩ A 6= ∅, isto é, x ∈ A′.
2. Se U ⊂ A, então Ac ⊂ U c e os conjuntos abertos U ⊂ A são exatamente os com-
plementares dos conjuntos F fechados tais que Ac ⊂ F . Pelo teorema anterior:
◦
A =
⋃ {
U /U ⊂ A e U é aberto
}
=
⋃ {
F c /Ac ⊂ F e F é fechado
}
=
(⋂ {
F c /Ac ⊂ F e F é fechado
})c
=
(
Ac
)c
.
Exemplo 1.12.
[1] Seja
(
X,Tsier
)
; então:
◦
{b} = ∅,
◦
{a} = {a}. {b}′ = ∅ e {a}′ = {b}. ∂ {b} = ∂ {a} = b.
[2] Seja
(
X,Tind
)
; então:
Para todo A ⊂ X tal que A 6= X , temos que
◦
A = ∅. Para todo A ⊂ X não vazio, A = X .
Se A tem mais de um elemento, temos A′ = X e {x}′ = {x}c e ∂ A = X .
[3] Seja
(
X,Tdis
)
; então:
Para todo A ⊂ X temos que:
◦
A = A, A = A, A′ = ∅ e ∂ A = ∅
[4] Seja
(
X,Tcof
)
; então:
30 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Para todo A /∈ Tcof temos que
◦
A = ∅. Se A é infinito, A = X . Para todo A ⊂ X tal que
A é infinito, A′ = X e se A é finito, A′ = ∅. Para todo A ⊂ X aberto tal que X é infinito,
∂ A = X − A; caso contrário ∂ A = X .
[5] Considere
(
R,Tcof
)
e A = [0, 1]. Então
◦
A = ∅ e A = A′ = ∂ A = R.
[6] Seja
(
X,Tind
)
; para todo A ⊂ X tal que A 6= X , temos que ∂ A = X .
[7] Seja
(
X,Tdis
)
; para todo A ⊂ X temos que ∂ A = ∅.
Proposição 1.5. São equivalentes as seguintes condições:
1. A é denso em X .
2. Se F é fechado e A ⊂ F , então F = X .
3. Todo aberto básico não vazio de X contém elementos de A.
4.
◦
Ac = ∅.
Prova:
1) ⇒ 2) Se A ⊂ F , então X = A ⊂ F = F , logo F = X .
2) ⇒ 3) Seja U aberto básico não vazio tal que U ∩ A = ∅; então
A ⊂ U c 6= X , o que é uma contradição pois U c é fechado.
3) ⇒ 4) Suponha que IntAc 6= ∅; como IntAc é aberto, então existe U aberto básico
não vazio tal que U ⊂ IntAc; como IntAc ⊂ Ac, U ⊂ Ac e U ∩ A = ∅; logo U não
contém pontos de A.
4) ⇒ 1)
(
A
)c
=
((
Ac
)c)c
=
◦
Ac = ∅.
Logo, A = X .
Seja Y subespaço de X e denotemos por AY o conjunto A como subconjunto de Y ;
então:
1.
◦
AY =
◦
A ∩ Y .
1.9. TOPOLOGIA MÉTRICA 31
2. AY = A ∩ Y .
3. A′Y = A′ ∩ Y .
Exemplo 1.13. Seja R com a topologia usual e Y = [0, 1) ∪ (1, 3) ∪ {5} com a topologia
relativa. Então:
(1, 3) = (1, 3)∩Y ; por outro lado, (1, 3) = [1, 3]∩Y ; logo (1, 3) é aberto e fechado em Y .
Logo,
◦
(̂1, 3)Y = (1, 3)Y = (1, 3).
[0, 1) = [0, 1] ∩ Y ; logo [0, 1) é fechado em Y . Logo,
◦
[̂0, 1)Y = (0, 1).
1.9 Topologia Métrica
Uma importante classe de exemplos de espaços topológicos é a dos espaços métricos.
1.10 Espaços Métricos
Seja um conjunto M 6= ∅.
Definição 1.9. Uma métrica ou distância sobre M é uma função:
d : M ×M −→ R,
tal que, para todo x, y, z ∈M , tem-se:
1. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se, e somente se x = y.
2. Simetria: d(x, y) = d(y, x).
3. Desigualdade triangular:
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
4. O par (M,d) é chamado espaço métrico.
32 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Exemplo 1.14.
[1] (M,d) é um espaço métrico com a métrica:
d(x, y) =
{
0 se x 6= y
1 se x = y.
d é dita métrica discreta.
[2] (N, d) é uma espaço métrico com a métrica:
d(n,m) =
0 se n = m1 + n+m
nm
se n 6= m.
Só devemos verificar a desigualdade triangular.
Para todo n, m, k ∈ N tais que n 6= m 6= k:
d(n,m) = 1 +
n+m
nm
= 1 +
1
m
+
1
n
≤ 2 + 1
n
+
1
k
+
1
m
+
1
k
≤ d(n, k) + d(k,m).
[3] (R, d) é uma espaço métrico com d(x, y) = |x − y|, onde | | é o valor absoluto em
R.
[4] Rn como espaço métrico. Em Rn podemos definir as seguintes métricas:
d1(x, y) =
√√√√ n∑
i=1
(xi − yi)2,
d2(x, y) =
n∑
i=1
|xi − yi|,
d3(x, y) = max
1≤i≤n
|xi − yi|,
onde x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn. As provas que d1 e d2 são métricas
são imediatas. Por outro lado, a desigualdade triangular para d3 segue de:
|xi − zi| ≤ |xi − yi|+ |yi − zi| ≤ d3(x, y) + d3(y, z).
1.10. ESPAÇOS MÉTRICOS 33
[5] Seja B(M,R) o conjunto de todas as funções limitadas f : M −→ R. Como a soma
e a diferença de funções limitadas é limitada,então:
d(f, g) = sup
x∈M
|f(x)− g(x)|,
é uma métrica emB(M,R). A única propriedade não trivial é a desiguldade triangular.
Seja x ∈ M , utilizando a desigualdade triangular em (R, | |). Para todo x ∈ M temos:
|f(x)− h(x)| ≤ |f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)|, então:
|f(x)− h(x)| ≤ |f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)|
≤ sup
x∈M
|f(x)− g(x)|+ sup
x∈M
|g(x)− ghx)|
≤ d(f, g) + d(g, h).
Considerando o supremo em ambos os lados na última desigualdade, temos que:
d(f, h) ≤ d(f, g) + d(g, h).
Pois, o lado direito da desiguldade não depende de x ∈M .
Definição 1.10. Sejam (M1, d1) e (M2, d2) espaços méricos. f : M1 −→M2 é uma isome-
tria se é bijetiva e:
d2(f(x), f(y)) = d1(x, y),
para todo x, y ∈M1.
Exemplo 1.15.
[1] Seja R com a distância usual e f : R −→ R definida por f(x) = x/2. A função f é
bijetiva, por outro lado:
|f(x)− f(y)| = 1/2 |x− y|.
Logo, não é uma isometria.
[2] Sejam (Rn, d1), a ∈ Rn e Ta : Rn −→ Rn definida por Ta(v) = v + a, então f é uma
isometria.
De fato, Ta é claramente bijetiva, e:
34 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
d1(Ta(x), Ta(y)) = d1(v + a, w + a)
=
√√√√ n∑
i=1
((xi − ai)− (yi − ai))2
=
√√√√ n∑
i=1
(xi − yi)2
= d1(x, y).
Se mudamos para as outras métricas de Rn, f é isometria?
1.11 Abertos e Fechados em Espaços Métricos
Seja (M,d) um espaço métrico e r ∈ R tal que r > 0.
Definição 1.11. Uma bola aberta em M de centro x0 e raio r é denotada e definida por:
B(x0, r) = {x ∈M /d(x, x0) < r}.
Definimos B(x, 0) = ∅. Se r ≤ s, então B(x0, r) ⊂ B(x0, s).
Exemplo 1.16.
[1] Seja M = R, com d = | |; então:
B(x0, r) = (x0 − r, x0 + r);
isto é, as bolas abertas são os intervalos abertos.
[2] Seja M = R, com d1; então:
B((x0, y0), r) = {(x, y) / (x− x0)2 + (y − y0)2 < r2};
isto é, um disco aberto centrado em (x0, y0).
Proposição 1.6. As bolas abertas num espaço métrico formam uma base para uma
topologia no espaço métrico.
Prova : 1. Claramente: M =
⋃
x∈M
B(x, 1).
2. Seja z ∈ B(x, rx) ∩B(y, ry); seja r = min{rx − d(x, z), ry − d(y, z)}; então
1.12. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS 35
B(z, r) ⊂ B(x, rx) ∩B(y, ry).
De fato, r > 0 e se w ∈ B(z, r); temos:
d(w, x) ≤ d(w, z) + d(z, x) < r + d(z, x) ≤ rx − d(z, x) + d(z, x) = rx;
logo, w ∈ B(x, rx). De forma análoga, w ∈ B(y, ry).
Observação 1.8. A topologia gerada por esta base é chamada topologia métrica gerada
pela distância d, e será denotada por Td.
Definição 1.12. O espaço topológico
(
X,T
)
é dito metrizável se T é uma topologia
métrica.
Exemplo 1.17.
[1] Seja
(
M,d
)
, onde d é a métrica discreta; então B(x, 1/2) = {x}; logo Td é a topologia
discreta.
[2] Se X possui mais de 2 pontos,
(
X,Tind
)
não é metrizável.
Proposição 1.7. Sejam (M,d) um espaço métrico, y0 ∈ M e ∅ 6= A ⊂ M . Definamos a
distância entre o ponto y0 é o conjunto A por:
d(y0, A) = inf{d(y0, x) / x ∈ A}.
Então, d(y, A) = 0 se, e somente se y ∈ A. Logo,
A = {y / d(y, A) = 0}.
Prova : Se y ∈ A se, e somente se existe B(y, r) tal que B(y, r) ∩ A 6= ∅ se, e somente se
existe ar ∈ A tal que d(y, ar) < r se, e somente se existe d(y, A) = 0.
1.12 Espaços Vetoriais Normados
Seja V um R-espaço vetorial.
Definição 1.13. Uma norma sobre V é uma função:
‖ ‖ : V × V −→ R,
tal que, para todo x, y ∈ V e λ ∈ R, tem-se:
36 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
1. Se x 6= 0, então ‖x‖ 6= 0.
2. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖.
3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.
O par (E, ‖ ‖) é chamado espaço vetorial normado.
Exemplo 1.18.
[1] (Rn, ‖ ‖i) é um espaço vetorial normado com as seguintes normas:
‖x‖1 =
√√√√ n∑
i=1
x2i ,
‖x‖2 =
n∑
i=1
|xi|,
‖x‖3 = max
1≤i≤n
|xi|,
onde x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.
[2] B(M,R) é um espaço vetorial, sendo:
‖f‖ = sup
x∈M
|f(x)|,
uma norma em B(M,R).
Seja (E, ‖ ‖) um espaço vetorial normado. Definindo:
d∗(x, y) = ‖x− y‖,
temos que (E, d∗) é um espaço métrico. d∗ é chamada métrica proveniente da norma
‖ ‖.
1.13 Espaços Vetoriais com Produto Interno
Seja V um R-espaço vetorial.
Definição 1.14. Um produto interno sobre V é uma função:
< >: V × V −→ R,
tal que, para todo x, y, z ∈ V e λ ∈ R, tem-se:
1.14. TOPOLOGIA DE ZARISKI 37
1. Se x 6= 0, então < x, x >> 0.
2. < λx, y >= λ < x, y >.
3. < x, y >=< y, x >.
4. < x+ y, z >=< x, z > + < y, z >.
Seja (E,< >) um espaço vetorial com produto interno. Definindo:
‖x‖∗ =
√
< x, x >,
temos que (E, ‖ ‖∗)) é um espaço vetorial normado. ‖ ‖∗ é chamada norma prove-
niente do produto interno < >.
Nem toda norma num espaço vetorial provém de um produto interno.
1.14 Topologia de Zariski
A topologia de Zariski é fundamental para o estudo de diferentes áreas da Álgebra,
como por exemplo, Álgebra Comutativa e Geometria Algébrica.
Seja K = R ou C.
Consideremos a família dos polinômios de n-variáveis em K. Isto é:
{fi / fi ∈ K[x1, x2, , . . . , xn], i ∈ I}.
e seja:
Z(fi) = {x ∈ Kn / fi(x) = 0, i ∈ I}.
Exemplo 1.19.
[1] Se f(x, y) = x2 + y2 − 1, então Z(f) = S1.
[2] Note que Z(cte) = ∅ e Z(0) = K.
Sejam Z(fi) e Z(gj). Denotemos hij = fi gj ∈ K[x1, x2, , . . . , xn] tal que i ∈ I e j ∈ J .
Afirmamos que:
Z(fi) ∪ Z(gj) = Z(fi gj).
38 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
De fato, se hij(x) = 0 para todo i ∈ I e j ∈ J , então:
0 = hij(x) =
(
fi gj
)
(x) = fi(x) gj(x)
para todo i ∈ I e j ∈ J ; logo fi(x) = 0 para todo i ∈ I ou gj(x) = 0 para todo j ∈ J .
Denotemos por:
D(fi) =
(
Z(fi)
)c e B = {D(fi) / i ∈ I}.
Observação 1.9. A família B forma uma base para uma topologia em Kn.
Definição 1.15. A topologia que gera B em Kn é chamada de Zariski.
Os Z(fi) são os fechados na topologia de Zariski. Em R, a topologia de Zariski é a to-
pologia cofinita. De fato, todo subconjunto finito em R é conjunto solução para algum
polinômio de uma variável real.
Por exemplo, se R = {r1, r2, . . . , rn}, então:
f(x) = (x− r1) (x− r2) . . . (x− rn)
é um polinômio que tem como conjunto solução R. Por outro lado o conjunto de solu-
ções de um polinômio de uma variável de grau n possui no máximo n elementos.
Se n > 1 a topologia de Zariski não é a cofinita.
Por exemplo, a reta y = 1 é solução do polinômio f(x, y) = x−1 que não é um conjunto
finito em R2.
1.15 Topologia de Zariski em Anéis
Seja A um anel e denotemos por Spec(A) o conjunto de todos os ideais primos de A.
Consideremos a seguinte família de subconjuntos:
V (I) = {p / p ∈ Spec(A), I ⊂ p},
onde I é um ideal de A.
1. V (0) = Spec(A) e V (A) = ∅. Por outro lado:
V (I) ∪ V (J) = V (IJ)
⋂
α∈Γ
V (Iα) = V
(∑
α∈Γ
Iα
)
1.15. TOPOLOGIA DE ZARISKI EM ANÉIS 39
2. Definimos sobre Spec(A) a topologia de Zariski, como a topologia que tem como
conjuntos fechados os V (I).
3. Se denotamos por D(I) = Spec(A) − V (I) os abertos da topologia de Zariski, é
possível provar que se I é um ideal principal, a base para a topologia de Zariski
é:
B = {D(I) / I é um ideal principal}.
40 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
1.16 Exercícios
1. Quantas topologias podem ser definidas no conjunto
X = {a, b, c, d} ?
2. Verifique a família:
Tn = {∅, N, An / n ∈ N},
onde:
An = {1, 2, 3, . . . , n}
é uma topologia em N.
3. Seja
(
X,T
)
. Se para todo x ∈ X , {x} ∈ T, verifique que T = Tdis.
4. Seja
(
X,T
)
e Y = X ∪ {a}, a /∈ X . Defina:
T(Y ) = {U ∪ {a} /U ∈ T}.(
Y,T(Y )
)
é um espaço topológico?
5. Seja X com a topologia cofinita. Verifique que os fechados de X são X , ∅ e os
subconjuntos finitos de X .
6. Ache exemplo de um espaço topológico em que os conjuntos abertos são também
conjuntos fechados. Não considere a topologia discreta ou a indiscreta.
7. Sejam T1 e T2 duas topologias sobre o conjunto não vazio X . Considere:
(a) T1 ∩ T2 a família formada por abertos comuns a ambas as topologias.
(b) T1 ∪ T2 a família formada pela reunião dos abertos a ambas as topologias.
As famílias definidas são topologias sobre X? No caso negativo, ache um contra-
exemplo.
1.16. EXERCÍCIOS 41
8. Seja X = R e a, b ∈ R tal que a < b. Verifique que:
B = {[a, b)}
gera a topologia chamada do limite inferior em R e é denotada por Tlinf .
9. Seja X = R e a, b ∈ Q tal que a < b. Então:
B = {(a, b)}
gera a topologia usual de R? Determine (0,
√
2) e(1,
√
2), nesta topologia.
10. Sejam
(
X,T1
)
e
(
Y,T2
)
espaços topológicos. Verifique que:
B = {U × V /U ∈ T1, V ∈ T2}
é uma base para uma topologia de X × Y . Esta topologia é chamada produto.
11. Se a, b, c, d ∈ R e B = {(a, b)× (c, d) / a < b, c < d}. Verifique que B é uma base
para a topologia usual em R2.
12. Seja X = {1, 2, 3, 4, 5}. Verifique que não existe nenhuma topologia em X que
tenha como base:
B = {{1, 2}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}}.
13. Seja X = {a, b, c, d, e, f} com a seguinte topologia:
T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}}.
Verifique que:
B = {{a}, {c, d}, {b, c, d, e, f}}
é uma base para T.
14. Verifique que B = {[a, b] / a, b ∈ R} é uma base para a topologia discreta em R.
15. Seja
(
X,T
)
e A ⊂ X . Verifique que:
(a) ∂ A ⊂ A, se e somente se A é fechado.
42 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
(b) ∂ A = ∅, se e somente se A é aberto e fechado.
(c) ∂ A ∩ A = ∅, se e somente se A é aberto.
16. Seja p ∈ X e defina a seguinte topologia em X :
T = {∅, A ∈ P(X) / p ∈ A}.
Verifique que T é uma topologia e que {p} é denso em X .
17. Verifique que
◦
A = X − Ac
18. Seja A = {p+ q
√
2 /, p, q ∈ Z}. O conjunto A é denso em R?
19. Seja X um espaço topologico, A ⊂ X é dito totalmente não denso em X se
IntA = ∅. Considere R com a topologia usual:
(a) Verifique que Z é totalmente não denso em R.
(b) Verifique que { 1
n
/n ∈ N} é totalmente não denso em R.
(c) Seja A ⊂ X aberto, ∂A é totalmente não denso em X?
20. Verifique se são métricas:
(a) d1(x, y) = (x− y)2; x, y ∈ R.
(b) d2(x, y) = ex−y; x, y ∈ R.
(c) d3(x, y) = |x3 − y3|; x, y ∈ R.
(d) d4(x, y) =
|x− y|
1 + |x− y|
; x, y ∈ R.
Nos casos afirmativos, descreva os abertos.
21. Verifique que em Rn, temos: d3 ≤ d1 ≤ d2 ≤ n d3.
22. Seja C0
(
[a, b]
)
o conjunto das funções contínuas f : [a, b] −→ R. Defina:
d1(f, g) =
∫ b
a
|f(x)− g(x)| dx
d2(f, g) =
√∫ b
a
|f(x)− g(x)|2 dx
Verifique que d1 e d2 são métricas em C0
(
[a, b]
)
.
1.16. EXERCÍCIOS 43
23. Determine a topologia definida pela métrica discreta.
24. Determine, geometricamente, as bolas abertas em Rn com as métricas definidas
anteriormente.
25. Seja (M,d) um espaço métrico:
(a) Seja r > 0 e:
B[x0, r] = {x ∈M /d(x, x0) ≤ r}.
Verifique que B[x0, r] é um conjunto fechado.
(b) Seja F ⊂M finito. Verifique que F é fechado.
26. Seja (M,d) um espaço métrico. Defina:
d1 = k d, d2 = d+ k e d3 = d/k,
onde k ∈ R− {0}.
(a) Verifique se d1, d2 e d3 são métricas.
(b) Verifique se d1, d2 e d3 geram a mesma topologia.
27. Seja (M,d) um espaço métrico. Defina:
d1(x, y) =
d(x, y)
1 + d(x, y)
.
(a) Verifique d1 é uma métrica.
(b) Verifique que d1 e d geram a mesma topologia.
28. Se f é uma isometria, então f−1 é uma isometria?
29. Sejam
(
M,d1
)
e
(
N, d2
)
espaços métricos. Definamos em M ×N :
d((x1, y1), (x2, y2)) = d1(x1, x2) + d2(y1, y2),
onde (x1, y1), (x2, y2) ∈ M × N . Verifique que d é uma métrica em M × N . Esta
métrica é dita métrica produto.
30. Se B1(x, r) é uma bola aberta em M e B2(y, s) é uma bola aberta em N , então:
B = {B1(x, r)×B2(y, s)},
é uma base para uma topologia em M ×N .
44 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
31. Sejam x =
(
xn
)
n∈N uma seqüência em R e:
(a) lp = {x /
∞∑
n=1
|xn|p < +∞}, 1 ≤ p < +∞.
(b) l∞ = {x / sup{xn / n ∈ N} < +∞}.
Definamos em lp e em l∞, respectivamente:
‖x‖p =
[ ∞∑
n=1
|xn|p
]1/p
‖x‖∞ = sup
n∈N
{|xn|}.
Verifique que
(
lp, ‖ ‖p
)
e
(
l∞, ‖ ‖∞
)
são espaços vetoriais normados.
32. Sejam
(
E, ‖ ‖1
)
e
(
F, ‖ ‖2
)
espaços vetoriais normados. Definamos em E × F :
‖(u, v)‖ = ‖u‖1 + ‖v‖2,
onde (u, v) ∈ E×F . Verifique que ‖ ‖ é uma norma em E×F . Esta norma é dita
norma produto.
33. Sejam x =
(
xn
)
n∈N uma seqüência em R e considere l
p e l∞ como no exercício
[31]:
34. Verifique se
(
lp, ‖ ‖p
)
e
(
l∞, ‖ ‖∞
)
são espaços vetoriais com produto interno.
35. Sejam V1 e V2 espaços vetoriais com produtos internos < , >1 e < , >2, respecti-
vamente. Definamos em V1 × V2:
< (u1, v1), (u2, v2) >=< u1, u2 >1 + < v1, v2 >2,
onde (u1, v1), (u2, v2) ∈ V1 × V2. Verifique que < , > é um produto interno em
V1 × V2.
Capítulo 2
FUNÇÕES EM ESPAÇOS
TOPOLÓGICOS
2.1 Introdução
A continuidade de uma função é um dos conceitos centrais em quase todas as áreas da
Matemática. E é o primeiro passo para tentar distinguir objetos diferentes em Topolo-
gia.
2.2 Funções Contínuas
Sejam
(
X,T1
)
e
(
Y,T2
)
espaços topológicos.
Definição 2.1. A função f : X −→ Y é contínua se para todo V ∈ T2 temos que:
f−1
(
V
)
∈ T1.
Logo, f é contínua se a imagem inversa dos abertos de Y são abertos em X .
Observação 2.1. Uma função contínua não leva, necessariamente, abertos em abertos.
Por exemplo se
(
Y,T2
)
é tal que T2 não é a topologia discreta, ou se Y tem mais de dois
elementos e T2 não é a topologia indiscreta.
Exemplo 2.1.
[1] Toda função constante é contínua. De fato, seja f : X −→ Y tal que f(x) = y0 para
todo x ∈ X e V ⊂ Y aberto, então:
f−1
(
V
)
=
{
X se y0 ∈ V
∅ se y0 /∈ V.
45
46 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Em ambos os casos f−1
(
V
)
é aberto, logo f contínua.
[2] Seja X tal que T1 e T2 são topologias em X . A função identidade:
id :
(
X,T1
)
−→
(
X,T2
)
é contínua se, e somente se T2 ⊂ T1.
De fato, considere X =
(
R,Tus
)
e Y =
(
R,Tlinf
)
, então:
id−1
(
[a, b)
)
= [a, b) /∈ Tus.
[3] Sejam
(
X,T
)
e
(
Y,Tind
)
. Toda função
f : X −→ Y
é contínua.
[4] Sejam
(
X,Tdis
)
e
(
Y,T
)
. Toda função
f : X −→ Y
é contínua.
Proposição 2.1. Seja Y ⊂ X . A topologia relativa TY pode ser caracterizada como a
menor topologia sobre Y tal que a função inclusão:
i : Y −→ X
é contínua.
Prova: De fato, se U ∈ T, a continuidade de i implica em que i−1
(
U
)
= U ∩ Y deve ser
aberto em Y ; logo qualquer topologia onde i for contínua deve conter TY .
Proposição 2.2. Sejam
(
X,T1
)
,
(
Y,T2
)
e
(
Z,T3
)
espaços topológicos.
1. Se f : X −→ Y e g : Y −→ Z são contínuas, então:
g ◦ f : X −→ Z
é contínua.
2.2. FUNÇÕES CONTÍNUAS 47
2. Se f : X −→ Y é contínua e A ⊂ X é subespaço topológico, então:
f |A : A −→ Y
é contínua.
3. Se f : X −→ Y é contínua e f
(
X
)
⊂ Y é subespaço topológico, então:
f : X −→ f
(
X
)
é contínua.
Prova :
1. Segue do seguinte fato:
(
g ◦ f
)−1
= f−1 ◦ g−1
2. Note que f |A = f ◦ i, onde i : A −→ X é a inclusão; pelo ítem anterior f |A é
contínua.
3. f−1
(
V ∩ f
(
X
))
= f−1
(
V
)
∩ f−1
(
f
(
X
))
= f−1
(
V
)
.
Teorema 2.1. Sejam
(
X,T1
)
e
(
Y,T2
)
espaços topológicos e f : X −→ Y . As seguintes
condições são equivalentes:
1. f é contínua.
2. Para todo F ⊂ Y fechado, f−1
(
F
)
é fechado em X .
3. A imagem inversa por f de qualquer elemento da base (subbase) de Y é aberto
em X (não necessariamente um aberto básico ou subbásico de X).
4. Para todo x ∈ X e para toda W vizinhança de f(x) em Y , existe U vizinhança de
x em X tal que:
f
(
U
)
⊂ W.
5. f
(
A
)
⊂ f
(
A
)
, para todo A ⊂ X .
48 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
6. f−1
(
B
)
⊂ f−1
(
B
)
, para todo B ⊂ Y .
Prova :
1) ⇔ 2) De fato, f−1
(
Y − A
)
= X − f−1
(
A
)
, para todo A ⊂ Y .
1) ⇔ 3) Seja B uma base da topologia de Y e B ∈ B; como f é contínua, f−1
(
B
)
é
aberto em X . A prova da recíproca segue de que todo aberto V ∈ T2 pode ser escrito
como:
V =
⋃
α∈Γ
Bα,
e que:
f−1
( ⋃
α∈Γ
Bα
)
=
⋃
α∈Γ
f−1
(
Bα
)
.
1) ⇒ 4) Como f contínua e W é aberto (é vizinhança de f(x)), consideramos o con-
junto U = f−1
(
W
)
que é vizinhança de x e:
f
(
U
)
⊂ W.
4) ⇒ 5) Seja A ⊂ X e x ∈ A; provaremos que f(x) ∈ f
(
A
)
. Denotemos por Ux a
vizinhança de x tal que f
(
Ux
)
⊂ W , onde W é vizinhança de f(x). Se x ∈ A, então
Ux ∩ A 6= ∅; logo:
∅ 6= f
(
Ux ∩ A
)
⊂ f
(
Ux
)
∩ f
(
A
)
⊂ W ∩ f
(
A
)
;
então f(x) ∈ f
(
A
)
.
5) ⇒ 6) Seja A = f−1
(
B
)
; então:
f
(
A
)
⊂ f
(
A
)
= f
(
f−1
(
B
))
= B ∩ f
(
X
)
⊂ B.
Logo, A ⊂ f−1
(
B
)
6) ⇒ 2) Seja F ⊂ Y fechado, então:
f−1
(
F
)
⊂ f 1−
(
F
)
= f−1
(
F
)
.
Logo, f−1
(
F
)
= f−1
(
F
)
e f−1
(
F
)
é fechado.
2.2. FUNÇÕES CONTÍNUAS 49
Observação 2.2. Peloteorema, basta utilizar os abertos básicos da topologia para estu-
dar a continuidade de uma função. A função f é dita contínua no ponto x0 ∈ X se o
item [4] do teorema anterior vale para x0.
Exemplo 2.2. Seja R com topologia usual. Verifique que f(x) = x2 é contínua.
Pela propiedade anterior, basta provar que f−1
(
(a, b)
)
é aberto.
Temos três casos:
1. Se 0 < a < b, então:
f−1
(
(a, b)
)
= (−
√
b,−
√
a) ∪ (
√
a,
√
b).
2. Se a < 0 < b, então:
f−1
(
(a, b)
)
= (−
√
b,
√
b).
3. Se a < b < 0, então:
f−1
(
(a, b)
)
= ∅.
4. Nos três casos, os conjuntos f−1
(
(a, b)
)
são abertos; logo f é contínua.
O seguinte corolário é fundamental em diversas áreas e é conhecido como teorema de
colagem.
Corolário 2.1. Seja
(
X,T
)
tal que X = A ∪ B, onde A e B são conjuntos fechados
(abertos) emX . Se f : A −→ Y e g : B −→ Y são funções contínuas tais que f(x) = g(x)
para todo x ∈ A ∩B, então a função h : X −→ Y definida por:
h(x) =
{
f(x) se x ∈ A
g(x) se x ∈ B
é contínua.
Prova : Seja F ⊂ Y fechado; então:
h−1
(
F
)
= h−1
(
F ) ∩
(
A ∪B
)
=
(
f−1
(
F
)
∩ A
)
∪
(
g−1
(
F
)
∩B
)
= f−1
(
F
)
∪ g−1
(
F
)
.
Como f−1
(
F
)
e g−1
(
F
)
são fechados, então h contínua.
50 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Exemplo 2.3.
Seja R com a topologia usual e
f(x) =
{
x se 0 ≤ x ≤ 1
2− x se 1 ≤ x ≥ 2.
Logo, f é contínua.
Proposição 2.3. Seja
(
X,T
)
. Então f : X −→ R é contínua se, e somente se para todo
b ∈ R ambos os conjuntos:
{x / f(x) > b} e {x / f(x) < b}
são abertos.
Prova : Seja
(
R,Tus
)
. Consideramos (b,+∞) e (−∞, b) elementos da subbase da topo-
logia euclidiana; logo:
f−1
(
(b,+∞)
)
= {x / f(x) > b}
f−1
(
(−∞, b)
)
= {x / f(x) < b}.
Observação 2.3. A condição que ambos os conjuntos sejam abertos não pode ser ig-
norada. Por exemplo, consideremos a função característica de A, χA : R −→ R não é
contínua.
De fato, considere A = (0, 1); então {x /χA(x) < 1} não é aberto e todos {x /χA(x) > b}
são abertos, Logo, na proposição ambos os conjuntos devem ser abertos.
2.3 Continuidade em Espaços Métricos
Sejam
(
M,d1
)
e
(
M,d2
)
espaços métricos; então:
f : M −→ N
é contínua em x ∈ M , se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que d1(x, y) < δ implica em
que d2(f(x), f(y)) < ε. Isto é:
f
(
B1(x, δ)
)
⊂ B2(f(x), ε).
2.3. CONTINUIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS 51
Proposição 2.4. Sejam (M,d) um espaço métrico, R com a topologia usual, y0 ∈ M
e A ⊂ M . A função f : M −→ R definida por f(y) = d(y, A) é contínua. Veja a
proposição 1.7.
Prova : Sejam x, y ∈M ; então, para cada a ∈ A temos d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a), logo:
d(x,A) = inf{d(x, a) / a ∈ A} ≤ d(x, y) + inf{d(y, a) / a ∈ A}
≤ d(x, y) + d(y, A).
Então d(x,A) − d(y, A) ≤ d(x, y). Analogamente, mudando x por y e vice-versa, obte-
mos:
|d(x,A)− d(y, A)| ≤ d(x, y).
Observações 2.1.
1. Sejam
(
V, ‖ ‖1
)
e
(
W, ‖ ‖2
)
espaços vetoriais normados de dimensão finita. Então,
toda aplicação linear f : V −→ W é contínua.
2. Sejam
(
M,d1
)
e
(
M,d2
)
espaços métricos; então:
f : M −→ N
é uniformemente contínua, se para todo x, y ∈ M e ε > 0, existe δ(ε) > 0 tal que
d1(x, y) < δ(ε); implica em d2(f(x), f(y)) < ε.
3. Uniformemente contínua implica contínua. A reciproca é falsa, basta considerar:
f : (0,+∞) −→ (0,+∞)
definida por f(x) = 1/x é contínua e não uniformemente contínua.
4. A função f(y) = d(y, A) é uniformemente contínua.
5. Sejam
(
V, ‖ ‖1
)
e
(
W, ‖ ‖2
)
espaços vetoriais normados de dimensão finita. Toda
aplicação linear f : V −→ W é uniformemente contínua.
52 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
2.4 Topologia Inicial
Sejam
(
Y,T2
)
, X um conjunto não vazio e f : X −→ Y uma função. É possível achar
uma topologia para X tal que f seja contínua? Por exemplo se
(
X,Tdis
)
, então f é
contínua.
Seja X um conjunto não vazio e:
Sf = {f−1
(
V
)
/ V ∈ T2}.
Sf é uma subbase para uma topologia T(f) sobre X que torna f contínua.
Definição 2.2. T(f) é dita topologia inicial para f .
2.5 Topologia Produto
Sejam
(
X,T1
)
,
(
Y,T2
)
e X × Y . Denotemos por:
pr1 : X × Y −→ X
pr2 : X × Y −→ Y
as respectivas projeções canônicas, onde pr1(x, y) = x e pr2(x, y) = y.
pr−11
(
U
)
= U × Y,
pr−12
(
V
)
= X × V,
pr−11
(
U
)
∩ pr−12
(
V
)
= U × V.
Note que:
Spr = {pr−11
(
U
)
, pr−12
(
V
)
/U ∈ T1, V ∈ T2} e
Bpr = {U × V /U ∈ T1, V ∈ T2}
são a subbase e a base que geram uma topologia sobre X × Y , que torna as projeções
contínuas. Esta topologia é dita topologia produto.
Esta é a menor topologia com esta propriedade. Isto é, W ⊂ X × Y é aberto se para
todo x ∈ W existe U × V , U aberto em X e V aberto em Y tal que x ∈ U × V ⊂ W .
2.5. TOPOLOGIA PRODUTO 53
U
X x V
U x Y
U x VV
Figura 2.1: Elementos de S e B
Observação 2.4. Todos os argumentos desta seção são válidos para uma quantidade
finita de espaços topológicos.
Exemplo 2.4.
[1] Rn = R × R × . . . × R tem a topologia produto induzida pela topologia de R. Se
consideramos em R a topologia usual, então a topologia em Rn também é a topologia
euclidiana ou usual.
[2] Sn ⊂ Rn+1 é um conjunto fechado. De fato, seja Rn com topologia usual e conside-
remos a função f : Rn+1 −→ R definida por:
f(x1, x2, . . . , xn, xn+1) = x
2
1 + x
2
2 + . . .+ x
2
n + x
2
n+1 − 1.
f é contínua e Sn = f−1
(
{0}
)
; logo, Sn é fechado.
[3] O cilindro S1 × R tem a topologia produto induzida pela topologia de R3.
[4] Seja S1 com a topologia induzida deR2; então T 2 = S1×S1 com a topologia produto,
é dito toro.
Figura 2.2: O toro T 2 = S1 × S1
54 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Proposição 2.5. Sejam
(
X,T1
)
,
(
Y,T2
)
,
(
Z,T3
)
espaços topológicos, o espaço topoló-
gico produto
(
Y × Z,Tp
)
, f1 : X −→ Y e f2 : X −→ Z e definamos:
f : X −→ Y × Z
por f(x) = (f1(x), f2(x)). Então, f é contínua se, e somente se f1 e f2 são contínuas.
Prova : Sejam pr1 : Y × Z −→ Y e pr2 : Y × Z −→ Z as respectivas projeções. Como
fi = pri ◦ f , se f é contínua, então fi = pri ◦ f são contínuas (i = 1, 2).
Reciprocamente, se as fi são contínuas, seja U × V um aberto básico de Y × Z; então:
f−1
(
U × V
)
= f−11
(
U
)
∩ f−12
(
V
)
;
logo, f é contínua.
Proposição 2.6. Sejam
(
X,T1
)
,
(
Y,T2
)
,
(
Z,T3
)
,
(
H,T4
)
espaços topológicos,
(
X ×
Y,Tp
)
,
(
Z × H,Tp
)
espaços topológicos produto, f1 : X −→ Z e f2 : Y −→ H . De-
finamos:
f1 × f2 : X × Y −→ Z ×H
por (f1 × f2)(x, y) = (f1(x), f2(y)). Se f1 e f2 são contínuas, então f1 × f2 é contínua.
Prova : Sejam pr1 : X × Y −→ X e pr2 : X × Y −→ Y as respectivas projeções. Como:
f1 ◦ pr1 : X × Y −→ Z
f2 ◦ pr2 : X × Y −→ H
são contínuas, então f1 × f2 é contínua.
Proposição 2.7. Sejam
(
X,T1
)
um espaço topológico e
(
E, ‖ ‖
)
um R-espaço vetorial
normado. Como E possui uma estrutura algébrica, dadas f, g : X −→ E podemos
definir a nova função:
f + g :X −→ E
x −→
(
f + g
)
(x) = f(x) + g(x).
Se f e g são contínuas, então f + g é contínua.
Prova : Sejam h : X −→ E × E tal que h(x) = (f(x), g(x)) e S : E × E −→ E tal que
S(v1, v2) = v1 + v2; a função S é contínua. Então f + g = S ◦ h, é contínua.
2.6. FUNÇÕES ABERTAS E FECHADAS 55
Proposição 2.8. Sejam f : X −→ E e α : X −→ R e definamos a nova função:
α f :X −→ E
x −→
(
α f)(x) = α(x) f(x)).
Se f e α são contínuas, então α f é contínua.
Prova : Sejam h : X −→ R × E tal que h(x) = (α(x), f(x)) e m : R × E −→ E tal que
m(λ, v) = λ v; a função m é contínua. Então α f = m ◦ h, é contínua.
Observação 2.5. A prova de que S e m são contínuas segue do fato de serem ambas
contrações. Veja [EL2].
2.6 Funções Abertas e Fechadas
Sejam
(
X,T1
)
e
(
Y,T2
)
espaços topológicos.
Definição 2.3. A função:
f : X −→ Y,
é aberta (fechada) se para todo U aberto (fechado) em X , temos que f
(
U
)
é aberto
(fechado) em Y .
Observamos que se f for aberta, não necessariamente f é contínua. Veja os seguintes
exemplos.
Exemplo 2.5.
[1] A função identidade:
id :
(
X,T1
)
−→
(
X,T2
)
é aberta (fechada) se, e somente se T1 ⊂ T2, mas não é contínua quando T1 6= T2.
[2] As projeções de um espaço produto são abertas.[3] As projeções não são fechadas. Por exemplo, seja R com a topologia usual e consi-
dere as projeções pri : R2 −→ R, (i = 1, 2) e o conjunto:
H = {(x, y) ∈ R2 / x y = 1}.
56 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Figura 2.3: H e a projeção R− {0}
H é fechado em R2 e pri(H) = R− {0}, que é aberto.
[4] Se X = {a, b} com a topologia discreta, então f : X −→ R definida por f(a) = 0 e
f(b) = 1 é contínua, fechada e não aberta.
Seja f : X −→ Y bijetiva. Então f é aberta se, e somente se f é fechada. De fato. Seja
U ⊂ X aberto; logo U c = F é fechado e
f(F ) = f(X − U) = Y − f(U);
logo, f é fechada.
Proposição 2.9. Seja f : X −→ Y . São equivalentes as condições:
1. f é aberta.
2. f(
◦
A) ⊂
◦(̂
f(A)
)
, para todo A ⊂ X .
3. f leva abertos básicos de X em abertos básicos de Y
4. Para todo x ∈ X e toda U ⊂ X vizinhança de x, existe W ⊂ Y tal que:
f(x) ∈ W ⊂ f(U).
Prova :
1) ⇒ 2)
◦
A ⊂ A; então f(
◦
A) ⊂ f(A); por outro lado f(
◦
A) é aberto e
◦(̂
f(A)
)
é o maior
aberto contido em f(A); logo f(
◦
A) ⊂
◦(̂
f(A)
)
.
2) ⇒ 3) Seja U aberto básico de X ;
◦
U = U ; então:
2.6. FUNÇÕES ABERTAS E FECHADAS 57
f(U) = f(
◦
U) ⊂
◦(̂
f(A)
)
⊂ f(U);
logo, f(U) é aberto básico.
3) ⇒ 4) Para cada x ∈ X , seja U vizinhança de x; existe V aberto básico tal que
x ∈ V ⊂ U . Considere W = f(V ).
4) ⇒ 1) Seja U ⊂ X aberto; para todo y ∈ f(U) existe vizinhança Wy de y tal que
Wy ⊂ f(U); logo:
f(U) =
⋃
y∈f(U)
Wy;
então, f é aberta.
Proposição 2.10. f : X −→ Y é fechada se, e somente se f(A) ⊂ f(A).
Prova : Se f é fechada, então f(A) é fechado e f(A) ⊂ f(A), logo:
f(A) ⊂ f(A) = f(A).
Reciprocamente, seja F ⊂ X fechado; logo:
f(F ) ⊂ f(F ) ⊂ f(F ) = f(F );
então, f(F ) = f(F ) e f(F ) é fechado.
58 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
2.7 Exercícios
1. Sejam I ,X , Y , Z,A, Aα ∈ A eB, Bα ∈ Y , α ∈ I conjuntos não vazios. Denotemos
por f : X −→ Y e g : Y −→ Z funções. Verifique que:
(a) f
( ⋃
α∈I
Aα
)
=
⋃
α∈I
f
(
Aα
)
.
(b) f
( ⋂
α∈I
Aα
)
⊆
⋂
α∈I
f
(
Aα
)
.
(c) f−1
( ⋃
α∈I
Aα
)
=
⋃
α∈I
f−1
(
Aα
)
.
(d) f−1
( ⋂
α∈I
Aα
)
=
⋂
α∈I
f−1
(
Aα
)
.
(e) f−1
(
Bc
)
=
[
f−1
(
B
)]c.
2. Sejam X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {a, b} com as seguintes topologias:
(a) T1 = {∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}} e T2 = {∅, Y, {a}}, respectivamente. Ache
todas as funções contínuas entre X e Y .
(b) T1 = {∅, X, {2}, {3, 4}, {2, 3, 4}} e T2 = {∅, Y, {b}}, respectivamente. Ache
todas as funções contínuas entre Y e X .
3. Seja X = {1/n / n ∈ N} ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R.
A função:
f :X −→
(
R,Tus
)
1/n −→ (−1)n n
é contínua?
4. Seja R com a topologia usual, as funçõs definidas por:
(a) f(x) =
{
x2 se x ≤ 0
x3 se x ≤ 0
(b) f(x) =
{
x2 + 4 se −4 ≤ x ≤ 0
x− 3 se 0 ≤ x ≤ 4
2.7. EXERCÍCIOS 59
são contínuas?
5. Verifique que a função f(y) = d(y, A) é uniformemente contínua.
6. Sejam X , Y espaços topológicos, A, B ⊂ X conjuntos fechados tais que X =
A ∪B, f : A −→ Y e g : B −→ Y funçãoes contínuas. Se f |A∩B = g|A∩B, verifique
que:
h(x) =
{
f(x) se x ∈ A
g(x) se x ∈ B
é contínua.
7. Sejam
(
X,T1
)
,
(
Y,T2
)
,
(
Z,T3
)
espaços topológicos e considere as funçõesf :
X −→ Y e f : Y −→ Z:
(a) Se f e g são abertas (fechadas), enão g ◦ f é aberta (fechada).
(b) Se g ◦ f é aberta (fechada) e f é contínua e sobrejetiva, então g é aberta
(fechada)?
(c) Se g◦f é aberta (fechada) e g é contínua e injetiva, então f é aberta (fechada)?
8. Sejam
(
X,T1
)
,
(
Y,T2
)
espaços topológicos. Prove que f é aberta se, e somente se
f−1
(
∂B
)
⊂ ∂f−1
(
B
)
, para todo B ⊂ Y .
9. Verifique que são equivalentes:
(a) f é fechada.
(b) Se U ∈ T1, então {y ∈ Y / f−1(y) ⊂ U} ∈ T2.
(c) Se F ⊂ X é fechado, então {y ∈ Y / f−1(y) ∩ F 6= ∅} é fechado em Y .
10. Toda função f :
(
R,Tcof
)
−→
(
R,Tus
)
é fechada? Justifique sua resposta.
11. Toda função f :
(
R,Tcof
)
−→
(
R,Tcof
)
é aberta e fechada? Justifique sua res-
posta.
12. Seja X = {1, 2, 3, 4} com a topologia de base
{∅, {1}, {4}, {1, 2}, {1, 3}}.
Determine todas as funções abertas e contínuas de X em X .
60 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
13. Sejam X , Y espaços topológicos e f : X −→ Y injetiva. Verifique que são equiva-
lêntes:
(a) f−1 é contínua.
(b) f é aberta.
(c) f é fechada.
14. Sejam X um espaço topológico, R com a topologia usual, A ⊂ X e definamos a
função χA : A −→ R chamada característica de A por:
χA(x) =
{
1 se a ∈ A
0 se a /∈ A
Verifique que χA é contínua se, e somente se A é aberto e fechado em X .
15. Seja R com a topologia usual e denotemos por Ra o conjunto R com a topologia:
{∅, R} ∪ {(−a, a) / a ∈ R, a > 1}.
(a) Verifique que f : R −→ Ra tal que f(x) = x2 é contínua.
(b) f : Ra −→ R tal que f(x) = x2 é contínua?
16. Seja M(n,R) com a topologia usual, defina T : M(n,R) −→ M(n,R) por T (A) =
At, onde At é a matriz transposta de A. Verifique que T é contínua.
17. Sejam Rn e M(n,R) com a topologia usual, definamos a seguinte função F :
M(n,R) × Rn −→ Rn definida por F (A, x) = Ax, considerando x como uma
matriz n× 1. Verifique que F é contínua.
18. Sejam M , N espaços métricos e K ⊂M um conjunto fechado e limitado, denote-
mos por C(M,N) = {f : M −→ N /f contínua}, se V ⊂ N é aberto:
U(K,V ) = {h ∈ C(M,N) / h(K) ⊂ V }.
(a) Verifique que U(K,V ) é uma subbase para uma topologia em C(M,N).
(b) Estude o caso M = N = R com a métrica usual..
Capítulo 3
HOMEOMORFISMOS
3.1 Introdução
Um dos problemas centrais em Topologia é poder decidir se dois espaços são diferentes
ou não.
Por exemplo, não é trivial dizer sob o ponto de vista da Topologia se uma esfera é
diferente de um cilindro, se uma esfera é diferente de um toro ou se Rn é diferente de
Rm, se n 6= m.
Neste capítulo começaremos com os primeiros conceitos que nos permitirão responder
a algumas destas questões fundamentais.
3.2 Homeomorfismos
Sejam X e Y espaços topológicos.
Definição 3.1. f : X −→ Y é um homeomorfismo se f é bijetiva, contínua e f−1 é
contínua.
Notação: Se X e Y são homeomorfos utilizamos a seguinte notação:
X ∼= Y.
Observações 3.1.
1. A composta de homeomorfismos é um homeomorfismo. Ser homeomorfo é uma
relação de equivalência na família dos espaços topológicos.
61
62 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
2. Veremos nos próximos parágrafos que os espaços topológicos homeomorfos po-
ssuem as mesmas propriedades topológicas. Isto é, se consideramos as classes de
equivalência, teremos que espaços homeomorfos são essencialmente iguais em
topologia.
3. Uma função bijetiva e contínua não é necessariamente um homeomorfismo. Veja
o seguinte exemplo.
Exemplo 3.1. Sejam S1 ⊂ R2 e [0, 2 π) ⊂ R com as respectivas topologias induzidas
pelas topologias usuais. Definamos:
f : [0,2π) −→ S1
t −→ (cos(t), sen(t)).
f é contínua e bijetiva. Por outro lado,
f−1 : S1 −→ [0, 2π)
é descontínua em p = (1, 0).
De fato: Seja ε = π; para cada n ∈ N, seja tn = 2π −
1
n
∈ [0, 2 π) e zn = f(tn), logo
‖zn − p‖ <
1
n
, pois o arco tn é maior que a corda.
t
zn
n
p
Figura 3.1:
Então f−1(zn) = tn e:
|f−1(zn)− f−1(p)| = |tn| = 2π −
1
n
> π = ε,
para todo n ∈ N. Logo, f é uma bijeção contínua que não é um homeomorfismo.
3.2. HOMEOMORFISMOS 63
A seguir apresentaremos os primeiros exemplos de homeomorfismos. Alguns detalhes
serão deixados para o leitor.
Exemplo 3.2.
[1] Seja R com a topologia usual. Então, todo intervalo aberto (a, b), com a topologia
induzida pela topologia usual de R, é homeomorfo a R.
De fato:
1. Seja f : (a, b) −→ (−1, 1) definida por:
f(t) =
2 t− (b+ a)
b− a
,
f é bijetiva, contínua e sua inversa:
f−1(y) =
(b− a) y + (a+ b)
2
,
também é contínua.
2. Logo, (a, b) ∼= (−1, 1).
3. Definamos f : R −→ (−1, 1) por:
f(t) =
t
1 + |t|
,
f é bijetiva, contínua e sua inversa:
f−1(y) =
y
1− |y|
,
também é contínua.
4. Logo, R ∼= (−1, 1). Pela transitividade do homeomorfismo, temos que:
R ∼= (a, b).
64 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
[2] Seja Rn com a topologia usual e H = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn / xn = 0} ⊂ Rn. Então
H ∼= Rn−1.
Definamos f : H −→ Rn−1 por f(x1,x2, . . . , xn−1, 0) = (x1, x2, . . . , xn−1). Então, f é
contínua e bijetiva.
Definamos f−1 : Rn−1 −→ H por
f−1(x1, x2, . . . , xn−1) = (x1, x2, . . . , xn−1, 0).
Então, f−1 é contínua. Logo:
H ∼= Rn−1.
[3] Seja
(
E, ‖ ‖
)
um espaço vetorial normado; então:
1. As translações :
Ta : E −→ E
v −→ v + a
a ∈ E, são homeomorfismos.
2. As homotetias:
hλ : E −→ E
v −→ λ v
λ ∈ R− {0}, são homeomorfismos.
3. Para todo r > 0 e todo v ∈ E:
E ∼= B(v, r).
De fato:
1. Ta são bijetivas, contínuas e as inversas T−1a = T−a, que são contínuas.
3.2. HOMEOMORFISMOS 65
2. hλ são bijetivas, contínuas e as inversas h−1λ = hλ−1 , que são contínuas.
3. Definimos o homeomorfismo Φ : E −→ E por:
Φ(x) =
(
Tw ◦ hs/r ◦ T−v
)
(x) = s/r (x− v) + w.
Note que Φ(v) = w e Φ
∣∣
B(v,r)
é um homeomorfismo tal que Φ
(
B(v, r)
)
= B(w, s).
Então:
B(v, r) ∼= B(w, s)
para todo v, w ∈ E e r, s > 0.
4. Agora definamos f : E −→ B(v, 1) por:
f(u) =
u
1 + ‖u‖
que é contínua e bijetiva com inversa contínua:
f−1(w) =
w
1− ‖w‖
;
logo, f é um homeomorfismo.
5. Pela transitividade do homeomorfismo, temos que:
E ∼= B(v, r).
[3] Sejam R2n e Cn ambos com a topologia usual. Então:
R2n ∼= Cn,
para todo n ≥ 1.
Se z ∈ C, z = x + i y, onde x, y ∈ R. Por outro lado, Cn = C × C × . . . × C (n-vezes) e
R2n = R× R× . . .× R (2n-vezes). Definamos:
f :C× C× . . .× C −→ R× R× . . .× R× R
(z1, z2, . . . , zn) −→ (x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn).
66 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
f é, claramente, um homeomorfismo. Logo:
Cn ∼= R2n.
Teorema 3.1. Seja f : X −→ Y bijetiva. São equivalentes as condições:
1. f homeomorfismo.
2. f é contínua e aberta.
3. f é contínua e fechada.
4. f(A) = f(A), para todo A ⊂ X .
Prova :
1) ⇔ 2) f−1 é contínua se, e somente se para todo aberto U ⊂ X :(
f−1(U)
)−1
= f(U)
é aberto em Y .
2) ⇔ 3) Segue do parágrafo anterior.
3) ⇔ 4) Como f é contínua, f(A) ⊂ f(A); como f é fechada, f(A) ⊂ f(A).
Corolário 3.1. Seja f : X −→ Y . O gráfico de f é definido por:
G(f) = {(x, f(x)) / x ∈ X} ⊂ X × Y.
Considere G(f) com a topologia induzida pela topologia produto. Então f é contínua
se, e somente se X ∼= G(f).
Prova : De fato, definamos h : X −→ X × Y por h(x) = (x, f(x)) que é contínua; então
h : X −→ G(f) é bijetiva e contínua. Por outro lado, se U ⊂ X é aberto:
h(U) = {(x, f(x)) / x ∈ U} =
(
U × Y
)
∩G(f),
que um aberto relativo. Reciprocamente, f = pr2 ◦ h.
Corolário 3.2. Sejam f : X −→ Y homeomorfismo e A ⊂ X ; então:
1. A ∼= f(A).
2. X − A ∼= Y − f(A).
Prova: Imediata.
3.3. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 67
3.3 Exemplos de Homeomorfismos
[1] Seja R2 com a topologia induzida e A ⊂ R2 definido por:
A = {(x, y) ∈ R2 / 0 < a ≤
√
x2 + y2 ≤ b}.
A é um anel; então:
A ∼= S1 × [a, b].
Figura 3.2: O anel A
Definamos f : A −→ S1 × [a, b] e f−1 : S1 × [a, b] −→ A por:
f(x, y) =
(
(
x√
x2 + y2
,
y√
x2 + y2
),
√
x2 + y2
)
e f−1((x, y), t) = (t x, t y),
claramente f e f−1 são bijetivas e contínuas; logo f é um homeomorfismo.
[2] Sejam S1 e o quadrado Q = {(x, y) / max{|x|, |y|} = 1} em R2 com a topologia
induzida pela topologia usual de R2; então:
S1 ∼= Q.
68 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
d c
z w
u v
ba
Figura 3.3: Homeomorfismo entre S1 e Q
Definamos f : S1 −→ Q levando o arco ab de S1 no segmento uv de Q, o arco bc e S1 no
segmento vw de Q, o arco cd e S1 no segmento wz de Q e o arco da e S1 no segmento
zu de Q, isto é:
f(x, y) =
( x
m
,
y
m
)
e f−1(x, y) =
(x
r
,
y
r
)
,
onde m = max{|x|, |y|} e r =
√
x2 + y2; claramente f e f−1 são bijetivas e contínuas;
logo f é um homeomorfismo.
De forma análoga, temos que:
S2 ∼= C,
onde S2 ⊂ R3 e C = {(x, y, z) / max{|x|, |y|, |z|} = 1} é o cubo unitário.
Figura 3.4: Homeomorfismo entre S2 e C
[3] Consideremos Sn ⊂ Rn+1 e o conjunto
E = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 / a21 x21 + . . . a2n+1 x2n+1 = 1} ⊂ Rn+1,
3.3. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 69
onde ai ∈ R−{0}, ambos com topologia induzida pela topologia usual de Rn+1. Então:
Sn ∼= E.
E
n
S
Figura 3.5: Homeomorfismo radial entre S2 e E
Seja f : Sn −→ E definida por:
f(x1, . . . , xn+1) =
(x1
a1
, . . . ,
xn+1
an+1
)
.
f é bem definida, bijetiva e contínua. Definamos f−1 : E −→ Sn por:
f−1(x1, . . . , xn+1) =
(
a1 x1, . . . , an+1 xn+1
)
.
f−1 é bem definida e contínua. Logo, Sn é homeomorfo a E. Então, Sn e E são topolo-
gicamente "iguais".
Figura 3.6: Espaços homeomorfos a S2
70 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
[4] Consideremos R2 − {(0, 0)} ⊂ R2 com topologia induzida pela topologia usual de
R2 e os conjuntos:
H = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y2 − z2 = 1}, e S1 × R,
com topologia induzida pela topologia usual de R3. Então:
R2 − {(0, 0)} ∼= H ∼= S1 × R.
1. Seja f : R2 − {(0, 0) −→ S1 × R definida por:
f(x, y) =
( x√
x2 + y2
,
y√
x2 + y2
, ln(
√
x2 + y2)
)
.
f é bem definida, bijetiva e contínua.
2. Definamos f−1 : S1 × R −→ R2 − {(0, 0) por:
f−1(x, y, t) =
(
x et, y et
)
.
f−1 é bem definida, contínua e inversa de f .
3. Logo:
R2 − {(0, 0)} ∼= S1 × R.
4. Por outro lado, definamos h : S1 × R −→ H por:
h(x, y, t) =
(
x
√
1 + t2, y
√
1 + t2, t
)
.
h é bem definida, bijetiva e contínua.
5. Definamos h−1 : H −→ S1 × R por:
h−1(x, y, z) =
( x√
1 + z2
,
y√
1 + z2
, z
)
.
h−1 é bem definida e contínua.
3.3. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 71
6. Logo:
H ∼= S1 × R.
Figura 3.7: H e S1 × R
[5] Seja Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de Rn+1. Conside-
remos Rn+1 ∼= Rn × R; então (x, t) ∈ Sn se, e somente se ‖x‖ = 1 − t2 . Denotemos
por:
Sn− = {(x, t) ∈ Sn / t ≤ 0} e Sn+ = {(x, t) ∈ Sn / 0 ≤ t}.
Os conjuntos Sn− e Sn+ são ditos hemisférios de Sn. Note que
Sn = Sn− ∪ Sn+ e Sn− ∩ Sn+ = E.
O conjunto E é chamado equador de Sn; é claro que:
E ∼= Sn−1.
Isto é, podemos considerar Sn−1 como o equador de Sn.
72 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
Figura 3.8: Sn−1 como equador de Sn
Consideremos a projeção:
p : Rn × R −→ Rn
(x, t) −→ x.
Se (x, t) ∈ Sn, ‖(x, t)‖ = 1, logo ‖p(x, t)‖ ≤ 1; então p(Sn) ⊂ B[x, 1] ⊂ Rn. Via projeção,
temos que
Sn−
∼= B[x, 1] ∼= Sn+.
De fato, a função:
q : B[x, 1] −→ Sn+
x −→ (x,
√
1− ‖x‖2)
é bem definida, contínua bijetiva e com inversa contínua p
∣∣
Sn+
.
3.3. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 73
Figura 3.9: Sn−, B[x, 1] e Sn+
[6] Projeção Estereográfica: Seja Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologia
usual de Rn+1 e p = (0, 0, . . . , 0, 1), então:
Sn − {p} ∼= Rn.
De fato. Seja Φ : Sn − {p} −→ Rn definida da seguinte forma, dado x ∈ Sn − {p};
considere a semi-reta px ∈ Rn+1; então Φ(x) = y, onde y é a interseção de px com o
semi-plano definido por xn+1 = 0, homeomorfo a Rn:
{
px = p+ t (x− p), t ∈ [0, 1]
xn+1 = 0,
logo, 1 + t (xn+1 − 1) = 0 e t =
1
1− xn+1
; então:
Φ(x) =
1
1− xn+1
(x1, x2, . . . , xn).
74 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
p
x
z
Φ ( )x
Φ ( )z
Figura 3.10: Definição de Φ
Φ é bijetiva e contínua e:
Φ−1(y) =
( 2 y1
1 + ‖y‖2
, . . . ,
2 yn
1 + ‖y‖2
,
‖y‖2 − 1
1 + ‖y‖2
)
;
‖Φ−1(y)‖2 = 1 e Φ−1 é contínua.
3.4 Grupos de Matrizes
Da Álgebra Linear sabemos que o conjunto formado pelas matrizes de ordem n ×m,
tendo como entradas elementos de K = R ou C, é um K-espaço vetorial. Fixemos
K = R; o caso complexo é análogo. Denotemos este espaço vetorial por:
Mn×m
(
R
)
.
Seja A = (aij) ∈Mn×m
(
R
)
. Definamos:
Ψ : Mn×m
(
R
)
−→ Rn×m
A −→ (a11, a12, . . . , a1n, . . . , am1, . . . , amn).
Ψ é claramente um isomorfismo de espaços vetoriais. Via o isomorfismo Ψ, o espaço
Mn×m
(
R
)
herda toda a estrutura linear e topológica de Rn×m. Utilizaremos a métrica
usual de Rn×m para introduzir uma topologia em Mn×m
(
R
)
.
De fato, dada A = (aij) ∈Mn×m
(
R
)
, definamos:
‖A‖1 = ‖Ψ(A)‖ =
[ n∑
i,j=1
a2ij
]1/2
.
3.4. GRUPOS DE MATRIZES 75
‖ ‖1 é uma norma em Mn×m
(
R
)
que o torna um espaço vetorial normado. Logo, um
espaço topológico. Note que ‖A‖1 =
√
AAt, onde At é a matriz transposta de A. É
imediato que Ψ é bijetiva, contínua com inversa contínua. Logo:
Mn×m
(
R
) ∼= Rn×m.
Denotemos por Mn
(
R
)
= Mn×n
(
R
)
; então:
Mn
(
R
) ∼= Rn2 .
Seja R com a topologia usual.A função:
det : Mn
(
R
)
−→ R,
definida indutivamente:
1. Se n = 1, det((a11)) = a11.
2. Se n > 1, seja A = (aij) e:
det(A) =
n∑
i=1
(−1)i+1 ai1 det(A[i,1]),
onde 1 ≤ i, j ≤ n e A[i,j] é a matriz (n − 1) × (n − 1), que se obtem omitindo a
i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.
A função det é multilinear, logo contínua.
Seja Gl(n,R) o conjunto das matrizes invertíveis de ordem n. Gl(n,R) é aberto em
Mn
(
R
)
. De fato:
Gl(n,R) = det−1({0}c).
Gl(n,R) é também um grupo, chamado grupo linear geral real.
Denotemos por O(n) ⊂ Gl(n,R), definido por:
A ∈ O(n) ⇔ AAt = I,
onde I é matriz identidade. Logo, A ∈ O(n) ⇔ det(A) = ±1. O(n) é um grupo,
chamado ortogonal.
Denotemos por SO(n) ⊂ O(n) definido por:
A ∈ SO(n) ⇔ det(A) = 1.
76 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
SO(n) é um grupo, chamado ortogonal especial. O(n) e SO(n) são fechados emMn
(
R
)
.
De fato:
SO(n) = det−1({1})
O(n) = det−1({−1, 1}).
O(n) é isomorfo a SO(n)× {−1, 1}. De fato:
f :O(n) −→ SO(n)× {−1, 1}
A −→ (A/det(A), det(A)).
f é um isomorfismo de grupos.
Seja K = C, denotemos por C∗ = C− {0}. De forma análoga ao caso real, definimos:
Gl(n,C) = det−1
(
C∗
)
U(n) = {A ∈ Gl(n,C) /A∗A = I}
SU(n) = det−1({1}).
De forma análoga, os grupos Gl(n,C), U(n) e SU(n) são ditos, linear complexo, unitá-
rio e especial unitário, respectivamente.
U(n) é isomorfo a SU(n)× S1. De fato:
f :U(n) −→ SU(n)× S1
A −→ (A/det(A), det(A)).
f é um isomorfismo de grupos.
3.5 Homeomorfismos Locais
Definição 3.2. Seja f : X −→ Y . f é dito homeomorfismo local se para todo x ∈ X
existe U ⊂ X vizinhança de x tal que f(U) = V é aberto em Y e f : U −→ V é um
homeomorfismo.
Sejam U ⊂ X , V ⊂ Y abertos e f : U −→ V um homeomorfismo; então para todo
aberto U ′ ⊂ U , temos que f(U ′) é aberto em V , logo é aberto em Y .
Proposição 3.1. Se f : X −→ Y é um homeomorfismo local, então f é aberta.
Prova : Seja A ⊂ X aberto; para cada x ∈ A existe Ux ⊂ A vizinhança de x tal que:
3.5. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 77
f : Ux −→ Vx,
onde f(Ux) = Vx. Seja U ′x = Ux ∩ A. Pela observação anterior f(U ′x) é aberto em Y .
Como:
A =
⋃
x∈A
U ′x
f(A) = f
( ⋃
x∈A
U ′x
)
=
⋃
x∈A
f(U ′x)
que é aberto em Y . Logo, f é aberta.
Observação 3.1. Homeomorfismo implica homeomorfismo local. A recíproca é falsa.
Exemplo 3.3. Seja R com a topologia usual e S1 ⊂ C com a topologia induzida pela
topologia usual de C. Então:
f :R −→ S1
x −→ e2πix
é um homeomorfismo local.
1. Consideremos os seguintes subconjuntos do círculo: S1 = {(x, y) ∈ S1 / y > 0},
S2 = {(x, y) ∈ S1 / y < 0}, S3 = {(x, y) ∈ S1 / x > 0} e S4 = {(x, y) ∈ S1 / x < 0}.
S
1
S2
S
3
S
4
Figura 3.11:
2. Consideremos os seguintes sub-intervalos: I1 = (n, n+ 1/2), I2 = (n− 1/2, n),
I3 = (n− 1/4, n+ 1/4) e I4 = (n+ 1/4, n+ 3/4), n ∈ Z.
78 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
3. Definamos: p1 : S1 −→ (−1, 1) por p1(x, y) = x.
4. A função p1 é um homeomorfismo. De fato, p1 possui a seguinte inversa contínua
q1(t) = (t,
√
1− t2).
5. Denotemos por fi = f |Ii . Consideremos:
p1 ◦ f1 : I1 −→ (−1, 1).
Como e2πix = (cos(2πx), sen(2πx)), então
(
p1◦f1
)
(x) = cos(2πx). Logo, pelas propieda-
des básicas de Trigonometria p1 ◦ f1 é um homeomorfismo:
1 1.5
-1
1
Figura 3.12: Homeomorfismo p1 ◦ f
6. Logo, p−11 ◦
(
p1 ◦ f1
)
: I1 −→ S1 é um homeomorfismo e f1 = p−11 ◦
(
p1 ◦ f1
)
é um
homeomorfismo.
7. Definamos: p2 : S2 −→ (−1, 1) por p2(x, y) = y.
8. A função p2 é um homeomorfismo. De fato, p2 possui a seguinte inversa contínua
q2(t) = (t,−
√
1− t2).
9. De forma análoga, p−12 ◦
(
p2◦f2
)
: I2 −→ S2 é um homeomorfismo e f2 = p−12 ◦
(
p2◦f2
)
é um homeomorfismo.
10. De forma análoga as anteriores, verifica-se que I3 ∼= S3 e I4 ∼= S4.
11. Como intervalos destes tipos cobrem R. Por exemplo:
R =
⋃
n∈Z
(n, n+ 1/2).
Então, f é um homeomorfismo local.
Observação 3.2. Este exemplo mostra (por que?) que, em geral, um homeomorfismo
local não é homeomorfismo. Em particular, f é uma função aberta (não fechada).
3.5. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 79
Exemplo 3.4. De forma totalmente análoga:
f :R2 −→ S1 × R
(x, y) −→ (e2πix, y)
e:
f :R2 −→ S1 × S1
(x, y) −→ (e2πix, e2πiy)
são homeomorfismos locais.
80 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
3.6 Exercícios
1. Considere o conjunto X = {a, b, c, d} com a topologia:
T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}}
e Y = {α, β, γ, δ}, defina uma topologia em Y tal que X e Y sejam homeomorfos.
2. Sejam X × {y} e {x} × Y ⊂ X × Y . Verifique que para todo y ∈ Y e para todo
x ∈ X , temos:
X × {y} ∼= X e {x} × Y ∼= Y.
Em particular, Rn ∼= Rn × {0} ⊂ Rn+1.
3. Verifique que
(
R,Tus
)
não é homeomorfo a
(
R,Tcof
)
.
4. Sejam
(
M,d1
)
e
(
M,d2
)
espaços métricos. Dizemos que as métricas d1 e d2 são
equivalentes se id :
(
M,Td1
)
−→
(
M,Td2
)
é um homeomorfismo.
(a) Verifique que se M = Rn, então d1, d2 e d3 definidas anteriormente são equi-
valentes.
(b) Seja M = R2, d1, d2 e d3. Utilizando as bolas, de uma explicação geométrica
da equivalência destas métricas.
5. Verifique que [0, 1] e [0, 1) não são homomorfos provando que não existe função
f : [0, 1] −→ [0, 1) contínua e sobrejetiva.
6. Sejam
(
M,d1
)
e
(
M,d2
)
espaços métricos. Verifique se a seguinte afirmação é
verdadeira ou false: f : M1 −→ M2 é uma isometria se, e somente se f é um
homemorfismo.
7. Verifique que as isometrias são homeomorfismos.
8. N e Q com a topologia induzida pela topologia usual de R, são homeomorfos?
9. ConsiderandoR2 com a topologia usual, verifique se os seguintes subespaços são
homeomorfos:
(a) [0, 2] e [0, 1] ∪ [2, 3]
3.6. EXERCÍCIOS 81
(b) {(x, y) ∈ R2 / x, y ≥ 0} e {(x, y) ∈ R2 / y ≥ 0}.
(c) {(x, y) ∈ R2 / x2 = y} e {(x, y) ∈ R2 / y = x2}.
(d) {(x, y) ∈ R2 / x3 = y} e {(x, y) ∈ R2 / y = x2}.
10. Verifique que com as topologias usuais os conjuntos R2 − {(0, 0)} e {(x, y) ∈
R2 / x2 + y2 > 1} são homeomorfos.
11. Verifique que com as topologias usuaisR3−S1 eR3−{(1, 1, 1)} são homeomorfos.
12. Sejam R com a toplogia usual, f, g : R −→ R funções contínuas tais que f(x) <
g(x), para todo x ∈ R. Verifique que os conjuntos {(x, y) ∈ R2 / f(x) ≤ y ≤ g(x)}
e {(x, y) ∈ R2 / y ∈ [0, 1]} são homeomorfos.
13. Seja
(
X,T1
)
um espaço topológico e denotemos por:
G(X) = {f : X −→ X /f é homeomorfismo}.
Verifique que:
(a) G(X) é um grupo com a composta de funções,
(b) Se X = [0, 1] e Y = (0, 1) com a topologia induzida pela usual de R, defina:
ψ :G(X) −→ G(Y )
f −→ f
∣∣
Y
ψ é um isomorfismo de grupos? (Note que X e Y não são homeomorfos)
14. G(X) é abeliano? Caso a resposta seja negativa, quando é abeliano?
82 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS
Capítulo 4
TOPOLOGIA QUOCIENTE
4.1 Introdução
A Topologia quociente é a fonte dos mais importantes para construir exemplos de es-
paços topológicos, que constituirão a parte central desta notas. Neste capítulo intro-
duziremos os exemplos clássicos na Matemática, como a faixa de Möebius, os espaços
projetivos reais e complexos e a garrafa de Klein.
4.2 Topologia Quociente
Sejam
(
X,T
)
, Y um conjunto não vazio e f : X −→ Y sobrejetiva. Definamos em Y a
seguinte topologia:
Tf = {V ⊂ Y / f−1(V ) ∈ T}.
Claramente, Tf é uma topologia sobre Y .
Definição 4.1. Tf é dita topologia quociente em Y induzida por f .
Exemplo 4.1.
[1] Seja f : X −→ Y constante. Determine Tf .
Considere y0 ∈ Y e suponha que f(x) = y0 para todo x ∈ X . Seja U ∈ Tf . Se y0 ∈ U ,
então f−1(U) = X e se y0 /∈ U , então f−1(U) = ∅. Isto é, qualquer subconjunto de Y é
aberto, logo Tf é a topologia discreta sobre Y .
[2] Seja X = {a, b, c} e R com a topologia usual; definamos f : R −→ X por:
f(x) =

a se x > 0
b se x < 0
c se x = 0.
83
84 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
Então, Tf = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}} é a topologia quociente em X induzida por f .
Proposição 4.1. A topologia quociente Tf é a mais fina sobre Y que torna f contínua.
Prova : De fato, sendo TY outra topologia em Y e se para todo V ∈ TY temos que
f−1(V ) é aberto em X , então V ∈ Tf .
Definição 4.2. Sejam
(
X,T
)
,
(
Y,TY
)
e f : X −→ Y sobrejetiva. A função sobrejetiva f
que induz a topologia