Universidade do Estado do Rio Grande do Nort1 (1)

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE – UERN 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS – FANAT 
CAMPUS AVANÇADO DE PATU – CAP 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME 
 
 
 
 
 
 
FRANCISCO FÁBIO OLIVEIRA DOS SANTOS 
 
 
 
OS NÚMEROS PRIMOS 
Uma breve abordagem histórica, fórmulas geradoras e suas contribuições para 
a matemática e aplicações no cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PATU-RN 
2016 
FRANCISCO FÁBIO OLIVEIRA DOS SANTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
OS NÚMEROS PRIMOS 
 Uma breve abordagem histórica, fórmulas geradoras e suas contribuições 
para a matemática e aplicações no cotidiano. 
 
 
Monografia apresentado à Universidade do 
Estado do Rio Grande do Norte como um dos 
requisitos para obtenção do grau de licenciatura 
em Matemática. 
 
ORIENTADOR: Prof. Me. Francinário Oliveira 
de Araújo 
 
 
 
 
 
 
 
 
PATU-RN 
2016 
FRANCISCO FÁBIO OLIVEIRA DOS SANTOS 
 
OS NÚMEROS PRIMOS 
 Uma breve abordagem histórica, fórmulas geradoras e suas contribuições 
para a matemática e aplicações no cotidiano. 
 
Monografia apresentado à Universidade do 
Estado do Rio Grande do Norte como um dos 
requisitos para obtenção do grau de licenciatura 
em Matemática. 
 
ORIENTADOR: Prof. Me. Francinário Oliveira 
de Araújo 
 
APROVADO EM: ____/____/____ 
 
BANCA EXAMINADORA 
 
____________________________________________________ 
Prof. Me. Francinário Oliveira de Araújo 
Presidente 
____________________________________________________ 
Prof. Esp. José Wilton Nobre Chaves 
Primeiro membro 
____________________________________________________ 
Prof. Esp. Aurenildo Bezerra dos Santos 
Segundo membro 
 
 
 
PATU, ____ de junho de 2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Deus, por me amar imensamente. 
A minha mãe, Benedita Oliveira dos Santos, 
por estar sempre ao meu lado. 
A minha avó, Rita Pereira de Oliveira, pelo 
imenso carinho. 
A meus irmãos, Francinildo, Francinaldo e 
júnior, por sempre apoiarem as minhas 
decisões acadêmicas 
AGRADECIMENTOS 
 
A Deus, por fazer da minha vida um instrumento de louvor e adoração a Ti. Por mostrar 
que o impossível pode torna-se possível quando temos fé. 
 
A minha mãe, Benedita Oliveira dos Santos, e à memória de meu pai, Francisco 
Afonso dos Santos, exemplos de humildade, dignidade e perseverança, nos quais, me 
motivam diariamente na busca dos meus sonhos. 
 
Aos demais familiares. Em especial, meus irmãos Francinildo, Francinaldo e Júnior, 
minha avó Rita e à memória de meu avô José, meus primos Antônio Marcos e Douglas 
Oliveira e meu tio Jozimar. Sou grato à todos pelo apoio. 
 
Aos meus amigos da UERN, Diêgo Dantas, Joelisom de Moura, Levi Rodrigo, Mailk 
Lourenço e Veridiano Maia, pela amizade que construímos durante o curso. 
 
A todos os meus professores. Especialmente aos membros da banca examinadora do 
TCC, meu orientador (presidente): Francinário Oliveira de Araújo, 1º membro: José 
Wilton Nobre Chaves e o 2º membro: Aurenildo Bezerra dos Santos. 
 
Aos demais funcionários que fazem o CAP - UERN, em especial a Adriana Andrade 
Lira e Maria Kílvia da Silva Ferreira, ambas compõem o departamento de matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A Matemática é a rainha das ciências, e a 
Teoria dos Números é a rainha da Matemática". 
(Gauss) 
RESUMO 
 
Ao estudarmos os números primos na escola básica, nos apresentam a sua definição 
que não há muitas dificuldades em aprendê-la. Porém, o que não sabemos e se não 
buscarmos mais fontes e nos aprofundarmos nos estudos desses números, é que, 
estes são os números mais enigmáticos já conhecidos no campo matemático. Ao 
vermos com uma ótica mais aguçada somos instigados a buscar conhecer cada vez 
mais sobre estes. Na teoria dos números, um ramo da matemática em que suas bases 
estão estritamente ligadas com os números primos a vemos no curso superior como 
disciplina obrigatória para a obtenção de graduação em Matemática. É nela que 
mergulhamos a nossa imaginação e encontramos o fascinante mundo dos primos. 
Este que desde os tempos antigos vem desafiando grandes matemáticos que buscam 
estuda-los. Em muitos casos, em “duelos” entre matemáticos e primos, os primos 
saem como vencedores, um destes é no que se refere a uma fórmula que somente 
gere números desta natureza. Veremos no teorema de Wilson que sua recíproca nos 
afirma que podemos ter uma fórmula para esses números, mas antes que nos 
alegremos esta fórmula não é muito útil para esse fim. Teremos também o desafio de 
apresentar de modo simples e objetivo, nos levando ao entendimento e sanando 
algumas dúvidas a respeito desses números. Dessas dúvidas será focado à nossa 
problemática, na qual, é questionada a importância destes números para a teoria dos 
números e em nosso cotidiano. Será mantida essa linha para atingirmos nossos 
objetivos que são de incentivar os leitores aos estudos destes, devido a sua grande 
importância, bem como explanar seus misteriosos comportamentos. Neste último 
veremos que até na natureza sua manifestação é vista. Para isso utilizaremos de 
recursos bibliográficos que seguiram uma idêntica linha de pensamento da presente 
pesquisa, como forma de conduzir melhor o que queremos apresentar. Assim, 
seguiremos o seguinte roteiro: após introduzirmos no capítulo primeiro o que 
queremos trabalhar, veremos no segundo uma breve abordagem histórica dos 
números primos e um pequeno relato da história de alguns matemáticos que 
contribuíram significativamente no desenvolvimento dos estudos destes números. No 
terceiro capítulo, apresentaremos algumas informações fundamentais sobre os 
primos, para que possamos manter a sequência lógica do assunto. E no quarto e 
último capitulo veremos de forma sucinta, mas com objetividade um pouco das 
aplicações dos números primos, que apesar de sua caótica distribuição, estes 
exercem papéis importantes nas aplicações no nosso dia a dia. 
 
Palavras-chaves: Números primos. Abordagem histórica. Importância dos primos. 
Aplicações. 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
As we study the primes in the basic school, show us your definition that there are many 
difficulties in learning it. But what we do not know and do not seek more sources and 
delving in the studies of these numbers, it is that these are the most enigmatic figures 
already known in the mathematical field. As we see with an optical keener we are 
encouraged to get to know more and more about these. In number theory, a branch of 
mathematics in which their bases are strictly connected with the prime numbers to see 
in higher education as a compulsory subject for obtaining a degree in mathematics. 
This is where we dive our imagination and find the fascinating world of cousins. This 
since ancient times has been challenging great mathematicians who seek study them. 
In many cases, "duel" between mathematical and cousins, cousins out as winners of 
these is referred to in a formula that only generates numbers of this nature. We will 
see in Wilson's theorem that their mutual tells us that we have a formula to these 
numbers, but before we rejoice this formula is not very useful, because it involves 
factor, then it very fast grow numbers and not the handling will be easy when we admit 
to too great numbers. In this work we have the challenge of presenting a simple and 
objective way, leading us to understanding and remedyingsome doubts about these 
numbers. These questions will be focused on our problem, which is questioned the 
importance of these numbers to the theory of numbers and in our daily lives. this line 
will be maintained to achieve our objectives are to encourage readers to these studies, 
due to its great importance as well as explain their mysterious behavior. In the latter 
we see that even in nature its manifestation is seen. For this we use library resources 
that followed the same line of thought of this research, in order to better conduct that 
we want to present. So, we follow the following schedule: after introducing the first 
chapter we want to work, we will see the second a brief historical approach of primes 
and a short account of the history of some mathematicians who have contributed 
significantly in the development of studies of these numbers. In the third chapter, we 
present some basic information about the cousins, so we can keep the logical 
sequence of the subject. And the fourth and final chapter we will briefly, but with 
objectivity a little application of primes, which despite its chaotic distribution, these play 
important roles in applications in our day to day. 
Keywords: Prime numbers. historical approach. Importance of cousins. Applications. 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
 
Figura 1: Pitágoras ................................................................................................... 15 
Figura 2: Triângulo retângulo .................................................................................... 16 
Figura 3: Euclides ...................................................................................................... 17 
Figura 4: Eratóstenes ................................................................................................ 18 
Figura 5: Fermat ....................................................................................................... 19 
Figura 6: Mersenne ................................................................................................... 20 
Figura 7: Euler ........................................................................................................... 25 
Figura 8: Gauss ......................................................................................................... 26 
Figura 9: Dirichelet .................................................................................................... 29 
Figura 10: Riemann ................................................................................................... 30 
Figura 11: Exemplo ilustrativo da criptografia assimétrica ........................................ 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
 
Tabela 1: Números primos de Mersenne .................................................................. 24 
Tabela 2: Matemáticos com opiniões divergentes a respeito de o 1 ser ou não 
número primo ............................................................................................................ 34 
Tabela 3: Crivo de Eratóstenes ................................................................................. 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 11 
2 UMA BREVE ABORDAGEM HISTÓRICA E CONTRIBUIÇÕES DE ALGUNS 
MATEMÁTICOS ....................................................................................................... 14 
2.1 A ORIGEM DOS NÚMEROS PRIMOS ............................................................... 14 
2.2 PITÁGORAS DE SAMOS.................................................................................... 15 
2.3 EUCLIDES DE ALEXANDRIA ............................................................................. 17 
2.4 ERATÓSTENES DE CIRENE ............................................................................. 18 
2.5 PIERRE DE FERMAT ......................................................................................... 19 
2.6 MERSENNE ........................................................................................................ 20 
2.7 LEONARD EULER .............................................................................................. 25 
2.8 GAUSS E O TEOREMA DOS NÚMEROS PRIMOS ........................................... 26 
2.9 DIRICHLET ......................................................................................................... 29 
2.10 RIEMANN .......................................................................................................... 30 
3 INFORMAÇÕES IMPORTANTES ACERCA DOS NÚMEROS PRIMOS ............. 32 
3.1 O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA .............................................. 32 
3.2 A INFINITUDE DOS PRIMOS ............................................................................. 36 
3.3 ALGUNS TESTES DE PRIMALIDADE ............................................................... 37 
3.3.1 O crivo de Eratóstenes .................................................................................. 37 
3.3.2 Pequeno teorema de Fermat ......................................................................... 38 
3.3.3 Teorema de Wilson......................................................................................... 40 
4 APLICAÇÕES ........................................................................................................ 42 
4.1 CRIPTOGRAFIA RSA ......................................................................................... 42 
4.2 OS PRIMOS NA NATUREZA .............................................................................. 45 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 46 
 REFERÊNCIAS ...................................................................................................... 48 
11 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
A teoria dos números - um dos maiores ramos da Matemática - é, por muitos 
intelectuais da área, chamada de “Rainha da Matemática”. Esta vem desafiando há 
anos, grandes matemáticos e isso se dá pela forma extraordinária com que ela se 
relaciona com os números inteiros. A sua base está diretamente ligada aos números 
primos; a forma com que estes se apresentam ainda hoje é um dos maiores mistérios 
da Matemática. Um fato que vem sendo discutido desde os tempos antigos até os dias 
de hoje; isso porque, até então, nunca fora descoberto uma fórmula padrão que 
gerasse esse tipo de número, aliás, até temos uma fórmula que gera, mas não é de 
fácil manipulação e não é viável, pois, envolve fatorial, ou seja, cresce muito rápido. 
Esta fórmula está no teorema de Wilson1 na qual veremos mais adiante. 
A busca por esse padrão fez com que o grande matemático Georg Friedrich 
Bernhard Riemann, motivado pelos estudos de Johann Carl Friedrich Gauss e Adrien-
Marie Legendre 2, ao tentar provar o teorema dos números primos, conjecturasse uma 
fórmula que permitisse calcular o número de primos menores do que um número dado 
𝑛. Esta é denominada por hipótese de Riemann, que segundo MICHAEL BERRY, 
(Apud Du Saltoy, 2005), 
 
“É a afirmação matemática de que é possível decompor os primos em música. 
Dizer que existe música nos primos é uma forma poética de descrever esse 
teorema matemático. Contudo, é uma música extremamente pós-moderna. ” 
 
Assim, foram feitos vários experimentos em computadores, chegando a 
encontrar um número demasiadamente grande. Porém, diferentemente de outras 
ciências, na matemática ela só terá consistência e será utilizadapara resoluções de 
novos problemas se for demonstrada. Até o momento não foi provada, mas há 
esperanças de que alguém possa nos mostrar uma forma de não mais vermos esses 
números aleatoriamente. 
Porém, aqui não nos preocuparemos tanto com a hipótese de Riemann em si 
(o mencionaremos apenas quando estivermos relatando um pouco da história de 
 
1John Wilson (1741 – 1793) foi um matemático inglês, que ficou muito conhecido pelo teorema que 
leva seu nome, o teorema de Wilson. Esse muito importante para a teoria dos números. 
2Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) foi um matemático francês. Fez importantes contribuições 
à estatística, teoria dos números, álgebra abstrata e análise matemática. 
12 
 
 
Riemann), mas somente com os números primos na sua forma mais elementar 
possível. 
 A definição de números primos é bem simples, todo número inteiro maior do 
que 1 que possui como divisores apenas o 1 e ele mesmo, é chamado primo. Se isso 
não ocorrer, o número será chamado de composto. Essa simplicidade de enunciar 
sua definição e a rápida compreensão do que é esse tipo de número é o que mais nos 
admira, e nos faz questionar de como é possível até os dias de hoje não haver uma 
prova de algum teorema que só gerem números primos e qual serventia terá na 
matemática e no cotidiano se definitivamente chegarmos a uma prova. 
Diante do que foi abordado temos, a seguinte problemática: qual a importância 
dos números primos para a teoria dos números e onde estes se destacam nas 
aplicações do cotidiano? 
 Assim, esta presente pesquisa tem por objetivo geral incentivar aos leitores a 
estudarem de forma mais profunda esses números, tanto na escola básica como a 
níveis mais elevados, bem como a terem uma melhor compreensão do universo dos 
números primos. Especificamente, temos por objetivos: explanar importantes formas 
de comportamento desses números; detalhar teoricamente suas aplicações, que são 
vistas resumidamente nos livros didáticos; e estimular o leitor a curiosidade por esses 
números. Com isso, por meio de boas referências, algumas aplicações no comércio 
eletrônico e uma linguagem mais acessível será abordada aqui com o intuito de 
despertar no leitor o interesse em conhecer um pouco mais sobre o assunto. 
Eles são vistos com mais frequência na abordagem da disciplina teoria dos 
números (nível superior), momentos e lugares onde os números primos são os 
protagonistas, até porque estes são a base daquela. É visto o comportamento dos 
números primos de uma maneira fascinante e não apenas com aquela superficialidade 
que aprendemos na escola básica, que por sua vez deveria ter uma metodologia 
diferente na forma de como abordar esses números. Por esses e outros motivos 
serviram como “ponte” facilitadora para que fosse discorrido sobre o tema em questão. 
Para tentarmos entender as indagações acima, faz-se necessário abordarmos 
historicamente, relatando como se deu sua origem e como os grandes matemáticos 
lidavam com esses números, que fizeram parte de suas vidas, respectivamente. 
Veremos também que alguns chegaram a encontrar fórmulas limitadas, ou seja, que 
geravam alguns primos, claro que em busca de um objetivo maior, que era a que 
gerasse todos. 
13 
 
 
No entanto, esse trabalho de pesquisa não terá grandes dificuldades no seu 
entendimento, como foi dito anteriormente, veremos mais a parte elementar na sua 
mais simples abordagem, para que possamos atingir os objetivos mencionados. 
Podendo qualquer pessoa que tiver um básico conhecimento de números primos e 
suas propriedades, entendê-lo facilmente, pois, alguns leitores verão coisas novas, 
mas não de difícil entendimento. Ao público plenamente leigo no assunto, verá o 
altíssimo grau de importância que os números primos têm na construção do 
conhecimento matemático bem como a sua utilidade no dia a dia, que passa 
despercebida por muitas pessoas. 
Por isso, é de extrema importância falarmos a respeito do assunto, pois, sanará 
algumas dúvidas e apresentará formas diferentes em relação ao misterioso 
comportamento dos números primos. 
A metodologia da pesquisa deste trabalho é de cunho descritivo e qualitativo 
tendo como base livros, revistas, dissertações, teses e outros trabalhos que foram 
apresentados utilizando uma linha de pensamento semelhante ao deste. 
Assim, será exposto em quatro capítulos, sendo que no primeiro capítulo após 
introduzirmos a pesquisa, veremos uma breve abordagem histórica, tais como: origem 
dos números primos e seus respectivos precursores e estudiosos. Serão também 
mencionadas algumas contribuições que matemáticos renomados deram para o 
estudo dos números primos, bem como algumas fórmulas que geram números primos 
que os mesmos apresentaram durante sua trajetória de investigação e estudos 
matemáticos. No segundo trataremos de algumas informações, cuja importância é 
extrema para que possamos entender elementarmente sobre os primos. No quarto e 
último capítulo veremos algumas aplicações relacionadas aos números primos no 
nosso dia a dia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
2 UMA BREVE ABORDAGEM HISTÓRICA E CONTRIBUIÇÕES DE ALGUNS 
MATEMÁTICOS 
 
Ao estudarmos o contexto histórico dos números primos, vemos que alguns 
matemáticos desde a antiguidade até a matemática moderna eram fascinados por 
estes números. Impulsionados pela curiosidade em buscar padrões, os grandes 
teóricos dos números bem como alguns simpatizantes da área, tiveram muitas vezes 
um trabalho árduo, com o objetivo de desvendar enigmas e provar sentenças que 
envolvam esse tipo de número. Os matemáticos mesmo já assumiram que realmente 
há uma dificuldade significativa, ao tentarem demonstrar algumas conjecturas 
relacionadas aos primos. Por isso, é muito importante lermos sobre a história de 
matemáticos que em muito contribuíram para que os números primos ficassem mais 
aplicáveis à aritmética. Em uma de suas notas de aula de teoria dos números, Freire 
(2009, p. 35) diz que, 
 
“a lista de matemáticos que se esforçaram para entender a tabela dos 
números primos é imensa, contando com nomes como Euclides, Fibonacci, 
Gauss, Euler, Goldbach, Riemann, Fourier, Jacobi, Legendre, Cauchy, 
Hilbert, Hardy, [...], entre outros. Até os dias de hoje ainda se procura 
entender a tabela dos primos. ” 
 
 
Assim, segue alguns dos principais responsáveis por nos apresentar esses 
números de uma maneira extraordinária. 
 
2.1 A ORIGEM DOS NÚMEROS PRIMOS 
 
A palavra primo na matemática não tem a ver com parentesco, é chamado 
assim porque na Grécia antiga bem como na escola pitagórica era feita uma 
separação dos números primários e os secundários, os primários eram os que não 
podiam ser obtidos pelo produto de outros números e os secundários são os que 
podiam ser gerados pela a multiplicação de outros números. Depois os primos 
passaram a ser chamados de lineares. Já os números não primos ou compostos como 
hoje são conhecidos poderiam ser representados por pontos formando retângulos, 
dando a ideia de que os números lineares (primos) seriam os geradores desses 
outros. 
15 
 
 
Outro fato muito interessante na história desses números era que “Os 
neopitagórigos às vezes excluíam o dois da lista de números primos dizendo que o 
um e o dois não seriam números verdadeiros, mas geradores de números ímpares e 
pares” (BOYER, 1974, p. 42). 
A história dar créditos a Pitágoras sobre os estudos iniciais dos primos, mas 
não é possível ter certeza disso, pois, o mesmo não deixou nenhum escrito sobre o 
acontecido. Porém, sabemos que os gregos muito contribuíram para o avanço nos 
estudos destes, deixandoum imenso legado dos números que até hoje desafiam as 
mentes de grandes matemáticos. 
Vejamos um pouco da trajetória de alguns dos matemáticos que foram 
percussores de contribuições muito importantes nos estudos dos números primos. 
 
2.2 PITÁGORAS DE SAMOS 
 
 
Figura 1: Pitágoras 
 
Pitágoras (c. 570 – c. 495 a.C.) nasceu em Samos na costa oeste da Ásia 
Menor e morreu em Metapontum com idade já um pouco elevada. Este como é sabido 
de muitos que estudaram matemática na escola básica, é uma das figuras mais 
antigas e conhecidas desta ciência, principalmente pela frequentemente utilidade da 
fórmula que leva o seu nome, a saber, o TEOREMA DE PITÁGORAS, cujo está ligado 
às medidas do triângulo retângulo, onde diz que “a soma dos quadrados dos catetos 
16 
 
 
é igual ao quadrado da hipotenusa”, ou seja, dados a, b e c medidas dos catetos e 
hipotenusa, respectivamente, vale a relação, 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 . 
 
 
Figura 2: Triângulo retângulo 
 
No entanto, para alguns simpatizantes da história da matemática, viram 
também que o mesmo na antiguidade criou a escola Pitagórica, onde ele juntamente 
com seus discípulos estudava a fundo as propriedades dos números inteiros. O 
mesmo chegou a proferir a seguinte frase: “Tudo é número”, admitindo assim que tudo 
poderia ser explicado através dos números. 
Porém, no que se trata dos números primos, apesar dele não ter deixado nada 
registrado, mas alguns estudiosos afirmam que por ele foi feito os primeiros estudos 
sobre os primos. Os números eram divididos em duas categorias, como vimos na 
seção anterior, os primários, pois, através destes eram construídos todos os números 
e os secundários que eram estes compostos pelos primários. Assim, podemos fazer 
a analogia dos números primários com os átomos da química que constituem toda a 
tabela periódica, o mesmo acontece com os primos que atuam como geradores dos 
números inteiros. 
Portanto, aos pitagóricos como eram chamados os que frequentavam esta 
escola, foram atribuídos os créditos por terem feitos os primeiros estudos sobre estes 
números, eles, segundo a história, distinguiram conceitos entre números primos, 
compostos e número perfeito3. 
 
 
 
3 Número perfeito é um número inteiro positivo para o qual a soma de todos os seus divisores 
positivos próprios (excluindo ele mesmo) é igual ao próprio número. Por exemplo, o número 6 é um 
número perfeito, pois: 1 + 2 + 3 = 6. 
17 
 
 
2.3 EUCLIDES DE ALEXANDRIA 
 
 
Figura 3: Euclides 
 
Da história de Euclides sabemos pouco, acreditasse que ele teria vivido por 
volta do ano 300 a.C, temos conhecimento disso através dos comentários de Proclus 
(410 a.C – 485 a.C), um autor que viveu mais de 700 anos depois de Euclides. Em 
seus estudos matemáticos Euclides publicou várias descobertas científicas, porém, 
uma obra é evidenciada até os dias de hoje pela sua grande importância no 
desenvolvimento da matemática, é tanto que a geometria que estudamos na escola 
básica e em algumas disciplinas de cursos superiores é a euclidiana. 
Esta obra é chamada OS ELEMENTOS, na qual é composta por treze volumes, 
sendo os livros VII e IX relacionados a teoria dos números, como exemplo, temos a 
proposição 20 do livro IX que é a que fala sobre a infinitude dos primos, que fora 
demonstrada por Euclides. Na revista professor de matemática 45, da sociedade 
brasileira de matemática, ÁVILA (2010, p.3) afirma: 
 
Mas Euclides não fala “infinitos”, já que os gregos não admitiam o que 
Aristóteles chama de “infinito atual”, apenas o chamado “infinito potencial”. 
Em linguagem de hoje, Euclides diria mais ou menos isso: “Dado qualquer 
conjunto (finito, entenda-se bem!) de números primos, existe algum número 
primo fora desse conjunto”. E a demonstração, novamente, é geométrica. 
 
18 
 
 
Vemos também alguns outros resultados que é importante destaca-los, como 
o algoritmo euclidiano, um processo que é feito para encontrar o máximo divisor 
comum entre dois números e o lema de Euclides, onde diz que se um número primo 
divide o produto de dois números inteiro positivos, então ele necessariamente divide 
um deles. E o Teorema Fundamental da Aritmética que fora enunciado também nessa 
coleção. 
No entanto, quando esta obra apareceu muitos dos resultados importantes 
sobre os números primos já teriam sido provados, o que, claro, não tira o grande 
mérito da extrema contribuição que Euclides deu na continuação dos estudos destes 
números. 
 
2.4 ERATÓSTENES DE CIRENE 
 
 
Figura 4: Eratóstenes 
 
Eratóstenes como no seu próprio nome já diz acima, nasceu em Cirene, uma 
colônia grega do Norte da África por volta de 276 a.C e morreu em Alexandria por 
volta de 194 a.C. Este além de matemático foi um grande estudioso de diversas áreas, 
tendo feito significativas descobertas nos estudos das medições da terra. Ficou muito 
conhecido também por ter sido bibliotecário da biblioteca de Alexandria. 
Em aritmética o mesmo teve importantes contribuições na qual destacamos 
uma que é muito útil na organização de tabelas de primos, que é chamado de CRIVO 
19 
 
 
DE ERATÓSTENES, sobre este também relataremos com mais ênfase no próximo 
capítulo. 
Portanto, como os demais aqui já vistos este matemático também teve sua 
parcela de contribuição nos estudos dos números primos. Porém, após ele alguns 
séculos depois os estudos da teoria dos números ficaram estáticos. Assim, somente 
no século XVII é que vemos um desenvolvimento com Pierre de Fermat e é deste que 
falaremos a seguir. 
 
2.5 PIERRE DE FERMAT 
 
 
Figura 5: Fermat 
 
Pierre de Fermat (1601-1665) teve uma curiosa trajetória em sua vida como 
matemático, ele era advogado e político francês e tinha a matemática apenas como 
um hobby, nunca atuou como profissional na área. No entanto, Fermat tornou-se um 
dos maiores matemáticos do século XVII, fazendo grandes descobertas e deixando 
uma grande contribuição principalmente na teoria dos números. 
O mesmo trocava cartas com os matemáticos da época, um desses era Marin 
Mersenne, cujo também mencionaremos mais a diante. Em uma de suas cartas 
enviada a Mersenne ele conjecturou que os números da forma 22
𝑛
+ 1 , para 𝑛 natural, 
eram sempre primos, verificando assim, para os casos 21 + 1, 22 + 1, 24 + 1, 28 + 1, 
216 +1, onde percebera que se o expoente não fosse potência de 2 a fórmula iria 
20 
 
 
falhar. Um fato interessante é que o matemático Leonard Euler (no qual também 
relataremos a sua contribuição), em 1732, mostrou que para 232 + 1 a conjectura não 
era satisfeita, demonstrando que isso seria divisível por 641, portanto era composto. 
Apesar do número apresentar uma potência relativamente baixa comparando a outros 
que são bem maiores, não foi percebido por Fermat que não era primo, isso é no 
mínimo curioso. 
No entanto, uma de suas maiores contribuições à teoria dos números foi o 
famoso ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT, representado pela equação 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 , 
este diz que não existe nenhum conjunto de inteiros x, y, z e n, com n maior que 2 que 
satisfaz a equação. O teorema foi provado cerca de 300 anos depois de ser 
conjecturado. A prova deste foi feita por Andrew Wiles, em 1995. Vale também 
destacar outro importante teorema que também foi conjecturado por Fermat, mas 
provado por Euler, em 1736, denominado por PEQUENO TEOREMA DE FERMAT, 
que também está relacionado com os números primos, no capítulo posterior falaremos 
melhor sobre o mesmo. 
Portanto, como já é de nosso conhecimento Fermat apesar de ter a matemática 
apenas comohobby foi um dos maiores representantes da matemática, bem como 
nos estudos dos enigmáticos números primos. 
 
2.6 MERSENNE 
 
 
Figura 6: Mersenne 
 
21 
 
 
Marin Mersenne (1588-1648) foi um matemático, teórico 
musical, padre mínimo, teólogo e filósofo francês. A sua contribuição nos estudos dos 
números primos está ligada ao que é chamado de primos de Mersenne, são os 
números primos da forma 2𝑝 − 1, onde p é um número primo, porém, deixemos bem 
claro que a fórmula nem sempre dará um número primo, um contraexemplo disso é o 
número 211 − 1 = 2047 = 23 × 89. 
Os números primos de Mersenne ficaram bem conhecidos por serem os 
maiores encontrados até agora. Há um projeto chamado Great Internet Mersenne 
Prime Search - Grande Busca pela Internet por Primos de Mersenne (GIMPS) onde 
possui vários voluntários no mundo inteiro, o objetivo deste é encontrar justamente os 
números de Mersenne. O GIMPS fez uma recente descoberta deste tipo de número, 
em 7 de Janeiro do corrente ano, onde foi encontrado o primo com exatamente 
22.338.618 dígitos, apelidado de M74207281, batendo assim o recorde de 2013, e foi 
descoberto também pelo próprio recordista do número anterior, o professor da 
University of Central Missouri, Curtis Cooper, recebendo com isso uma quantia de três 
mil dólares como prêmio. 
Em um artigo na página do “olhar digital”, (SUMARES, 2016) diz: 
 
Cooper utilizou os computadores de sua universidade para descobrir o 
número, mas contou também com o auxílio de diversos voluntários da GIMPS 
que ofereceram suas máquinas para ajudar a descartar falsos candidatos. 
Para provar que o M74207281 era de fato um primo, foi necessário um mês 
contínuo de esforço de uma máquina com um processador Core i7-4790. 
 
 
Esse foi o 49º primo de Mersenne encontrado, dentre alguns de seus 
descobridores destaquemos um dos matemáticos que mais publicaram trabalhos na 
matemática Leonhard Euler, ele encontrou o número com a forma 231 − 1, com 
apenas 10 dígitos. 
No entanto, a busca por mais números de Mersenne ainda continua, o grupo 
tem uma meta de encontrar um primo com 100 milhões de dígitos, isto pode render 
uma boa quantia para quem o encontrar. 
A título de curiosidade veremos na tabela abaixo todos os números de 
Mersenne encontrados até o momento, claro, só apenas na sua forma estrutural, a 
quantidade de dígitos de cada número, a data da descoberta e o descobridor. Os 
dados foram coletados diretamente da página do GIMPS, vejamos. 
 
22 
 
 
# 𝟐𝒑 − 𝟏 Dígitos Data da 
descoberta 
Descoberto 
por 
1 22 − 1 1 Anos 500 a.C Antigos matemáticos 
gregos 
2 23 − 1 1 Anos 500 a.C Antigos matemáticos 
gregos 
3 25 − 1 2 Anos 275 a.C Antigos matemáticos 
gregos 
4 27 − 1 3 Anos 275 a.C Antigos matemáticos 
gregos 
5 213 − 1 4 1456 Anônimo 
6 217 − 1 6 1588 Pietro Cataldi 
7 219 − 1 6 1588 Pietro Cataldi 
8 231 − 1 10 1772 Leonhard Euler 
9 261 − 1 19 1883 Ivan Mikheevich 
Pervushin 
10 289 − 1 27 Jun 1911 R. E. Powers 
11 2107 − 1 33 11 Jun 1914 R. E. Powers 
12 2127 − 1 39 10 Jan 1876 Édouard Lucas 
13 2521 − 1 157 30 Jan 1952 Raphael M. Robinson 
14 2607 − 1 183 30 Jan 1952 Raphael M. Robinson 
15 21.279 − 1 386 25 Jun 1952 Raphael M. Robinson 
16 22.203 − 1 664 7 out 1952 Raphael M. Robinson 
17 22.281 − 1 687 9 out 1952 Raphael M. Robinson 
18 23.217 − 1 969 8 Set 1957 Hans Riesel 
19 24.253 − 1 1.281 3 Nov 1961 Alexander Hurwitz 
20 24.423 − 1 1.332 3 Nov 1961 Alexander Hurwitz 
21 29.689 − 1 2.917 11 Mai 1963 Donald B. Gillies 
22 29.941 − 1 2.993 16 Mai 1963 Donald B. Gillies 
23 211.213 − 1 3.376 2 Jun 1963 Donald B. Gillies 
24 219.937 − 1 6.002 4 Mar 1971 Bryant Tuckerman 
23 
 
 
25 221.701 − 1 6.533 30 out 1978 Landon Curt Noll & 
Laura Nickel 
26 223.209 − 1 6.987 9 Fev 1979 Landon Curt Noll 
27 244.497 − 1 13.395 8 Abr 1979 Harry Lewis Nelson & 
David Slowinski 
28 286.243 − 1 25.962 25 Set 1982 David Slowinski 
29 2110.503 − 1 33.265 28 Jan 1988 Walter Colquitt & 
Luke Welsh 
30 2132.049 − 1 39.751 19 Set 1983 David Slowinski 
31 2216.091 − 1 65.050 1 Set 1985 David Slowinski 
32 2756.839 − 1 227.832 19 Fev 1992 David Slowinski & 
Paul Gage 
33 2859.433 − 1 258.716 4 Jan 1994 David Slowinski & 
Paul Gage 
34 21.257.787 − 1 378.632 3 Set 1996 David Slowinski & 
Paul Gage 
35 21.398.269 − 1 420.921 13 Nov 1996 GIMPS / Joel 
Armengaud 
36 22.976.221 − 1 895.932 24 ago 1997 GIMPS / Gordon 
Spence 
37 23.021.377 − 1 909.526 27 Jan 1998 GIMPS / Roland 
Clarkson 
38 26.972.593 − 1 2.098.960 1 Jun 1999 GIMPS / Nayan 
Hajratwala 
39 213.466.917 − 1 4.053.946 14 Nov 2001 GIMPS / Michael 
Cameron 
40 220.996.011 − 1 6.320.430 17 Nov 2003 GIMPS / Michael 
Shafer 
41 224.036.583 − 1 7.235.733 15 Mai 2004 GIMPS / Josh Findley 
42 225.964.951 − 1 7.816.230 18 Fev 2005 GIMPS / Martin 
Nowak 
24 
 
 
43 230.402.457 − 1 9.152.052 15 Dez 2005 GIMPS / Curtis 
Cooper & Steven 
Boone 
44 232.582.657 − 1 9.808.358 4 Set 2006 GIMPS / Curtis 
Cooper e Steven 
Boone 
45 237.156.667 − 1 11.185.064 6 Set 2008 GIMPS / Hans-
Michael Elvenich 
46 242.643.801 − 1 12.837.064 4 Jun 2009 GIMPS / Odd M. 
Strindmo 
47 243.112.609 − 1 12.978.189 23 Ago 2008 GIMPS / Edson Smith 
48 257885161 − 1 17.425.170 25 Jan 2013 GIMPS / Curtis 
Cooper 
49 274.207.281 − 1 22.338.618 7 Jan 2016 GIMPS / Curtis 
Cooper 
 
Tabela 1: Números primos de Mersenne 
 
Assim, como vimos, alguns números realmente são exageradamente grandes. 
Mas, no capítulo quatro veremos que esses números têm uma importante 
aplicabilidade. Porém, esse último segundo o GIMPES, realmente é muito grande e 
não servirá na aplicação que falaremos. Como novamente diz (SUMARES, 2016); 
“mesmo a GIMPS admitiu que essa nova descoberta é grande demais para essa 
finalidade. Ainda assim, a busca por números primos grandes ajudou a descobrir 
um bug nos processadores Skylake da Intel. ” 
Portanto, esse foi o legado que Mersenne deixou para o estudo desses 
números, e pelo visto, com os avanços tecnológicos é praticamente imprevisível saber 
até quando não teremos mais ferramentas para encontrar os primos de Mersenne, 
acreditamos que é possível que nunca pare de serem encontrados. 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
2.7 LEONHARD EULER 
 
 
Figura 7: Euler 
 
Leonhard Paul Euler (1707 – 1783) foi também um dos maiores matemáticos já 
existentes, tendo contribuído praticamente em todas as áreas da matemática. Ele 
escreveu muitas de suas descobertas enxergando apenas com um olho, logo após ter 
ficado plenamente cego ainda conseguiu escrever vários artigos. 
Na teoria dos números ele buscou muitas inspirações nos escritos de Fermat 
sendo ele o responsável por provar o pequeno teorema de fermat, que mencionamos 
anteriormente e veremos melhor mais adiante. Assim, como consequência desse 
teorema ele conjecturou o que chamamos de teorema de Euler que é um caso geral 
do pequeno teorema de Fermat. Enunciaremos, porém sem demonstração, no 
entanto, a sua demonstração pode ser encontrada no livro Introdução à Teoria dos 
Números de José Plínio de Oliveira Santos4. 
 
Teorema: (Euler) se 𝑚 é um inteiro positivo e 𝑎 um inteiro com (𝑎, 𝑚) = 1, então 
 
𝑎𝜙(𝑚) ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑚) 
 
4 José Plínio de Oliveira Santos Bacharel em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas 
(1975), mestrado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (1979), doutorado em 
Matemática (PhD) pela Pennsylvania State University(1991), entre outras. Tem experiência em 
Combinatória.Atuando principalmente nos seguintes temas: Partições, Teoria aditiva de números. 
 
26 
 
 
 
A representação onde 𝑎 e 𝑚 inseridos entre parênteses é para indicar que é o 
máximo divisor comum (mdc) entre 𝑎 𝑒 𝑚. E a simbologia 𝜙(𝑚) onde 𝑚 é um inteiro 
positivo, é chamada função de Euler, esta é definida como sendo os inteiros positivos 
𝑎 ≤ 𝑚 tais que (𝑎, 𝑚) = 1. Denominado também por sistema de resíduos módulo 𝑚. 
Note também que aqui foi introduzida a simbologia de congruência (≡) e (mod) 
módulo, notações inseridas por Gauss na teoria dos números, ambos na aritmética 
são muito úteis. A congruência é uma relação de equivalência, assim, são válidas as 
propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Mais adiante veremos algumas 
aplicações envolvendo congruência, na aritmética modular. 
Assim, Leonhard Euler teve contribuições de forma relevante nos estudos dos 
números primos, chegando ainda a demonstrar outra famosa afirmação de Fermat 
onde fala que um primo da forma 4𝑛 + 1 pode ser expressado como a soma de dois 
quadrados perfeitos de forma única, e também que os números da forma 4𝑛 − 1 não 
podem ser decompostos de nenhuma forma como soma de quadrados perfeitos. 
Por isso, temos Euler como um dos que mais contribuíram para a matemática 
bem como para a teoria dos números. 
 
2.8 GAUSS E O TEOREMA DOS NÚMEROS PRIMOS 
 
 
Figura 8: Gauss 
 
27 
 
 
 O grande matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), mais 
conhecido por Gauss, porém, apelidado ainda jovem por o “Príncipe da matemática”, 
era fascinado pelos números primos, e teve um papel muito importante no 
desenvolvimento da ciência. Na matemática trabalhou com grande ênfase na teoria 
dos números onde publicou em 1801, o livro Disquisitiones Aritmethcae5, uma 
importante obra que rendeu muitos estudos e grandes descobertas. 
 Durante a sua existência rendeu ao mundo histórias e descobertas bem 
interessantes. Numa certa vez um professor para manter seus alunos ocupados 
propôs um desafio à turma, este era para que os alunos fizessem a soma de todos os 
números de um a cem, para sua surpresa um aluno com oito anos de idade respondeu 
imediatamente e corretamente, este era Gauss. Sua resposta foi 5.050, deixando 
assim o seu professor intrigado e se perguntando como ele fez isso tão rapidamente. 
O que ele observou foi que somando cada número da sequência de um a cem com 
seu equidistante daria como resultado 101, percebendo isso Gauss também viu que 
somar todos os números de um a cem equivaleria a somar 50 vezes o número 101 
que resulta em 5.050. Através disso, ele ainda criança originou a fórmula da soma de 
termos de uma P.A. (progressão aritmética). 
 Assim, ele não parara de fazer grandes descobertas e alguns anos depois já 
familiarizado e fascinado com os números primos ele tentava de todas as formas 
buscar padrões para estes. Ele conseguiu construir apenas com régua e compasso 
segundo as regras euclidianas, um polígono regular com um número primo de lados, 
este tinha 17 lados. Os gregos antigos tinham conseguido apenas com 3 e 5. 
Daí um ano após ele ter ganhado de presente de seu pai um livro de logaritmos, 
onde estava contida na contracapa uma tabela de números primos, ele imaginou um 
novo caminho para tentar provar a distribuição desses números misteriosos, essa 
seria mais uma de suas brilhantes ideias. 
 Du Saltoy (2005, p.47) relata ainda que se 
 
após séculos de pesquisa ainda não havia sido possível descobrir alguma 
fórmula mágica que gerasse a lista de números primos, talvez fosse o 
momento de adotar uma estratégia diferente. Era nisso que Gauss pensava 
em 1792, aos 15 anos de idade, um ano depois que ganhou de presente um 
livro de logaritmos. Até poucas décadas atrás, todo adolescente que fizesse 
cálculos na escola estava familiarizado com tabelas de logaritmos. Com o 
 
5 É um livro-texto sobre teoria dos números escrito por Carl Friedrich Gauss em 1798, quando Gauss tinha 21 
anos de idade, e publicado a primeira vez em 1801. 
 
28 
 
 
advento das calculadoras de bolso, elas deixaram de ser uma ferramenta 
essencial na vida cotidiana, mas há centenas de anos todo navegante, 
banqueiro e mercador usava essas tabelas, transformando multiplicações 
difíceis em simples adições. Na contracapa do livro que Gauss ganhara havia 
sido publicada uma tabela de números primos. A presença dos primos e 
logaritmos no mesmo livro era curiosa, pois Gauss percebeu, após cálculos 
extensos, que esses dois tópicos aparentemente desconexos pareciam estar 
relacionados. 
 
 
Com essa atitude de grande curiosidade de Gauss e com sua mente aguçada 
para esses tipos de problemas matemáticos, ele conseguiu conjecturar o que 
denominamos por “teorema dos números primos” (conjecturado independentemente 
por Legendre), este, é uma forma de sabermos a quantidade de números primos, onde 
são menores do que um número inteiro n positivo muito grande. Como nos explica 
(EVES, p. 624) falando que, 
 
Indiquemos por An o numero de primos abaixo de n. O teorema dos números 
primos assegura que Anlogen n se aproxima de 1 conforme n cresce 
indefinidamente. Em outras palavras, An, chamada densidade dos primos 
entre os primeiros n inteiros, aproxima-se de 1 logen, tanto mais quanto maior 
for n. Esse teorema, que fora conjeturado por Gauss após o exame de uma 
grande tábua de números primos, foi provado independentemente, em 1896 
pelo francês J. Hadamard e pelo belga C. J. de la Vallee Poussim”. 
 
 
Aqui enunciaremos o teorema, porém, omitiremos a prova por conter recursos 
um pouco mais sofisticados que não convém ao presente trabalho, pois, o nosso 
interesse é abordar os números primos da forma mais elementar possível, facilitando 
o entendimento do leitor. 
 
Teorema: (Teorema dos números primos) 
 
 
lim
𝑥→∞
𝜋(𝑥)
𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑥⁄
= 1 
 
Indicaremos por 𝜋(𝑥) a função de contagem dos números primos, ou seja, para 
todo números 𝑥 > 0, designa-se por 𝜋(𝑥) o número de primos 𝑝 tais que 𝑝 ≤ 𝑥. 
Vejamos o exemplo a seguir: 
𝜋(13) = 6, pois existem 6 primos ≤ 13: 2, 3, 5, 7, 11, 13. O valor de 𝜋(𝑥) não 
altera até que 𝑥 seja o próximo número primo, ou seja, 𝜋(13) = 𝜋(14) = 𝜋(15) =
𝜋(16) ≠ 𝜋(17). Portanto, 𝜋(𝑥) aumenta em saltos de 1, mas o intervalo entre esses 
29 
 
 
saltos é irregular. Observando os inteiros, conclui-se que, em média, esses intervalos 
tornam-se cada vez maiores, isto é, a chance de um inteiro escolhido ao acaso ser 
primo diminui quando avançamos para os números maiores. 
Portanto, por esses feitos e muitos outros, Gauss tornou-se um dos 
matemáticos que mais contribuíram nos estudos dos números primos e como vimos 
ele era constantemente motivado a buscar padrões para estes. 
 
2.9 DIRICHLET 
 
Figura 9: Dirichlet 
 
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) foi um matemático 
alemão muito bem conhecido por suas magníficas contribuições na análise e na teoria 
dos números. O mesmo era leitor assíduo da obra de Gauss, Disquisitiones 
Aritmethcae sendo muito influenciado nos estudos da teoria dos números através da 
leitura desta obra. Esta era de difícil entendimento, porém Dirichlet foi o primeiro a 
entendê-la completamente e ainda a tornou acessível aos demais. 
Logo mais tarde Dirichlet tornou-se amigo e discípulo de Gauss e também um 
amigo e orientador de Riemann (deste faremos menção logo após) na sua tese de 
doutorado. Em 1855, depois de lecionar em Berlin por muitos anos, ele sucedeu a 
Gauss em Göttingen. 
No tocante aos números primos Dirichlet fez seus maiores trabalhos quando 
aplicou ferramentas da análisena teoria dos números e assim demonstrou em 1837 
30 
 
 
uma conjectura de Euler que diz que existem infinitos primos em qualquer progressão 
aritmética da forma 
 
𝑎, 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 2𝑏, 𝑎 + 3𝑏, … , 𝑎 + 𝑛𝑏 
 
sendo 𝑎 e 𝑏 primos entre si. 
Portanto, é merecida a lembrança deste matemático como um dos que mais 
contribuíram no estudo dos misteriosos números primos. 
 
2.10 RIEMANN 
 
 
Figura 10: Riemann 
 
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866) foi um matemático alemão 
onde também exerceu um importante papel nos estudos da análise e geometria 
diferencial, bem como na teoria dos números. 
Ele foi responsável por conjecturar um dos problemas mais difíceis da 
matemática moderna que até hoje encontra-se em aberto, que é denominada por 
hipótese de Riemann. Não nos aprofundaremos em sua forma algébrica, pois, é de 
nosso entendimento que como a mesma envolve as grandes áreas da matemática 
seria difícil o leitor principiante no assunto entender alguma coisa, pois até mesmo os 
grandes matemáticos tiveram dificuldade em seu entendimento. Porém, em relação 
31 
 
 
ao seu surgimento, no livro a música dos números primos, DU SALTOY (2005, p. 92) 
comenta que: 
 
 Afinal, Riemann tinha como objetivo muito mais imediato provar a conjectura 
dos números primos de Gauss: demonstrar que a estimativa de Gauss para 
os primos se tornava mais precisa quanto mais elevada fosse a contagem. 
Embora essa prova também tenha se revelado esquiva, Riemann percebeu 
que, se seu palpite sobre a linha mística se mostrasse certo, isso implicaria 
que Gauss estava de fato correto. Conforme a descoberta de Riemann, os 
erros da fórmula de Gauss podiam ser descritos pela localização de todos os 
zeros. Quanto mais a leste estivesse um zero, mais elevado seria o volume 
da onda. Quanto maior seu volume, maior o erro. Aí se encontra a importância 
matemática da previsão de Riemann sobre a localização dos zeros. Se 
estivesse certo, e todos os zeros realmente se encontrassem sobre a linha 
mágica, então a estimativa de Gauss seria sempre incrivelmente precisa. 
 
Isso ele mostrou numa publicação de um artigo com apenas dez páginas, 
depois desse feito ele foi contemplado com a cadeira que seus mentores Gauss e 
Dirichlet ocuparam em Göttingen, em 1857. Daí em diante, ele não retornara mais ao 
tema dos números primos. Seguindo outro rumo, ele desenvolveu uma noção da 
geometria do espaço que se tornaria uma das bases fundamentais para a teoria da 
relatividade de Einstein. Assim, alguns anos depois da sua publicação sobre os 
primos, Riemman morre de tuberculose, com apenas 39 anos de idade. 
No entanto, ele nos deixou um legado imenso que foi a tão inspiradora e 
desafiadora hipótese de Riemann, é tanto que este foi listado por Hilbert 6 como um 
dos 23 problemas do século XX. Uma vez perguntaram a Hilbert se ele caísse em 
sono profundo e acordasse 500 anos depois, o que era a primeira coisa que ele 
perguntaria; o mesmo em poucas palavras respondeu que perguntaria se alguém já 
tinha provado a hipótese de Riemann. Daí já tiramos uma ideia do quanto o problema 
é extremamente difícil, e o mais fascinante é que este está relacionado com o nosso 
objeto de estudo em questão, os números primos. 
 
 
 
 
6 David Hilbert foi um matemático alemão. Foi membro estrangeiro da Royal Society (uma instituição 
destinada à promoção do conhecimento científico). Foi um dos mais notáveis matemáticos, e os 
tópicos de suas pesquisas são fundamentais em diversos ramos da matemática atual. 
32 
 
 
3 INFORMAÇÕES IMPORTANTES ACERCA DOS NÚMEROS PRIMOS 
 
Alguns tópicos da aritmética são essenciais para o estudo dos números primos. 
Os gregos perceberam isso cedo, assim como alguns matemáticos que vieram depois. 
Um dos fatos mais relevantes de aplicações dos números primos na teoria dos 
números, e isso foi demonstrado, é que; os números primos são capazes de gerar 
todos os números inteiros. Doravante, os gregos, mais precisamente falando, 
Euclides; nos mostra que é impossível contarmos todos os números primos, ou seja, 
os primos são infinitos. Apesar disso tudo, estes números ainda possuem um 
comportamento que os matemáticos ainda não conseguiram desvendar esse mistério. 
Assim, a descoberta de uma fórmula que só gerem números dessa natureza seria 
demasiadamente importante para as investigações matemáticas, principalmente na 
área da teoria dos números. Assim, vejamos adiante o quanto esses tópicos são 
importantes. 
3.1 O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA 
É muito fácil aprender a definição dos números primos, como vimos na escola 
básica, porém, o fato dessa simplicidade e principalmente por ser apresentada na sua 
maior superficialidade possível, pode ter nos tirado a oportunidade de aprender mais 
sobre esses números. Assim, poderíamos julgar que falar dos números primos seria 
muito simples se ao caso não tivéssemos visto com mais profundidade no ensino 
superior. Mas ao examinar com mais cautela veremos que as suas propriedades são 
extremamente importantes na construção dos números inteiros por isso que a teoria 
dos números foi chamada por Gauss de a “rainha da matemática”. Assim, definiremos 
os números primos e logo em seguida chegaremos ao teorema fundamental da 
aritmética. 
 
Definição: Todo número inteiro positivo diferente de 1 que possui apenas dois 
divisores, a saber, o 1 e ele próprio, é chamado de número primo. 
 
Os números primos são tão enigmáticos que através deles podemos construir 
todos os números inteiros positivos, isso é demonstrado pelo Teorema Fundamental 
da Aritmética, e veremos essa demonstração mais a frente, o mesmo diz que: “Todo 
33 
 
 
número inteiro positivo maior que 1 pode ser decomposto num produto de números 
primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores. ” 
Santoy (2005, p.13) diz em seu livro“ A música dos números primos", que 
 
esses números são os próprios átomos da aritmética. São os números 
indivisíveis que não podem ser representados pela multiplicação de dois 
números menores [...] A importância matemática dos primos se deve a sua 
capacidade de gerar todos os demais números. Todo número não primo pode 
ser formado pela multiplicação desses blocos de construção primos. Cada 
uma das moléculas do mundo físico pode ser composta por átomos da tabela 
periódica de elementos químicos. Uma lista dos primos é a tabela periódica 
do matemático. 
 
 
Outro fato muito interessante e curioso no desenvolvimento desses números, e 
é o que o estudante relativamente tem muita dúvida quando lhe é apresentado à 
definição dos números primos, é o porquê, que o número 1 não é primo. Embora o 
teorema não considere o 1, isso é bem enfatizado na definição, mas há realmente 
essa dúvida. E isso já vem de muitos anos, desde a Grécia antiga onde viviam os 
grandes matemáticos da época. Nos anos 300 a.C, eles nem consideravam o 1 como 
um número, e dentre os números eram representados apenas o conjunto dos 
primários {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} e o dos secundários {4, 6, 8, 9, 10, 12, ...}, por isso a 
ideia de primo que veio anos depois através da escola pitagórica, como vimos no 
capítulo anterior. Então, nessa época a pergunta; 1 é primo? Não fazia sentido. 
Em 1555, Simo Stevin 7 já considerava o número 1 um número natural como 
os outros. Então, convenhamos que é dessa época para cá que a pergunta; 1 é primo? 
Começa a fazer sentido. Agora a pergunta seria, já que 1 é um número como qualquer 
outro, será que ele é primo? Os matemáticos dessa época se dividiram em relação a 
isso, como Mersenne em 1625 dizia que 1 não era primoe em 1668 John Pell8 dizia 
que o 1 era primo. 
Em 1796 aconteceu algo bem importante com Gauss, ele imaginou, por 
exemplo, que na decomposição, o número pode ser escrito como veremos abaixo. 
Pegando o 6, como exemplo, temos: 
6 = 2 × 3 ou 
6 = 1 × 2 × 3 ou 
 
7 Simo Stevin (1548 – 1620) foi um engenheiro, físico e matemático. Na área da matemática 
introduziu o emprego sistemático das frações decimais e aceitou os números negativos, com o que 
reduziu e simplificou as regras de resolução das equações algébricas. Propôs o sistema decimal de 
pesos e medidas. 
8 John Pell (1611 – 1685) Um álgebra e astrônomo inglês. 
34 
 
 
6 = 1 × 1 × 2 × 3 e assim por diante. 
Gauss não gostava disso, e ele acreditava que era melhor a decomposição 
com a utilização de apenas o 2 e 3, excluiria assim, as que tinham o 1 como fator e 
ficaria cada número escrito de forma única. Por isso, Gauss também não considerava 
o 1 como primo. Daí, vale o teorema fundamental da aritmética. 
Na revista professor de matemática 47, da sociedade brasileira de matemática, 
NERY e POSSANI (2001, p. 17) comentam que “se considerássemos o 1 como primo, 
não haveria a unicidade acima (6 = 2.3 = 1.2.3, etc) e isso traria vários inconvenientes 
técnicos no desenvolvimento da teoria dos números. ” 
Mas mesmo assim, no século seguinte os matemáticos continuavam divididos. 
Veremos uma tabela com o nome e o ano de alguns importantes matemáticos da 
época que divergiam de opiniões sobre isso. Colocaremos “Sim” para os que diziam 
que o 1 era primo e “Não” para os que não aceitavam o 1 como primo. Daí, segue: 
 
Legendre 1830 Sim 
Chebychef 1854 Não 
Lebesgue 1862 Sim 
Dirichlet 1863 Não 
Weierstrass 1876 Sim 
Cayley 1890 Sim 
 
Tabela 2: Matemáticos com opiniões divergentes a respeito de o 1 ser ou não número primo. 
 
Então, notemos que ainda no século XIX a pergunta; 1 é primo? Divida 
opiniões. 
Já no séc. XX em 1938, um matemático que fez relevantes contribuições para 
na época, Godfrey Hardy (1877 – 1947) dizia também que o 1 não era primo. Na 
verdade, ele já estava antecipando o pensamento dos matemáticos daquela época. 
Um pouco antes da segunda guerra mundial ou um pouco depois, a história ainda 
deixa margem à dúvida, porém acerca dos anos 1940 entrou a conversão e ficou 
estabelecido que o 1 não é primo. 
 Assim, para entendermos melhor e sanar essa dúvida veremos o teorema 
fundamental da aritmética. Este por sua vez, é muito importante para o estudo da 
teoria dos números, por isso que é dito fundamental. Através dele pode-se construir 
todos os números naturais maiores que 1. Esse teorema como vimos anteriormente 
35 
 
 
foi enunciado por Euclides, em sua obra OS ELEMENTOS. Porém, sua primeira 
demonstração completa e correta foi feita por Gauss e publicada em 1801, na 
obra Disquisitiones Arithmeticae. Assim segue o seguinte enunciado abaixo: 
 
Teorema: Todo número inteiro maior do que 1 ou é primo ou pode ser escrito como 
um produto de números primos e de maneira única. 
 
Demonstração: Mostraremos inicialmente que um número natural 𝑛 > 1 se escreve 
como um produto de números primos, logo após provaremos a sua unicidade. 
Pelo princípio da indução finita9: 
Para 𝑛 = 2, sabemos que 2 é primo, assim está provado! 
Agora supondo que para um 𝑛 𝜖 ℕ qualquer, então temos 𝑛 = 𝑝1. 𝑝2. 𝑝3 ..... 𝑝𝑗 e 
aceitamos como válido! 
Mostraremos que para um 𝑚 > 𝑛 com 𝑚 ∈ ℕ, também vale, então, temos que: 
𝑚 = 𝑛. 𝑘 , tal que, 𝑘 ∈ ℕ como 𝑛 = 𝑝1. 𝑝2. 𝑝3..... 𝑝𝑗 teremos três possíveis resultados 
para 𝑘. 
1º Se 𝑘 for primo e 𝑘 ≠ 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, ...,𝑝𝑗 ,então 𝑚 = 𝑝1. 𝑝2. 𝑝3..... 𝑝𝑗 . 𝑘. 
2º Se 𝑘 for primo e 𝑘 = 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, ...,𝑝𝑗, igualmente ao anterior. 
3º Se 𝑘 não é primo, logo também é decomposto em primos 𝑘 = 𝑞1. 𝑞2. 𝑞3..... 𝑞𝑖 . 
Portanto, 𝑚 = 𝑝1. 𝑝2. 𝑝3..... 𝑝𝑗. 𝑞1. 𝑞2. 𝑞3..... 𝑞𝑖. 
Agora precisamos provar a unicidade da decomposição. 
Provaremos por contradição. Então, suporemos que dado um 𝑎 ∈ ℕ ele pode ser 
decomposto de dois modos diferentes: 
𝑎 = 𝑝1. 𝑝2. 𝑝3..... 𝑝𝑗 e 𝑎 = 𝑞1. 𝑞2. 𝑞3..... 𝑞𝑖, com 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3,..., 𝑝𝑗, 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3,..., 𝑞𝑖 primos. 
Então, 𝑝1. 𝑝2..... 𝑝𝑗 = 𝑞1. 𝑞2..... 𝑞𝑖, sendo assim, 𝑝1| 𝑞1. 𝑞2..... 𝑞𝑖 ⇒ 𝑝1 = 𝑞𝑟, para algum 
1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑖 , 𝑟 ⇒ p1 ≥ 𝑞1. 
Do mesmo modo, 𝑞1| 𝑝1. 𝑝2. 𝑝3.... 𝑝𝑗 ⇒ 𝑞1 = 𝑝𝑠, para algum 1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑗, 𝑠 ⇒ q1≥ p1, logo, 
temos que, 𝑝1 = 𝑞1. 
Com o mesmo raciocínio concluímos que: 𝑝2 = 𝑞2, 𝑝3 = 𝑞3, ..., 𝑝𝑗 = 𝑞𝑖. 
Com isso vemos a grande importância desse teorema para o estudo dos 
números inteiros, principalmente dos primos. O mais interessante é vermos serem 
 
9Princípio da indução finita ou Indução matemática é um método de prova matemática usado para 
demonstrar a verdade de um número infinito de proposições. 
36 
 
 
gerados esses números utilizando apenas os primos. E o que foi inicialmente nesse 
tópico questionado, o teorema deixa bem claro o porquê o número 1 não é 
considerado primo, pois, se assim fosse teríamos um grande problema na 
decomposição dos números, ou seja, perderia a unicidade. 
 
3.2 A INFINITUDE DOS PRIMOS 
 
Quando Euclides de Alexandria publicou Os Elementos, cerca de 300 a.C., já 
haviam sido provados vários resultados importantes sobre números primos. A 
demonstração de que existem infinitos números primos, aparece no livro IX de Os 
Elementos e é uma das primeiras provas conhecidas que se utiliza a demonstração 
por redução ao absurdo10. Essa demonstração é considerada pelos matemáticos a 
mais elegante prova da infinitude dos primos, pela sua forma de expressar com tanta 
facilidade o manuseio da mesma. Na revista professor de matemática 45, da 
sociedade brasileira de matemática, ÁVILA (2010, p. 3) diz, “na opinião do matemático 
inglês Godfrey Harold Hardy11 (1877-1947), trata-se de uma das mais belas 
demonstrações da Matemática”. Os livros VII, VIII e IX de Os Elementos são quase 
que exclusivamente dedicados à Teoria dos Números, área da matemática onde 
predomina a utilidade dos primos. Assim, (apud Padilha, 2013), comenta que, 
 
“O livro IX o último dos três sobre teoria dos números, contém vários teoremas 
interessantes. Desses o mais célebre é a proposição 20: ‘Números primos 
são mais do que qualquer quantidade fixada de números primos. ’ Isto é, 
Euclides dar aqui a prova elementar bem conhecida do fato de que há infinitos 
números primos. A prova é indireta pois mostra que a hipótese de haver 
somente um número infinito de primos leva a uma contradição. ” 
 
Segue o enunciado e a demonstração do teorema onde é mencionado a 
infinitude dos números primos. 
 
 
 
10Redução ao absurdo é um método de prova matemática indireta, não construtiva. Este tipo de prova 
é feito assumindo-se uma sentença verdadeira, porém, querendo provar o contrário e então, 
chegando-se a uma contradição. 
11 Godfrey Harold Hardy foi um grande matemático inglês, que ficou conhecido pela relevante 
contribuição feita a teoria dos números e a análise. 
37 
 
 
Teorema: (Euclides). Existem infinitos números primos. 
 
Demonstração: (Euclides). Suponhamos que exista um número finito de números 
primos, a saber, 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, ..., 𝑝𝑟. Consideremos agora os números N = 𝑝1.𝑝2.𝑝3.... .𝑝𝑟 
+ 1. Com N > 1, existe um primo 𝑝 que divide N, portanto 𝑝 = 𝑝𝑖 para algum 𝑖, então 
𝑝 divide N = p1.𝑝2.𝑝3.... .𝑝𝑟 +1, logo 𝑝 divide 1, que é um absurdo. 
Depois de Euclidesoutros matemáticos também provaram que existe infinitos 
números primos, mas estes já utilizaram de ferramentas bem mais avançadas, por 
isso não faz sentido mencionar na presente pesquisa. 
 
3.3 ALGUNS TESTES DE PRIMALIDADE 
 
3.3.1 Crivo de Eratóstenes 
 
O crivo de Eratóstenes é um teste determinístico, este é um dos testes de 
primalidade mais antigos, este algoritmo foi desenvolvido para saber se determinados 
números são primos. Este, ainda é a forma mais eficiente de encontrar todos os 
números primos não muito grandes. Ele consiste em dispor os números naturais até 
um determinado valor e eliminar desta lista os múltiplos dos números primos já 
conhecidos. 
Num caso particular – para os números de 1 a 100 – temos a seguinte tabela: 
 
 
 Tabela 3: Crivo de Eratóstenes 
38 
 
 
Os números que aparecem nos “quadradinhos” pintados de amarelo, são os 
números primos entre 1 e 100. Por isso que é chamado de crivo, pois, são crivados 
na tabela os números que não são primos. 
Para fazermos a tabela utilizando o crivo de Eratóstenes primeiramente 
escolhemos um intervalo de números, por exemplo, de 1 a 100 como foi feito acima, 
ou de 2 a qualquer número já que o primeiro primo é o 2, assim, com estes números 
todos dispostos numa tabela prosseguimos da seguinte forma: 
Primeiramente eliminemos todos os pares exceto o 2 da tabela já que o único primo 
par é o 2, agora peguemos o 3 que é o próximo primo e eliminemos todos os seus 
múltiplos, em seguida fazemos o mesmo procedimento para o próximo primo e assim 
sucessivamente até chegar ao final dos números da tabela, assim, aplicando esse 
algoritmo ficarão na tabela apenas os números primos dentro do intervalo pré-
estabelecido. 
Mas apesar desse algoritmo ser muito bom ele ainda deixa a desejar, quando 
se trata de um intervalo muito grande de números a utilização deste iria demorar muito 
tempo tornando assim um trabalho demasiadamente exaustivo. 
 
3.3.2 Pequeno Teorema de Fermat 
 
Este é utilizado também como teste de primalidade, assim enunciaremos e 
faremos alguns exemplos para que fique mais claro, mas, não nos remeteremos a sua 
demonstração, que também pode ser encontrada no livro introdução à teoria dos 
números de José Plínio de O. santos. 
Segue, então: 
 
Teorema: (Fermat) se 𝑝 é primo, e 𝑝 não divide 𝑎 um inteiro qualquer, então, temos 
que: 
 
𝑎𝑝−1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝). 
 
Sabemos então, que como consequência também vale o seguinte: 
 
𝑎𝑝 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑝). 
 
39 
 
 
Este teorema é bastante aplicado na teoria dos números, em alguns casos ele 
é utilizado para calcular o resto da divisão de um número bem grande por um número 
primo, e em outros problemas onde queremos encontrar o dígito das unidades de um 
número também bem grande. Pois, quando aplicamos o Pequeno Teorema de Fermat 
(P.T.F) tornam-se em alguns casos muito fácil de serem resolvidos, esses tipos de 
problemas. 
 
Exemplos: 
 
1 − Usando o Pequeno Teorema de Fermat, identifique o resto da divisão de 2100000 
por 17. 
 
Resolução: Pelo P.T.F., temos 𝑎𝑝−1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) quando 𝑝 é primo e 𝑝 não divide 𝑎. 
Logo, como 17 é primo e 17 não divide 2, temos 216 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 17). Mas, 100000 =
 6250 × 16 e, assim, 
2100000 = (216)6250 ≡ 16250 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑17). 
Logo, o resto da divisão de 2100000 por 17 é 1. 
2 – Encontrar o dígito das unidades de 3100 quando expresso na base 7. 
 
Resolução: Isto quer dizer que temos que encontrar o menor resto positivo de 3100 
módulo 7. Isso recai em mais um caso de aplicação do P.T.F., assim, os passos a 
seguir gozam de propriedades do P.T.F., portanto, 
36 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 7), mas 100 = 6 × 16 + 4, temos: 396 = (36)16 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑7). Agora, 32 =
9 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑7) e, portanto, 34 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑7). Assim 3100 = 396 × 34 ≡ 1 × 4 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑7). 
Logo, o algarismo das unidades da divisão de 3100 por 7 é o 4. 
No entanto, este é um teste probabilístico, pois, ele afirma apenas que é 
suficiente que 𝑝 seja primo para que satisfaça a congruência. Assim, como a sua 
recíproca não é verdadeira, existirá números compostos que também satisfaça o 
teorema, ou seja, existem números 𝑛 tais que para todo 𝑎 inteiro 𝑎𝑛 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛), 
estes números chamamos de números de Carmichael, que apesar de raros também 
são infinitos. 
 
 
40 
 
 
3.3.3 Teorema de Wilson 
 
Como já falamos existe uma fórmula que gera somente números primos, na 
qual, denominamos por Teorema de Wilson. Enunciaremos abaixo, porém omitiremos 
a prova por conter conhecimentos muito elevados que não nos permite mencionar 
neste trabalho, porém, indicamos novamente o livro introdução à teoria dos números 
de José Plínio de O. Santos para quem tem curiosidade em ver a demonstração deste 
teorema. 
 
Teorema: (Teorema de Wilson) se 𝑝 é primo, então (𝑝 − 1)! ≡ −1(𝑚𝑜𝑑 𝑝). 
 
Por exemplo: 
 
Usando o teorema de Wilson, encontraremos o menor resíduo positivo de: 
 
a) 6𝑥7𝑥8𝑥9 (𝑚𝑜𝑑 5) b)8𝑥9𝑥10𝑥11𝑥12𝑥13 (𝑚𝑜𝑑 7) 
 
Resoluções: 
 
a) para encontrarmos o menor resíduo positivo de 6𝑥7𝑥8𝑥9, podemos utilizar o fato de 
que, 6 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5), 7 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 5), 8 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 5) e 9 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 5). Segue que: 
6𝑥7𝑥8𝑥9 ≡ 1𝑥2𝑥3𝑥4(𝑚𝑜𝑑 5). 
 
E pelo teorema de Wilson sendo 4! ≡ −1(𝑚𝑜𝑑 5), temos: 
 
6𝑥7𝑥8𝑥9 ≡ −1 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 5) 
 
b) O menor resíduo positivo de 8𝑥9𝑥10𝑥11𝑥12𝑥13 módulo 7 encontraremos de forma 
análoga, isto é, 
 
8𝑥9𝑥10𝑥11𝑥12𝑥13 ≡ 1𝑥2𝑥3𝑥4𝑥5𝑥6(𝑚𝑜𝑑 7). 
 
E, como 6! ≡ −1 ≡ 6(𝑚𝑜𝑑 7), temos que 8𝑥9𝑥10𝑥11𝑥12𝑥13 ≡ 6(𝑚𝑜𝑑 7). 
41 
 
 
 
Assim, em caso de utilizarmos a recíproca iríamos saber se o 5 e 7 nos itens 
a e b respectivamente, seriam números primos. Pois, como vimos o teorema é 
apresentado apenas na ida, mas a recíproca também é verdadeira e é nesta parte 
que sabemos que o número é ou não primo, pois se vale a relação de equivalência, 
então, 𝑝 é primo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
4 APLICAÇÕES 
 
É muito interessante o comportamento dos números primos no nosso dia a dia, 
mas não nos é apresentado isso quando estudamos na escola básica. Isso é meio 
que um paradoxo e difícil de ser acreditado pelas pessoas sem fundamentação teórica 
no assunto, pois, como vimos os primos se comportam de forma aleatória e nas suas 
aplicações na teoria dos números vimos que estes são vistos às vezes onde menos 
esperamos, envolvendo não só aritmética como a combinatória, logaritmos e até a 
análise, esta última vimos na fórmula da distribuição dos números primos, onde é 
utilizada a ideia de limites e outras. Assim, o que fascina os grandes matemáticos nos 
números primos é sua imprevisibilidade, é tanto que até hoje não foi encontrado uma 
fórmula padrão para os mesmos. Portanto, o que será apresentado é mais uma 
brilhante “obra prima” dos primos, só que agora em lugares onde podemos enxergar 
literalmente ou parcialmente a sua manifestação. 
 
4.1 CRIPTOGRAFIA RSA 
 
A palavra criptografia vem de origem grega sendo kryptós “escondido”, mais 
graphé, escrita. É um conjunto de técnicas para esconder informação de acesso não 
autorizado. Basicamente qualquer mensagem que exija um processo de decifração 
para ser entendida e que seja escrita cai nessa definição. 
Com o grande avanço da tecnologia, vimos que a utilidade da criptografia 
tornou-se cada vez maior, pois, quando se trata de segurança tecnológica, como 
computadores, sistemas bancários, entre outros, é necessário que hajameios de 
extrema confiança que os mantenham seguros, por isso, existem muitos ramos da 
criptografia para esses fins, e um deles é o que denominamos por criptografia RSA, 
essa sigla está relacionada aos seus criadores Ron Rivers, Adi Shamir e Leonel 
Adleman, como diz Marcus du Sautoy (2005, p.18); 
 
esse sistema é chamado RSA, em homenagem a seus 
três inventores. Até agora, já foram utilizados mais de um 
milhão de primos para proteger o mundo do comércio 
eletrônico. 
 
43 
 
 
A RSA é do tipo de criptografia assimétrica ou de chave pública, ou seja, para 
esse algoritmo criptográfico é utilizado dois tipos de chaves, uma pública e outra 
privada. 
 
 
Figura 11: Exemplo ilustrativo da criptografia assimétrica 
 
Um exemplo muito bom de aplicação da Criptografia RSA estar no sistema de 
compras online, pois, para fazermos a compra precisamos digitar o número do cartão 
de crédito e a senha. Porém, esses números são muito importantes para que sejam 
digitados de qualquer forma, correndo o grande risco de serem interceptados por 
hackers. Assim, utilizando o sistema de criptografia RSA dificultará um possível roubo 
dos dados do cliente que está realizando a compra. 
Para esse tipo de criptografia é utilizado alguns recursos da teoria dos números, 
precisamente falando a aritmética modular. E em qualquer problema que envolva a 
aplicação da aritmética modular, os números primos têm uma relevante contribuição. 
Por isso a comunidade matemática se preocupa tanto em encontrar números primos 
com uma grande quantidade de dígitos. 
O maior número primo conhecido como vimos anteriormente tem exatamente 
22.338.618, ele foi descoberto pelo grupo GIMPS é o grupo de busca de números 
primos de Mersenne. Com poucos fundamentos no assunto, poderíamos até afirmar 
que seria inútil termos esse número, se não iríamos aplicá-lo em nosso cotidiano, mas 
seria uma declaração meio polêmica e pobre do ponto de vista matemático, pois, hoje 
vivemos uma época de grande avanço tecnológico onde muitos aparelhos possuem 
um sistema de segurança baseado em grandes números primos. 
Marcus du Sautoy (2005, p.17) também diz que, 
 
encontrar números primos com 100 algarismos parece ser algo inteiramente 
inútil. Embora a maioria das pessoas reconheça que a matemática está 
envolvida na construção de um avião ou no desenvolvimento de tecnologia 
eletrônica, poucos esperam que o mundo esotérico dos primos possa 
provocar um grande efeito em suas vidas. De fato, já na década de 1940, 
44 
 
 
G.H.Hardy pensava da mesma forma: “Gauss e outros matemáticos menores 
não se equivocaram ao louvar esta ciência [a teoria dos números] que, por 
ser tão afastada das atividades humanas comuns, deverá se manter sempre 
nobre e limpa.” 
 
 
 Por isso, é de suma importância para os cientistas números primos com grande 
quantidade de dígitos, principalmente em se tratando do comércio eletrônico, onde é 
útil para criar códigos, sendo assim, mais difícil de ser quebrado. Por isso, um dos 
sistemas mais importantes que temos hoje na criptografia utilizando os primos é a 
criptografia RSA. 
 A segurança do mundo financeiro depende muito dos números primos, assim, 
caso seja encontrado uma solução para esse enigma, ou seja, um tipo de fórmula 
geradora de números primos, há um grande risco de comprometer todo o sistema de 
codificação feito pelos bancos. Porém, esse problema ainda é muito imprevisível, 
apesar da matemática hoje contar com a ajuda de ferramentas computacionais 
sofisticadas os números primos ainda continuam sendo vistos de forma aleatória, 
diga-se de passagem. Sautoy (2005, p.18) ainda comenta que, 
 
os cientistas Ron Rivers, Adi Shamir e Leonel Adleman revolucionaram a 
busca por números primos, que deixou de ser uma brincadeira casual jogada 
na torre de marfim acadêmica, para se tornar uma importante ferramenta de 
negócios. Explorando uma descoberta feita por Pierre De Fermat no século 
XVII, os três descobriram um modo de usar os primos para proteger nossos 
números de cartões de crédito, enquanto passeamos pelos shoppings 
centers eletrônicos do mercado globalizado. Quando a ideia foi lançada, nos 
anos 1970, ninguém podia imaginar as dimensões que o e-business ganharia. 
Porém, sem a força dos números primos, esse tipo de comércio jamais 
poderia existir hoje em dia. Sempre que fazemos compras pela internet, 
nossos computadores utilizam um sistema de segurança que depende da 
existência de números primos com 100 algarismos. [...] Essa é a razão pela 
qual a teoria dos números e o comércio se tornaram aliados, algo tão 
inimaginável no passado. O mundo dos negócios e as agências de segurança 
estão sempre atentos aos quadros - negros da matemática pura.[...] 
[...] O final do século XX se aproximava e ainda estávamos completamente 
no escuro sobre a natureza dos números mais fundamentais da matemática. 
Os primos riram por último. 
 
 
Portanto, ao contrário do que muitas pessoas pensam os números primos tem 
uma enorme aplicabilidade no nosso dia a dia. 
 
 
 
 
45 
 
 
4.2 OS PRIMOS NA NATUREZA 
 
 Como já vimos os números primos aparecem de forma imprescindível a ponto 
de ainda não entendermos o seu comportamento. A sua enigmática trajetória é vista 
durante todo esse trabalho, porém, os primos também se manifestariam na natureza, 
e agora de forma bem “amigável e protetora”. 
 Existe uma espécie de cigarras que seu ciclo de vida está de acordo com os 
números primos, isso será uma estratégia das irracionais cigarras ou mera 
coincidência? 
Como vimos os números primos são muito fundamentais na geração dos 
demais números inteiros positivos. No entanto, a natureza já tomara consciência disso 
antes de o fazermos. Nas florestas da América do Norte existe uma espécie de 
cigarras que foram capazes de desafiar a ciência, utilizando os números primos como 
forma de sobrevivência de sua espécie. Assim, foi montada uma estratégia por elas 
para que a sua existência na terra não coincidisse com a de seu predador. As cigarras 
emergem em ciclos de 13 e 17 anos, ou seja, durante todos esses anos eles vivem 
abaixo do solo, alimentando-se de raízes de árvores, então, depois de anos de silêncio 
elas aparecem. Assim, ao emergirem elas emitem um som em conjunto muito alto, 
depois elas comem, se reproduzem, põe ovos e após 6 semanas morrem. 
A floresta cai em silêncio por mais 17 anos. Mas, por que as cigarras decidem 
ficar por 17 anos abaixo do solo? Como vimos, isso foi um processo que ajudou na 
sobrevivência de sua espécie, elas costumavam contar com a presença de um 
predador que também resolvera aparecer na floresta periodicamente. Isso levou as 
cigarras a descobrirem que se escolhessem um número primo para reger seu ciclo de 
vida elas poderiam desviar-se do ciclo daquele predador por um período de tempo 
maior e quando coincidisse com um ciclo do predador teria uma população abundante. 
No entanto, isso ainda é um mistério para a ciência, sabemos que essa ligação 
entre a espécie de cigarra e a natureza é um processo de adaptação ao meio ambiente 
e ao tipo de predador. Porém, o que intriga os profissionais da ciência é a forma como 
elas escolhem esses números, cujo estes ainda não descobriram como elas fazem a 
contagem. 
 
 
 
46 
 
 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Os números primos apresentaram e continuam apresentando, grandes 
desafios para os matemáticos, isso possivelmente se perdurará por muitos anos. Esse 
modo aleatório em que os primos resolveram se comportar é extremamente 
interessante e desafiador, por isso, instigaram grandes matemáticos a buscarem de 
qualquer forma explicar a distribuição desses números, é tanto que ainda