Prova de Cálculo III - 2014

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
INSTITUTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O
2a PROVA DE MAT 003 - CA´LCULO III - 2014/I - PROF. ARTUR FASSONI - 14/06/2014
Nome: Matrı´cula: Turma: ( ) T6 (manha˜)
( ) T2 (tarde)
Atenc¸a˜o:
A prova conteˆm 4 questo˜es, valendo 25 pontos cada. Leia todas elas com atenc¸a˜o.
Fac¸a uma questa˜o em cada pa´gina do almac¸o, EM ORDEM: Q1 na pa´g. 1, Q2 na pa´g. 2, etc.
Questo˜es fora da pa´gina correta ou ocupando mais de uma pa´gina sera˜o desconsideradas.
Coloque nome, matrı´cula e turma na folha de almac¸o. Na˜o e´ necessa´rio entregar a folha de questo˜es.
Boa Prova!
1. Considere ~F(x,y,z) um campo de forc¸as contı´nuo, movendo uma partı´cula ao longo de uma trajeto´ria
suave C, parametrizada por~r(t), a≤ t ≤ b, do ponto A =~r(a) ao ponto B =~r(b).
(a) Utilizando a 2a Lei de Newton, mostre que o trabalho realizado por ~F e´ igual a variac¸a˜o da energia
cine´tica da partı´cula.
(b) Suponha que ~F e´ conservativo. A energia potencial e´ definida como sendo P(x,y,z) tal que
~F = −~∇P. Mostre que a energia mecaˆnica total da partı´cula e´ preservada durante o movimento ao
longo de C.
2. (a) Utilizando o Teorema de Green, mostre que a a´rea de uma regia˜o D simplesmente conexa e´ dada
por
A(D) =
1
2
∮
C
x dy− y dx,
onde C e´ a fronteira da regia˜o D, orientada no sentido anti-hora´rio.
(b) Seja P um polı´gono de n lados, com ve´rtices consecutivos (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn), no sentido
anti-hora´rio. Obtenha uma fo´rmula para a a´rea de P em termos das coordenadas de seus ve´rtices.
(Dica: primeiro, calcule diretamente a integral de linha∫
Li
x dy− y dx,
onde Li e´ o lado ligando os ve´rtices (xi,yi) e (xi+1,yi+1)).
3. Verifique que o Teorema de Stokes e´ verdadeiro para o campo ~F(x,y,z) = −2yz~i+ y ~j + 3x~k e a
superfı´cie S, dada pela parte do paraboloide z = 5− x2− y2 que esta´ acima do plano z = 1, orientada
para cima.
4. Utilizando o Teorema da Divergeˆncia, calcule o fluxo do campo ~F(x,y,z) = xz~i−2x ~j+3~k atrave´s
do hemisfe´rio x2 + y2 + z2 = 4, z≥ 0, orientado para baixo.