Equacoes Diferenciais Topico 9

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Equações Diferenciais – Tópico 9
• Existência e unicidade da solução
• Existencia de um conjunto de soluções 
fundamentais
• Indepêndencia linear das duas soluções 
fundamentais 
Soluções fundamentais de
equações lineares homogêneas
{ Seja p, q funções contínuas no intervalo I = (α, β), que pode
ser infinito. Para qualquer função y que é duas vezes
diferenciável em I, define-se o operador diferencial L por
{ Note que L[y] é uma função em I, qual valores de saída
{ Por exemplo,
[ ] yqypyyL +′+′′=
[ ] )()()()()()( tytqtytptytyL +′+′′=
( )
[ ] )sin(2)cos()sin()(
2,0),sin()(,)(,)(
22
22
tettttyL
Ittyetqttp
t
t
++−=
==== π
Notação de operador diferencial
{ Neste tópico abordaremos a equação de segunda ordem
linear e homogênea L[y](t) = 0, com condições iniciais
dadas abaixo: 
{ Nós queremos saber se este problema de valor inicial possui
soluções e se estas soluções são únicas. 
{ Além disso, queremos saber o que pode ser dito sobre a 
forma e a estrutura das soluções que pode nos ajudar a 
determinar as soluções de problemas particulares. 
{ Estas questões serão abordadas nos teoremas deste tópico.
[ ]
1000 )(,)(
0)()(
ytyyty
ytqytpyyL
=′=
=+′+′′=
Teorema 1
{ Considere o problema de valor inicial
onde p, q, e g são funções contínuas no intervalo aberto I que
contém t0.
{ Existe uma única solução y = φ(t) em I.
{ Obs: Apesar, deste teorema dizer que a solução do problema
de valor inicial acima existe, não é possível determinar uma
expressão geral fechada para esta solução. Esta é a maior
diferença entre as EDO lineares de primeira e segunda
ordem.
0000 )(,)(
)()()(
ytyyty
tgytqytpy
′=′=
=+′+′′
Exemplo 1
{ Considere o problema de valor inicial linear de segunda
ordem
{ Este problema de valor inicial possui a seguinte solução:
{ Note que p(t) = 0, q(t) = -1, g(t) = 0 são contínuas em (-∞, 
∞). Assim, pelo teorema anterior a solução y e suas duas
primeiras derivadas y’ e y’ estão contidas em (-∞, ∞).
tt eety −+= 2)(
( ) ( ) .10,30,0 =′==−′′ yyyy
1000 )(,)(
)()()(
ytyyty
tgytqytpy
=′=
=+′+′′
Exemplo 2
{ Considere o problema de valor inicial linear de segunda
ordem
onde p, q são contínuas em um intervalo aberto I contendo t0. 
{ Em vista das condições iniciais, vemos que y = 0 é uma
solução deste problema homogêneo de valor inicial. 
{ Assim, uma vez satisfeita as hipóteses do teorema 1, segue 
que y = 0 é a única solução deste problema.
( ) ( ) 00,00,0)()( =′==+′+′′ yyytqytpy
Exemplo 3
{ Determine o maior intervalo na qual é certo que o problema
de valor inicial possui uma única solução duas vezes
diferenciáveis. 
{ Primeira colocamos a equação diferencial na forma padrão:
{ O maior intervalo contendo o ponto t = 0 na qual os
coeficientes da função são contínuos é (-1, ∞).
{ Segue do teorema 1, que o maior intervalo na qual PVI 
certamente possui uma solução duas vezes diferenciável é
também (-1, ∞).
( ) ( ) ( ) 00,10,13)(cos1 =′==+′−′′+ yyyytyt
( ) ( ) 00,10,
1
1
1
3
1
cos =′=+=++′+−′′ yytytyt
ty
Teorema 2 (princípio da superposição)
{ Se y1e y2 são soluções da equação
então uma combinação linera c1y1 + y2c2 é também uma
solução, para toda constante c1 e c2.
{ Para provar este teorema, substituimos c1y1 + y2c2 na
equação acima, e usamos o fato de que y1 e y2 são soluções. 
{ Assim, para qualquer duas soluções y1 e y2, podemos
construir uma família infinita de soluções sob a forma 
y = c1y1 + c2 y2. 
{ Será que todas as soluções podem ser escritas desta forma , 
ou temos ainda soluções com formas diferentes? Para 
responder a esta questão, usamos o determinante conhecido
como Wronskiano.
0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL
O determinante Wronskiano (1 de 3)
{ Suponha que y1 e y2 são soluções da equação
{ Do teorema 2 sabemos que y = c1y1 + c2 y2 é solução desta
equação. 
{ O próximo passo é determinar os coeficientes c1 e c2 tal que
y = c1y1 + c2 y2 satisfaça a condição inicial
{ Para isso, é necessário resolver o seguinte sistema de 
equações:
0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL
0000 )(,)( ytyyty ′=′=
0022011
0022011
)()(
)()(
ytyctyc
ytyctyc
′=′+′
=+
O determinante Wronskiano (2 de 3)
0022011
0022011
)()(
)()(
ytyctyc
ytyctyc
′=′+′
{ Resolvendo estas equações, obtemos
{ Em termos de determinantes:
=+
)()()()(
)()(
)()()()(
)()(
02010201
010010
2
02010201
020020
1
tytytyty
tyytyyc
tytytyty
tyytyyc
′−′
′+′−=
′−′
′−′=
)()(
)()(
)(
)(
,
)()(
)()(
)(
)(
0201
0201
001
001
2
0201
0201
020
020
1
tyty
tyty
yty
yty
c
tyty
tyty
tyy
tyy
c
′′
′′=
′′
′′=
O determinante Wronskiano (3 de 3)
{ Para que estas soluções sejam válidas, o determinante W no 
denominador não pode ser zero:
{ W é chamado de determinante Wronskiano, ou
simplesmente, de Wronskiano das soluções y1e y2. Muitas
vezes usaremos a notação
)()()()(
)()(
)()(
02010201
0201
0201 tytytyty
tyty
tyty
W ′−′=′′=
W
yty
yty
c
W
tyy
tyy
c 001
001
2
020
020
1
)(
)(
,
)(
)(
′′=′′=
( )( )021, tyyW
Teorema 3
{ Suponha que y1 e y2 são soluções da equação
e que o Wronskiano
não é zero no ponto t0 onde são dadas as condições iniciais
Então, existe uma escolha de constantes c1, c2 no qual
y = c1y1 + c2 y2 é uma solução da equação diferencial (1) em
concordância com as condições iniciais (2).
)1(0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL
2121 yyyyW ′−′=
)2(.)(,)( 0000 ytyyty ′=′=
Exemplo 4
{ Lembremos do problema de valor inicial e de sua solução:
{ Veja que as duas funções abaixo são soluções da equação
diferencial: 
{ O Wronskiano de y1 e y2 é
{ Uma vez que W ≠ 0 para todo t, combinações lineares de y1 e 
y2 podem ser usadas para construir soluções do PVI para
qualquer valor inicial t0.
tt eyey −== 21 ,
22 02121
21
21 −=−=−−=′−′=′′=
−− eeeeeyyyy
yy
yy
W tttt
( ) ( ) tt eetyyyyy −+=⇒=′==−′′ 2)(10,30,0
2211 ycycy +=
Teorema 4 (soluções fundamentais)
{ Suponha que y1 e y2 são soluções da equação
Se existe um ponto t0 tal que W(y1,y2)(t0) ≠ 0, então a 
família de soluções y = c1y1 + c2 y2 com coeficientes
arbitrários c1, c2 inclui todas as soluções da equação
diferencial. 
{ A expressão y = c1y1 + c2 y2 é chamada de solução geral
da equação diferencial, e neste caso y1 e y2 formam um 
conjunto fundamental de soluções desta equação.
.0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL
Exemplo 5
{ Lembremos da equação abaixo, com as seguintes soluções:
{ O Wronskiano de y1 e y2 é
{ Assim, y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções
para a equação diferencial acima, e pode ser usado para
construir todas as suas soluções. 
{ A solução geral é
tt eyeyyy −===−′′ 21 ,,0
. todopara 022 0
21
21 teeeee
yy
yy
W tttt ≠−=−=−−=′′=
−−
tt ececy −+= 21
Exemplo 6
{ Considere a EDO linear de segunda ordem abaixo:
{ Suponha que as funções abaixo são soluções desta equação: 
{ O Wronskiano de y1 e y2 é
{ Assim y1e y2 formam um conjunto fundamental de soluções
desta equação, e podem ser usadas para construir todas as 
suas soluções.
{ A solução geral é
2121 ,, 21 rreyey
trtr ≠==
( ) ( ) . todopara 021
21
21
12
2121
21 terr
erer
ee
yy
yy
W trrtrtr
trtr
≠−==′′=
+
0)()( =+′+′′ ytqytpy
trtr ececy 21 21 +=
Exemplo 7: soluções fundamentais (1 de 2)
{ Considere a seguinte equação diferencial:
{ Mostre que as soluções abaixo são soluções fundamentais: 
{ Para mostrar isso, substituimos y1 na equação:
{ Assim, y1 é de fato solução da equação diferencial. 
{ Similarmente, y2 é também uma solução:
1
2
2/1
1 ,
−== tyty
0,032 2 >=−′+′′ tyytyt
01
2
3
2
1
2
34
2 2/12/1
2/12/3
2 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−=−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ − −− tttttt
( ) ( ) ( ) 0134322 11232 =−−=−−+ −−−− tttttt
Exemplo 7: soluções fundamentais (2 de 2)
{ Lembre que
{ Para mostrar que y1 e y2 formam um conjunto fundamental 
de soluções, calculamos o Wronskiano de y1 e y2: 
{ Uma vez que W ≠ 0 para t > 0, y1, y2 formam um conjunto
fundamental de soluções para a equação diferencial
3
2/32/32/3
22/1
12/1
21
21
2
3
2
3
2
1
2
1
t
ttttt
tt
yy
yy
W −=−=−−=−=′′=
−−−
−−
−
1
2
2/1
1 ,
−== tyty
0,032 2 >=−′+′′ tyytyt
Teorema 5: Existência de um
conjunto fundamental de soluções
{ Considere a equação diferencial abaixo, cujos coeficientes p
e q são contínuos em um intervalo aberto I:
{ Seja t0 um ponto em I, e y1 e y2 soluções da equação com y1
satisfazendo as condições iniciais
e y2 satisfazendo as condições iniciais
{ Então y1, y2 formam um conjunto fundamental de soluções
da equação diferencial dada.
0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL
0)(',1)( 00 == tyty
1)(',0)( 00 == tyty
Independência linear e o Wronskiano
{ Duas funções f e g são linearmente dependentes se existe
constantes c1 e c2, com ao menos uma diferente de zero, tal
que
para todo t em I. Note que isto se reduz a determinar se f e 
g são múltiplos uma da outra. 
{ Se a única solução desta equação é c1 = c2 = 0, então f e g
são linearmente independentes . 
{ Por exemplo,, seja f(x) = sin2x e g(x) = sinxcosx, e 
considere a combinação linear
Esta equação é satisfeita se escolhermos c1 = 1, c2 = -2, 
assim f e g são linearmente dependentes.
0)()( 21 =+ tgctfc
0cossin2sin 21 =+ xxcxc
Solução de um sistema de equações 2x2
{ Quando resolvemos
para c1 e c2, pode-se mostrar que
{ Note que se a = b = 0, então a única solução para este
sistema de equações é c1 = c2 = 0, pois D ≠ 0.
bycyc
axcxc
=+
=+
2211
2211
21
2111
2121
11
2
22
2121
22
1
 o,
,
yy
xx
Dnde
D
bxay
xyyx
bxayc
D
bxay
xyyx
bxayc
=+−=−
+−=
−=−
−=
Exemplo 8: Independência linear (1 de 2)
{ Mostre que as duas funções abaixo são linearmente
independentes para qualquer intervalo:
{ Seja c1 e c2 escalares, e suponha
para todo t em um intervalo arbitrário (α, β ). 
{ Queremos mostrar que c1 = c2 = 0. Uma vez que a equação
vale para todo t em (α, β ), escolhemos t0 e t1 em (α, β ), 
onde t0 ≠ t1. Então
tt etgetf −== )(,)(
0)()( 21 =+ tgctfc
0
0
11
00
21
21
=+
=+
−
−
tt
tt
ecec
ecec
Exemplo 8: Independência linear (2 de 2)
{ A solução para o nosso sistema de equação
será c1 = c2 = 0, pois o determinante D não é zero:
{ Então
{ Uma vez que, t0 ≠ t1, segue que D ≠ 0, e portanto f e g são
linearmente independentes.
01101010
11
00
tttttttt
tt
tt
eeeeee
ee
eeD −−−−−
−
−=−==
( )
10
2
1
 11 0
10
10
10
100110
tte
e
e
eeeD
tt
tt
tt
tttttt
=⇔=⇔
=⇔=⇔=⇔=
−
−
−
−−−
0
0
11
00
21
21
=+
=+
−
−
tt
tt
ecec
ecec
Teorema 6
{ Se f e g são funções diferenciáveis em um intervalo aberto
I e se W(f, g)(t0) ≠ 0 para algum ponto t0 em I, então f e g
são linearmente independentes em I. Além disso, se f e g
são linearmente dependentes em I, então W(f, g)(t) = 0 
para todo t em I. 
{ Prova (esboço): Seja c1 e c2 escalares, e suponha que
para todo t em I. Em particular, quando t = t0 temos
{ Uma vez que W(f, g)(t0) ≠ 0, segue que c1 = c2 = 0, e 
portanto f e g são linearmente independentes.
0)()( 21 =+ tgctfc
0)()(
0)()(
0201
0201
=′+′
=+
tgctfc
tgctfc
Teorema 7 (teorema de Abel)
{ Suponha que y1 e y2 são soluções da equação
onde p e q são contínuas em algum intervalo aberto I. Então, 
W(y1,y2)(t) é dado por
onde c é uma constante que depende de y1 e y2 mas não de t. 
{ Note que W(y1,y2)(t) é zero para todo t em I (se c = 0) ou
nunca é zero em I (se c ≠ 0).
0)()(][ =+′+′′= ytqytpyyL
∫= − dttpcetyyW )(21 ))(,(
Exemplo 9: Wronskiano e teorema de Abel
{ Lembremos da equação abaixo e de suas duas soluções: 
{ O Wronskian de y1 e y2 é
{ Assim y1 e y2 são linearmente independentes em todo
intervalo I. Agora comparando W com o teorema de Abel:
{ Escolhendo c = -2, obtemos o mesmoW anterior.
tt eyeyyy −===−′′ 21 ,,0
. todopara 022 0
21
21 teeeee
yy
yy
W tttt ≠−=−=−−=′′=
−−
ccecetyyW dtdttp =∫=∫= −− 0)(21 ))(,(
Resumo
{ Para determinar a solução geral da equação
primeiramente determinamos y1 e y2.
{ Depois nos certificamos de que existe pelo menos um ponto
t0 no intervalo tal queW(y1, y2)(t0) ≠ 0.
{ Então, segue que y1 e y2 formam um conjunto fundamental 
de soluções, com solução geral y = c1y1 + c2 y2.
βα <<=+′+′′ tytqytpy ,0)()(
Resumo (cont.)
{ Se as condições iniciais são dadas em um ponto t0 no 
intervalo onde W ≠ 0, então c1 e c2 podem ser escolhidos
para satisfazer estas condições.
{ Veja que, neste contexto as seguintes as afirmações são
verdadeiras:
z As funções y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções
em I.
z As funções y1 e y2 são linearmente independentes em I.
z W(y1,y2)(t0) ≠ 0 para algum t0 em I.
z W(y1,y2)(t) ≠ 0 para todo t em I.
	Soluções fundamentais de�equações lineares homogêneas
	Notação de operador diferencial
	Teorema 1 
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exemplo 3
	Teorema 2 (princípio da superposição)
	O determinante Wronskiano (1 de 3)
	O determinante Wronskiano (2 de 3)
	O determinante Wronskiano (3 de 3)
	Teorema 3
	Exemplo 4
	Teorema 4 (soluções fundamentais)
	Exemplo 5
	Exemplo 6
	Exemplo 7: soluções fundamentais (1 de 2)
	Exemplo 7: soluções fundamentais (2 de 2)
	Teorema 5: Existência de um�conjunto fundamental de soluções
	Independência linear e o Wronskiano
	Solução de um sistema de equações 2x2
	Exemplo 8: Independência linear (1 de 2)
	Exemplo 8: Independência linear (2 de 2)
	Teorema 6
	Teorema 7 (teorema de Abel)
	Exemplo 9: Wronskiano e teorema de Abel
	Resumo
	Resumo (cont.)