Equacoes Diferenciais Topico 10

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Equações Diferenciais – Tópico 10
• Equações diferenciais não homogêneas
• Método dos coeficientes indeterminados
• Método da variação de parâmetros 
Equações diferenciais não homogêneas
{ Lembremos da forma da EDO linear não homogênea
onde p, q, g são funções contínuas em um intervalo I.
{ A equação homogênea associada é
{ Aprenderemos neste tópico como resolver EDO não
homogêneas utilizando nossos conhecimentos sobre a solução
da equação homogênea.
)()()( tgytqytpy =+′+′′
.0)()( =+′+′′ ytqytpy
Teorema 1
{ Se Y1, Y2 são soluções da equação não homogênea
então (Y1 - Y2) é solução da equação homogênea
{ Se y1, y2 formam um conjunto fundamental de soluções da
equação homogênea, então existe constantes c1, c2 tal que
)()()()( 221121 tyctyctYtY +=−
)()()( tgytqytpy =+′+′′
0)()( =+′+′′ ytqytpy
Teorema 2 (Solução geral)
{ A solução geral de uma equação não homogênea
pode ser escrita como
onde y1, y2 formam um conjunto fundamental de soluções da
equação homogênea, c1, c2 são constantes arbitrárias e Y é
uma solução específica da equação não homogênea.
)()()()( 2211 tYtyctycty ++=
)()()( tgytqytpy =+′+′′
Método dos coeficientes indeterminados
{ Seja a equação linear não homogênea
com solução geral
{ Nesta seção usaremos o método dos coeficientes
indeterminados para obter uma solução particular Y para a 
equação não homogênea, assumindo que sabemos
determinar y1, y2 para o caso homogêneo. 
{ O método dos coeficientes indetermindados é usualmente
limitado a p e q constantes, e g(t) dado por uma função
polinomial, senos, cossenos ou exponencial.
)()()( tgytqytpy =+′+′′
)()()()( 2211 tYtyctycty ++=
Exemplo 1: g(t) exponencial
{ Considere a equação não homogênea
{ Vamos procurar um Y que satisfaça esta equação. Uma vez
que a exponencial se replica através da operação de 
derivação, um bom começo para Y é:
{ Substituindo estas derivadas na equação diferencial,
{ Assim, uma solução particular para a EDO não homogênea é
teyyy 2343 =−′−′′
ttt AetYAetYAetY 222 4)(,2)()( =′′=′⇒=
2/136
3464
22
2222
−=⇔=−⇔
=−−
AeAe
eAeAeAe
tt
tttt
tetY 2
2
1)( −=
Exemplo 2: Seno g(t), primeira tentativa (1 de 2)
{ Considere a equação não homogênea
{ Vamos procurar um Y que satisfaça esta equação. Uma vez
que o seno se replica através de duas operação de derivação, 
um bom começo para Y é:
{ Substituindo estas derivadas na equação diferencial,
{ Uma vez que sin(x) e cos(x) são linearmente independentes, 
devemos fazer c1= c2 = 0, e portanto 2 + 5A = 3A = 0, que é
impossível.
tyyy sin243 =−′−′′
tAtYtAtYtAtY sin)(,cos)(sin)( −=′′=′⇒=
( )
0cossin
0cos3sin52
sin2sin4cos3sin
21 =+⇔
=++⇔
=−−−
tctc
tAtA
ttAtAtA
Exemplo 2: Seno g(t), solução particular (2 de 2)
{ Nossa próxima tentativa para determinar Y é
{ Substituindo estas derivadas na EDO, obtemos
{ Assim, uma solução particular da EDO não homogênea é
tBtAtYtBtAtY
tBtAtY
cossin)(,sincos)(
cossin)(
−−=′′−=′⇒
+=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
17/3 ,17/5
053,235
sin2cos53sin35
sin2cossin4sincos3cossin
=−=⇔
=−−=+−⇔
=−−++−⇔
=+−−−−−
BA
BABA
ttBAtBA
ttBtAtBtAtBtA
tyyy sin243 =−′−′′
tttY cos
17
3sin
17
5)( +−=
Exemplo 3: g(t) polinomial
{ Considere a equação não homogênea
{ Vamos procurar Y que satisfaça esta equação. Começando com
{ Substituindo estas derivadas na equação diferencial,
{ Assim, uma solução particular da EDO não homogênea é
1443 2 −=−′−′′ tyyy
AtYBAttYCBtAttY 2)(,2)()( 2 =′′+=′⇒++=
( ) ( )
( ) ( )
8/11 ,2/3 ,1
1432,046,44
14432464
144232
22
22
−==−=⇔
−=−−=+=−⇔
−=−−++−−⇔
−=++−+−
CBA
CBABAA
tCBAtBAAt
tCBtAtBAtA
8
11
2
3)( 2 −+−= tttY
Exemplo 4: Produto de funções
{ Considere a equação não homogênea
{ Vamos procurar Y que satisfaça esta equação, como segue:
{ Substituindo as derivadas na EDO e resolvendo para A e B:
teyyy t 2cos843 −=−′−′′
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) teBAteBA
teBA
teBAteBAteBAtY
teBAteBA
tBetBetAetAetY
tBetAetY
tt
t
ttt
tt
tttt
tt
2sin342cos43
2cos22
2sin22sin222cos2)(
2sin22cos2
2cos22sin2sin22cos)(
2sin2cos)(
−−++−=
+−+
+−++−+=′′
+−++=
++−=′
+=
tetetYBA tt 2sin
13
22cos
13
10)(
13
2 ,
13
10 +=⇒==
Discussão: Soma de g(t)
{ Considere novamente a EDO geral não homogênea
{ Suponha que g(t) é uma soma de funções:
{ Se Y1, Y2 são soluções de 
respectivamente, então Y1 + Y2 é solução da equação não
homogênea acima.
)()()( tgytqytpy =+′+′′
)()()( 21 tgtgtg +=
)()()(
)()()(
2
1
tgytqytpy
tgytqytpy
=+′+′′
=+′+′′
Exemplo 5: Soma de g(t)
{ Considere a equação
{ As equações a serem resolvidas individualmente são
{ Assim, a solução particular é
teteyyy tt 2cos8sin2343 2 −+=−′−′′
tetettetY ttt 2sin
13
22cos
13
10sin
17
5cos
17
3
2
1)( 2 ++−+−=
teyyy
tyyy
eyyy
t
t
2cos843
sin243
343 2
−=−′−′′
=−′−′′
=−′−′′
Exemplo 6: Primeira tentativa (1 de 3)
{ Considere a equação
{ Procuremos um Y que satisfaça esta equação, segue:
{ Substituindo estas derivadas na EDO:
{ Assim, não existe solução particular sob a forma
tyy 2cos34 =+′′
tBtAtYtBtAtY
tBtAtY
2cos42sin4)(,2sin22cos2)(
2cos2sin)(
−−=′′−=′⇒
+=
( ) ( )
( ) ( )
t
ttBBtAA
ttBtAtBtA
2cos30
2cos32cos442sin44
2cos32cos2sin42cos42sin4
=
=+−++−
=++−−
tBtAtY 2cos2sin)( +=
Exemplo 6: Solução homogênea (2 de 3)
{ Assim, não existe solução particular sob a forma
{ Para entendermos o porque, lembremos que a solução da
equação homogênea é dada por:
{ Assim, nossa solução particular tentativa é solução da
equação homogênea
ao invés da equação não homogênea.
tBtAtY 2cos2sin)( +=
tctctyyy 2sin2cos)(04 21 +=⇒=+′′
tyy 2cos34 =+′′
04 =+′′ yy
Exemplo 6: Solução particular (3 de 3)
{ Nossa próxima tentativa para achar Y será:
{ Substituindo as derivadas na EDO temos,
tBttAttBtA
tBttBtBtAttAtAtY
tBttBtAttAtY
tBttAttY
2cos42sin42sin42cos4
2cos42sin22sin22sin42cos22cos2)(
2sin22cos2cos22sin)(
2cos2sin)(
−−−=
−−−−+=′′
−++=′
+=
tttY
BA
ttBtA
2sin
4
3)(
0,4/3
2cos32sin42cos4
=⇒
==⇒
=−
tyy 2cos34 =+′′
Método da variação de parâmetros
{ Relembrando a equação não homogênea
onde p, q, g são funções contínuas em um intervalo aberto I.
{ A equação homogênea associada é
{ Nesta seção aprenderemos o método de variação de 
parâmetros para resolver a equação não homogênea. Assim, 
como o método dos coeficientes indeterminados, este
procedimendo supoem o conhecimento das soluções da
equação homogênea.
{ Variação de parâmetros é um método geral, e não necessita de 
conhecimento sobre a forma da solução. Contudo, é
necessário calcular certas integrais, e isto pode ser complicado.
)()()( tgytqytpy =+′+′′
0)()( =+′+′′ ytqytpy
Exemplo 7: Variação de parâmetros (1 de 6)
{ Vamos procurar uma solução particular da equação abaixo. 
{ Não podemos usar o método dos coeficientes indeterminados
uma vez que g(t) é uma razão de sin t ou cos t, ao invés de 
soma ou produto. 
{ Primeiramente, lembremos a solução da equação homogênea: 
{ Para achar uma solução particular da equação homogênea, 
começamos com a forma
{ Então
{ ou
tyy csc34 =+′′
tctctyC 2sin2cos)( 21 +=
ttuttuty 2sin)(2cos)()( 21 +=
ttuttuttuttuty 2cos)(22sin)(2sin)(22cos)()( 2211 +′+−′=′
ttuttuttuttuty 2sin)(2cos)(2cos)(22sin)(2)( 2121 ′+′++−=′
Exemplo 7: Duas equações para u1 e u2 (2 de 6)
{ Do slide anterior,
{ Note que para determinar u1 e u2 é necessário duas equações
distintas. A primeira delas é a própria equação diferencial. Já
a segunda é obtida impondo
{ Então
{ Segue,
ttuttuttuttuty 2sin)(2cos)(2cos)(22sin)(2)(2121 ′+′++−=′
02sin)(2cos)( 21 =′+′ ttuttu
ttuttuty 2cos)(22sin)(2)( 21 +−=′
ttuttuttuttuty 2sin)(42cos)(22cos)(42sin)(2)( 2211 −′+−′−=′′
Exemplo 7: As duas equações (3 de 6)
{ Lembremos a equação diferencial do nosso exemplo
{ Substituindo y'' e y nesta equação, obtemos
{ Essa equação simplifica em
{ Assim, para resolver u1 e u2, temos duas equações:
( ) tttuttu
ttuttuttuttu
csc32sin)(2cos)(4
2sin)(42cos)(22cos)(42sin)(2
21
2211
=++
−′+−′−
02sin)(2cos)(
csc32cos)(22sin)(2
21
21
=′+′
=′+′−
ttuttu
tttuttu
tttuttu csc32cos)(22sin)(2 21 =′+′−
tyy csc34 =+′′
Exemplo 7: Determinando u1' (4 de 6)
{ Para achar u1 e u2 , deve-se resolver as equações
{ Da segunda equação,
{ Substituindo esta expressão na primeira equação obtemos:
t
ttutu
2sin
2cos)()( 12 ′−=′
( ) ( )
( ) ( )[ ]
ttu cos3)(1 −=
t
tttttu
ttttuttu
tt
t
ttuttu
sin
cossin232cos2sin)(2
2sincsc32cos)(22sin)(2
csc32cos
2sin
2cos)(22sin)(2
22
1
2
1
2
1
11
′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+′−
=′−′−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′−+′−
02sin)(2cos)(
csc32cos)(22sin)(2
21
21
=′+′
=′+′−
ttuttu
tttuttu
Exemplo 7 : Determinando u1 e u2 (5 de 6)
{ Do slide anterior,
{ Então
{ Assim,
tt
t
t
t
t
t
tt
tt
t
tttu
sin3csc
2
3
sin2
sin2
sin2
13
sin2
sin213
cossin2
sin21cos3
2sin
2coscos3)(
2
22
2
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=′
222
111
cos3cotcscln
2
3sin3csc
2
3)()(
sin3cos3)()(
ctttdtttdttutu
cttdtdttutu
++−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=′=
+−=−=′=
∫∫
∫∫
t
ttututtu
2sin
2cos)()(,cos3)( 121 ′−=′−=′
Exemplo 7: Solução geral (6 de 6)
{ Lembrando da equação e de sua solução homogênea yC:
{ Usando a expressão para u1 e u2 do slide anterior, a solução
geral da equação diferencial é
[ ]
( )[ ]
tctctttt
tyttttttt
tyttttttt
tyttttttt
tyttuttuty
C
C
C
C
2sin2cos2sincotcscln
2
3sin3
)(2sincotcscln
2
31cos2sincossin23
)(2sincotcscln
2
32cossin2sincos3
)(2sincos32sincotcscln
2
32cossin3
)(2sin)(2cos)()(
21
22
21
++−+=
+−+−−=
+−+−=
++−+−=
++=
tctctytyy C 2sin2cos)(,csc34 21 +==+′′
Variação de parâmetros para uma
EDO linear de segunda ordem arbitrária
{ Suponha que y1, y2 são soluções fundamentais da equação
homogênea associada com a equação não homogênea acima. 
Veja que o coeficiente de y'' é 1.
{ Para determinar u1 e u2, é necessário resolver 
{ Fazendo isto, e usando o Wronskiano, obtemos
{ Assim,
)()()()()(
0)()()()(
2211
2211
tgtytutytu
tytutytu
=′′+′′
=′+′
)()()()()(
)()()(
2211 tytutytuty
tgytqytpy
+=
=+′+′′
( ) ( ) )(,
)()()(,
)(,
)()()(
21
1
2
21
2
1 tyyW
tgtytu
tyyW
tgtytu =′−=′
( ) ( )∫∫ +=+−= 2211212121 )(,
)()()(,
)(,
)()()( cdt
tyyW
tgtytucdt
tyyW
tgtytu
Teorema 3
{ Considere as equações
{ Se as funções p, q e g são contínuas em um intervalo aberto I, 
e se y1 e y2 são soluções fundamentais da Eq. (2), então uma
solução particular da Eq. (1) é
e a solução geral é
( ) ( )∫∫ +−= dttyyW tgtytydttyyW tgtytytY )(, )()()()(, )()()()( 21122121
)()()()( 2211 tYtyctycty ++=
)2(0)()(
)1()()()(
=+′+′′
=+′+′′
ytqytpy
tgytqytpy
	Equações diferenciais não homogêneas 
	Teorema 1
	Teorema 2 (Solução geral)
	Método dos coeficientes indeterminados
	Exemplo 1: g(t) exponencial 
	Exemplo 2: Seno g(t), primeira tentativa (1 de 2)
	Exemplo 2: Seno g(t), solução particular (2 de 2)
	Exemplo 3: g(t) polinomial
	Exemplo 4: Produto de funções
	Discussão: Soma de g(t)
	Exemplo 5: Soma de g(t)
	Exemplo 6: Primeira tentativa (1 de 3)
	Exemplo 6: Solução homogênea (2 de 3)
	Exemplo 6: Solução particular (3 de 3)
	Método da variação de parâmetros
	Exemplo 7: Variação de parâmetros (1 de 6)
	Exemplo 7: Duas equações para u1 e u2 (2 de 6)
	Exemplo 7: As duas equações (3 de 6)
	Exemplo 7: Determinando u1' (4 de 6)
	Exemplo 7 : Determinando u1 e u2 (5 de 6)
	Exemplo 7: Solução geral (6 de 6)
	Variação de parâmetros para uma �EDO linear de segunda ordem arbitrária
	Teorema 3
	Equações diferenciais não homogêneas 
	Teorema 1
	Teorema 2 (Solução geral)
	Método dos coeficientes indeterminados
	Exemplo 1: g(t) exponencial 
	Exemplo 2: Seno g(t), primeira tentativa (1 de 2)
	Exemplo 2: Seno g(t), solução particular (2 de 2)
	Exemplo 3: g(t) polinomial
	Exemplo 4: Produto de funções
	Discussão: Soma de g(t)
	Exemplo 5: Soma de g(t)
	Exemplo 6: Primeira tentativa (1 de 3)
	Exemplo 6: Solução homogênea (2 de 3)
	Exemplo 6: Solução particular (3 de 3)
	Método da variação de parâmetros
	Exemplo 7: Variação de parâmetros (1 de 6)
	Exemplo 7: Duas equações para u1 e u2 (2 de 6)
	Exemplo 7: As duas equações (3 de 6)
	Exemplo 7: Determinando u1' (4 de 6)
	Exemplo 7 : Determinando u1 e u2 (5 de 6)
	Exemplo 7: Solução geral (6 de 6)
	Variação de parâmetros para uma �EDO linear de segunda ordem arbitrária
	Teorema 3