Equacoes Diferenciais Topico 3

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais – Tópico 3
• Equações de primeira ordem separáveis
• Exemplos
Equações de primeira ordem separáveis
0),(),( =+
dx
dyyxNyxM
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
,0)()( =+ dyyNdxxM
),( yxf
dx
dy =
{ Nesta apresentação nós examinaremos uma sub-classe de 
EDO de primeira ordem. Considere a seguinte equação:
{ Esta equação sempre pode ser escrita sob a forma
{ Por exemplo, M(x,y) = - f (x,y) e N (x,y) = 1. Pode existir
outras maneiras de separação. Na forma diferencial, 
{ Se M é função somente de x e N é função somente de y então, 
e neste caso, a equação é chamada de equação separável.
Exemplo 1: Resolvendo equações separáveis
1
1
2
2
−
+=
y
x
dx
dy
( ) ( )
( ) ( )
Cxxyy
Cxxyy
dxxdyy
dxxdyy
++=−
++=−
+=−
+=−
∫∫
33
3
1
3
1
11
11
33
33
22
22
{ Resolvendo a seguinte equação não linear:
{ Separando as variáveis e integrando, obtemos
{ A equação acima define a solução de y implicitamente. O 
gráfico mostra o campo de direções e várias soluções obtidas
de curvas integrais implícitas. 
Exemplo 2: Soluções implícitas e explícitas (1 de 4)
( )12
243 2
−
++=
y
xx
dx
dy
( ) ( )
( ) ( )
Cxxxyy
dxxxdyy
dxxxdyy
+++=−
++=−
++=−
∫∫
222
24312
24312
232
2
2
( ) ( )
'221
2
22442
0222
23
23
232
Cxxxy
Cxxx
yCxxxyy
+++±=
++++±=⇒=+++−−
{ Resolvendo a seguinte equação não linear:
{ Separando as variáveis e integrando, obtemos
{ A equação acima define a solução de y implicitamente, porém
neste caso, podemos determinar uma solução explícita. 
Exemplo 2: Problema de Valores Iniciais (2 de 4)
4''11
'221 23
=⇒±=−
+++±=
CC
Cxxxy
3)1(2)1(
222
2
232
=⇒=−−−
+++=−
CC
Cxxxyy
3222 232 +++=− xxxyy
4221 23 +++−= xxxy
{ Vamos determinar a solução que satisfaça a condição
y(0) = -1. Usando a expressão implícita temos:
{ Assim, a equação implícita define y como
{ Usando a expressão explícita de y, 
{ Segue que
Exemplo 2: Condição Inicial (3 de 4)
{ Note que se a condição inicial é y(0) = 3, então nós temos
que escolher o sinal positivo ao invés do negativo, no termo
de raiz quadrada.
4221 23 ++++= xxxy
{ Isto produz como solução a 
curva complementar (em verde) 
e estabelece um domínio
diferente para y.
Exemplo 2: Domínio (4 de 4)
{ Assim a solução para o problema de valor inicial
é dado por
(explicit) 4221
(implicit) 3222
23
232
+++−=
+++=−
xxxy
xxxyy
( ) ( ) ( )( )2212221 22 ++−=+++−= xxxxxy
( ) 1)0(,12
243 2 −=−
++= y
y
xx
dx
dy
{ Reciprocamente, o domínio de y pode ser estimado pela
localização de tangentes verticais no gráfico.
{ Para a representação explícita de y, temos que
e portanto o domínio de y é (-2, ∞). Note que x = -2 leva y = 1, 
o que torna o denominador dy/dx zero (tangente vertical). 
	Equações de primeira ordem separáveis
	Exemplo 1: Resolvendo equações separáveis
	Exemplo 2: Soluções implícitas e explícitas (1 de 4)
	Exemplo 2: Problema de Valores Iniciais (2 de 4)
	Exemplo 2: Condição Inicial (3 de 4)
	Exemplo 2: Domínio (4 de 4)