lista avaliativa . TEORIA DOS NUMEROS..pdf....respostas

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
ATIVIDADE AVALIATIVA II – TEORIA DOS NÚMEROS 
 
1. Determinar os inteiros positivos a e b sabendo: 
 
 a) ab = 4032 e o mmc(a; b) = 336. 
 
Solução: 
Temos mdc(a, b).mmc(a, b) = ab. Portanto, mdc(a, b) = 4032 : 336 = 12 
Como 12 é o mdc(a, b), a = 12x e b = 12y com x e y primos entre si. 
4032 = 12x.12y = 144xy  xy = 28  x = 1 e y = 28 ou x = 4 e y = 7. 
Assim, a = 12.1= 12 e b = 12.28 = 336 ou a = 12.4 = 48 e b = 12.7 = 84. 
Resposta: 12 e 336 ou 48 e 84 
 
 b) mdc(a; b) = 8 e o mmc(a; b) = 560. 
Solução: 
Sendo mdc(a, b) = 8 , a = 8.x e b = 8.y, com x e y primos entre si. 
mmc(a, b) . mdc(a, b) = 8.560 = 4480 
8x.8y = 4480  x.y = 70  x = 1 e y = 70, ou x = 2 e y = 35 ou x = 7 e y = 10 
ou x = 5 e y = 14. 
Para x = 1 e y = 70, a = 8.1= 8 e b = 8.70 = 560. 
Para x = 2 e y = 35, a = 8.2 = 16 e b = 8.35 = 270 
Para x = 7 e y = 10, a = 8.7 = 56 e b = 8.10 = 80 
Para x = 5 e y = 14, a = 8.5 = 40 e b = 8.14 = 112. 
Resposta: 8 e 560, ou 16 e 270, ou 56 e 80, ou 40 e 112. 
2. Determinar todos os primos p tais que 3p + 1 é um quadrado perfeito. 
Solução: 
Para p = 2, temos 3p + 1 = 3.2 + 1 = 7 que não é quadrado perfeito. 
Os demais primos são ímpares, portanto, 3p + 1 é par, pois 3p é ímpar. 
Temos (2k)
2
 = 4k
2
 = 3p + 1 ⇒ 4k2 – 1 = 3p. Ora, 4k2 – 1 = (2k + 1)(2k – 1) = 3p 
Como p é primo, (2k + 1)(2k – 1) somente admitem como fatores 3 e p. 
2 
 
Portanto, 2k + 1 = 3 ⇒ p = 2k – 1 = 1, solução que não tem validade pois 1 não é 
primo, ou 2k – 1 = 3 ⇒ p = 5. 
3. Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas 
lineares. 
 
a) 32x + 55y = 771 
 
Solução: 
mdc(32, 55) = 1 
55 = 32.1 + 23; 32 = 23.1 + 9; 23 = 9.2 + 5; 9 = 5.1 + 4; 5 = 4.1 + 1 
1 = 5 – 4.1 = 5 – (9 – 5.1).1 = 5.2 – 9.1 = (23 – 9.2).2 – 9.1 = 
= 23.2 – 9.5 = 23.2 – (32 – 23.1)5 = 
= 23.7 – 32.5 = (55 – 32.1).7 – 32.5 = 32.(-12) + 55(7) 
771 = 771.1 = 32(-12.771) + 55.(771.7) = 32.(-9252) + 55(5397) 
Solução geral: x = -9252 + (55/1)t = -9252 + 55t e y = 5397 – (32/1)t = 5397 – 
32t 
Para soluções positivas -9252 + 55t > 0 ⇒ t > 168 e 5397 – 32t > 0 ⇒ t < 168 ⇒ 
não é possível. Portanto, não existem soluções positivas. 
 
b) 123x + 360y = 99; 
123x + 360y = 99. Resposta: Não tem soluções positivas. 
 
 4. Resolver as seguintes congruências lineares: 
 
a) 6x 15(mod21): 
 
Solução: 
Equação correspondente: 6x – 21y = 15. mdc(6, 21) = 3 (3 soluções) 
Solução particular x = -1 e y = -1. Outras soluções: x = -1 + (-21/3)t = -1 – 7t ⇒ 
x ≡ -1 (mod.7) ⇒ x ≡ - 1 ≡ -1 + 7 = 6, x ≡ 6 + 7 = 13 e x ≡ 13 + 7 = 
20 (mod.21) Observe que foram somados 7 unidades a cada uma dos valores 
para x até atingir o maior inteiro possível, menor que 21. Resposta:- x ≡ 6, 13 e 
20 (mod.21) 
b) 36x 8 (mod.102) 
 
Solução: 
Equação correspondente: 36x – 102y = 8 
mdc(36, 102) = 6. Como 8 não é múltiplo de 6, a equação não tem solução. 
5. Resolver por congruências as seguintes equações diofantinas: 
a) 12x + 25y = 331: 
3 
 
 
Solução: 
Mdc(12, 25) = 1. 12x ≡ 331 (mod.25) . Como 331 = 25.13 + 6, 331 ≡ 6 
(mod.25). 
Procurando um múltiplo de 12 que seja congruente com 6 
mod(25) encontraremos 25.6 + 6 = 156. Portanto, 12x ≡ 156 (mod. 25) ⇔ x ≡ 
13 (mod. 25) . 
Fazendo x = 13, teremos y = (331 – 12.13)/25 = 175/25 = 7. 
A solução geral será: x = 13 + (25/1)t = 13 + 25t e y = 7 – (12/1)t = 7 – 12t 
b) 4x + 51y = 9; 
Solução: 
Mdc(4, 51) = 1 
4x ≡ 9 (mod.51). Como 4 | 9 e 9 + 51 = 60 ≡ 9 (mod. 51) podemos fazer: 
4x ≡ 60 ≡ x ≡ 15 (mod. 51) 
Tomando x = 15, obtém-se 4.15 + 51y = 9 ≡ y = (9 – 60)/51 = -1. 
Soluções gerais x = 15 + (51/1)t = 15 + 51t y = -1 – (4/1)t = -1 – 4t. 
 
Resposta: x = 15 + 51t e y = -1 – 4t. Poderíamos também tomar 51y ≡ 9 
(mod.4). Como 51 = 4.12 + 3 ≡ 3 (mod. 4). Assim, 51y ≡ 3y ≡ 9 ≡ y ≡ 3 (mod. 
4). Tomando y = 3, teremos 4x + 51.3 = 9 ≡ x = (9 – 51.3)/4 = -144/4 = - 36. 
Neste caso as soluções seriam: x = -36 + (51/1)t = -36 + 51t e y = 3 – (4/1)t = 
3 – 4t.