Fórum de Discussão C

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Caros alunos,
Estamos de volta a mais um fórum de discussão. O tema a ser abordado é a interpolação polinomial.
Considere que em uma experiência num laboratório um aluno de engenharia encontrou três pontos que descrevem um fenômeno físico regido por um polinômio do segundo grau. Os pontos são: (0; 6); (1;2) e (-1; 12). Determine o polinômio interpolador destes pontos utilizando os métodos de Newton e Lagrange.
Aguardo a participação de todos.
Att,
Professor Júlio César
Boa tarde Professor,
Seguem abaixo as resoluções:
Método de Newton:
Xi        0    1   -1
f(Xi)   6    2    12
X0=0, X1=1 e X2=-1, f(X0)=6, f(X1)=2 e f(X2)=12
n = 2 (Ordem)
f[X0] = f(0) = 6
f[X0,X1] = (f(X1)-f(X0))/(X1-X0) = (f(1)-f(0))/(1-0) = -4
f[X1,X2] = (f(X2)-f(X1))/(X2-X1) = (f(-1)-f(1))/(-1-1) = -5
f[X0,X1,X2] = (f[X1,X2]-f[X0,X1])/(X2-X0) = (f[1,-1]-f[0,1])/(-1-0) = 1
P2(X) = f(X0) + (X-X0).f[X0,X1] + (X-X0).(X-X1).f[X0,X1,X2]
P2(X) = f(0) + (X-0). f[0,1] + (X-0)(X-1). f[0,1,-1]	P2(X) = x²-5x+6
Método de Lagrange:
Xi        0    1   -1
f(Xi)   6    2    12
X0=0, X1=1 e X2=-1, f(X0)=6, f(X1)=2 e f(X2)=12
L0(X) = (X-1).(X+1)/(0-1).(0+1) = -X²+1
L1(X) = (X-0).(X+1)/(1-0).(1+1) = (X²+X)/2
L2(X) = (X-0).(X-1)/(-1-0).(-1-1) = (X²-X)/2
P(x) = ∑ i=0 até n [Li(x). f(xi)]	P(x) = (-x²+1)(6)+((x²+x)/2).(2)+((x²-x)/2).(12) = x²-5x+6
Outras respostas:
Método de Lagrange:
Xi        0    1   -1
F(Xi)   6    2    12
Pontos: X0=0, X1=1 e X2=2, F(X0)=6, F(X1)=2 e F(X2)=12
L0(X) = (X-1)(X+1)/(0-1)(0+1) = -X²+1
L1(X) = (X-0)(X+1)/(1-0)(1+1) = X²+X/2
 
L1(X) = (X-0)(X-1)/(-1-0)(-1-1) = X²-X/2
 
Substituindo os valores de L0(x),L1(x) e L2(x) na fórmula de P(X)= Somatório i=0 até n Li(x). F(xi), temos:
P(x) = -x²+1(6)+x²+x/2(2)+x²-x/2(12) = x²-5x+6
Método de Newton:
Usando os mesmos pontos, temos:
n=2
F[XO] = F(X0) = F(0) = 6
F[X0,X1] = F(X1)-F(X0)/X1-X0 = F(1)-F(0)/1-0 = 2-6/1 = -4
F[X1,X2] = F(X2)-F(X1)/X2-X1 = F(-1)-F(1)/(-1-1) = 12-2/-2 = -5
F[X0,X1,X2] = F[X1,X2]-F[X0,X1]/X2-X0 = -5+4/-1 = 1
Substituindo na fórmula genérica temos:
P2(X) = F(0) + (X-0). F[0,1] + (X-0)(X-1). F[0,1,-1]
P2(X) = 6 - 4X +X(X-1).1
P2(X) = X²-5X+6
Boa tarde Professor,
Método de Lagrange:
Xi 0 1 -1
F(Xi) 6 2 12
X0=0, X1=1 e X2=2, F(X0)=6, F(X1)=2 e F(X2)=12
L0(X) = (X-1)(X+1)/(0-1)(0+1) = -X²+1
L1(X) = (X-0)(X+1)/(1-0)(1+1) = X²+X/2
L1(X) = (X-0)(X-1)/(-1-0)(-1-1) = X²-X/2
P(x) = -x²+1(6)+x²+x/2(2)+x²-x/2(12) = x²-5x+6
Método de Newton:
n=2
F[XO] = F(X0) = F(0) = 6
F[X0,X1] = F(X1)-F(X0)/X1-X0 = F(1)-F(0)/1-0 = 2-6/1 = -4
F[X1,X2] = F(X2)-F(X1)/X2-X1 = F(-1)-F(1)/(-1-1) = 12-2/-2 = -5
F[X0,X1,X2] = F[X1,X2]-F[X0,X1]/X2-X0 = -5+4/-1 = 1
P2(X) = F(0) + (X-0). F[0,1] + (X-0)(X-1). F[0,1,-1]
P2(X) = 6 - 4X +X(X-1).1
P2(X) = X²-5X+6