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Sistema de Equações lineares Métodos Diretos - São aqueles que fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de arredondamento. Dentre eles: Método de Gauss-Jordan e Método da Decomposição LU. Método de Gauss-Jordan - Consiste em gerar uma matriz diagonal (elementos que não pertencem à diagonal principal, iguais a zero); Operações elementares serão efetuadas com as linhas / colunas; Não é iterativo e sim um método direto pois conduz à solução exata a menos de erros de arredondamento, introduzidos pela máquina, após um número finito de passos. Escalonamento de sistemas lineares: ��� A primeira linha deve manter apenas o “x”, a segunda linha apenas o “y” e a terceira linha apenas o “z”; Para eliminarmos o “2x” da segunda linha podemos multiplicar a primeira linha por (-2): Para eliminarmos o “3x” da terceira linha podemos multiplicar a primeira linha por (-3): � Sistema com as modificações: � Com operações semelhantes eliminamos: “y” e “z” da primeira linha; “z” da segunda linha; “y” da terceira linha. � REPOSTA: x =1 , y = 2 e z = 4 Método da Decomposição LU ou Fatoração LU – Trabalharemos com a matriz escrita na forma Ax = B. O processo de decomposição LU consiste em decompor a matriz A (matriz dos coeficientes) em um produto de dois ou mais fatores, e, em seguida, resolver uma sequência de sistemas lineares que levará a solução do sistema original. Então, teremos A = LU; onde L é uma matriz triangular inferior de ordem m x n com diagonal principal contendo apenas 1’s, e U é uma matriz de ordem m x n que é da forma escalonada reduzida de A. Métodos Iterativos – Consiste em generalizar o procedimento na busca de raiz(es) de uma equação, sendo denominado iterativo quando fornece uma sequência de soluções aproximadas, onde cada solução aproximada é obtida utilizando a solução encontrada na sequência anterior pela aplicação de um mesmo procedimento. Método de Gauss-Jacobi - Considere um sistema linear com “n” equações e “n” incógnitas; Método iterativo que consiste em uma solução inicial (x(0), y(0), z(0)...) que será substituída na expressão de recorrência e testada segundo um critério de parada; Fórmula de recorrência: � Critério de parada: O número de iterações; Erro relativo � Teste de convergência do método: se o sistema linear satisfaz o critério das linhas então o método de Gauss-Jacobi converge. � Exemplo: Avalie a convergência do método de Gauss-Jacobi para o sistema linear abaixo � � Como amáximo = 0,5 < 1, há convergência. � � Exemplo: Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com precisão de 0,01. � Convergência: � Convergência após mudança de linhas: � Como amáximo = 0,40 < 1, há convergência. Fórmulas de recorrência: � Valores iniciais: x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 0; Iterações: Primeira: Segunda: Terceira: Quarta: Quinta: � � � � � Método de Gauss-Seidel - É semelhante ao método de Jacobi, ou seja, transforma o sistema linear AX= B em X=CX+G por separação da diagonal. 1a Questão (Ref.: 201309208740) No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos: não há diferença em relação às respostas encontradas. o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. no método direto o número de iterações é um fator limitante. os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema. 2a Questão (Ref.: 201309166734) Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor: 1,5 -0,5 0 1 0,5
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