ListaProblemasOtimização#01

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CETEC – CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Professora Ruth Exalta da Silva 
4x cm 
12 cm 
a) Qual o valor máximo que x pode assumir? 
b) Nesse caso, qual a área da região em destaque? 
 
x cm 
x 
x 
x 
x 
x 
x x 
x 
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Problemas de Otimização – Lista # 01 
 
01. Em um pomar em que existiam 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600 laranjas por ano, 
foram plantadas x novas laranjeiras. Depois de um certo tempo constatou-se que, devido à 
competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produzindo 
10 laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no pomar. Se f(x) é a 
produção anual do pomar, determine quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas 
para que o pomar tenha produção máxima? E qual o valor desta Produção? 
 
02. Sabe-se que o lucro total de uma empresa L = R – C, em que L é o lucro total , R é a receita 
total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se 
R(x) = 6 000x – x2 e C(x) = x2 – 2 000x. Nessas condições, qual deve ser a produção x e o 
lucro L(x) para que o lucro da empresa seja máximo? Qual o valor do Lucro Total? 
 
 
03. Observe o retângulo mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
04. Dispõe-se de uma folha de papel retangular, medindo 20 cm de largura por 24 cm de 
comprimento. Deseja-se recortar em cada quina da folha quatro quadrados iguais, conforme 
mostra a figura abaixo. Quanto deve medir o lado de cada quadrado para que a área da região 
hachurada seja máxima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. Um poço de petróleo no mar está em um ponto W a 3
3
 Km do ponto A mais próximo, em 
uma praia em linha reta. O petróleo é bombeado de W até o ponto B na praia a 11 Km de A 
da seguinte forma: de W até um ponto P na praia que se encontra entre A e B sob a água, e de 
P até B através de uma tubulação colocada ao longo da praria. Se o custo em dólares for em 
dólares 1 000 000 por Km sob a água e de 500 000 por Km por terra. Onde P deve estar 
localizado para minimizar o custo? Qual é esse custo? 
 
 
06. De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha 
dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de 
cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima? 
 
07. Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x reproduções 
(manuais) de uma mesa colonial é dado por C(x) = x3 – 3x2 – 80x + 500. Cada mesa é 
vendida por R$ 2 800,00. Qual o máximo lucro semanal possível? 
 
08. Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em um 
cone de 12 cm de altura e com 4 cm de raio da base, se os eixos do cilindro e do cone 
coincidem. 
 
 
 
 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Professora Ruth Exalta da Silva 
 
8 Km 
3 Km 
A 
B 
C 
D 
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09. Os técnicos de uma fábrica de automóveis fizeram diversos testes com um de seus 
carros populares para examinar o consumo de gasolina. O carro percorria 100 Km em 
uma estrada plana, com velocidade constante. O percurso foi feito muitas vezes e, a 
cada vez, usou–se uma velocidade diferente. No final de cada viagem, os técnicos 
verificaram a quantidade de combustível gasta e observaram que o consumo não se 
mantinha o mesmo, pois era função da velocidade. A conclusão foi a seguinte: para 
velocidade entre 40 Km/h e 120 Km/h, o consumo de combustível desse carro é dado 
por y = 0,005v2 – 0,6v + 26, onde v é a velocidade em Km/hora e y é o consumo em 
litros de gasolina gastos para percorrer 100 Km. 
 
a) Qual deverá ser a velocidade que deveremos andar com esse carro, para que o 
consumo de combustível seja mínimo? 
b) Qual o consumo mínimo? 
c) Qual o consumo de combustível para a velocidade de 50 Km/h? 
d) Qual o consumo de combustível para a velocidade de 70 Km/h? 
e) Qual o consumo de combustível para a velocidade de 80 Km/h? 
10. Um cartaz deve conter 50 cm2 de matéria impressa com duas margens de 4 cm em 
cima e embaixo e duas margens laterais de 2 cm cada. Determine as dimensões 
externas do cartaz de modo que a sua área total seja mínima. 
 
11. Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900m de 
largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000m rio abaixo. O custo para 
estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estendê-lo por 
terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo? 
 
 
12. Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com largura de 
3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem, 8 km 
rio abaixo (veja figura ao lado). Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C 
e então seguir andando para B, ou remar por algum ponto D entre C e B e então andar 
até B. Se ele pode remar a 6 km/h a andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para 
atingir B o mais rápido possível? (Estamos supondo que a velocidade da água é 
desprezível comparada com a velocidade na qual o homem rema.) 
 
 
13. Uma lata cilíndrica fechada pode conter 1 litro de líquido. Como poderíamos escolher 
a altura e o raio para minimizar o material utilizado na confecção da lata? 
 
14. Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm 
de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da 
cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o 
tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa com volume máximo. 
 
15. Deseja-se construir um canal, cuja seção transversal é um trapézio, a base menor e as 
paredes laterais possuem dimensões fixas igual a x. Calcule o ângulo de inclinação 
das paredes laterais para que o canal tenha a vazão máxima?