ListaProblemasOtimização#02

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1/5 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Professora Ruth Exalta da Silva 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
A 
B 
C 
 
 
OTIMIZAÇÃO – PROBLEMAS – Lista # 02 
1) Deseja-se construir uma sala retangular que tenha 256 m2 de área. Quais devem ser as 
dimensões da sala para que o seu perímetro seja o menor possível? 
2) Determine, se existir, um número positivo tal que a soma de seu cubo com quatro vezes o 
inverso de seu quadrado seja o menor possível. 
 
3) Um fazendeiro tem 24 m de cerca para construir três galpões retangulares adjacentes (de 
mesma área), conforme a figura a seguir. Quais devem ser as dimensões totais dos galpões 
de modo a maximizar sua área total? 
 
 
4) Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto de altura h e raio r uma 
semiesfera também de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja de 5 cm2: 
Determine os valores de r e h para que o sólido tenha volume máximo. 
 
5) Um arame de comprimento 12 m é cortado em dois pedaços, sendo que um pedaço é 
dobrado em forma de quadrado cujo lado é x; e o outro pedaço é dobrado em forma de 
círculo cujo raio é r: Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas 
pelos dois pedaços seja máxima? 
 
6) Há várias semanas o Departamento de Estradas vem registrando velocidade do tráfego 
fluindo numa rodovia após uma saída. Os dados sugerem que a velocidade do tráfego na 
saída é aproximadamente v(t) = t3 – 10,5t2 + 30t + 20 km/h, onde t é o número de horas após 
o meio dia. A que horas entre 13 e 18 horas, o tráfego se move mais rápido e a que horas ele 
se move mais lentamente? Qual a velocidade em cada instante? 
 
7) Considere o retângulo, da figura a seguir, cujo perímetro é 16 cm. Determine os lados do 
retângulo para que a área do triângulo ABC seja a maior possível. 
 
 
 
 
 
 
 
2/5 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Professora Ruth Exalta da Silva 
B 
A 
10 Km 
Estação de 
Bombeamento 
5 Km 
2 Km 
x 
x 
8) Duas cidades estão localizadas ao sul de um rio conforme a figura a seguir. Uma estação 
bombeadora de água será instalada para abastecer as duas cidades. A tubulação seguirá em 
linha reta ligando cada cidade à estação. Determine o ponto onde a estação bombeadora 
deverá ser instalada para minimizar o custo da tubulação. 
 
 
 
 
 
 
9) Uma pista de atletismo com comprimento total 400 m, consiste em dois semicírculos e dois 
segmentos retos, conforme a figura a seguir. Determine as dimensões da pista de tal forma 
que a área retangular, demarcada na figura, seja máxima. 
 
 
 
 
10) No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado "fator de arraste", isto é, a 
força de freagem exercida pelo ar sobre o avião. Um modelo mede o arraste por uma função 
definida por F(v) = Av2 + 
2v
B
; onde A e B são constantes positivas. Descobre-se 
experimentalmente que o arraste é minimizado quando v = 160 mph. Use esta informação 
para determinar a razão 
A
B
. 
11) Um recipiente com a forma de um paralelepípedo de base quadrada tem um volume de 
24000 cm3. Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, 
determine as dimensões do recipiente de menor custo possível. 
 
12) Considere um trapézio isósceles com 50 cm2 de área. Sabendo-se que Ө = 30º é um dos 
ângulos da base, determine a medida lateral para que o perímetro seja mínimo. 
3/5 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Professora Ruth Exalta da Silva 
x 
x 
y y 
y
256
 
x 
x x 
x 
y y 
x 
x 
y y P = 4y + 6x 4y + 6x = 24 
3
y212
x


 
h 
RESOLUÇÃO OTIMIZAÇÃO PROBLEMAS 
1) 
 Área A = 256 m2 A = xy xy = 256 x = 
 
 Perímetro: P = 2x + 2y P = 2(x + y) 






 y
y
256
 
 Derivando o perímetro: P’ = – 2






 1
y
256
2
 P’ = 0 – 2






 1
y
256
2
 = 0 
 y = 16 m Substituindo temos x = 16 m. 
 
2) Número x N = x3 + 
2x
1
4
 N’ = 3x2 – 
3x
8
 3x2 – 
3x
8
= 0 x = 
5
3
8 
3) 
 
 A = 3xy 
2y2y12Ay
3
)y212(
3A 


 
 A’ = (12 – 4y) (12 – 4y) = 0 y = 3 m Substituindo temos x = 2 m 
4) Área A = 2πrh + 2πr2 + πr2 A = 2πrh + 3πr2 2πrh + 3πr2 = 5π 
 2πrh + 3πr2 = 5π 
r2
r35
h
2

 
 Volume V = 







 









r2
r35
r
3
r2
Vhrr
3
4
2
1 22
3
23
 
 V = 
3r
6
5
r
2
5 


 
 V’ = 
cm1hecm1r0r
2
5
2
5
r
2
5
2
5
'Vr
2
9
2
5 222 











 
5) Perímetro P = 4x + 2πr 4x + 2πr = 12 r = 

 x26
 
 Área A = x2 + πr2 A = x2 + π 2x26







 A = x
2 + 
)xx69(
4 2

 
 A’ = 2x + 
)x26(
4


 2x + 
)x26(
4


 = 0 x = 
4
12
 e y = 
4
6
 
r 
4/5 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Professora Ruth Exalta da Silva 
2 5 
x 
x 
y A 
B 
C 
P = 2x + 2y P = 2(x + y) 2(x + y) = 16 
x = 8 – y 
B 
A 
10 Km 
Estação de 
Bombeamento 
5 Km 
2 Km 
v(2) = 46 Km/h v(5) = 32,5 Km/h 
+ + + + + – – – 
 2 
Máx 
 5 
Mín 
10 – x x 
z 
w 
6) v(t) = t3 – 
2t
2
21
 + 30t + 20 v’(t) = 3t2 – 21t + 30 3t2 – 21t + 30 = 0 
 t = 2 e t = 5 Rápido 14 horas Lento 17 horas 
 
7) 
 
 
 Área A = 
y4)y28(
2
1
'A)yy8(
2
1
A
2
y)y8(
2
yx 2 



 
 4 – y = 0 y = 4 cm e x = 4 cm 
8) 
 
z = 
25x2 
 
w = 
4)x10( 2 
 
 
Custo C = zp + wp, onde p = preço C = p(z + w) 
 C = p
 4)x10(25x 22 
 
 C’ = p











 4)x10(
x10
25x
x
22
 p











 4)x10(
x10
25x
x
22
 = 0 
 Temos 21x2 – 500x + 2500 = 0 x = 7,14 Km 
9) Perímetro P = 2πr + 2x = 400 r = 


2
x2400
 r = 

 x200
 
 Área A = 2rx A = 
x
x200
2 



 A = 
 2x2x4001 

 
 A’ = 
 x44001 

 
 x44001 

 = 0 x = 100 m e r = 

100
 
z2 = x2 + 25 
w2 = (10 – x) 2 + 4 
5/5 CET 007 – CálculoDiferencial e Integral 
Professora Ruth Exalta da Silva 
x 
x 
h 
Preço p 
Ө 
(y)cos(Ө) 
h = (y)sen(Ө) y y h = y x ½ 
2
3
y
 
Área A = 
2
2
y
)xy3x(  
Área A = 50 cm2 
 
12) Base Maior 
 
Base Menor 
 x 
 
x 
10) F(v) = Av2 + 
2v
B
 
 F’(v) = 2Av – 2
3v
B
 2Av – 2
3v
B
= 0 
4v
1
B
A

 
4160
A
B

 
11) 
 V = 24 000 cm2 V = x2 h h = 
2x
24000
 
 p → lados 
 3p → base e a tampa 
 Área A = 2(x2) + 4(x)(h) 
 Custo C = 2(x2)(3p) + 4(x)(h)(p) C = p[6(x2) + 4(x)(h)] C = 







2
2
x
24000
)x4(x6p
 
 C = 







x
96000
x6p 2
 Derivando C’ = 







2x
96000
x12p
 







2x
96000
x12p
 = 0 
 x3 = 8000 x = 20 cm e h = 60 cm 
 
 
 
 
 Área = 
h
2
)MenorBaseMaiorBase(


 
 Base Maior = x + 2








y
2
3 = x + 
y3 
 
 
2
2
y
)xy3x(  = 50 2xy + 
3
y2 = 200 x = 
y2
y3200 2 
Perímetro P = x + 
y3 
 + x + 2y = 2x +
y3 
+ 2y P = 
y3y2
y2
y3200
2
2







  
 P’ = 
2
y
200
2

 
2
y
200
2

= 0 y2 = 100 y = 10 cm