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Análise Combinatória Aula 01 Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Abril/2014 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Sumário 1 Princípio fundamental da contagem 2 Fatorial 3 Arranjo simples 4 Permutação simples 5 Permutação com repetição 6 Combinação simples 7 Combinações condicionadas Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 2/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Situação 01 Um tabuleiro especial de xadrez que possui 16 casas, dispostas em 4 linhas e 4 colunas.Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as peças poderão ser colocadas? Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 3/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Acontecimento - Número de Linhas Possíveis 1 Posicionamento da 1a peça - 4 2 Posicionamento da 2a peça - 3 3 Posicionamento da 3a peça - 2 4 Posicionamento da 4a peça - 1 Pelo princípio fundamental da contagem: Possibilidades nas Linhas = 4.3.2.1 = 24 Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 4/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Acontecimento - Número de Linhas Possíveis 1 Posicionamento da 1a peça - 4 2 Posicionamento da 2a peça - 3 3 Posicionamento da 3a peça - 2 4 Posicionamento da 4a peça - 1 Pelo princípio fundamental da contagem: Possibilidades nas Linhas = 4.3.2.1 = 24 Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 4/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Acontecimento - Número de Linhas Possíveis 1 Posicionamento da 1a peça - 4 2 Posicionamento da 2a peça - 3 3 Posicionamento da 3a peça - 2 4 Posicionamento da 4a peça - 1 Pelo princípio fundamental da contagem: Possibilidades nas Linhas = 4.3.2.1 = 24 Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 4/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Acontecimento - Número de Colunas Possíveis 1 Posicionamento da 1a peça - 4 2 Posicionamento da 2a peça - 3 3 Posicionamento da 3a peça - 2 4 Posicionamento da 4a peça - 1 Pelo princípio fundamental da contagem: Possibilidades nas colunas = 4.3.2.1 = 24 Total: 24x24=576 Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 5/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Acontecimento - Número de Colunas Possíveis 1 Posicionamento da 1a peça - 4 2 Posicionamento da 2a peça - 3 3 Posicionamento da 3a peça - 2 4 Posicionamento da 4a peça - 1 Pelo princípio fundamental da contagem: Possibilidades nas colunas = 4.3.2.1 = 24 Total: 24x24=576 Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 5/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Princípio fundamental da contagem Se um acontecimento pode ocorrer em várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: n1 é o no de possibilidades na 1a etapa n2 é o no de possibilidades na 2a etapa ... nk é o no de possibilidades na k-ésima etapa Então o número total de um acontecimento ocorrer é n1 × n2 × · · · × nk Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 6/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Princípio fundamental da contagem Se um acontecimento pode ocorrer em várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: n1 é o no de possibilidades na 1a etapa n2 é o no de possibilidades na 2a etapa ... nk é o no de possibilidades na k-ésima etapa Então o número total de um acontecimento ocorrer é n1 × n2 × · · · × nk Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 6/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Situação 02 Supondo agora o mesmo tabuleiro anterior. Se eu puder colocar 4 moedas em qualquer lugar não ocupado, de quantas formas eu posso colocar as 4 moedas no tabuleiro? Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 7/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Fatorial Sendo n um número inteiro, maior que 1, denominamos fatorial de n, indicando por n! a expressão n! = n × (n − 1)× (n − 2)× · · · × 3× 2× 1 1! = 1 e 0! = 1 Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 8/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Arranjo simples Arranjo simples de n elementos tomados r a p, onde n ≥ 1 e p é um número natural, é qualquer ordenação de p elementos dentre os n elementos, em que cada maneira de tomar os elementos se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos. A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada por: Anp = n! (n−p)! Onde n é o total de elementos e p o número de elementos escolhidos. Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 9/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Arranjo simples Arranjo simples de n elementos tomados r a p, onde n ≥ 1 e p é um número natural, é qualquer ordenação de p elementos dentre os n elementos, em que cada maneira de tomar os elementos se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos. A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada por: Anp = n! (n−p)! Onde n é o total de elementos e p o número de elementos escolhidos. Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 9/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1 3 5 ? Quantos números entre mil e oito mil podemos formar com os algarismos ímpares sem os repetir? Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 10/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1 3 5 ? Quantos números entre mil e oito mil podemos formar com os algarismos ímpares sem os repetir? Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 10/17Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Permutação simples Seja um conjunto com n elementos, o total de grupos formados por esses elementos agrupados a a n, onde cada grupo difere do outro pela mudança da ordem dos elementos dá-se o nome de permutação. Pn= n! (n−n)! = n! Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 11/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Permutação simples Seja um conjunto com n elementos, o total de grupos formados por esses elementos agrupados a a n, onde cada grupo difere do outro pela mudança da ordem dos elementos dá-se o nome de permutação. Pn= n! (n−n)! = n! Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 11/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 2 3 4 ? Quantos anagramas podemos formar com a palavra MITO? Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 12/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 2 3 4 ? Quantos anagramas podemos formar com a palavra MITO? Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 12/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Permutação com repetição Se algum dos elementos a serem arranjados na ordem forem iguais, o número de permutações é dado por: Pnn1,n2,... = n! n1n2...! Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 13/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Permutação com repetição Se algum dos elementos a serem arranjados na ordem forem iguais, o número de permutações é dado por: Pnn1,n2,... = n! n1n2...! Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 13/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ABA ? Quantos números de 8 algarismos podemos escrever utilizando quatro vezes o algarismo 1, três vezes o algarismo 5 e uma vez o algarismo 2? Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 14/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ABA ? Quantos números de 8 algarismos podemos escrever utilizando quatro vezes o algarismo 1, três vezes o algarismo 5 e uma vez o algarismo 2? Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 14/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Combinação simples Seja uma conjunto com n elementos distintos, ao total dos grupos formados com esses n elementos agrupados r a r, com r ≤ n, onde cada grupo difere de outro apenas pela natureza de seus elemntos, chamamos de combinação simples dos n elementos agrupados r a r. Cnr = n! r !(n−r)! Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 15/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Combinação simples Seja uma conjunto com n elementos distintos, ao total dos grupos formados com esses n elementos agrupados r a r, com r ≤ n, onde cada grupo difere de outro apenas pela natureza de seus elemntos, chamamos de combinação simples dos n elementos agrupados r a r. Cnr = n! r !(n−r)! Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 15/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Combinações condicionadas Seja uma conjunto A = {a1, a2, . . . , an} onde existem k elementos determinados. o número de combinações destes n elementos agrupados r a r - Cnr = n! r !(n−r)! o número de combinações onde não figuram os k elementos determinados, então - Cn−kr = (n−k)! r !(n−k−r)! o número de combinações onde figuram os k elementos determinados, então - Cn−kr−k = (n−k)! (r−k)!(n−r)! Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 16/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas Combinações condicionadas Seja uma conjunto A = {a1, a2, . . . , an} onde existem k elementos determinados. o número de combinações destes n elementos agrupados r a r - Cnr = n! r !(n−r)! o número de combinações onde não figuram os k elementos determinados, então - Cn−kr = (n−k)! r !(n−k−r)! o número de combinações onde figuram os k elementos determinados, então - Cn−kr−k = (n−k)! (r−k)!(n−r)! Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 16/17 Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo simples Permutação simples Permutação com repetição Combinação simples Combinações condicionadas
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