AL_cap_02

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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR 
 
CAPÍTULO 2 
ESPAÇOS VETORIAIS 
 
1 CORPO 
 
Definição: Um conjunto K, munido com duas operações: uma adição (+) e uma multiplicação (·), é 
um corpo (cujos elementos são chamados de escalares), se ele é um subconjunto do 
complexos e satisfaz, para Kz,y,x ∈∀ : 
Adição 
A1) Kyx ∈+ (fechamento) 
A2) xyyx +=+ (comutativa) 
A3) z)yx()zy(x ++=++ (associativa) 
A4) xxxxx/Kx
***
=+=+∈∃ (elemento neutro) 
A5) 
*^^^
xxxxxx/Kx =+=+∈∃ (elemento oposto ou simétrico) 
Multiplicação 
M1) Kyx ∈⋅ (fechamento) 
M2) xyyx ⋅=⋅ (comutativa) 
M3) z)yx()zy(x ⋅⋅=⋅⋅ (associativa) 
M4) xxxxx/Kx
~~~
=⋅=⋅∈∃ (elemento neutro) 
M5) 
~
xxxxx/Kx =⋅=⋅∈∃ (elemento inverso) 
 
Exemplo (1): Conjuntos que são copos: 
a) (�,+,·) = conjunto dos números complexos com as operações usuais de adição e multiplicação. 
b) (�,+,·) = conjunto dos números reais com as operações usuais de adição e multiplicação. 
c) (�,+,·) = conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação. 
Exemplo (2): Conjuntos que não são corpos: 
a) (�,+,·) = conjunto dos números inteiros com as operações usuais de adição e multiplicação. 
b) (�,+,·) = conjunto dos números naturais com as operações usuais de adição e multiplicação. 
 20 
2 ESPAÇO VETORIAL 
 
Definição: Um conjunto V, não vazio, munido com duas operações: uma adição (+) e um produto 
por escalar (·), é um espaço vetorial sobre um corpo K, se para Vw,v,u ∈∀ e 
K, ∈βα∀ , ele satisfaz as seguintes propriedades: 
 
Adição 
A1) uvvu +=+ (comutativa) 
A2) w)vu()wv(u ++=++ (associativa) 
A3) uuuuu/Vu
***
=+=+∈∃ (elemento neutro) 
A5) 
*^^^
uuuuu/Vu =+=+∈∃ (elemento oposto ou simétrico) 
 
Produto por escalar 
P1) u)()u( ⋅βα=⋅α⋅β 
P2) vu)vu( ⋅α+⋅α=+⋅α 
P3) uuu)( ⋅β+⋅α=⋅β+α 
P4) uu1 =⋅ 
 
OBS: Os elementos de um espaço vetorial V são chamados de vetores. Quando nada for dito, 
vamos sempre considerar o corpo K com sendo o conjunto dos números reais. 
 
 
Exemplo (3): Conjuntos que são espaços vetoriais: 
a) (ℜℜℜℜ2,+,·) = o plano com as operações usuais de adição vetorial e produto por escalar. 
b) ( ℜℜℜℜ3,+,·) = o espaço com as operações usuais de adição vetorial e produto por escalar. 
c) ( Pn(ℜℜℜℜ),+,·) = conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes 
reais, com as operações usuais de adição e produto por escalar. 
d) ( Mmxn(ℜℜℜℜ),+,·) = conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e elementos reais, com as 
operações usuais de adição e produto por escalar. 
e) (����,+,·) = conjunto de todas as funções reais de uma variável real com as operações usuais de 
adição e produto por escalar. 
 21 
 
� Propriedades dos espaços vetoriais: 
Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Então: 
a) O vetor nulo, denotado por 0, é único. 
b) Vv,0v0 ∈∀=⋅ 
c) K,00 ∈α∀=⋅α 
d) Vw,v,u,wvwuvu ∈∀=⇒+=+ (lei do cancelamento) 
e) Vv,v)1(v ∈∀⋅−=− 
f) KeVv,0v0e0vse ∈α∀∈∀=⇒≠α=⋅α 
 
� O Espaço Vetorial ℜℜℜℜn 
O espaço vetorial { }ℜ∈=ℜ n21n21n x,...,x,x/)x,...,x,x( , sobre o corpo dos 
reais, é o conjunto de todas as n-úplas de números reais, munido com as operações de adição 
vetorial e produto por escalar definidas por: 
Adição vetorial: 
n
n212n211 )y,...,y,y(ve)x,...,x,x(v ℜ∈==∀ então 
)yx,...,yx,yx(vv nn221121 +++=+ 
Produto por escalar: 
ℜ∈α∀ℜ∈=∀ e)x,...,x,x(v nn21 então )x,...,x,x(v n21 ααα=⋅α 
 
OBS: Os únicos espaços vetoriais que possuem visão geométrica são ℜ, ℜ2 e ℜ3. 
 
 
3 Subespaço Vetorial 
 
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto W⊆V é um subespaço 
vetorial de V se: 
a) W0 ∈ (ou seja, o elemento zero do espaço V pertence a W) 
b) Wwew,Www 2121 ∈∀∈+ 
c) KeWw,Ww ∈α∀∈∀∈⋅α 
 
Exemplo (4): Seja V um espaço vetorial qualquer. São considerados subespaços triviais: 
 22 
a) W = V b) W = {0}, ou seja, o espaço nulo. 
Exemplo (5): Mostre que toda reta passando pela origem é um subespaço do ℜ2. 
Solução: Seja { }0mcom,mxy/)y,x(W 2 ≠=ℜ∈= , ou seja, W é uma reta passado pela 
origem. Então todo vetor de W se escreve com )mx,x( . Assim, podemos escrever que 
{ }ℜ∈≠∀ℜ∈∀= 0mex),mx,x(W . 
a) W)0,0( ∈ , pois para : )0,0()0m,0(0x =⋅⇒= 
b) Sejam W)mx,x(weW)mx,x(w 222111 ∈∈= . Então: 
( ) W)xx(m,xxww 212121 ∈++=+ 
c) Sejam ℜ∈α∀∈= eW)mx,x(w . Então: ( ) W)x(m,xw ∈αα=⋅α 
 
Exemplo (6): Mostre que todo plano passando pela origem é um subespaço do ℜ3. 
Solução: Seja { }0czbyax/)z,y,x(W 3 =++ℜ∈= , ou seja, W é um plano passado pela 
origem. Então todo vetor de W se escreve com 




 −−
z,y,
a
czby
, supondo a ≠ 0. 
Assim, podemos escrever que 





 ℜ∈∀




 −−
= z,y,z,y,
a
czbyW . 
a) W)0,0,0( ∈ , pois para : )0,0,0(0,0,
a
0c0b0zy =




 ⋅−⋅−
⇒== 
b) Sejam Wz,y,
a
czby
weWz,y,
a
czby
w 22
22
211
11
1 ∈




 −−
=∈




 −−
= . 
Então: Wzz,yy,
a
)zz(c)yy(b
ww 2121
2121
21 ∈





++
+−+−
=+ 
c) Sejam Wz,y,
a
czby
w ∈




 −−
= e ℜ∈α∀ . Então: 
Wz,y,
a
zcyb
w ∈





αα
α−α−
=⋅α 
 
Proposição (1): Se W1 e W2 são subespaços de um espaço vetorial V sobre um corpo K, então: 
i) 21 WW + é subespaço de V. 
ii) 21 WW ∩ é subespaço de V. 
 23 
iii) 21 WW ∪ não é subespaço de V. 
Demonstração: 
i) 21 WW + é subespaço de V. 
O conjunto { }22112121 WweWw/wwuWW ∈∈+==+ . 
a) 21 WW0 +∈ . De fato, como W1 é subespaço, então 1W0 ∈ e como W2 é subespaço, então 
2W0 ∈ . Portanto, 21 WW000 +∈+= . 
b) Sejam 2121 WWwwu +∈+= ⇒



∈
∈
22
11
Ww
Ww
 e 
21
'
2
'
1 WWwwv +∈+= ⇒



∈
∈
2
'
2
1
'
1
Ww
Ww
 
Então: )ww()ww(vu '22'11 +++=+ . Note que, 1'11 Www ∈+ e 2'22 Www ∈+ , 
pois eles são subespaços. Portanto, 21 WWvu +∈+ . 
c) Sejam 2121 WWwwu +∈+= ⇒



∈
∈
22
11
Ww
Ww
 e K∈α∀ . Então 21 wwu α+α=⋅α . 
Como W1 e W2 são subespaços ⇒



∈α
∈α
22
11
Ww
Ww
 . Portanto, 21 WWu +∈⋅α 
 
ii) 21 WW ∩ é subespaço de V. 
a) Como W1 e W2 são subespaços, então 1W0 ∈ e 2W0 ∈ . Portanto, 21 WW0 ∩∈ . 
b) Sejam 21 WWu ∩∈ ⇒



∈
∈
2
1
Wu
Wu
 e 21 WWv ∩∈ ⇒



∈
∈
2
1
Wv
Wv
. Como W1 e W2 são 
subespaços, então 1Wvu ∈+ e 2Wvu ∈+ . Portanto, 21 WWvu ∩∈+ . 
c) Sejam 21 WWu ∩∈ ⇒



∈
∈
2
1
Wu
Wu
 e K∈α∀ . Como W1 e W2 são subespaços, então 
1Wu ∈α e 2Wu ∈α . Portanto, 21 WWu ∩∈α . 
 
iii) 21 WW ∪ não é subespaço de V. 
 24 
Para demostrar este fato, vamos exibir um contra-exemplo. Sejam { }0y/)y,x(W 21 =ℜ∈= 
e { }0x/)y,x(W 22 =ℜ∈= , ou seja, W1 é o eixo Ox e W2 o eixo Oy. Seja 21 WW ∪ que é 
o conjunto de todos os vetores que estão sobre o eixo Ox ou sobre o eixo Oy. Sejam 
21 WW)0,1(u ∪∈=
r
 e 21 WW)1,0(v ∪∈=
r
. Então, 21 WW)1,1(vu ∪∉=+
rr
. 
Portanto, 21 WW ∪ não é subespaço do ℜ2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Dizemos que o espaço V é 
soma direta dos subespaços W1 e W2, denotado por 21 WWV ⊕= , se: 
i) 21 WWV += 
ii) }0{WW 21 =∩ 
 
Exemplo (7): Mostre que o ℜ2 é soma direta de { }0y/)y,x(W 21 =ℜ∈= com 
{ }0x/)y,x(W 22 =ℜ∈= , ou seja, W1 é o eixo Ox e W2 o eixo Oy. 
Solução: Podemos escrever que { }ℜ∈∀= x),0,x(W1 e { }ℜ∈∀= y),y,0(W2 . Assim, todo 
vetor do ℜ2 se escreve com )y,0()0,x()y,x(v +==r . Logo, 212 WW +=ℜ . 
Note que, )}0,0{(WW 21 =∩ . Portanto, 212 WW ⊕=ℜ . 
 
Exemplo (8): Mostre que toda função é soma direta de uma função par com uma função ímpar. 
Solução: Função par:)x(f)x(f −= . Ela pode ser escrita como 
2
)x(f)x(f)x(f1
−+
= 
Função ímpar: )x(f)x(f −−= . Ela pode ser escrita como 
2
)x(f)x(f)x(f2
−−
= 
vu
rr
+ 
v
r
 
u
r
 
W2 
W1 
 25 
Então, toda função )x(f)x(f)x(f 21 += ⇒ 2
)x(f)x(f
2
)x(f)x(f)x(f −−+−+= 
E a única função que é par e ímpar é a função nula 0)x(f = , logo }0{)x(f)x(f 21 =∩ . 
 
 
Exercícios Propostos 
1) Seja }2,1,0{K = . Defina em K duas operações: 
Adição: Sejam k1 e k2 ∈ K. Então k1 + k2 é igual ao resto da divisão inteira por 3. 
Multiplicação: Sejam k1 e k2 ∈ K. Então k1 · k2 é igual ao resto da divisão inteira por 3. 
Mostre que K com as operações acima é um corpo. 
 
2) Seja }0v/v{V >ℜ∈= . Defina em V duas operações: 
Adição: 2121 vvvv ⋅=⊕ , Vvev 21 ∈∀ 
Produto por escalar: α=⊗α vv , ℜ∈α∀∈∀ eVv 
Mostre que V com as operações acima é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais. 
 
3) Mostre que 






=−=+ℜ∈





= 0dcb2a/)(M
dc
ba
W 2x2 é um subespaço de M2x2(ℜ). 
 
4) Mostre que { }0a2a/)(Ptataa)t(pU 1o2221o =−ℜ∈++== é um subespaço de P2(ℜ). 
 
5) Verificar quais dos conjuntos é um subespaço do ℜn. 
a) { }2n1nn21 xx/)x,...,x,x(W =ℜ∈= Resp (a): não 
b) { }21nnn21 xxx/)x,...,x,x(U +=ℜ∈= Resp (b): sim 
c) { }0x/)x,...,x,x(X 1nn21 ≥ℜ∈= Resp (c): não 
 
6) Sejam { }0xy/)y,x(W 21 =−ℜ∈= e { }0xy/)y,x(W 22 =+ℜ∈= , ou seja, as retas 
bissetrizes dos quadrantes do ℜ2. Mostre que 21
2 WW ⊕=ℜ .