Exercícios de Fixação

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19/10/2021 14:30 Exercícios de Fixação - Tema 13
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Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Iniciado em terça, 19 Out 2021, 14:28
Estado Finalizada
Concluída em terça, 19 Out 2021, 14:29
Tempo
empregado
23 segundos
Avaliar 4,00 de um máximo de 5,00(80%)
Considere a existência de um espaço vetorial V, onde está inscrito um conjunto finito de vetores expresso por C. Em C,
estão contidos os vetores , e . Sabe-se que o vetor v é uma combinação linear dos
outros dois.
Assinale a opção que demonstra corretamente os escalares que tornam possível esta combinação linear.
 
Escolha uma opção:
a. Os escalares e fazem com que os vetores mencionados gerem combinação linear entre si. 
 
b. Os vetores formam combinação linear quando e 
 

c. Os vetores mencionados não formam combinação linear em nenhuma circunstância.
d. Os vetores formam combinação linear quando e 
 
v(17, 8, 13) (4, 1, 2)v1 (3, 2, 3)v2
= 3k1 = −2k2
= 2k1 = 3k2
= 1k1 = −2k2
Sua resposta está correta.
Se os dois vetores apresentados, e e formam uma combinação linear de , é preciso
que seja satisfeita a equação:
 
Assim, deve haver dois escalares ( ) que formem a combinação linear. Logo, dadas as coordenadas dos vetores, é
preciso que seja válida a equação:
 
Pela propriedade do produto de vetores por um escalar, obtemos o seguinte:
 
Somando as coordenadas dos vetores, temos: 
 
Pela condição da igualdade entre vetores, cada coordenada do vetor deve ser igual à coordenada do vetor-
resultado; assim, podemos formar um sistema linear, da seguinte forma: 
 
 { 
 
A equação nos mostra a relação entre escalares:
 
Substituindo o escalar na primeira equação, temos o seguinte:
 
Retomando a relação entre escalares, temos que:
 
Portanto, podemos concluir que o vetor é uma combinação linear dos vetores e 
quando os escalares têm valor e 
A resposta correta é: Os vetores formam combinação linear quando e 
 
(4, 1, 2)v1 (3, 2, 3)v2 v(17, 8, 13)
v = ∗ + ∗k1 v1 k2 v2
,k1 k2
(17, 8, 13) = ∗ (4, 1, 2) + ∗ (3, 2, 3)k1 k2
(17, 8, 13) = (4 ,〖1k , 2 ) + (〖3k , 2 , 3 )k1 〗1 k1 〗2 k2 k2
(17, 8, 13) = (4 + 3 ;〖1k + 2 , 2 + 3 )k1 k2 〗1 k2 k1 k2
v(17, 8, 13)
4 + 3 = 17k1 k2
1 + 2 = 8k1 k2
2 + 3 = 13k1 k2
= 8 − 2k1 k2
k1
4 ∗ (8 − 2 ) +〖3k = 17 → 32 − 8 +〖3k = 17 → 〖5k = 15 → = 3k2 〗2 k2 〗2 〗2 k2
= 8 − 2 = 8 − 2 ∗ 3 = 2k1 k2
v(17, 8, 13) (4, 1, 2)v1 (3, 2, 3)v2
= 2k1 = 3k2
= 2k1 = 3k2
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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Considere a existência de um espaço vetorial de notação V e de dimensão R³, ou seja, formado por três variáveis (x,y,z).
Neste espaço vetorial estão inclusos, dentro de um conjunto C, os vetores , e .
Sabe-se, ainda, que neste conjunto estão contidos outros vetores, do tipo LI.
Analise as opções a seguir e assinale a correta.
 
Escolha uma opção:
a. Se no conjunto C estiver incluso o vetor nulo, os vetores mencionados são LI.
b. Os vetores mencionados são dependentes para 
 
c. Os vetores apresentados e inclusos no conjunto C são do tipo LD.
d. A existência de dependência linear entre os vetores apresentados é negativa. 
v(1, −3, 0) (0, 4, −7)v1 (−3, 0, 5)v2
= 2; = 4; = 1k1 k2 k3
Sua resposta está correta.
Pelas propriedades da dependência linear, temos que se um conjunto de vetores (ou seja, contido em um espaço
vetorial V) é linearmente independente (LI), logo, qualquer subdivisão de C também será LI. O exercício nos mostra que
uma subdivisão do conjunto C é linearmente independente; logo, os demais vetores nele contidos também serão do tipo
LI.
 
A resposta correta é: A existência de dependência linear entre os vetores apresentados é negativa.
C ∈ V
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Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Suponha, para esta questão, que haja um espaço vetorial simbolizado por V, no qual está contido um conjunto de vetores
com notação igual a C, e que é expresso por , e . Deseja-se verificar a possibilidade
de independência linear entre estes vetores.
Assinale a opção que contém a informação correta.
 
Escolha uma opção:
a. Os vetores serão linearmente independentes apenas se neste conjunto estiver também incluso o vetor nulo.
b. Os vetores apresentados são linearmente dependentes quando há escalares que o multiplicam, com valor 
 e . 
 
c. Os vetores mencionados são LD para e . 
 
d. Os vetores são linearmente independentes. 
v(6, −2, 1) (0, 2, 4)v1 (−1, 4, 0)v2
= 3k1 = 4k2
= 1k1 = 5k2
Sua resposta está correta.
Se um conjunto de vetores é do tipo LI, ou seja, linearmente independente, é preciso que seja satisfeita a seguinte
equação: 
Ou seja, que a soma dos produtos entre um conjunto de escalares e um conjunto de vetores traga o vetor nulo como
resultado. Assim, temos: 
O sistema linear associado a esta equação é dado por:
 
{-2 
 
Ou seja, 
 
{ 
 
 
Isolando a variável da primeira equação, temos que: 
 
 
 
Substituindo o valor de na terceira equação, temos que: 
 
 
 
Se tomarmos , por exemplo, teremos que .
 
E nesta circunstância, 
 
Efetuando a substituição dos valores destas variáveis na segunda equação, veremos o seguinte:
 
A equação apresentada é inválida , logo, apenas a solução trivial (0,0,0) poderá resolver este sistema. Assim, os
vetores são linearmente independentes.
 
A resposta correta é: Os vetores são linearmente independentes.
∗ + ∗ + ∗ + ⋯ + ∗ = 0k1 v1 k2 v2 k3 v3 kn vn
∗ (6, −2, 1) + ∗ (0, 2, 4) + ∗ (−1, 4, 0) = (0, 0, 0)k1 k1 k1
6 + 0 − 1 = 0k1 k2 k3
+ 2 + 4 = 0k1 k2 k3
+ 4 + 0 = 0k1 k2 k3
6 + 1 = 0k1 k3
−2 + 2 + 4 = 0k1 k2 k3
+ 4 = 0k1 k2
k3
〖6k = → = /6〗1 k3 k1 k3
k1
+〖4k = 0 → /6 = −〖4kk1 〗2 k3 〗2
= 2k1 = 12k3
/6 = −〖4k → 12/6 = −〖4k → 2 → = −1/2k3 〗2 〗2 k2
−2 +〖2k + 4 = 0 → (−2 ∗ 2) + (2 ∗ −1/2) + (4 ∗ 12) = 0 → −4 − 1 + 48 = 0 → 43 = 0∄k1 〗2 k3
(∃)̸
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Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Questão 5
Incorreto
Atingiu 0,00 de
1,00
As relações de dependência linear mostram se um conjunto de vetores pode apresentar alguma associação entre si.
Caso esta situação seja positiva, dizemos que estes vetores são linearmente dependentes, ou seja, relacionados entre si
por alguma forma de combinação linear.
BARBOSA, José Augusto Trigo. Noções sobre Álgebra Linear. Porto: FEUP Edições, 2012. 
Com base no conteúdo exposto, analise as afirmativas a seguir.
I. Um conjunto vetorial que contenha apenas um elemento é linearmente dependente em qualquer circunstância.
II. O vetor nulo é LI em relação a outros vetores inscritos em um mesmo conjunto onde o mesmo esteja inserido.
III. Se um vetor nulo está inscrito em um conjunto com mais de um vetor, os vetores deste conjunto serão do tipo LD. 
Agora, assinale a opção que contém as afirmativas corretas.
Escolha uma opção:
a. Apenas III. 
b. Apenas I e II.
c. Apenas II.
d. Apenas I e III.
Sua resposta está correta.
Dadas as propriedades de dependência linear entre vetores, entendemos que, quando há um conjunto de vetores, inscrito
em um espaço vetorial e que contenha mais vetores além do vetor nulo O, este conjunto (e, por extensão, os vetores que
o compõem) será linearmente dependente (LD) entre si. A propriedade é chamada ‘Conjunto com vetor nulo’.A resposta correta é: Apenas III.
A combinação linear entre vetores ocorre quando há um conjunto de escalares que gera uma associação entre estes
vetores; assim, cada vetor torna-se uma projeção dos outros vetores neste mesmo conjunto.
SANTANA, Ana Paula; QUEIRÓ, João Filipe. Introdução à Álgebra Linear. Lisboa: Gradiva, 2010.
Considere um escalar . Dentre as opções que se seguem, assinale a que representa adequadamente dois
vetores que formam uma combinação linear a partir deste escalar. 
 
Escolha uma opção:
a. e 
 
b. e 
 
c. e 
 

d. e 
 
= 4, 2k1
v(10, 42) (42, 10)v1
v(10, 5) (21, 42)v1
v(20, 21) (84, 42)v1
v(84, 21) (20, 5)v1
Sua resposta está incorreta.
Para que o escalar mencionado forme uma combinação linear entre dois vetores, a equação da combinação linear deve
ser satisfeita: .
Assim, pela propriedade da multiplicação entre escalares, o vetor corresponde ao produto entre o escalar e
o vetor : 
 
Pois e . Logo, os vetores apresentados formam combinação linear quando o escalar é
igual a 4,2 
A resposta correta é: e 
 
v = ∗k1 v1
v(84, 21) k1
v1
v(84, 21) = 4, 2 ∗ (20, 5)v1
4, 2 ∗ 20 = 84 4, 2 ∗ 5 = 21 k1
v(84, 21) (20, 5)v1
19/10/2021 14:30 Exercícios de Fixação - Tema 13
https://ava.unicarioca.edu.br/ead/mod/quiz/review.php?attempt=1401084&cmid=168562 5/5
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