Movimento em 1-D: Cinemática e Velocidade

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Aula - 02
Movimento em uma dimensão
F-128: Física Geral I
Ilustração dos 
“Principia” de Newton 
mostrando a ideia de 
integral
Movimento em 1-D
• Entender o movimento é uma das metas das 
leis da Física.
• A Mecânica estuda o movimento e as suas 
causas.
• A sua descrição é feita pela Cinemática.
• As suas causas são descritas pela Dinâmica. 
• Iniciamos com o movimento em 1-D.
-3 -2 -1 0 1 2 3
escolha um ponto!
 Em cinemática, os conceitos de tempo e posição são primitivos. 
Um objeto é localizado pela sua posição ao longo de um eixo 
orientado, relativamente a um ponto de referência
(observador), geralmente tomado como origem (x = 0)
 Um conceito importante é o da relatividade do movimento: sua 
descrição depende do observador.
x (m)
Posição – 1D
O deslocamento
x = x2 - x1 
t = t2 – t1
: deslocamento 
: intervalo de tempo 
 O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo (t2-t1) 
é a diferença entre a posição final (x2 ) no instante t2 e a posição inicial (x1) no t1. 
Exemplo: corrida de 100 metros.
vm=
x2− x1
t 2− t1
= Δx
Δt
De 0 a 5,01 s : vm = 40m / 5,0s = 8,0 m/s
De 5,01 a 10,5 s: vm = 60m / 5,5s = 10,9 m/s
Em todo o intervalo (de 0 a 10,5 s) :
 vm = 100 m /10,5s = 9,5 m/s
A velocidade média nos dá informações sobre um intervalo de tempo. Mas pode 
ser que queiramos saber a velocidade em um dado instante.
Exemplo: Corrida de 100 metros.
● Se (movimento à direita, ou no 
sentido de crescimento de x) 
● Se (movimento para a esquer-
da, ou no sentido do decréscimo de x) 
Δx>0⇒ v>0
Velocidade média
Δx<0⇒ v<0
)(tx
t
)(tx
t
0t tt 0

Velocidade média entre ttet 00
tg
t
txvm 


)(
1v
Velocidade média
)(tx
t
)(tx
t
0t tt 0

Velocidade média entre ttet 00
tg
t
txvm 


)(
12 vv 
Velocidade média
)(tx
t
)(tx
t
0t tt 0

tg
t
txvm 


)(
Velocidade média entre ttet 00
Velocidade média
)(tx
t0t tt 0

Velocidade média entre ttet 00
tg
t
txvm 


)(
Velocidade média
)(tx
t
tg
dt
tdx
t
txtv
t





)()(lim)(
0

0t
Velocidade instantânea em t0
reta tangente à curva
(a velocidade instantânea é 
a derivada da posição em 
relação ao tempo)
Velocidade instantânea
Velocidade instantânea
 
dt
dx
t
xtv
t




 0
lim
sm
s
mstv 0,8
2,11
90)2( 
Geometricamente
Conceito Derivada
Exemplo:
Na corrida, de 100 m,
a velocidade em t = 2s é
Tangente
Questão 1: Na função abaixo, em qual ponto a 
derivada é máxima?
a) Ponto A.
b) Ponto B.
c) Ponto C.
Questão 1b: No gráfico abaixo é representada a posição da 
partícula em função do tempo. Em que ponto a velocidade 
instantânea da partícula é máxima?
tempo
posição
a) Ponto A.
b) Ponto B.
c) Ponto C.
Questão 2: Na função abaixo, em qual região a 
derivada é negativa?
a) Para x entre A e B.
b) Para x entre B e C.
c) Para x > C.
Questão 2b: Novamente, o gráfico abaixo mostra a posição de uma 
partícula em função do tempo. Em que região a velocidade da 
partícula é negativa?
posição
tempo
a) Para x entre A e B.
b) Para x entre B e C.
c) Para x > C.
Visualização gráfica da derivada
Um caso particular: velocidade constante
0
0)(
tt
xxv
dt
dxtv m



)(tx
t tt  t tt 
)(tv
Graficamente:
)( 00 ttvxx 
ou:
Visualização gráfica da derivada
 0
)(tf
dttdgbdttdfa /)(/)( )()( tgbtfa 
dttdf /)(
constantea
nt 1nnt
tsin t cos
tcos t sin
te te
tln 1t
Algumas derivadas importantes
Questão 3: Se vou até São Paulo com velocidade constante de 
100 km/h,e volto ao ponto de partida, qual minha velocidade média?
A. 100 km/h
B. zero
 A velocidade escalar média é uma forma diferente de descrever a “rapidez” 
com que uma partícula se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, 
independentemente da direção e sentido: 
t
vem 

percorrida totaldistância
Velocidade escalar média e velocidade média
 Em algumas situações, . Entretanto, 
as duas podem ser bastante diferentes. Ex: 
partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P e 
retorna a O, depois de decorrido um tempo total 
e ter percorrido uma distância total L.
  
O P
t
x

2

2
L
 A velocidade escalar é o módulo da 
velocidade; ela é destituída de qualquer 
indicação de direção e sentido. (O velocímetro 
de um carro marca a velocidade escalar 
instantânea e não a velocidade, já que ele não 
pode determinar a direção e o sentido). 
mem vv 
 Neste caso:
0mv 
Lvem e
Velocidade escalar média e velocidade média
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
,)( ttvx 
Este é o problema inverso. Considere inicialmente o caso de 
velocidade constante. Então:
 Note que v(t-t0) é a área sob a curva 
da velocidade v = constante em função do tempo.
 
onde v(t) é a velocidade instantânea em t.
t
v
)(tv
t0
v
Este é um resultado geral. Para demonstrá-lo, 
usaremos que para intervalos de tempo muito 
curtos podemos escrever:
)(tv
)(tv
t
  tdtvxx
t
t
 
0
0
No limite N  e t0:
0t it
v(ti)
0
( )
( ) ( )
( )
i i
i
i
i
i
x v t t
x t x t x
v t t
  

   



0t
Dividimos o intervalo (t-t0) em um número 
grande N de pequenos intervalos t t
t
áreax
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
  t
t
tdtvxtxe
dt
tdxtv
0
)()()()( 0
 A velocidade é obtida derivando-se a posição em 
relação ao tempo; geometricamente, a velocidade é o 
coeficiente angular da reta tangente à curva da 
posição em função do tempo no instante considerado.
 O deslocamento é obtido pela anti-derivação (ou 
integração) da velocidade; geometricamente, o 
deslocamento é a área sob a curva da velocidade em 
função do tempo.
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
Questão 4: A partir de que ponto a integral de f(x), a partir 
de x=0, é negativa?
tempo
velocidade
a) Ponto A.
b) Ponto B.
c) Ponto C.
Questão 4b: O gráfico mostra a velocidade de uma partícula em 
função do tempo. Em que instante de tempo a partícula volta à 
posição original?
velocidade
tempo
a) Ponto A.
b) Ponto B.
c) Ponto C.
 
)(tf
)()( tGbtFa )()( tgbtfa 
)(tF
1, ntn 1/1  nt n
tsin  /cos t
tcos  /sin t
te  /te
||ln t1t
atconstantea
Algumas integrais importantes
Aceleração média
t
v
tt
vvam 





12
12Aceleração média: 
de 0s até 4s: am = 10m/s / 4s = 2,5 m/s2
 Um corredor acelera uniformemente 
até 10 m/s em t = 4,0 s. Mantém a 
velocidade nos próximos 4s e reduz
 a velocidade para 8,0 m/s nos 4,7s 
seguintes. Acelerações médias:
de 4s até 8s: am = 0m/s / 4s = 0 m/s2
de 8s até 12,7s: am = -2m/s / 4,7s = -0,42 m/s2
)(tv
t
)(tv
t
0t tt 0
tg
t
tvam 


)(

Aceleração média 
entre 
ttet 00
Aceleração média
)(tv
t
tg
dt
tdv
t
tvta
t





)()(lim)(
0

0t
Aceleração instantânea em t0
reta tangente à curva da velocidade
(a aceleração instantânea é 
a derivada da velocidade em 
relação ao tempo)
Aceleração instantânea
Aceleração instantânea
dt
dv
t
va
t




 0
lim
22,27,2
9,5)2( sm
s
smsta 
2
2
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dva 



Conceito
Derivada
Exemplo:
Na corrida de 100 m, a aceleração em t = 2s é:
Note que
Derivada
segunda
v(t)
v(t)
a(t)
GP Monaco
1 volta = 3,340 km
Vettel no GP de Mônaco
Tempo Velocidade
Temp
o Velocidade Tempo Velocidade
0 218   25 90   50 104
1 242 26 143 51 158
2 260   27 101   52 200
3 272 28 62 53 227
4 273   29 49   54 183
5 157 30 55 55 181
6 114   31 95   56 210
7 136 32 89 57 104
8 179   33 89   58 223
9 213 34 133 59 168
10 238   35 93   60 117
11 256 36 88 61 99
12 266   37 110   62 114
13 272 38 176 63 162
14 209   39 212   64 197
15 174 40 237 65 123
16 155   41 253   66 68
17 161 42 263 67 61
18 137   43 272   68 82
19 138 44 281 69 112
20 175   45 279   70 84
21 207 46 166 71 110
22 175   47 91   72 161
23 100 48 74 73 207
24 75   49 69   74 233
0 10 20 30 40 50 60 70
0
50
100
150
200
250
300
Tempo (s)
Ve
lo
ci
da
de
 (k
m
/h
)
Distância Percorrida e Velocidade Escalar Média
Area da curva medida
 = 
Deslocamento
1 Volta = 3.35km!!!!!
  t
t
tdtvxtxe
dt
tdxtv
0
)()()()( 0
hkm
h
s
s
km
t
vem 1631
3600
74
35.3totaldistância



dt
dv
t
va
t




 0
lim
0 10 20 30 40 50 60 70
0
50
100
150
200
250
300
Tempo (s)
Ve
lo
ci
da
de
 (k
m
/h
)
  t
t
tdtvxtxe
dt
tdxtv
0
)()()()( 0dt
dv
t
va
t




 0
lim
Aceleração
42 44 46 48 50 52 54 56
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
X: 49
Y: 0.7324
Tempo (s)
Ac
el
er
aç
ão
 (m
/s
2 )
X: 52.9
Y: 2.439X: 44.1
Y: -0.1142
0 10 20 30 40 50 60 70
0
50
100
150
200
250
300
Tempo (s)
Ve
lo
ci
da
de
 (k
m
/h
)
Deriva
   
0
0
tt
tvtvaa m



v=v0+at
2
00 vv
t
xxvm




 Se a aceleração é constante
Se t0 = 0 e v(t0) = v0, temos que a 
velocidade fica:
Note que neste movimento a 
velocidade média é dada por
2
2
00
attvxx  temos:Como tvxx m 0
Aceleração constante
 
  tvvxx
xxavv
attvxx
atvv




00
0
2
0
2
2
00
0
2
1
2
2
1
 As equações de movimento para o caso de 
aceleração constante são:
Aceleração constante
ttav  )(
)( 00 ttavv 
 Este é novamente o problema inverso. Considere inicialmente o caso de 
aceleração constante. Então,
 Note que a.(t-t0) é a área sob a curva da 
aceleração a(t) = constante em função do tempo.
 Este também é um resultado geral. Para 
demonstrá-lo, usaremos que para intervalos de 
tempo muito curtos podemos escrever
onde a(t) é a aceleração instantânea no instante t.
t
a
0t
a(t)
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
)(ta
t
  tdtavv
t
t
 
0
0
0t
 Dividimos o intervalo (t-t0 ) em um 
número grande N de pequenos intervalos 
 .
0
( )
( ) ( )
( )
i i
i
i
i
i
v a t t
v t v t v
a t t
  

   



t
t0t it
)(ta
a(ti)
No limite N  e t0:
t
áreav
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
  t
t
tdtavtve
dt
tdvta
0
)()()()( 0
A aceleração é obtida derivando-se a 
velocidade; geometricamente, é o coeficiente 
angular da reta tangente à curva da 
velocidade em função do tempo no instante 
considerado.
A velocidade é obtida pela anti-derivação (ou 
integração) da aceleração; geometricamente, 
a variação de velocidade é a área sob a 
curva da aceleração em função do tempo.
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
atvtvattdtavtv
t
t
  00 )()()(
0
A velocidade é obtida integrando-se a 
aceleração; 
O cálculo de v(t) e x(t) a partir de a cte.
2/)(2/)()( 200
2
00
0
attvstsattvtdtvsts
t
t
 
A posição é obtida integrando-se a 
velocidade; 
Aceleração da gravidade
 Galileo, o primeiro físico 
moderno, estudou a queda dos 
corpos. Refutou as hipóteses de 
Aristóteles.
 Usando experimentos, 
mostrou que os corpos caem 
com a mesma velocidade, 
indepen-dentemente de sua 
massa.
x ~ t2 , v ~ t : consequências de 
uma aceleração constante!
Aceleração da gravidade
 Mas... devemos notar que
há, em geral, outras forças 
atuando no corpo 
considerado,
o que pode frustrar uma 
experiência se não formos 
suficientemente cuidadosos.
a resistência do ar!! 
 
Resumo: aceleração constante (-g)
 
  tvvyy
yygvv
gttvyy
gtvv




00
0
2
0
2
2
00
0
2
1
2
2
1
 As equações de movimento para o caso de 
aceleração da gravidade -g são (ao longo do 
eixo y):
g
y
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