CONSTANTE DE TEMPO, INTEGRAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO EM CIRCUITOS RC

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 CONSTANTE DE TEMPO,
 INTEGRAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO EM CIRCUITOS RC
1. Conceitos e técnicas
Carga e descarga de um capacitor
Constante de tempo do circuito RC e sua determinação.
Circuito RC sob alimentação alternada senoidal.
Diferenciação e integração num circuito RC.
2. Fundamentos teóricos
Considere um gerador de corrente contínua de força eletromotriz E0 e resistência interna RG
conetado, em t = 0, a um resistor em série com um capacitor com carga inicial -q0 e voltagem -
q0C = -E0. A curva de carga do capacitor, especificada pela voltagem VC(t) nos seus terminais em função
do tempo, é dada pela equaçao
VC(t) = E0 [1 - 2 exp(-t/RC)] (1)
Se, por outro lado, o capacitor tiver carga +q0 e voltagem q0C = E0 e for conetado aos terminais de um
gerador de f.e.m. -E0, a curva de descarga do capacitor será descrita pela relação
VC(t) = E0 [2 exp(-t/RC) - 1] (2)
onde R é a resistência total do circuito (incluindo a resistência interna do gerador). O produto τ = RC é
denominado de constante de tempo do circuito.
Se em um circuito RC série conetarmos um gerador de onda quadrada, isto é, um gerador cuja
f.e.m. oscile periodicamente entre +E0 e -E0 (Fig. 1) e se τ << semi-período, a tensão no capacitor irá
oscilar entre -E0 e +E0, crescendo conforme a eq. (1) no primeiro semi-período, e decrescendo
conforme a eq. (2) no segundo.
Da curva de descarga do capacitor,
(Fig. 1) podemos calcular o valor de τ. A
partir das coordenadas de dois pontos, P e
Q, determina-se τ pela relação
τ = (t2 - t1) / ln (VC1 / VC2)
(3)
sendo VC1 e VC2 medidos a contar do eixo
que passa em VC = -E0.
Para um circuito RC série alimentado por um gerador de corrente alternada senoidal de
frequência angular ω, demonstra-se que as tensões através do resistor e do capacitor, respectivamente
VR e VC, são dadas pelas equações
VR(t) = RC (dV(t)/dt) para ωRC << 1 (4)
VC(t) = (1/RC) ∫ V(t) dt para ωRC >> 1 (5)
onde o símbolo V(t) é a tensão no gerador: V(t) = V0 sen ωt.
Como podemos ver, a tensão em R é proporcional à derivada da tensão V(t) enquanto a tensão
em C é proporcional à integral de V(t). Diz-se portanto que o resistor diferencia enquanto o capacitor
integra o sinal do gerador no circuito série RC. Embora a demonstração das eqs. (4) e (5) sejam feitas
para tensões senoidais, é importante lembrar que estas duas equações não se limitam a sinais senoidais
mas são válidas para sinais como onda quadrada, dente de serra, etc.
Figura 1
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 Figura 4
 Figura 5
De fato, uma onda quadrada de tensão de pico (ou amplitude) VP e freqüência
ω (semelhante à da Fig. 1) pode ser representada por uma série infinita de funções senoidais de
freqüências discretas conforme a equação
V = 4VP/pi[ senωt + (1/3) sen3ωt + (1/5)sen5ωt +...] (6)
Evidentemente, para que o circuito RC diferencie, é preciso que a frequência do termo de mais alta
frequência na série seja tal que ωRC << 1. Para que o circuito integre é necessário que a frequência do
termo de mais baixa frequência (frequência fundamental) seja tal que ωRC >> 1.
3. Material
Osciloscópio de dois canais, gerador de sinal, resistores de 100 Ω, 1 kΩ e 5 kΩ, capacitores de
0,047 e 1 µF.
Obs.: No circuito da Fig. 3 usar R = 100 Ω e C = 1 µF.
4. Objetivos do experimento
A. Monte o circuito da Fig. 3 com o gerador de onda quadrada
e observe as curvas de carga e de descarga do capacitor na
tela do osciloscópio.
B. Determine o valor da constante de tempo τ do circuito
fazendo medidas na curva de descarga e aplicando a eq. (3).
C. Uma vez
determinado τ,
calcule a resistência
interna RG do gerador.
D. Deduza a expressão análoga à da eq. (3) que permite
determinar τ através da curva de carga do capacitor. Faça a
seguir a determinação experimental de τ e encontre novamente
RG. Compare os seus resultados para RG com aqueles obtidos
pela curva de descarga.
E. Uma vez montado o circuito da Fig. 4 com R = 1 kΩ e C
= 0,047 µF, ajuste a frequência do gerador de tal forma que o
produto ωRC << 1, e obtenha simultaneamente a onda
quadrada e a diferenciada na tela do osciloscópio. Ajuste
cuidadosamente as ondas na tela e reproduza no seu caderno
a imagem observada, colocando no seu desenho as escalas
de tensão e tempo e indicando o valor de ω usado.
F. Monte o circuito da Fig. 5, empregando outros valores de R
e de C (5 kΩ e 1 µF). Observe que agora um dos canais do
osciloscópio está conectado ao capacitor. Ajuste o gerador de
modo que ωRC >> 1 e obtenha a onda quadrada e a integrada
na tela do osciloscópio. Registre suas observações da mesma
forma que no item anterior.
G. Faça uma análise cuidadosa dos desenhos dos itens E e F
mostrando que, de fato, (i) a tensão no resistor é a derivada da
tensão no gerador, e, (ii) a tensão no capacitor é a integral da
tensão no gerador. No desenho referente à integração, a
verificação deverá ser feita quantitativamente.
Bibliografia
1. D. Halliday, R. Resnick e J Merrill, Fundamentos de Física, vol. 3, (Editora LTC, RJ,1994), cap. 29-8 e
36-2, -3, -4.
2. J. J. Brophy, Eletrônica Básica, (Guanabara Dois, RJ, 1978), pp 49-50 e 57-59.
Figura 3