Relatório da Prática 2 Pêndulo Simples

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UNIVERSIDADE DA INTEGRAÇÃO INTERNACIONAL DA LUSOFONIA 
AFRO-BRASILEIRA 
INSTITUTO DE ENGENHARIAS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL 
LABORATÓRIO DE FÍSICA III 
 
 
 
 
ELIEZER TIMÓTEO DA SILVA SANHÁ 
SOZINHO DOMINGOS USSIVANE 
FAUSTA JOAQUIM FAUSTINO 
HELDER BATISTA DE BOA ESPERANÇA DOS PRAZERES 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE PRÁTICA II 
 
 
 
 
 
 
 
ACARAPE-CE 
2016 
 
 
ELIEZER TIMÓTEO DA SILVA SANHÁ 
SOZINHO DOMINGOS USSIVANE 
FAUSTA JOAQUIM FAUSTINO 
HELDER BATISTA DE BOA ESPERANÇA DOS PRAZERES 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE PRÁTICA II 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório da primeira aula prática do Laboratório de Física III, 
do Instituto de Engenharias e Desenvolvimento Sustentável da 
Universidade da Integração Internacional da Lusofonia Afro-
Brasileira, apresentado como parte de requisito parcial de 
avaliação da disciplina ministrada pelo Professor Dr. Cleiton 
da Silva Silveira. 
 
 
 
 
ACARAPE-CE 
2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
Este trabalho é o fruto da prática realizada na primeira aula prática de Física II, ou seja, prática 01, 
da disciplina de Laboratório de Física III, o assunto abordado nessa aula foi o pêndulo simples, 
onde se fez a verificação das leis do pêndulo através da utilização de experimentos para a 
determinação de gravidade local. Este trabalho traz sob a forma de relatório acadêmico os dados 
experimentais, resultados e conclusão extraída da discussão dos experimentos e procedimentos 
realizados pelo grupo da prática em questão. 
 
 
Palavras-Chave: Pêndulos. Oscilações. Movimento Harmônico Simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
1. Objetivos ............................................................................................................ 04 
2. Material .............................................................................................................. 04 
3. Introdução Teórica ........................................................................................... 04 
4. Procedimento Experimental ............................................................................ 08 
5. Resultados Experimentais ................................................................................ 08 
6. Questionário ...................................................................................................... 10 
7. Conclusão ........................................................................................................... 12 
8. Referências ......................................................................................................... 12 
 
04 
1. OBJETIVOS 
 Verificar al leis do Pêndulo; 
 Determinar a aceleração da gravidade local. 
2. MATERIAL 
 Massa aferidas; 
 Cronometro; 
 Fios; 
 Transferidor; 
 Coluna graduada 
 
 
3. INTRODUÇÃO TEÓRICA 
Um pêndulo simples consiste em um objeto ligado por um fio a um ponto fixo, oscilando 
de um ponto a outro, num “vaivém”. 
Todo movimento que oscila, ou seja, se repete em intervalos de tempo iguais é chamado de 
periódico. Mais precisamente, poderíamos dizer que, no movimento periódico, o móvel ao ocupar 
sucessivamente a mesma posição na trajetória, apresenta sempre a mesma velocidade, aceleração 
e ângulo θ. E o intervalo de tempo para que ele se encontre duas vezes nessa posição também é 
sempre o mesmo. Um movimento periódico é um MHS, ou movimento harmônico simples. 
A amplitude xm é dada pelo deslocamento máximo, tanto para a esquerda quanto para a 
direita do ponto de equilíbrio x0. Veja a relação entre a posição e as velocidades na figura: 
 
(Figura 1
 
 05 
O movimento de um pêndulo simples é periódico, pois o mesmo move-se para um lado e 
para o outro da origem, repetitivamente, dentro de um eixo x (HALLIDAY, 2009). O período (𝑇) 
é dado pelo tempo que o objeto leva para ir e voltar da origem, ou seja, é o tempo de uma oscilação 
completa. 
A frequência ( 𝑓) é o inverso do período, relacionada na equação abaixo: 
 
𝑇 = 
1
𝑓
 
(Equação 1) 
 
Ou seja, é a quantidade de oscilações em uma unidade de tempo. A grandeza da frequência 
no SI é dada por hertz (Hz), que ignifica ciclos por segundo. 
Se traçarmos um gráfico do deslocamento pelo tempo em relação à amplitude, teremos o 
comportamento dado na figura a seguir: 
 
 
(Figura 2) 
 
 
 06 
Onde o eixo x representa a posição, ou seja, a amplitude (de xm
 até x0), que no caso é igual 
a 1 (um), pelo tempo, em segundos. Também dada pela equação: 
 
𝑥 = 𝑋𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
(Equação 2) 
 
Equação que também pode fornecer a velocidade e a aceleração do movimento, dado que 
sua derivada primeira em relação ao tempo representaria a velocidade, e que a sua derivada segunda 
em relação ao tempo, a sua aceleração. Mostrado nas equações a seguir: 
 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣 = −𝜔 𝑥 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) 
(Equação 3) 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 = 𝑎 = 𝜔² 𝑥 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
(Equação 4) 
 
Conhecendo–se a equação da aceleração, podemos usar a segunda lei de Newton para 
descobrir qual é a força que deve agir sobre o objeto, ou partícula, para que ela adquira essa 
aceleração. Fazemos então a seguinte relação na equação 5: 
 
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 (𝑤²𝑥) 
(Equação 5) 
 
Então lembramos da expressão matemática de Hooke, que diz que a força para que ocorra 
o movimento em uma mola é proporcional ao deslocamento e a sua constante elástica k. Temos as 
seguintes deduções: 
 
𝐹 = 𝑘𝑥 
(Equação 6
 
 07 
Concluindo que: 
𝑘 = 𝑚𝑤² 
(Equação 7) 
 
 Retomando as palavras de David Halliday: 
 “O movimento harmônico simples é o movimento executado 
por uma partícula sujeita a uma força proporcional ao deslocamento da 
partícula e de sinal oposto.” 
 
Isolando a frequência angular w: 
𝑤 = √
𝑘
𝑚
 
(Equação 8) 
 
Sabendo-se que a frequência angular (w) representa o número de oscilações por unidade de 
tempo, assim como a frequência (f), porém em unidades de radianos por segundo, no SI. Portanto 
se formula a seguinte equação: 
 
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 
2𝜋
𝑇
 
(Equação 9) 
 
Analisando as equações 8 e 9 temos o seguinte rearranjo matemático: 
 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 
(Equação 10) 
 
Substituindo a variável da constante elástica k por isolamento da equação 6, tendo em 
consideração a segunda lei de Newton e a aceleração seja a da gravidade, e que x seja igual a L 
(distância do objeto à haste de sustentação), temos: 
 
 08 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑚𝑔
𝑥⁄
= 2𝜋√
𝑚𝑥
𝑚𝑔
= 2𝜋√
𝑥
𝑔
 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 
(Equação 11) 
 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 Para ser feito o experimento em apreço foram seguidos sequencialmente alguns passos 
descritos a seguir: 
a) Mediu-se uma massa de aproximadamente (m = 100 g); 
b) Ajustou-se o arranjo experimental (pêndulo), tal que o comprimento do ponto de suspensão 
até ao centro de gravidade do corpo foi de L = 20 cm; 
c) Deslocou-se o corpo suspenso no pêndulo, da posição do equilíbrio até a posição onde 
formou 15°; 
d) Soltou-se o corpo da posição de 15°, e com o cronômetro controlou-se o tempo gasto ao 
executar 10 oscilações completas; 
e) Anotou-se o resultado obtido na tabela designada como tabela1; 
f) Para se ter a certeza dos dados repetiu-se 3 vezes o procedimento (d), determinou-se o 
período (T) médio em segundos e anotou-se na tabela1; 
g) Repeti-se a experiência para o restante dos comprimentos 40 cm, 60 cm, 80 cm, 100cm, 
120 cm, 140 cm e completaram-se os espaços que estavam em branco na tabela1; 
h) Manteve-se o comprimento de L = 40 cm estudou-se a influência da massa e da 
amplitude sobre o período T. Para isso foi necessário a alteração de massa de 100 g para 
200 g e do ângulo de 15° para 10°. Preencheram-se os vazios que tinham na tabela 2; 
i) Traçou-se o gráfico de período (T) em função de comprimento (L) para os dados 
experimentais da tabela1; 
j) Traçou-se o gráfico de período (T2) em função de comprimento (L) para os dados 
experimentais da tabela2. 
5. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 
 A tabela abaixo é descrita como tabela1, mostra como o comprimento influência sobre o 
período de oscilações de um pêndulo simples. 
 
 09 
Tabela1: Resultados experimentais para o pêndulo simples 
L (cm) 𝛉 (graus) M1 (gramas) 10T (s) 10T (s) 10T (s) Média T (s) T2 (s2) 
20 15° M1 =100 10,34 10,38 10,40 10,37 107,54 
40 15° M1 =100 13,16 13,38 13,41 13,20 177,33 
60 15° M1 =100 15,75 15,46 15,81 15,67 245,65 
80 15° M1 =100 18,49 18,25 18,40 18,38 337,82 
100 15° M1 =100 19,72 19,28 19,72 19,57 383,12 
120 15° M1 =100 22,44 22,66 22,44 22,51 506,85 
140 15° M1 =100 23,22 23,38 23,38 23,33 544,13 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
A tabela abaixo é descrita como tabela2, mostra como a massa e amplitude influência sobre o 
período T do pêndulo das oscilações. 
 
Tabela 2: Resultados experimentais para o estudo da influência da massa e da amplitude sobre o período do 
pêndulo simples 
L (cm) 𝛉 (graus) m (gramas) 10T (s) Média T (s) 
140 𝛉1 = 15 m1 = 100 23,22 23,38 23,38 23,33 
140 𝛉2 = 10 m1 = 100 23,95 23,87 23,95 23,92 
140 𝛉1 = 15 m2 = 200 24,34 24,34 24,34 24,34 
140 𝛉2 = 10 m2 = 200 23,95 23,87 23,95 23,92 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
 O gráfico abaixo foi traçado com base dos dados da tabela1, ilustra especificamente o 
comportamento de T em função de L. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor.
0
5
10
15
20
25
20 40 60 80 100 120 140
P
er
ío
d
o
 T
 (
s)
Comprimento L (cm)
Período médio T (s) em função do comprimento L (cm)
Média
T (s)
 
 10 
 O comportamento do gráfico de T2 em função de L foi desenhado com base nos dados da 
tabela2. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
 
6. QUESTIONÁRIO 
 
1- Dos resultados experimentais é possível concluir-se que os períodos independem das 
massas? Justifique. 
R: Sim. No procedimento foi observado que quando a massas utilizadas, ou seja, mesmo 
alterando as massas de 100g para 200g, podemos perceber que o período continua 
praticamente constante, uma diferença desprezível, uma vez que o tempo de reação para 
iniciar a contagem com o cronómetro é da segunda casa decimal do segundo. 
 
2- Dos resultados experimentais o que se pode concluir sobre os períodos quando a amplitude 
passa de 10o para 15o? Justifique. 
R: Conclui-se que a amplitude também não interfere no valor do período, pois percebe-se 
que o período continua praticamente constante. Esse fato deve-se por alguns motivos como 
fato de o tempo de reação para a contagem ser da segunda casa decimal do segundo, a 
variação do ângulo ser pequena e não ocorrendo variação muito significativo no período. 
 
3- Qual a representação gráfica que se obtém quando se representa T x L? Explique. 
R: É quase uma parábola, pois o coeficiente angular vai variando com o tempo. 
 
4- Idem para T2 x L . Explique.
0
100
200
300
400
500
600
20 40 60 80 100 120 140
P
er
ío
d
o
 
T
2
 (
s2
)
Comprimento L (cm)
Período T2 (s2) em função de L (cm)
T2 (s2)
 
 11 
 R: O gráfico é quase uma reta. Isso ocorre porque os pontos estão quase aproximadamente 
alinhados. 
 
5- Determine o valor de “g” a partir do gráfico T2 x L . 
R: T = 2π (𝐿/ 𝑔)1/2 => T 2=4π 2 (𝐿 /𝑔) => g = 4π 2 (𝐿/ T 2) 
g = 4π²(20/107,54) = 7,34 cm/s2= 0,0734 m/s2 
 
6- Qual o peso de um objeto de massa 9,00kg no local onde foi realizada a experiência? 
R: P = mg = 9,00 Kg x 0,0734 m/s2 = 0,661 N. 
 
7- Compare o valor médio de T obtido experimentalmente para L = 140 cm com o seu valor 
calculado pela fórmula T = 2π (L /g)1/2 (use g = 9,81 m/s2 ) . Comente. 
R: T = 2π (L /g)1/2 => T = 2π (1,4 m/9,81 m/s2)1/2 => T = 2,37 s. 
Conclui-se que os valores T tanto experimentalmente como para calculado pela fórmula, 
podemos perceber que há uma variação muito significativa. Este fato deve-se a alguns 
fatores que possa influenciar nessas variações de resultados. 
 
8- Discuta as transformações de energia que ocorrem durante o período do pêndulo. 
R: Quando o pêndulo é suspenso com um certo ângulo ele vai ganhando velocidade e a 
energia potencial vai se transformando em energia cinética. Quando a energia cinética é 
máxima a energia potencial se anula. Quando o pêndulo atinge o equilíbrio a velocidade se 
diminui e a energia cinética vai se tornando em energia potencial. Uma vez que a resistência 
do ar é desprezada, a energia é conservada e, assim, inicia-se um ciclo onde a energia 
cinética é transformada em energia potencial quando está a atingir a altura h e, depois, é 
transformada novamente em energia cinética, já que adquire velocidade. Assim a operação 
se repete até o pêndulo parar. 
 
 
 
9- Chama-se “pêndulo que bate o segundo” aquele que passa por sua posição de equilíbrio, 
uma vez em cada segundo. Qual o período deste pêndulo? 
R: Ele passa por sua posição de equilíbrio uma vez em cada segundo o que significa que 
ele passa no meio da trajetória 1 vez por cada segundo, para fazer uma volta completa seria 
10s +10s = 20s. 
 
10- Determine o comprimento do “Pêndulo que bate o segundo” utilizando o gráfico 
T2 x L. 
R: T = 2π (𝐿/ 𝑔)1/2 => T 2=4π 2 (𝐿 /𝑔) => L = g(T 2/4π 2 ) 
L = 9,81 (202/4π²) ≈ 1 m = 100 cm. 
 
 
 
 12 
7. CONCLUSÃO 
 Os experimentos efetuados foi um sucesso à medida que foi possível verificação das leis 
dos pêndulos simples e determinar a gravidade local, e os estudos das diferentes influências sobre 
o período das oscilações, isto é, influências de massa, de amplitude e de comprimento sobre o 
período das oscilações. O experimento nos traz resultado aproximadamente aos resultados teóricos 
esperados por isso classificamos essa prática com um sucesso. 
 
8. REFERÊNCIAS 
NUSSENZVEIG, H. Moysés; Curso de Física Básica: Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor. V2. 
4.ed. São Paulo: Editora Blucher, 2002. 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: Mecânica. 
V1.. 8.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
TIPLER, Paul Allen. Física para Cientistas e Engenheiros: Mecânico, Oscilações e Ondas. V1. 
6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12