fisica aplicada na engenharia

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ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 1 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Introdução 
Grandezas Físicas 
Existem cinco grandezas fundamentais no Sistema Internacional (SI): 
· comprimento (L) 
· massa (M) 
· tempo (T) 
· corrente eléctrica (I) 
· temperatura (Q) 
Sistemas de unidades 
· Sistema Internacional de Unidades - SI (o mais usado em física): 
o Comprimento: metro (m) 
o massa: quilograma (kg) 
o tempo: segundo (s) 
o Temperatura: Kelvin (K) 
o Corrente Eléctrica: Ampere (A) 
Este sistema é também conhecido por sistema mks devido a meter-kilogram-
second. 
· Sistema Gaussiano (usado principalmente em química): 
o comprimento: centimetro (cm) 
o massa: grama (g) 
o tempo: segundo (s) 
Este sistema é frequentemente referido como sistema cgs devido a centimeter-
gram-second. 
· Sistema Britânico de Engenharia: 
o Comprimento: pé (ft) 
o massa: slug 
o tempo: segundo (s) 
 
Notação Científica 
Por vezes é conveniente expressar números pequenos ou grandes em notação científica. 
 
Por exemplo: 5,000 = 5 x 103 e 0.0004 = 4 x 10- 4. 
Os prefixos comuns mais usados são apresentados como potências de 10 e estão 
apresentados na tabela seguinte. 
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Tabela. Prefixos usados com o sistema métrico de unidades. 
Potência Prefixo Abreviatura 
10- 9 nano N 
10- 6 micro 
 
10- 3 milli M 
10- 2 centi C 
10- 1 deci D 
103 kilo K 
106 Mega M 
Por exemplo: 
a) 60.000 m = 6,0000 x 104 m = 60,000 km 
b) 0,003 s = 3 x 10- 3 s = 3 ms 
 
Análise dimensional 
A análise dimensional refere-se à natureza qualitativa da quantidade física 
(comprimento, massa, tempo). Os parentesis rectos denotam a dimensão ou unidades de 
uma quantidade física (verificar tabela seguinte): 
Tabela: Dimensões 
Quantidade dimensão Unidades SI 
Área [A] = L 2 m 2 
Volume [V]=L 3 m 3 
Velocidade [v] = L/T m/s 
Aceleração [a] = L/T2 m/s 2 
Massa [m] = M kg 
Observação: A análise dimensional pode ser usada para a obtenção ou verificação de 
fórmulas usando as dimensões como quantidades algébricas. Apenas se podem somar 
ou subtrair quantidades que possuam a mesma dimensão. As quantidades em dois 
membros de uma equação terão de ter a mesma dimensão. 
Nota: A análise dimensional não fornece factores numéricos. Por exemplo: a distância 
(x) percorrida por um carro num determinado tempo (t), partindo do repouso com 
aceleração constante (a) é dado por: x = (1/2)at 2. Esta equação pode ser verificada 
através de análise dimensional: 
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m.e. [x] = L 
m.d. (1/2)at2 = (1/2) [a][t 2] = (L/T2) T 2 = L. 
Desde que a dimensão do membro esquerdo (m.e.) da equação seja a mesma que a 
apresentada no membro direito (m.d.) da equação, a equação é dita, 
dimensionalmente homogénea. 
Conversão de Unidades 
Observação: As unidades podem ser utilizadas como quantidades 
algébricas. Por exemplo, podemos utilizar o factor de conversão 1 in = 2.54 
cm para reescrever 15 polegadas em centimetros. 
15 in = 15 in (2.54 cm / 1 in) = 38.1 cm 
Notação Matemática 
 
1. - proporcional a 
 
2. < ou > - menor ou maior que 
 
3. << ou >> - muito menor ou muito maior que 
 
4. - aproximadamenrte igual a 
 
5. - definido como 
 
6. x – variação da quantidade x 
 
7. - somatório 
 
8. |x| - valor absoluto de x 
 
9. $ - Existe 
 
10. Þ - implica que 
 
11. Û - equivalente a 
 
12. = - igual a 
 
 
 
 
 
 
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P(xo,y0) 
Y 
Y0 
X X0 0 
P(r,q) 
Y 
X 0 
r 
q 
Sistemas de Coordenadas 
A localização de um ponto numa linha pode ser descrito por uma 
coordenada; um ponto num plano pode ser descrito por duas coordenadas; 
um ponto num volume tridimensional pode ser descrito por três 
coordenadas. Em geral o número de coordenadas iguala o número de 
dimensões do espaço. Um sistema de coordenadas consiste em: 
1. um ponto de referência fixo (origem) 
 
2. uma série de eixos com direcções e escalas especificadas 
 
3. instruções que especifiquem como caracterizar um ponto no espaço relativo à 
origem e eixos. 
Sistemas de coordenadas no plano 
 
1 – cartesianas (sistema de coordenadas rectangular): (x, y) 
 
 
 
 
 
Com x e y Î Â 
 
2 – polares: (r,q) 
 
 
 
 
 
Com r Î [0, + ¥] e q Î [0, 2p[ 
 
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P(x,y,z) 
P’(x,y,0) 
P’ (r, q, 0) 
P(r, q, z) 
As coordenadas cilindricas (r, q) de um ponto (x,y), são definidas por, 
 
x = r cos q 
y = r sen q 
 
e com relações inversas dadas por, 
 
r = (x2 + y2)1/2 
q = arctg (y/x) 
 
 
Sistemas de coordenadas no espaço 
 
§ Sistemas de coordenadas cartesianas (x, y, z). 
 
 P’ é a projecção de P no plano XOY 
 
 
kzjyixOPOP
rrr
++=-= 
 
 
 
 
 
 
 
Com x, y e z Î Â 
 
§ Sistema de coordenadas cilindricas: (r, qq , z) 
 
 
 
 
kzerOP r
rr
+= 
 
 
 
 
 
 
 
Com r Î [0, + ¥[, q Î [0, 2p[ e z Î Â 
 
 
y 
x 
z 
O
 
i
r
k
r
j
r
 
y 
x 
z 
O
 
k
r
re
r
èe
r
r 
q 
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As coordenadas cilindricas (r, q, z) de um ponto (x,y,z), são definidas por, 
 
x = r cos q 
y = r sin q 
z = z 
 
e inversamente, 
 
r = (x2 + y2)1/2 
q = arctg (y/x) 
 z = z 
§ Sistema de coordenadas esféricas: (r, qq , jj ) 
 
 
 
 rerOP
r
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com r Î [0, + ¥[, q Î [0, 2p[ e j Î [0, p] 
 
As coordenadas esféricas (r, q, j) de um ponto (x,y,z), são definidas por, 
 
x = r cos q sin j 
y = r sin q sin j 
z = r cos j 
 
e inversamente, 
 
r = (x2 + y2+z2)1/2 
q = arctg (y/x) 
 j = arcos (z/r) 
Definição: O vector posição r, em qualquer sistema de coordenadas, especifica a 
posição de um dado ponto relativamente à origem do sistema de eixos utilizado. 
 
 
P(r,q,j) 
y 
x 
z 
O
P’(rsinj,q,p/2) 
r 
q 
j je
r
 
èe
rre
r
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Conceitos matemáticos necessários 
1. Operações com vectores 
 
a) Adição de vectores CBA
rrr
+= 
 
 Notação: 333222111 e)C(Be)C(Be)C(BA
rrrr
+++++= 
 
Exemplo: calculo da força resultante 
 
b) Produto de um vector por um escalar: BbA
rr
= 
 
 Notação: 332211 ebAebAebAA
rrrr
++= 
 
Exemplo: cálculo da força efectiva, quantidade de movimento 
 
 
c) Produto interno: C|Ba
rr
= 
 
 Notação: 332211 CBCBCBa ++= 
 
Exemplo: determinação da componente de uma força numa dada direcção, 
cálculo do trabalho 
 
 
d) Produto externo: CBA
rrr
Ù= 
 
Notação: 
321
321
321
CCC
BBB
eee
A
rrr
r
= 
 
Exemplo: cálculo do momento de uma força, cálculo do momento ângular, 
cálculo da força magnética 
 
 
 
e) Cálculo de determinantes 3x3 
 
Notação: 
 
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)()()(
CCC
BBB
AAA
122133113223321
321
321
321
CBCBACBCBACBCBA-+-+-= 
 
Exemplo: cálculo de momentos e rotacionais 
 
Cálculo diferencial 
a) Derivada e diferencial duma função 
 
Notação: dxdx
df
dff(x)f =Þ= 
 
Exemplo: determinação da velocidade conhecida a posição em função do tempo 
 
b) Derivada da função composta 
 
Notação: [ ] dt
dx
dx
df
dt
df
x(t)ff =Þ= 
 
Exemplo: determinação da velocidade em função do tempo, de um corpo ligado 
a uma mola ou ligado a um dispositivo de amortecimento viscoso 
 
c) Derivada parcial 
x¶
¶
 e gradiente de um campo escalar V(P) 
 
Notação: 
x
V
V(P)
x ¶
¶=
¶
¶
 
 kz
V
j
y
V
i
x
V
gradV
rrr
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
= 
 
Exemplo: relação entre um campo de força conservativo e a respectiva energia 
potencial, determinação do trabalho de uma força conservativa 
 
d) Rotacional de um campo vectorial (P)F
r
 
 
Notação: 
zyx FFF
zyx
kji
Frot
¶
¶
¶
¶
¶
¶=
rrr
r
 
 
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Exemplo: verificação de que um campo de força é conservativo 
 
Cálculo integral 
a) Primitivas e integrais simples 
 
Notação: cteF(x)f(x)dxdFf(x)dx
dx
dF
f(x) +=Û=Û= ò 
 12
x
x
F
F
x
x
FFf(x)dxdFf(x)dxdFf(x)dx
dx
dF
f(x)
2
1
2
1
2
1
-=Û=Û=Û= òòò 
 
Exemplo: determinação da velocidade e/ou posição de um corpo, conhecidas as 
forças que sobre ele actuam 
 
b) Integrais de linha de campos vectoriais 
 
Notação: ò=Û=
ã
dP|FW dP|FäW
rr
, em que g representa um caminho 
 
Exemplo: cálculo do trabalho de uma força 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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'rr
rr
rrD
srD
vr
Cinemática dos Corpos Rígidos 
Introdução 
Estudo das relações existentes entre o tempo, as posições, as velocidades e as 
acelerações das várias partículas que formam um corpo rígido. 
 
Vector posição, velocidade e aceleração 
A posição de uma particula ou ponto material (PM) num dado intante t pode definir-se 
pela utilização de um vector r, traçado num sistema de referência fixo OXYZ. Este 
vector caracteriza-se pela sua: 
 
a) Intensidade 
b) Direcção 
c) Sentido 
 
Assim, define-se de um modo completo a posição de um PM em relação ao sistema de 
eixos. 
Considere a figura seguinte em que o representa um ponto fixo no espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vector posição do PM num determinado instante t em relação a 0 é definido como o 
vector PO
r
, tal que, 
 
 rr = PO
r
(m) 
 
Considere-se agora a posição P’ do PM no instante t + Dt, caracterizado pelo vector rr ’. 
O vector D rr , que une P a P’, traduz a variação do vector posição durante Dt, em termos 
P(x,y,z) 
y 
x 
z 
O 
i
r
 
k
r
 
j
r
 
P’(x’,y’,z’) 
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de direcção e intensidade. Deste modo temos a velocidade média do PM, definida 
como: 
 
 v
r
m = D r
r
 / Dt 
 
Escolhendo-se intervalos de tempo cada vez menores e por conseguinte, vectores Dr 
cada vez menores, obtemos a velocidade instantânea: 
 
v
r
 = lim|Dt -> 0 (D r
r
 / Dt) º d rr / dt (m/s) 
 
A intensidades v do vector vr , designa-se velocidade do PM ou intensidade da 
velocidade. À medida que Dt se torna menor, o comprimento aproxima-se do 
comprimento do arco PP’, sendo v dado por: 
 
 v = lim|Dt -> 0 (PP’ / Dt) = lim|Dt -> 0 (DD s / Dt) º ds / dt (m/s) 
 
Pode-se assim obter a velocidade v, derivando em ordem a t o comprmento s do arco 
descrito pelo PM. 
 
De modo análogo se obtém a aceleração média do PM, como, 
 
 a
r
m = D v
r
 / Dt 
 
De salientar que a variação da velocidade se dá em direcção e intensidade. 
A aceleração instantânea, a qual corresponde à taxa de variação da velocidade no 
tempo, é representada pelo vector a dado por, 
 
 ar = lim|Dt -> 0 (D vr / Dt) º dvr / dt = drr 2 / dt2 (m/s2) 
 
De salientar ainda que, geralmente o vector aceleração não é tangente à trajectória 
descrita pelo PM. 
 
A trajectória é a curva definida pelas sucessivas posições do PM. Em geral a posição, 
velocidade e aceleração do PM dependem do tempo, ou seja, 
 
 rr = rr (t) 
vr = vr (t) 
ar = ar (t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A 
A’ 
B 
B’ 
A 
A’ 
B 
B’ 
Translacção 
O movimento de um corpo rígido (CR) diz-se de translacção quando qualquer recta 
definida por dois pontos genéricos no CR conserva a mesma direcção durante o 
movimento. Todas as particulas que formam o corpo deslocam-se segundo trajectórias 
paralelas. 
 
a) Translacção rectilínea 
Quando as trajectórias são linhas paralelas 
 
 
 
 
 
b) Translacção curvilínea 
Quando as trajectórias são linhas curvas 
 
 
 
 
 
Rotação em torno de um eixo fixo 
Neste tipo de movimento de um CR, as partículas movem-se em planos paralelos e 
segundo circuinferências em torno do mesmo eixo fixo. Se o eixo de rotação intersectar 
o corpo rígido, as partículas localizadas sobre ele terão velocidades e aceleração nulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Translacção curvilínea Rotação 
A 
B 
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Movimento rectílineo variado 
 
O movimento de um corpo diz-se rectilíneo quando a respectiva trajectória é uma recta. 
Para o movimento rectilíneo temos, r // v
r
 // a, e pode estudar-se o movimento apenas 
com as seguintes expressões, 
 
 rr = x ir 
 
 vr = vx i
r
 = v i
r
, com v = dx/dt 
 
ar = ax i
r
 = a i
r
 , com a = dv/dt 
 
O movimento diz-se variado quando a aceleração não é constante. Quando a aceleração 
é constante o movimento diz-se uniformemente variado. 
 
Dada a posição em função do tempo, a determinação de v
r
 e a
r
 é obtida directamente 
por derivação. Contudo, quando se pretende determinar v
r
 e rr , dada a aceleração tem 
que se efectuar a integração das equações do movimento. 
Aceleração como função do tempo: a = a(t) 
Sabendo-se que, 
 
 a(t) = dv/dt 
 
obtém-se, 
 
 ò+=
t
t
dt)t(avv
0
0 
 
ou seja, dada a função a(t) e a velocidade num instante inicial t0 é possível determinar a 
velocidade em função do tempo. 
 
Para se obter a posição efectua-se o mesmo tipo de raciocinio, ou seja, sendo v = v(t) e 
sabendo-se que, 
 
 v(t) = dx/dt 
obtém-se 
 ò+=
t
t
dt)t(vxx
0
0 
Então, dada a velocidade v(t) e a posição num instante t0 é possível determinar a posição 
em função do tempo. 
Aceleração como função da velocidade: a = a(v) 
Quando a aceleração é dada em função da velocidade a = a(v), tem de se efectuar 
alguma manipulação das expressões antes de se integrar. Então de, 
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 a(v) = dv/dt Û dt = dv/a(v) 
 
obtém-se 
 
 ò=-
v
v
dv
)v(a
tt
0
1
0 
 
conhecida a expressão a(v) e a velocidade no instante t0, pode determinar-se a 
velocidade em função do tempo. 
 
Pode ainda determinar-se x directamente da a = a(v). Ou seja, sendo, a=a(v), então, 
 
 a(v) = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx 
 
obtendo-se 
 
 ò+=
v
v
dv
)v(a
vxx
0
0Logo, obtém-se a posição em função da velocidade. 
 
Aceleração como função da posição: a = a(x) 
 
Seguindo o mesmo tipo de raciocínio, temos então, 
 a(x) = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v (dv/dx) 
 
obtendo-se 
 ò+=
x
x
dx)x(avv
0
0
222 
ou seja, para determinar a velocidade basta conhecer a(x), e a posição e velocidade num 
instante t0. 
Casos Particulares 
1 – Movimento rectilíneo uniforme 
 
Sendo, 
 v = dx/dt = cte, 
 
logo da expressão anterior, 
 
ò+=
v
v
dv
)v(a
vxx
0
0 
obtemos, 
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 x = x0 + v(t-t0) 
 
2 – Movimento rectilíneo uniformemente acelerado 
 
Para este tipo de movimento, temos, 
 
 a = dv/dt = cte 
 
Considerando a expressão, ò+=
t
t
dt)t(avv
0
0 , obtém-se, 
 
 v = v0 + at 
 
assumindo que t0 = 0. Considerando agora esta nova equação, e sabendo-se que: 
 
 v = dx/dt = v0 + at 
obtém-se 
 
2
2
00
attvxx ++= 
 
Considerando agora a expressão, 
 
ò+=
x
x
dx)x(avv
0
0
222 
então para o tipo de movimento em questão obtemos, 
 
 )xx(avv 0
22 2
0
-+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Componente tangencial e normal da aceleração 
Como já se verificou, a velocidade de um corpo é um vector tangente à sua trajectória, 
mas, em geral a aceleração não o é. Torna-se por conseguinte, conveniente decompor a 
aceleração em componentes, dirigidas segundo a tangente e a normal à trajectória do 
corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo a velocidade da particula tangente à trajectória, podemos expressá-la pelo 
produto do escalar v pelo versor te
r
 , ou seja, 
 v
r
= v te
r
 
 
Para obter a aceleração do corpo, devemos derivar esta equação em ordem a t, ou seja, 
 
 
dt
ed
ve
dt
dv
)ev(
dt
d
dt
vd
a ttt
rrrrr
+=== 
Desenvolvimento de: 
dt
ed t
r
 
Projectando as componentes normal ( ne
r
) e tangencial ( te
r
) no sistema de eixos 
cartesianos, temos, 
 
 
 te
r
 = cosqi + senqj 
 
 ne
r
 = -senqi + cosqj 
 
 
 
 
Então, x 
y 
q 
q 
i 
j te
rne
r
Trajectória 
dq 
P 
P’ 
te
r
 – versôr tangente à 
trajectória em P 
te
r
’ – versôr tangente à 
trajectória em P’ 
ne
r
 – versôr normal à 
trajectória em P 
ne
r
’ – versôr normal à 
trajectória em P 
r - raio da 
curvatura 
C – centro da 
curvatura 
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j)e(
dt
d
i)e(
dt
d
dt
ed
ytxt
t
rrr
+= 
 
)jcosisen(
dt
d
jcos
dt
d
i)sen(
dt
d
jsen
dt
d
icos
dt
d
dt
ed t
rrrrrrr
q+q-
q
=q
q
+q-
q
=q+q=
 
 n
t e
dt
d
dt
ed rr q= 
 
Sabendo-se que, 
 
 v
1
dt
ds
ds
d
dt
d
r
=
q
=
q
 
porque, 
 v
dt
ds
 e 
1
ds
d
=
r
=
q
 
 
onde r corresponde ao raio de curvatura. Então, 
 
 
r
=
q v
dt
d
 
logo, 
 n
t e
v
dt
ed rr
r
= 
então, 
 
 n
2
t e
v
e
dt
dv
dt
vd
a
rrrr
r
+== 
 
sendo, 
 
i) 
dt
dv
aT = , a componente tangencial da aceleração. Taxa de varição do 
módulo da velocidade 
 
 
ii) r
=
2
n
v
a , a componente normal da aceleração. Relaciona-se com a taxa 
de variação da direcção da velocidade e é sempre ³ 0, logo o vector da 
aceleração aponta sempre para a parte concava da trajéctória. 
 
dq dS =r dq 
r 
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O módulo da aceleração vem então dado por, 
 
 2
42
2
n
2
T
v
dt
dv
aaa
r
+÷
ø
öç
è
æ=+= 
 
Casos particulares 
 
1) 
 movimento existe Não 0v ii)
uniforme rectilíneo Movimento 
ctev
)i
ou
0v
0
v
a
ctev0
dt
dv
a
2
n
T
Þ=
î
í
ì
Þ
þ
ý
ü
¥=r
=
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
¥=r
=
Þ=
r
=
=Þ==
 
 
2) 
 uniformecircular Movimento 
ctecte
v
a
ctev0
dt
dv
a
2
n
T
Þ
ï
ï
þ
ïï
ý
ü
=rÞ=
r
=
=Þ==
 
 
 
3) Sempre que aT = 0 Û dv/dt = 0 Þ v = cte, logo o movimento é uniforme. 
 
 
4) Sempre que aT = cte Û dv/dt = cte Þ v µ t, e o movimento é uniformemente 
variado. 
 
 
5) Sempre que an = 0 Û v2/r = 0, então v = 0 e não existe movimento, ou, r = ¥ e 
o movimento é rectilíneo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
aT eT
en 
an a 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 19 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Componentes radial e transversal da velocidade e 
aceleração 
Em alguns problemas do movimento plano, a posição de um corpo define-se através das 
suas coordenadas polares r e q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Torna-se então necessário decompor a velocidade e aceleração do corpo segundo duas 
direcções, uma paralela e outra perpendicular à linha OP, as quais se designam por 
componente radial e transversal, respectivamente. 
 
Sendo, 
 
 q=q
e
d
ed r r
r
 e red
ed rr
-=
q
q 
e como, 
 rerr
rr
= 
então, 
 
dt
ed
rer
dt
ed
re
dt
dr
)er(
dt
d
dt
rd
v rr
r
rr
rr&
rrrrr
+=+=== 
aplicando a regra da diferenciação em cadeia, 
 
 q
q
q
= q&
rrr
e
dt
d
d
ed
dt
ed rr 
Então substituindo em v
r
, temos, 
 
 qq+= ererv r
r&r&r 
 
onde: 
 1) rvr &= , representa a componente radial da velocidade 
e 
 2) q=q &rv , representa a componente transversal da velocidade 
 
 
Diferenciando novamente em ordem a t, obtemos a aceleração, ou seja, 
 
 
dt
ed
rerer
dt
ed
rer
dt
vd
a rr
q
qq q+q+q++==
r
&r&&r&&
r
&r&&
rr
 
Sabendo-se que, 
 
x 
q 
O 
y 
P r 
re
r
 qe
r
 
i
r
 
j
v
 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
 qq= edt
ed r r&
r
 
e aplicando agora a regra da diferenciação em cadeia a 
dt
ed q
r
, temos, 
 
 q-=
q
q
= qq &r
rr
redt
d
d
ed
dt
ed
 
Substituindo agora na expressão da aceleração, obtemos, 
 
 ( ) r2r erererererdt
vd
a
r&r&&r&&r&&r&&
rr
q-q+q+q+== qqq 
 ( ) qq+q+q-= e)r2r(e)rr(a r2 r&&&&r&&&r 
 
 com: 
 1) ( )2r rra q-= &&& , representando a componente radial aceleração 
e 
 2) q+q=q &&&& r2ra , representando a componente transversal aceleração. 
 
 
Caso Particular – Movimento Circular 
 
Para este tipo de movimento temos, 0==Þ= rrcter &&& 
 
Logo, 
 
 
î
í
ì
q=
q-=
î
í
ì
q=
=
q
q
&&
&
&
ra
ra
e
 
rv
v
r
r
2
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Movimento curvilíneo variado 
Quando o movimento é variado, a aceleração não é constante e a determinação da 
velocidade e posição em função do tempo a partir da aceleração envolve integração das 
equações do movimento. 
 
Seja, 
 )(tr r e )t(vv ),t(aa 00
rrrrrr
=== 00 
então, 
 
 òòò +=Û=Û=Û=
t
t
t
t
v
v
dtavvdtavddtavd
dt
vda
000
0
rrrrrrrrr r
r 
 
e 
 
 òòò +=Û=Û=Û=
t
t
t
t
r
r
dtvrrdtvrddtvrddt
rdv
000
0
rrrrrrrrr r
r 
 
Em coordenadas cartesianas estas equações vectoriais passam à forma: 
 
ò+=
t
t
xxx dtavv
0
0 
ò+=
t
t
YYY dtavv
0
0 
ò+=
t
t
ZZZ dtavv
0
0 
 
e 
 
ò+=
t
t
xdtvxx
0
0 
ò+=
t
t
ydtvyy
0
0 
ò+=
t
t
zdtvzz
0
0 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Quando se conhecem as componentes tangencial e normal da aceleração pode 
proceder-se à integração das equações do movimento como se descreveu para o 
movimento rectilíneo, tendo em conta que se deve substituir a aceleração por aceleração 
tangencial, ou seja, 
 
Se aT =aT(t), pode usar-se a relação desta com v para determinar v(t): 
 
 òòò +=Û=Û=Û=
t
t
T
t
t
T
v
v
TT dtavvdtavddtadvdt
dva
000
0 
 
Se aT =aT(s) ou aT =aT(v), efectuam-se as mudanças de variável necessárias e obtêm-se 
expressões análogas às obtidas no caso do movimento rectilíneo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Rotação em Torno de um eixo fixo 
O movimento de um corpo rígido (CR, não deformável), diz-se de rotação em torno de 
um eixo fixo quando todas os ponto do corpo se deslocam em trajectórias circulares 
paralelas e centradas na mesma recta fixa, designada por eixo de rotação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deslocamento, velocidade e aceleração angular 
Seja um corpo rígido plano, confinado ao plano xy, e considere-se uma das suas 
partículas inicialmente sobre o eixo OX. Durante o movimento da partícula, desde o 
eixo OX (q = 0) até ao ponto P, ela 
descreve um arco de circunferência de 
comprimento S, que se relaciona com a 
posição angular q, através da 
expressão, 
 
 s = rq 
 
ou 
 
 q = s/r 
 
 
Sendo q a razão entre o comprimento de arco e o raio da circunferência, então q 
corresponde a um número puro. Contudo atribui-se a q a unidade artificial, radiano 
(rad), para a qual: 
 
 1 rad º ângulo compreendido por um comprimento de arco igual ao raio do arco. 
 
Com o movimento da partícula em questão, de P para Q, num determinado Dt, o raio 
vector desloca-se, 
 
 Dq = qf - qi (deslocamento angular) 
 
Definindo-se então a velocidade angular média como: 
 
A 
B 
x 
y 
P 
r 
S q 
O 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
 
ttt if
if
D
qD=
-
q-q
=w 
 
e a velocidade angular instântanea, como, 
 
(rad/s) 
dt
d
tlimt
q=
D
qD=w
®D 0
 
 
 
 
 
A velocidade angular, w, é positiva quando q aumenta (movimento no sentido contrário 
ao dos ponteiros do relógio) e negativo quando q diminui (sentido dos ponteiros do 
relógio). 
 
A aceleração angular média, a , de um objecto em rotação é definida como: 
 
 
ttt if
if
D
wD=
-
w-w=a 
 
e a aceleração instântanea, como, 
 
 )(rad/s 
dt
d
dt
d
t
2
t
lim 2
2
0
q
=
w
=
D
wD
=a
®D
 
 
a é positivo quando a taxa de rotação aumenta no sentido contrário ao dos ponteiros dos 
relógio, ou quando a taxa de rotação decresce no sentido contrário dos ponteiros do 
relógio. 
 
Aquando da rotação em torno de um eixo fixo, qualquer que seja a partícula de um 
objecto rígido, roda o mesmo ângulo e tem a mesma velocidade e aceleração angular 
que o corpo. Isto é, as quantidades, q, w e a de um determinado ponto material do corpo 
caracterizam o movimento rotacional de todo esse corpo rígido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
P, ti r 
q f 
O 
r 
q i 
Q, tf 
x 
y 
A 
rB 
q B 
O 
rA 
q A 
B 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Direcção de ww e aa 
Para a rotação em torno de um eixo fixo, a única direcção que específica o movimento 
rotacional é a direcção ao longo do eixo de rotação. Portanto as direcções de w e a são 
ao longo deste eixo. 
A direcção de w
r
 segue a 
convenção da regra da 
mão direita, isto é, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A direcção de a
r
 segue a definição de dw
r
/dt. Possui a mesma direcção de w
r
, se a 
velocidade angular aumenta com o tempo e é antiparalela a w
r
 se a velocidade angular 
decresce com o tempo. 
Componentes radial e transversal 
Sabendo-se que o vector posição, velocidade e aceleração, em coordenadas radial e 
transversal são dadas por: 
 
rr re zk= +
rr r
 
qq+= ererv r
r&r&r 
( ) qq+q+q-= e)r2r(e)rr(a r2 r&&&&r&&&r 
 
 
 
 
 
 
 
então para o movimento de rotação em torno de um eixo fixo, temos para cada partícula 
desse mesmo corpo, r = cte e z = cte. Então resulta, 
 
 
0
0
r r
z z
= =
= =
& &&
& && 
 
resumindo as expressões gerais a: 
 
rr re zk= +
rr r
 
v r e r eq qq w= =
r r r& 
( )2 2r ra r e r e r e r eq qq q w a= - + = - +r r r r r& && 
 
w
r
 
 v
r
 
vr 
w
r
 
 
vr 
 
y 
x 
z 
O
 
k
r
re
r
èe
r
r 
q 
ISEL/DEC 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
De salientar que a coordenada angular q define completamente a posição do corpo 
rígido. 
Relações entre as variáveis lineares e angulares 
(forma escalar) 
Uma partícula move-se uma distância s ao longo de um arco quando o corpo gira um 
ângulo q. Portanto: 
 
 s = r ´ q 
 
Diferenciando ambos os membros em ordem ao tempo, temos, 
 
 sendo r = cte
dS dr
dt dt
q
= 
 
Como a velocidade linear é dada por, v = 
dS
dt
, e a velocidade angular por, w = 
d
dt
q
, 
então é válida a seguinte relação, 
 v = w ´ r 
o que nos permite relacionar os módulos da velocidade linear tangencial e da velocidade 
angular. 
 
Diferenciando esta última equação em ordem ao tempo, temos 
 
 sendo r = cte
dv dr
dt dt
w
= 
 
Como, a aceleração tangencial é dada por, 
 
 T
dv a
dt
= 
 
e a aceleração angular por, 
 
 
d
dt
w
a= 
 
então, temos a relação entre os módulos da aceleração tangencial e angular dada por, 
 
 aT = a ´ r 
 
Sabendo-se que a aceleração normal é dada por, 
 
2
n
va
r
= 
e utilizando agora a expressão que relaciona os módulos das velocidades temos, 
 
 2na rw= ´ 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
 
 
Propriedades 
Na rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, tém-se, 
 
i) vr é sempre transversal e exprime-se como v = w ´ r 
 
ii) sendo para este tipo de movimento, r = cte, então ar tem componentes radial e 
transversal que coincidem com as componentes normal e tangencial, 
respectivamente, ou seja, 
 
an = r w2 = r ´ (q& )2 = ar 
 
e 
 
aT = r ´ a = r ´ q&& = - aq 
 
podendo o módulo da aceleração ser dado por, 
 
2 2 2 4 2 2 2 2
ra a a r r rq w a a w= + = + = + 
 
iii) As equações que definem a rotaçao de um corpo rígido em torno de um eixo 
fixo são: 
 
a) 
0
0( ) ( )
t
t
dt t dt
dt
q
w q q w= Þ = + ò 
 
b) 
0
2
02
( ) ( )
t
t
d dt t dt
dt dt
w q
a w w a= = Þ = + ò 
 
c) 
0
0
2 2( ) ( )
d d d d d
dt d dt d
q
q
w w q w
a q w w w a q q
q q
= = = Þ = + ò 
 
iv) Casos particulares 
 
a) movimento de rotação uniforme 
 
para este tipo de movimento temos: 
 
 a = 0 Þ aT = 0 
 
w = cte Þ an = cte e v = cte 
 
q = q0 + wt, assumindot0 = 0 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
 
b) movimento de rotação uniformemente acelerado 
 
Para este tipo de movimento temos, 
 
a = cte Þ aT = cte 
 
w = w0 + at Þ an = f(t) e v = f(t), assumindo t0 = 0 
 
q = q0 + w0t + (1/2)at2 , assumindo t0 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Operadores Diferenciais 
Os campos podem ser classificados tanto como escalares ou vectoriais. 
Um campo escalar é uma função singular do espaço e tempo, onde para cada ponto do 
espaço P(x, y, z) está associado um escalar (o qual é independente do sistema de 
coordenadas escolhidas). A temperatura de um volume de gás, a altitude e a densidade 
de um volume de rocha são exemplos de campos escalares. 
Exemplos: 
1 – Temperatura T = T(x, y, z) 
Ao ponto P do espaço 3D corresponde um valor de 
temperatura, ou seja, T é uma função de (x, y, z). 
 
 
2 – Altitude h = h(x,y) 
Ao ponto P de uma superfície corresponde 
um cota ou altitude, que é a coordenada z 
do ponto. 
 
 
 
 
Um campo vectorial, tal como o fluxo de calor, velocidade de um fluido e a atracção 
gravitacional, deve ser caracterizada por três funções do espaço e tempo, 
nomeadamente, as componentes do campo em três direcções ortogonais. 
Um campo vectorial pode ser caracterizado pelas suas linhas de campo (também 
conhecidas como linhas de fluxo ou linhas de força), linhas essas, que são tangentes em 
todos os pontos ao campo vectorial. 
Portanto, para um campo vectorial, a cada ponto do espaço P(x, y, z) está associado um 
vector. 
 
 
Z 
Y x 
P(x,y,z) 
Z 
Y x 
P(x,y,z) 
h 
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Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 30 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Exemplo: Velocidade de 
escoamento numa contuda 
 
Para qualquer ponto P(x, y, z) há 
uma velocidade de escoamento, em 
que ( , , )v v x y z=r r 
 
Exemplo: Velocidade de qualquer ponto de um corpo rígido em rotação, onde ( )v v r=r r , 
sendo r a distância de cada ponto ao eixo de rotação. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Campo gravitacional ( )G G r=
r r
, sendo r a distância a O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
Y 
3( )v v r=
r r
 
2( )v v r=
r r
 
1( )v v r=
r r
 
O 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Gradiente 
O gradiente de um campo escalar num ponto é um vector que aponta no sentido da 
maior variação de intensidade do campo escalar e cujo módulo é a derivada direccional 
do campo escalar. 
Matematicamente o gradiente de uma função escalar f em coordenadas cartesianas 
escreve-se como: 
 x y z
f f f
grad(f) f e e e
x y z
¶ ¶ ¶
= Ñ = + +
¶ ¶ ¶
rr r r r
 
sendo Ñ
r
 o operador nabla, o qual é dado em coordenadas cartesianas por, 
 x y ze e e
x y z
¶ ¶ ¶
Ñ = + +
¶ ¶ ¶
r r r r
 
Sendo u(x, y, z) = u0 uma função escalar representativa de uma superfície em Â3 de 
valor constante u0, então para qualquer ponto sobre esta superfície tem-se a diferencial 
exacta 
u u u
du dx dy dz 0
x y z
¶ ¶ ¶
= + + =
¶ ¶ ¶
 
visto que u = u0 = cte. Então 
 ( )x y z x y zu u udu u |dP e e e | dxe dye dze 0
x y z
æ ö¶ ¶ ¶
= Ñ = + + + + =ç ÷¶ ¶ ¶è ø
r r r r r r r r
 
ou seja, Ñ
r
u ^ dP
r
, em que dP
r
 é um vector elementar sobre a superfície. Então daqui 
verifica-se que Ñ
r
u para qualquer ponto da superfície u(x, y, z) = u0 = cte é 
perpendicular à mesma (verifique exemplo apresentado na figura). Mais ainda, o Ñ
r
u 
aponta no sentido crescente da maior variação de u. 
 
 
 
 
 
 
 
Superfície u (x, y, z)=u0 
Ñ
r
u 
Ñ
r
u 
Ñ
r
u 
dP
r
 dP
r
 dP
r
 
A 
B 
C 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Exemplo: Seja a função escalar u = 3x2 + 5y3. O seu gradiente é então dado por: 
 2u 6xi 15y j 0kÑ = + +
r r rr
 
em que para o ponto P(1,1), temos o gradiente dado por, 
 u 6i 15jÑ = +
r rr
 
correspondendo a componente do Ñ
r
u numa dada direcção à taxa de variação do campo 
escalar definido pela função u nessa direcção: 
 
P(1,1) P(1,1)
u u
6 e 15
x y
æ ö¶ ¶æ ö = =ç ÷ç ÷¶ ¶è ø è ø
 
 
Circulação e Rotacional de um campo vectorial 
 
A circulação de um campo vectorial a
r
 é definido por: 
 
 C |dP
g
= aò
rrÑ 
 
correspondendo por conseguinte à soma da componente 
tangencial de a
r
 ao longo do caminho fechado g. 
 
No exemplo da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo OZ, temos a 
circulação máxima da velocidade quando escolhemos um circunferência paralela à 
superfície OXY centrada em OZ. Seja então g uma circunferência de raio r = r0 (como 
se apresenta na figura adjacente). Logo a circulação do campo vectorial de velocidade 
vem dado por, 
 
 
0
0
r r
C v|dP vds v ds v2 r
g g =
= = = = pò ò ò
rrÑ Ñ Ñ 
tendo em consideração que Tv ve=
rr
 com v 
constante em g e em qualquer instante, e que 
TdP dse=
r r
 
 
Como se pode depreender, a circulação de v
r
 
corresponde ao produto do módulo da velocidade 
pelo perímetro de g, mas pode também ser escrita 
em função da velocidade angular w e da área (A): 
 
 V = w r0 Þ C = 2pv r0 = 2pw(r0)2 = 2wA 
 
 
w
r
X 
Y 
Z 
O 
gg 
gg 
a
r
dP
r
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
w
r
X 
Y 
Z 
O 
gg 
Se escolhermos uma circunferência de igual 
raio mas paralela a OXZ ou a OYZ, então a 
circulação de v
r
 será nula, 
 
C v |dP 0
g
= =ò
rrÑ 
visto que v
r
 está restringido ao plano OXY 
enquanto que as trajectórias se enquandram em 
planos perpendiculares a este, ou seja, v
r
^ dP
r
. 
 
 
 
Rotacional 
O rotacional de um campo vectorial a
r
 num determinado ponto P corresponde a um 
vector cuja direcção indica a orientação da curva fechada para a qual a circulação do 
campo é máxima, e de módulo igual à circulação por unidade de área, ou seja, 
 
 
A 0
|rot | lim
|dP
A
®
a = g
aòr
rrÑ
 
Em coordenadas cartesianas, sendo o campo vectorial a
r
, 
dado por: 
 
 x y zi j ka = a + a + a
r r rr
 
então 
 
y yz x z x
x y z
î j k
rot i j k
x y z y z z x x y
¶a ¶aæ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶a ¶a ¶a ¶aæ öa = Ñ Ù a = = - + - + -ç ÷ ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è øè ø è ø
a a a
r rr
r r rrr r
 
 
em que Ù representa o produto vectorial (ou 
externo). 
 
Exemplo: 
Considere-se a rotação de um corpo rígido em 
torno de um eixo fixo OZ. Então, sabendo-se 
que o vector velocidade linear é dado pelo 
produto externo entre a velocidade angular e o 
raio da trajectória, temos, 
 
w
r
X 
Y 
Z 
r
r
P(x, y, z) 
A 
P 
g 
rota
r
 
ISEL/DEC 
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Alexandra Afilhado e Pedro Silva 34 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
 
î j k
v r 0 0 yi xj
x y z
= w Ù = w = -w + w
r rr
r rr rr
 
 
então o rotacional de v
r
, vem dado por, 
 
 
î j k
rotv k k 2 k
x y z
y x 0
¶ ¶ ¶
= Ñ Ù a = = w + w = w
¶ ¶ ¶
-w w
r rr
r r rr rr
 
Logo verifica-se que para a rotação de um corpo rígido, o rotacional do campo vectorial 
das velocidades é um campo vectorial cujovalor é o mesmo em qualquer ponto e está 
direccionado ao longo do eixo de rotação com o dobro da magnitude da velocidade 
angular. Tal resultado pode ainda ser verificado a partir da definição do módulo do 
rotacional, ou seja, sendo C = 2wA, obtém-se, 
 
 
A 0
|rotv| lim
A 0
v|dP 2 A
lim 2
A A
®
=
®
wò = = w
r
rrÑ 
como seria de esperar. 
 
 
Observação: 
 
Um campo vectorial a
r
 é conservativo sse o rota
r
 = 0 e neste caso existe um campo 
escalar u tal que a
r
 = Ñ
r
u. 
 
Para verificar se um campo a
r
 é conservativo, basta verificar se todas as componentes 
de rota
r
 se anulam, ou seja, verificar se, 
 
y yz x z x0 e 0 e 0
y z z x x y
¶a ¶aæ ö æ ö¶a ¶a ¶a ¶aæ ö- = - = - =ç ÷ ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è øè ø è ø
 
 
ou seja, para que a
r
 seja conservativo deve ter-se: 
 
 y yz x z x, e 
y z z x x y
¶a ¶a¶a ¶a ¶a ¶a
= = =
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
 
 
ou seja, verificar se as derivadas cruzadas são nulas. 
 
Exemplos: 
 
1 – Verificar que o campo de velocidades de um corpo rígido em rotação em torno do 
eixo OZ não é conservativo. 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 35 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
 
Como já se verificou, 
 
 v yi xj= - w + w
r rr
 
 
resultando 
y
x
v
x
v
y
¶
= w
¶
¶
=-w
¶
 
 
logo não se verifica a igualdade para estas derivadas cruzadas, pelo que o campo de 
velocidades não é conservativo. 
 
2 – Verificar que o campo gravítico à superfície terrestre é conservativo 
 
P
r
Sendo o peso à superfície (P
r
) dado por: 
 
 P mg mgj= = -
rr r
 
então, verifica-se que, 
 
 
y yz x z x0, 0 e 0
y z z x x y
¶a ¶a¶a ¶a ¶a ¶a
= = = = = =
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
 
 
pelo que se conclui que o campo gravítico à superfície terrestre é conservativo. 
Integral de Linha 
Para o cálculo do integral de linha, ou seja, o integral ao longo de uma trajectória, dado 
por, F|dP
g
ò
r rÑ tem que se conhecer a expressão de Fr =Fr (x, y, z) e determinar a respectiva 
componente tangencial ao longo do caminho g: 
 T x y z x y zF ds F|dP (F i F j Fk) | (dxi dyj dzk) F dx F dy Fdz= = + + + + = + +
r r r r r rr r
. 
Exemplo: Seja F 2i 4 j 5zk= + +
r r rr
 e a trajectória dada pelo gráfico, ou seja, dP dyj=
rr
 
 
 
 
 
X 
Z 
Y 
P
r
X 
Z 
Y 
A B 
Y 
B 
Y 
A 
Z = Z 
A B 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Então de A para B, temos, 
AF|dP (2i 4 j 5z k)|(dyj) 4dy= + + =
r r r rr r
 
integrando, obtemos, 
 ( )
B
A
Y
B A
Y
F|dP 4dy 4 y y
g
= = -ò ò
r r
 
 
Quando o trajecto g é constituido por vários segmentos como se apresenta na figura, 
então podemos escrever, 
A B B C C D
F|dP F|dP F|dP F|dP
g ® ® ®
= + +ò ò ò ò
r r r r r r r r
 
 
 
 
 
Se o campo F
r
 é conservativo deve ter-se F
r
 = Ñ
r
u, logo, 
 
B
A
u
B A
u
F|dP u |dP du u u
g g
= Ñ = = -ò ò ò
r r r r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
Z 
Y 
C 
B 
A 
D 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Dinâmica 
Ao estudo da relação entre o movimento de um corpo e as causas desse movimento, 
chama-se dinâmica. Pela experiência diária sabemos que o movimento de um corpo é 
um resultado directo da sua interacção com outros corpos que o cercam. As interacções 
são convenientemente descritas por um conceito matemático denominado força. O 
estudo da dinâmica é basicamente a análise da relação entre a força e as variações do 
estado de movimento de um corpo. 
 
Neste capítulo será introduzido o conceito de força. Serão discutidas as leis de Newton, 
as quais descrevem o modo de como um corpo responde a um conjunto de forças. Serão 
também apresentadas as forças de atrito e o modo de como podem ser matematicamente 
representadas. 
 
Observações 
1 - A força é a causa do movimento na mecânica clássica. A mecânica clássica trabalha 
com sistemas de dimensão >> 10-10m (dimensões atómicas) e velocidades << 3.0 ´ 108 
m/s (aproximadamente a velocidade da luz). 
 
2 – A força é um vector 
 
3 – Existem dois tipos de forças: 
 
a) Forças de contacto. As quais envolvem o contacto físico entre objectos. A 
compressão de uma bola, o puxar de uma porta, são exemplos deste tipo de força. 
 
b) Campos de forças. As quais não implicam contacto físico entre objectos. O campo 
gravitacional e o campo electromagnético são exemplos deste tipo de forças. 
Primeira Lei de Newton ou Lei da Inércia 
Enunciado: um objecto que se encontre em repouso ficará em repouso e um objecto 
que se encontre em movimento manterá o seu movimento a velocidade constante, se não 
existir qualquer tipo força externa entre o objecto e o ambiente que o rodeia. De 
salientar no entanto, que tal comportamento não existe no universo, uma vez que toda a 
partícula está sujeita a interacções com o resto do universo físico. 
 
Um corpo que não está sujeito à interacção é dito livre. 
 
A expressão matemática que traduz a Primeira Lei de Newton, está de acordo com, 
 
 
 0 0F a= Þ =å
r r
 
 
 
 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Segunda Lei de Newton ou Lei fundamental da 
dinâmica 
Antes de se considerar a 2ª Lei, propriamente dita, tem de se ter em consideração: 
 
i) a quantidade de movimento 
e 
ii) o princípio da conservação da quantidade de movimento 
 
A quantidade de movimento, também denominado de momento cinético, ou 
simplesmente momento de um partícula, é definido como o produto da sua massa pela 
sua velocidade. Designado por, 
 
 P mv=
r r
 
 
Pode-se agora dar outro enunciado à Lei de Inércia, dizendo-se que, 
 
Uma partícula livre move-se sempre com quantidade de movimento constante. 
 
O princípio da conservação diz-nos que a quantidade de movimento total de um sistema 
de partículas isolado é constante, ou seja, 
 
 1 2 3 ...i n
i
P P P P P P cte= = + + + + =å
r
 
 
À variação temporal da quantidade de movimento de uma partícula dá-se o nome força 
(resultante), ou seja, 
 
 
dPF
dt
=
rr
 
 
Então, a massa constante, temos, 
 
 ( ) 0
d dm dvF mv v m ma
dt dt dt
= = + = +
rr r r r
 
 
 
dvF m ma
dt
= =
rr r
 ÜÜ 2ª Lei de Newton 
 
Observações 
· quando F
r
 é constante e a
r
é inversamente proporcional à massa. Tal significa, que 
para a mesma força, uma massa mais pequena terá uma maior aceleração. 
· A 2ª Lei de Newton é uma quantidade vectorial que compreende três equações 
escalares (em três dimensões): , , x x y y z zF ma F ma F ma= = =å å å 
· A 1ª Lei de Newton é um caso especial da 2ª Lei de newton. 
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· A unidade de força no Sistema Internacional (SI) é o Newton (N). 1 Newton é a 
força que produz uma aceleração de 1m/s2 quando actua sobre uma massa de 1kg. 
Equilíbrio dinâmico 
Tendo em consideração a 2ª Lei de Newton, na forma, 
 
0F ma- =
r r
 
 
a qual pode ser interpretada como uma adição do vector ma- r ao conjunto das forças 
actuantes sobre partículas cujo resultado é um sistema de vectores equivalente a zero. 
 
Se tivermos, 
 
 
 
 
( )F ma=å
r r
 
 
 
 
então para o sistema se encontrar em equilíbrio dinâmico teremos de ter, 
 
 
 
 
( 0)F ma- =å
r r
 
 
 
 
 
em que ma- r corresponde à força de inércia. 
 
Definição: 
 
a) Inércia, é a tendênciaque um objecto tem em resistir a qualquer tentativa de 
alteração do seu estado de movimento. 
 
Por exemplo, se considerarmos as componentes normal e tangencial da aceleração, 
teremos o vector inércia segundo essas duas componentes, -man e –mat, em que, 
 
i) a componente tangencial traduz a resistência que o corpo oferece a uma 
mudança da intensidade da sua velocidade. 
 
ii) a componente normal (ou força centrifuga), representa a tendência do corpo 
para deixar a trajectória curva. 
 
1F
r
2F
r
m 
mar 
1F
r
2F
r
m 
- ma
r
 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
As forças de inércia, como por exemplo, 
dvm
dt
- e 
2vm
r
- , surgem como uma 
resistência à variação do estado de movimento dos corpos. No caso de um elevador, 
dvm
dt
- , é a oposição à variação de v. No caso de um automóvel a efectuar uma 
curva, 
2vm
r
- , corresponde à oposição à mudança de direcção de v. 
 
b) Massa (m), é a força necessária por unidade de aceleração produzida e é uma 
medida da inércia. A massa é uma quantidade escalar e tem como unidades no 
sistema internacional (SI) o quilograma (kg). 
 
Por exemplo, se uma bola de “bowling” e uma bola de golfe forem projectadas, 
verificar-se-à que será mais difícil de obter movimento para a bola de “bowling”, 
uma vez que possui mais massa e por conseguinte uma maior inércia. 
 
c) Peso ( pr ), é a força exercida num objecto pelo campo gravitacional. Da segunda lei 
de Newton, vem, 
 
p mg=r r 
 
De salientar que: 
 
O peso é um vector dirigido para o centro de Terra, ou perpendicular à superfície da 
Terra. 
 
O peso de um objecto é diferente na Terra e na Lua, uma vez que a intensidade do 
campo gravitacional é diferente (gTerra ¹ gLua). 
 
O valor de g varia com a distância ao centro da Terra. Como consequência, 
i) como o planeta Terra não é uma esfera perfeita, o peso de um corpo varia 
ligeiramente de lugar para lugar na superfície terrestre. 
 
ii) o peso de um corpo varia ligeiramente com a altitude acima da superfície 
terrestre. 
 
iii) Assume-se que na superfície terrestre, o valor de g é aproximadamente 
constante e dado por 9.8m/s2. 
 
Em comparação, a massa é uma quantidade escalar com valor independente da 
localização. De salientar no entanto, assumindo-se que g é aproximadamente 
constante, a massa é proporcional à magnitude do peso e as duas quantidades podem 
ser mutuamente usadas. A tal correlação chama-se, princípio da equivalência. 
 
 
 
 
 
 
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Terceira Lei de Newton 
Enunciado: As forças na natureza existem sempre aos pares. A Terceira Lei de Newton 
diz-nos que, para cada acção, existe uma reacção de intensidade igual e sentido oposto. 
 
Quando dois corpos interagem 12 21F F= -
r r
, ou seja a força exercida pelo corpo 1 no 
corpo 2, é de intensidade igual e sinal contrário à força exercida pelo corpo 2 no corpo 
1, ou seja a reacção. 
 
Por exemplo, quando um objecto está em queda devido à acção da gravidade, a Terra 
exerce uma força sobre ele que provoca a sua aceleração na direcção do centro da Terra. 
De acordo com a 3ª Lei de Newton, o objecto exerce uma força na Terra, assim como, a 
Terra acelera na direcção do objecto. 
Então agora questiona-se o porquê de não sentirmos a aceleração da Terra? 
 
Da 2ª Lei de Newton sabemos que, 
 
 objectonaTerra Terra TerraF m a=
r r
 
 
e da 3ª Lei de Newton que, 
 
 objectonaTerra TerranoobjectoF F p= - º -
r r r
 
 
logo, 
 
 
Terra
Terra
objecto
Terra
Terra
pa
m
m
a g g
m
= - Û
æ ö
Û = ç ÷
è ø
rr
r =
 
concluindo-se assim, que a aceleração da Terra é demasiadamente baixa para se 
detectar, porque a massa da Terra é muito maior que a do objecto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Atrito 
O atrito surge das forças entre átomos e moléculas aquando do contacto entre 
superficies. Por exemplo, o atrito surge quando um corpo se move sobre uma superfície 
ou através de um meio fluido (água, ar, ...). 
 
Existem dois tipos de forças de atrito seco (ou de Coulomb): 
 
1. força de atrito estático ( fs ), é a força entre dois objectos quando não 
existe movimento. 
 
2. força de atrito cinética ( fk ), é a força de atrito entre dois objectos 
quando dois objectos estão em movimento 
 
Considere um bloco sobre um superfície rugosa horizontal. Aplique uma força externa 
Fext ao bloco, paralelamente à superfície de contacto: 
· Se Fext < fs(max) o bloco não se move. 
· Com o aumento de Fext, a fs aumentará até atingir um valor máximo. Quando, 
Fext = fs(max) o bloco iniciará o movimento (obtém-se assim o ponto de 
deslizamento eminente). 
· Uma vez iniciado o movimento, a força de atrito será dada por fk . 
Factos experimentais sobre o atrito 
 
1 – fs ££ mm s ´´N onde ms é o coeficiente de atrito estático e N a magnitude da força normal. 
A igualdade é obtida quando o objecto se encontra na situação de deslizamento 
eminente, fs(max) = ms´N. 
 
2 – fk = mm k ´´N onde mk é o coeficiente de atrito cinético e é aproximadamente constante 
para qualquer par de materiais 
 
3 – os valores de mk e ms dependem da natureza das superfícies de contacto. Usualmente 
mk < ms. 
 
4 – o sentido da força de atrito é oposto ao sentido de movimento do objecto. 
 
5 – os valores de mk e ms são aproximadamente independentes da área de contacto entre 
as duas superfícies. 
 
6 – mk é aproximadamente independente da velocidade do objecto considerado. 
 
 
 
 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Estratégia na resolução de problemas 
· Desenhar a situação e o diagrama de forças (ou de corpo livre) de todas as forças 
para cada corpo. 
o No diagrama de forças para cada objecto, inclua apenas as forças que 
actuam nesse objecto. 
o A força exercida por um cabo é denominada de tensão e denota-se 
usualmente por T
r
. 
o A força de contacto exercida por uma superfície tem duas componentes: 
a reacção normal, que actua sempre perpendicularmente à superfície e a 
força de atrito, tangente à superfície. 
· Esboce um sistema de coordenadas e aplique a 2ª Lei de Newton. Se tivermos 
movimento no plano, então: 
å å
å
î
í
ì
=
=
Û=
yy
xx
maF
maF
amF
rr
 
· Se necessário use as equações da cinemática do movimento para a resolução das 
quantidades desejadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Trabalho e Enegia 
Trabalho 
O trabalho realizado por um agente que exerce uma força constante F
r
no deslocamento 
elementar drr de A para B, define-se como o produto interno Fr |drr , ou seja, 
 
 dW = F
r
|drr 
 
Pode-se ainda escrever, 
 
 cosTdW F ds Fds q= = 
 
sabendo ds =|drr | e que FT=Fcosq é a componente tangencial da força. 
 
Em coordenadas cartesianas pode-se também ter, 
 
x y zdW F dx F dy F dz= + + 
 
O trabalho realizado pela força F
r
 ao longo de um deslocamento finito da partícula de A 
para B, é obtido pela integração ao longo da trajectória descrita pela partícula, ou seja, 
 
( )
( , , )
( , , )
| cos
B B B B
A A A A
x y z SB
A B x y z
A x y z S
W F dr F dx F dy F dz F dsq® = = + + =ò ò ò
r r
 
 
sendo s a variável de integração quemede a distância percorrida pela partícula ao longo 
da trajectória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
· Se rr = 0 Þ W = 0, isto é, não é realizado trabalho quando se segura uma caixa 
pesada ou se empurra contra uma parede. 
· W = 0 se F
r
^ drr , isto é, não é realizado trabalho ao se transportar qualquer peso 
horizontalmente. 
· O sinal do trabalho depende da direcção de F
r
relativamente a drr . Se: 
A 
B 
F
r
drr
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
i) q < 90, então dW > 0 
ii) q > 90, então dW < 0 
O sinal é dado automaticamente considerando q como o ângulo entre F
r
e drr e 
escrever-se dW = Fdscosq 
· Se F
r
 actua ao longo da direcção da trajectória dsr , então dW = Fds, visto que, 
cosq=cos0=1. 
· O trabalho é um escalar, quando depende do caminho entre o ponto inicial e o 
ponto final. 
· A unidade do trabalho no sistema internacional é o Joule (J; 1J = 1Nm=kgm2s-2). 
Princípio do Trabalho e da Energia 
A força é um vector, o trabalho e a energia são escalares, sendo frequentemente mais 
fácil a resolução de problemas usando considerações da energia em vez de usar as leis 
de Newton (os escalares são de mais fácil manipulação do que os vectores). 
 
Considere-se uma partícula de massa m sujeita à acção de uma força F
r
 e que se 
desloca ao longo de uma trajectória curva ou rectilínea. Tendo em conta a 2ª Lei de 
Newton em função da sua componente tangencial, 
 
 FT = maT = m dv/dt 
 
sabendo que v = ds/dt, e aplicando a regra da derivação em cadeia, resulta, 
 
 TF = m =mv
dv ds dv
ds dt ds
 
 
então, 
 
 FT ds = m vdv/ds 
 
integrando, 
 
 2 2
1
( )
2
B B
A A
s v
T A B B A
s v
F ds mvdv W m v v®= Û = -ò ò 
 
 
definindo a energia cinética de uma massa em movimento como, 
 
 2
1
2
CE mv= 
 
então podemos escrever o trabalho como, 
 
A B C CW = E (B) - E (A)® 
 
Fn 
FT 
F
rm 
A 
B 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Esta última equação traduz o princípio do trabalho e energia: o trabalho realizado 
num objecto pela força resultante, entre duas posições A e B é igual à variação da 
energia cinética entre essas duas posições. 
 
Observação: 
 
· Se a velocidade do objecto aumenta (vf > vi ) Þ W > 0. 
· Se W < 0 então o objecto está a realizar trabalho no agente que exerce o 
conjunto de forças 
· Pode-se interpretar a energia cinética da última equação como o trabalho que um 
objecto pode efectuar para obter o repouso. 
· A energia cinética é um campo escalar. 
· As unidades da energia cinética são as mesmas do trabalho (isto é, Joules, J). 
 
Energia Potencial e trabalho 
A energia potencial (EP) corresponde à energia armazenada num sistema em 
consequência da posição e orientação das sua partes constituintes. 
A energia potencial ou função potencial de F
r
 é apenas definida para forças 
conservativas. 
 
O trabalho de forças conservativas pode ser dado em função da energia potencial, 
correspondendo neste caso à variação da energia potencial, ou seja, 
 
 WA®B=EP(A) – EP(B) = -DEP 
 
em que EP(A) = EP(xA, yA, zA) e EP(B) = EP(xB, yB, zB). 
 
De salientar que o trabalho calculado deste modo, não vai depender da trajectória mas 
apenas da diferença de energia potencial. 
 
Se F
r
 é conservativa tem-se, 
 
 | 0F dr =ò
r rÑ 
ou seja, se fizermos A coincidir com B ao longo de uma trajectória fechada, o seu 
trabalho é nulo. 
 
Se considerarmos dois pontos vizinhos A(x, y, z) e A’(x+dx, y+dy, z+dz), para os quais 
é válida a equação WA®A’=EP(A) – EP(A’), então o trabalho elementar dW, o qual 
corresponde ao deslocamento dr de A para A’, é: 
 
 dW = EP(x, y, z) – EP(x+dx, y+dy, z+dz) 
 
ou 
 
 dW = -dEP(x, y, z) 
 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
daqui verifica-se que o trabalho elementar realizado por uma força conservativa é uma 
diferencial exacta. 
 
No caso unidimensional tem-se 
 
 PP
EdE dx
x
¶
=
¶
 
logo, comparando com dW = F
r
|drr = Fxdx, resulta que, 
 
 Px
EF
x
¶
= -
¶
 
e no caso tridimensional, 
 
dW = F
r
|drr = Fxdx + Fydy + Fzdz Û 
Û dW = ( ) ( )P P P P P
E E Edx dy dz grad E E
x y z
¶ ¶ ¶
- + + = - =-Ñ
¶ ¶ ¶
rr
 
Escolha do sistema de coordenanadas 
Aquando da resolução de problemas com energia potencial, a escolha da origem do 
sistema de eixos é equivalente a escolher o lugar onde a energia potencial é nula. Sabe-
se que a física deve ser independente da escolha do sistema de eixos coordenados, logo 
o valor da energia potencial num dado lugar não tem significado físico. A quantidade 
que possui significado físico é a variação de energia potencial de uma posição para 
outra. 
Conservação da Energia 
Existem muitas formas de energia – mecânica, química, electroestática, calorifica, 
nuclear. Num qualquer sistema isolado, a energia pode ser transformada de um tipo para 
outro tipo de energia, mas a quantidade total de energia é constante, ou seja, conserva-
se. Exemplos, i) uma bateria contém energia química que pode ser utilizada para 
produzir energia mecânica, ii) quando um bloco escorrega sobre uma superfície rugosa, 
a força de atrito dá origem ao aquecimento do bloco e da superfície. Como resultado, a 
energia mecânica é transformada em energia térmica, mas a quantidade total de energia 
conserva-se. 
 
Nesta secção estamos interessados em dois tipos de energia mecânica: 
· Energia cinética (EC ) (energia do movimento) 
· Energia potencial ( EP ) (energia da posição) 
Forças Conservativas e Não Conservativas 
Nem sempre é verdade que o trabalho realizado por uma força externa é armazenado 
como uma forma de energia potencial. Tal é apenas verdade se a força fôr conservativa, 
onde é válida a relação: 
 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 48 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
 | ( ) ( )
B
P P
A
W F dr E A E B= = -ò
r r
 
Definição: o trabalho que uma força conservativa realiza num objecto que se move de A 
para B, é independente do caminho – apenas depende dos pontos extremos do 
movimento. Para uma força não conservativa (ou dissipativa), o trabalho realizado no 
movimento de A para B depende do cominho efectuado (a força de atrito e a resistência 
do ar são alguns exemplos). 
A conservação da energia mecânica 
Já verificamos que o trabalho realizado por uma força conservativa pode ser expresso 
como uma variação da energia potencial. 
Quando um objecto se desloca sob a acção de força conservativas, o princípio do 
trabalho e da energia pode ser escrito como 
 
 EP(A) - EP(B) = EC(B) - EC(A) Û EP(A) + Ec(A) = EP(B) + EC(B) 
 
Tal significa que quando um objecto se desloca sob a acção de forças conservativas, a 
soma da sua energia cinética e da sua energia potencial se mantém constante. 
 
Quando todas as forças que actuam num corpo são conservativas, a quantidade, 
 
 Em = Ec + EP 
 
conserva-se durante o movimento e designa-se por energia mecânica. 
 
Forças não conservativas e o princípio do trabalho e da energia 
Se existem forças não conservativas então a energia mecânica não se conserva, e 
escreve-se, 
 
 W = Wnc + Wc = Ec(f) – Ec(i) 
 
Em que Wnc representa o trabalho das forças não conservativas e Wc o trabalho das 
forças conservativas. Sendo, 
 
Wc = EP(i)-EP(f) 
 
Temos, 
 
 Wnc = (Ec(f) – Ec(i)) + (EP(f)-EP(i)) = DEC + DEP = D(EC + EP) = DEm 
 
Ou seja, o trabalho realizado por uma força não conservativa é igual à variação de 
energia mecânica.ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 49 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Potência e rendimento mecânico 
Potência (P) 
A potência é o trabalho realizado por unidade de tempo, ou a quantidade de trabalho 
realizado por segundo, ou seja, 
 
 
dW
P
dt
= (Watt – W, 1W = 1J/s=Nm/s) 
 
Sabendo-se que, dW F|dr=
r r
, então, 
 
 
dW F |d r dr
P F | F | v
dt dt dt
= = = =
r r rr r r
 
para F
r
 constante. 
 
Rendimento Mecânico (hh) 
 
O rendimento mecânico é dado pela razão entre o trabalho realizado e o absorvido, ou 
seja, 
 
 realizado
absorvido
W
1
W
h = < 
 
sendo o rendimento sempre inferior à unidade. Este assunto será mais desenvolvido 
aquando do capítulo dedicado à termodinâmica. 
 
Esta definição pressupõe que o trabalho seja realizado a uma razão constante. 
 
Se o rendimento mecânico é dado pela razão apresentada, logo também será igual à 
razão entre as suas taxas de variação temporal, isto é, 
 
 realizado
absorvido
P
1
P
h = < 
 
 
 
 
 
 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 50 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Quantidade de Movimento 
A quantidade de movimento é definida como: 
 
 P mv=
r r
 [kgm/s] 
 
Tendo em consideração a 2ª Lei de newton, 
 
 F ma=å
r r
 
 
pode-se escrever, 
 
 
dv d dP
F m (mv)
dt dt dt
dP
F
dt
= = =
Û =
å
å
rrr r
rr 
 
isto é, a força resultante é igual à taxa de variação da quantidade de movimento. 
Graficamente, temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Princípio da conservação da quantidade de 
movimento 
O princípio diz-nos que perante a ausência de forças externas aplicadas às massas, ou 
seja, se a a soma das forças externas fôr nula, a quantidade de movimento permanece 
constante. Então temos, 
 
 F 0 P cte= Þ =å
r r
 
 
 
 
 
 
v
r
P
r
m 
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Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 51 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Impulso de uma força 
Define-se o impulso resultante RI
r
da aplicação de uma ou várias forças durante um 
intervalo de tempo como, 
 
f
i
T
R
T
I Fdt= ò
r r
 [Ns] 
 
Princípio do impulso e da quantidade de movimento 
 
Expressando a 2ª Lei de Newton na forma, 
 
d
F (mv)
dt
=å
r r
 
 
então, 
 
 Fdt d(mv) Fdt mdv= Û =
r rr r
 
 
integrando os dois membros da equação, 
 
 
f f f f
i f i i
T v T T
f i i f
T v T T
Fdt mdv Fdt m(v v ) mv Fdt mv= Û = - Û + =ò ò ò ò
r r rr r r r r
Û 
 
Û 
f
i
T
i f
T
P Fdt P+ =ò
r r r
 
 
 
 
ou seja, podemos escrever, 
 
 i R fP I P+ =
r r r
 
 
o que indica que a quantidade de movimento final fP
r
de uma massa pode ser obtida pela 
soma vectorial da sua quantidade de movimento inicial iP
r
com o impulso resultante 
RI
r
exercido pela força F
r
 durante o intervalo de tempo considerado, ou ainda, 
 
 RP ID =
r r
 
 
ou seja, a variação da quantidade de movimento de um corpo é igual ao impulso da 
força resultante no mesmo intervalo de tempo. 
 
iP
r
RI
r
+ = 
fP
r
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Física Aplicada à Engenharia Civil I 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Considerando o princípio da quantidade de movimento em coordenadas cartesianas, 
componente a componente, temos, 
 
 
f
i
f
i
f
i
T
xi x xf
T
T
yi y yf
T
T
zi z zf
T
mv F dt mv
mv F dt mv
mv F dt mv
+ =
+ =
+ =
ò
ò
ò
 
 
Quando o F 0=å
r
, resulta RI
r
=0, logo a quantidade de movimento conserva-se, ou 
seja, de, i R fP I P+ =
r r r
, com RI
r
=0, resulta, 
 
 i fP P=
r r
 
Se um sistema envolve duas ou mais partículas, deve considerar-se a soma vectorial das 
respectivas quantidades de movimento e impulso. Contudo, tendo em conta que as 
forças de acção – reacção exercidas pelas partículas entre si formam pares de forças 
iguais e de sentidos opostos, levando a que os impulsos exercidos por estas forças se 
cancelem entre si, restam apenas os impulsos originados pelas forças externas, ou seja, 
 
 i R externas fP I P-+ =å å å
r r r
 
 
o qual se reduz a: 
 
 i fP P=å å
r r
 
 
para um sistema isolado (ou seja, sistema para o qual não existe interacções com forças 
exteriores). Esta última equação traduz a conservação da quantidade de movimento total 
das partículas. 
 
Movimento Impulsivo 
Def: Movimento sob a acção de forças impulsivas que têm uma elevada intensidade, 
embora actuem num intervalo de tempo muito curto. 
 
 I F t ( F cte)Då å
r r
; ; 
 
Os impulsos de forças não impulsivas podem em geral ser desprezados no movimento 
impulsivo, como exemplos, o peso do corpo, força exercida por uma mola,... 
 
Aquando do movimento impulsivo, podemos escrever o princípio do impulso e da 
quantidade de movimento, como, 
 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
 i fP F t P+ D =å
r r r
 
 
 
 
Problema: Considere-se o embate entre um taco e 
uma bola de basebol, em que a bola com uma massa 
de 113 g é lançada inicialmente com uma 
velocidade de 24.4m/s em direcção a um taco. Após 
a pancada do taco a velocidade passa a ser de 
36.6m/s na direcção que se apresenta na figura 
seguinte. Se o taco e a bola estiverem em contacto 
durante 0,015s, determine a força impulsiva média 
exercida sobre a bola durante o choque. 
 
 
Esquematicamente temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, 
 
 
i x f x
y f y
-mv + F t = mv cos40 F 395Nx :
0 + F t = mv cos40 F 177Ny :
D Û =ì
í D Û =î
 
 
pelo que a intensidade da força resulta em F = 433N e o ângulo com a horizontal b = 
arctg(Fy/ Fx) = 24.2º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40º 
24.4m/s 
36.6m/s 
+ = 
Quantidade de 
movimento inicial 
Forças impulsivas 
PDD t=0 FDD t 
40º 
Quantidade de 
movimento final 
mvi 
mvf 
X 
Y 
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Choques ou Colisões 
Utiliza-se o termo choque para representar a colisão entre dois corpos num intervalo de 
tempo muito curto. Aquando do choque os corpos produzem forças impulsivas em cada 
um. Estas forças assumem-se como muito mais elevadas do que qualquer outra força 
externa. 
 
As forças internas ao sistema de duas partículas são forças impulsivas enquanto que as 
forças externas não o são, logo estamos em condições de conservação da quantidade de 
movimento, ou seja (verifique figura), 
 
 
 
 
antes do choque depois do choque
´ ´
a a b b a a b b
P P
ou
P P '
ou
m v m v m v m v
=
=
+ = +
å å
å å
r r
r r
r r r r
 
 
 
 
 
 
Observação: Aquando da resolução de problemas relativos a colisões, usa-se para 
simplificação da resolução um sistema de eixos ortogonais (nc, tc), como se apresenta 
na figura ao lado, onde, nc – corresponde ao eixo normal comum às superfícies dos dois 
corpos, e tc – corresponde ao eixo tangente comum às superfícies de contacto. 
 
Colisões centrais 
Diz-se que estamos perante um choque ou colisão central quando os centros de massa 
dos corpos que colidem estão alinhados segundo a normal de choque (nc). As colisões 
podem ainda ser divididas em colisão central directa e colisão central obliqua, 
consoante as velocidades das duas partículas que colidem se encontram ou não 
alinhadas com a nc. 
Colisão central directa 
Define-se colisão central directa quando os centros de massae as velocidades dos dois 
corpos que colidem estão alinhadas segundo a nc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ma 
va vb 
mb 
va’ vb’ 
nc 
tc 
nc 
vb va 
va // vb // nc 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
 
Aquando do choque de partículas , estas inicialmente deformam-se, ao que se seguirá 
um período de restituição, no fim do qual, e dependendo da intensidade das forças de 
choque e dos materiais em jogo, as duas partículas recuperarão a sua forma original ou 
permanecerão deformadas. Esquematicamente, temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo a se conhecer as velociaddes 'av
r
e 'bv
r , considere-se agora o movimento da 
partícula A durante o período de deformação e aplique-se o princípio do impulso e da 
quantidade de movimento, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em componentes escalares podemos traduzir matematicamente o período de 
deformação como, 
nc b
v
r
av
r
nc 
u
r
nc 
'
bv
r'
av
r
a) antes do choque as velocidades são 
av
r e bv
r
 
b) Aquando do choque temos deformação das duas 
partículas e a velocidade é a mesma para as duas 
massas, sendo u
r . 
c) depois do choque cada partícula adquire 
velocidades 'av
r
 e 'bv
r diferentes das iniciais 
nc 
Ddtò
+ nc 
ma av
r
 = nc 
ma u
r
 
Força impulsiva que actua 
em A durante este período, 
correspondendo à força D 
(de deformação) exercida 
por B sobre A 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
 
a a am v Ddt m u- =ò 
 
Considere-se agora o movimento de A durante o período de restituição, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em componentes escalares podemos traduzir matematicamente o período de restituição 
como, 
 
 'a a am u Rdt m v- =ò 
 
Em geral os impulsos das forças de deformação são mais elevados que os impulsos das 
forças de restituição, ou seja, 
 
 Rdt Ddt£ò ò 
 
definindo-se o coeficiente de restituição como a razão entre estes impulsos, ou seja, 
 
 
Rdt
e , com 0 e 1
Ddt
= £ £ò
ò
 
 
em que o valor de 1 está de acordo com uma restituição completa da deformação prévia. 
Resolvendo em ordem aos integrais podemos ainda escrever o coeficiente de restituição, 
como, 
 
 
 
'
a
a
Rdt u v
e , com 0 e 1
v uDdt
-
= = £ £
-
ò
ò
 
 
seguindo o mesmo raciocinio para a partícla B, teremos, 
 
 
'
b
b
Rdt u v
e , com 0 e 1
v uDdt
-
= = £ £
-
ò
ò
 
 
nc 
Rdtò
+ nc 
ma u
r
 
= nc 
ma 
'
av
r
 
Força exercida por B sobre 
A durante este período. 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
sendo os coeficientes de restituição para A e B iguais também o serão os quociente da 
adição, ou seja, 
 
( ) ( )
( ) ( )
' ' ' '
a b b a
a b a b
u v v u v v
e = 
v u u v v v
- + - -
= Û
- + - -
 
 
Û ' 'b a a bv v e(v v )- = - 
 
 
ou seja, a velocidade relativa das duas partículas depois do choque pode ser obtida pela 
multiplicação da velocidade relativa antes do choque pelo coeficiente de restituição. 
 
Casos particulares 
 
1 – Choque perfeitamente plástico (e = 0) 
 
Para um choque deste tipo não existe período de restituição, pelo que, considerando a 
última equação se verifica que as partículas depois do choque mantêm-se juntas, ou 
seja, 
 
 e = 0 Þ va’ = vb’ = v’ 
 
Substituindo esta igualdade na equação que traduz a conservação da quantidade de 
movimento total das partículas, escrevemos, 
 
 P = cte Û mava + mbvb = (ma + mb)v’ 
 
 
2 – choque perfeitamente elástico (e = 1) 
 
Para este tipo de condição verifica-se através das equação que define o coeficiente de 
restituição que os impulsos de deformação e restituiçao são iguais. Neste caso, depois 
do choque os corpos afastam-se com a mesma velocidade relativa que tinham antes do 
choque, ou seja, para e = 1, temos, 
 
va - vb = vb’ - va’ Û va + va’ = vb’ + vb (*) 
 
É importante salientar que para um choque perfeitamente elástico, não só se conserva, 
 
i) a quantidade de movimento total das duas partículas (como já se 
verificou para um choque perfeitamente plástico). 
 
mas também 
 
ii) a energia total das partículas. 
 
 
Sendo a quantidade de movimento (P) constante, então podemos escrever, 
 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
 mava + mbvb = mava’+ mbvb’ Û ma(va - va’) = mb(vb’ - vb) 
 
multiplicando membro a membro a equação anterior com a equação (*), temos, 
 
 ma(va - va’) ´ (va + va’) = mb(vb’ - vb) ´ (vb’ + vb) Û 
 
 Û mava2 - ma(va’)2 = mb(vb’)2 - mbvb2 
 
reordenando os membros da equação e multiplicando por ½, vem, 
 
 2 2 ' 2 ' 2a a b b a a b b
1 1 1 1
m v + m v = m (v ) + m (v )
2 2 2 2
 
 
equação esta que traduz a conservação da energia cinética total das partículas para um 
choque perfeitamente elástico. 
 
Observação: No caso geral do choque, isto é, quando e ¹ 1, a energia total das partículas 
não se conserva. A energia cinética perdida é em parte transformada em calor e em parte 
gasta na criação de ondas elásticas que se propoagam no interior dos corpos em colisão. 
 
 
Colisão central oblíqua (partículas em movimento livre) 
 
 
Define-se colisão central oblíqua quando os centros 
de massa e as velocidades dos dois corpos que 
colidem não estão alinhados segundo a nc, como se 
pode observar através da figura que se apresenta ao 
lado. 
 
 
 
 
Admitindo que as superfícies são lisas e sem atrito as únicas forças impulsivas que 
ocorrem durante o choque são as forças internas dirigidas segundo a normal de choque 
(nc), como ilustrado na figura imediatamente abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ma 
va vb 
mb 
va’ vb’ nc 
tc 
+ 
= nc 
ma av
r
 
tc 
mb bv
r 
nc 
tc 
F tD
r
- F tD
r
 
nc 
ma 'av
r
 
tc 
mb 'bv
r 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
 
 
Então perante as condições da colisão temos, 
 
i) não existindo qualquer tipo de atrito e sabendo que as forças impulsivas 
estão dirigidas segunda a nc, então existe conservação da quantidade de 
movimento ao longo do eixo tc para cada partícula isoladamente. Logo, 
 
(va)tc = (va’)tc porque (Pa)tc = cte 
 
(vb)tc = (vb’)tc porque (Pb)tc = cte 
 
ii) conservação da quantidade de movimento total (para as duas partículas) ao 
longo da nc 
 
ma(va)nc + mb(vb)nc = ma(va’)nc + mb(vb’)nc porque (Pa)nc + (Pb)nc = cte 
 
iii) Da relação já verificada anteriormente para o coeficiente de restituição, 
temos também válida a equação, 
 
' '
b nc a nc a nc b nc(v ) (v ) e[(v ) (v ) ]- = - 
 
Colisão central oblíqua (corpos com movimento condicionado) 
 
Considere-se o seguinte exemplo em que uma bola (corpo A) com movimento livre 
embate de encontra um bloco (corpo B) com movimento condicionado à horizontal, 
como se apresenta na figura seguinte, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não existindo atrito entre a bola e o bloco, nem entre o bloco e a superfície, então os 
impulsos exercidos sobre o sistema são originados por: 
 
i) acção das forças internas F e –F exercidas segundo a normal de choque. 
 
ii) acção da força externa Fext, exercida pela superfície sobre o bloco A e 
segundo a vertical. 
A B 
tc 
nc 
Va 
Va’ 
Vb’ 
Vb 
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