Estatistica Descritiva Unidade I UNIP

Prévia do material em texto

Estatística Descritiva
Professora conteudista: Marisa Rezende Bernardes
Sumário
Estatística Descritiva
Unidade I
1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA .................................................................................................................................1
1.1 Introdução à estatística ........................................................................................................................1
1.2 Panorama histórico ................................................................................................................................2
1.3 Definições ...................................................................................................................................................4
1.4 Organização e apresentação dos dados ...................................................................................... 17
1.4.1 Tabelas ......................................................................................................................................................... 17
1.4.2 Histogramas .............................................................................................................................................. 23
1.4.3 Polígonos de frequência ....................................................................................................................... 27
1.5 Medidas de posição ou tendência central ................................................................................. 28
1.5.1 Média aritmética (x) .............................................................................................................................. 29
1.5.2 Mediana ...................................................................................................................................................... 34
1.5.3 Moda ............................................................................................................................................................ 35
1.6 Medidas de dispersão ......................................................................................................................... 37
1.6.1 Variância e desvio padrão ................................................................................................................... 37
1.6.2 Variância e desvio padrão para dados isolados ponderados ................................................. 41
1.6.3 Variância e desvio padrão para dados agrupados em classes .............................................. 44
1.6.4 Medida de dispersão relativa – coeficiente de variação (Cv) ................................................. 48
Unidade II
2 PROBABILIDADE ............................................................................................................................................... 67
2.1 Panorama histórico ............................................................................................................................. 67
2.2 Definições ................................................................................................................................................ 68
2.2.1 Experimentos aleatórios ....................................................................................................................... 68
2.2.2 Espaço amostral ...................................................................................................................................... 69
2.2.3 Evento .......................................................................................................................................................... 69
2.2.4 Probabilidade de um evento .............................................................................................................. 70
2.2.5 Propriedade da união ............................................................................................................................ 75
2.3 Distribuições de probabilidades ...................................................................................................... 77
2.3.1 Distribuição binomial de probabilidades ....................................................................................... 77
2.3.2 Distribuição Poisson de probabilidades ......................................................................................... 81
2.3.3 Distribuição normal de probabilidades .......................................................................................... 83
1
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Unidade I5
10
15
20
25
30
35
APRESENTAÇÃO
A primeira consideração a ser feita sobre este texto se refere 
ao fato de ter sido elaborado para um curso de educação a 
distância. Esse é um posicionamento importante, uma vez que 
estabelece um ambiente de aprendizagem diferente daquele 
utilizado pelo ensino presencial e, portanto, tem exigências 
diferenciadas. Essa modalidade de educação caracteriza-se 
como uma prática educativa que exige do estudante, mais 
do que em outra modalidade, construir conhecimentos, 
participar efetivamente de seu próprio crescimento. Esse 
modelo implica, obviamente, em um processo de ensino 
próprio, uma vez que modifica, ou mesmo suprime, o físico 
e o estrutural do ensino presencial. Assim, a função docente 
sofre um deslocamento, seu papel é descentralizado e a forma 
de atenção ao aluno está mais próxima do que se entende 
por pesquisa em meios acadêmicos. É um novo formato de 
ensino-aprendizagem na graduação, no qual os estudantes, 
assim como aqueles que se iniciam em pesquisas acadêmicas, 
devem aprender a estudar sozinhos, buscar informações 
com base em indicações do docente responsável pelo curso 
(orientador) e ser capazes de fazer inferências na produção 
do seu conhecimento.
1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1.1 Introdução à estatística
Para a realização de pesquisas são necessários alguns 
conceitos estatísticos básicos, que serão apresentados no 
2
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
decorrer deste texto. Mas inicialmente apresentaremos 
alguns esclarecimentos sobre a importância da estatística nas 
profissões.
• Qual a definição de estatística?
• Qual é a sua utilidade na minha vida profissional?
• Em que situações ela pode e deve ser aplicada?
• Por que é importante estudar estatística?
1.2 Panorama histórico
As ciências têm suas origens na própria história do homem. 
A estatística, que é uma parte da matemática aplicada, teve 
origem semelhante à matemática, cuja raiz está associada 
às contagens de caráter prático e utilitário. Na Antiguidade, 
muitos povos já registravam o número de habitantes, de 
nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas 
individuais e sociais, cobravam taxas de impostos e realizavam 
inquéritos quantitativos por técnicas que, atualmente, são 
chamadas de “estatísticas”.
Na Idade Média coletavam-se informações, normalmente 
com finalidades tributárias. A partir do século XVI, as análises 
sistemáticas de fatos sociais, como nascimentos, batizados, 
casamentos e funerais, originaram as primeiras tábuas e tabelas 
e os primeiros números relativos. Mas foi no século XVIII que 
o estudo de fatos como esses foram adquirindo características 
verdadeiramente científicas. A nova ciência (ou método) 
foi denominada Estatística por Godofredo Achenwall, que 
relacionou o seu objetivo com o das ciências. Dessa forma, 
as tabelas foram complementadas e surgiram outras formas 
de representação,como gráficos e cálculos de probabilidades, 
permitindo assim que a estatística proporcionasse conclusões 
sobre uma população (universo) a partir de uma amostra (parte 
desse universo).
3
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Atualmente o público leigo posiciona-se de duas formas 
opostas quanto à validade das conclusões estatísticas: ou 
crê que são infalíveis ou afirma que elas não provam nada. 
Na verdade, as duas formas de pensar estão erradas. Os que 
pensam de forma extrema não conhecem os objetivos, o campo 
e as exigências do método estatístico; ignoram as limitações 
da estatística, sejam teóricas ou práticas, ou a conhecem de 
forma apenas superficial.
Exemplos de aplicações da estatística
• A classe C consumiu 41,35% do total de bens e serviços 
nas áreas urbanas em 2010, aponta pesquisa do DataFolha 
Popular. As classes A e B, juntas, consumiram 42,9%. O 
estudo mostra o crescimento ocorrido no consumo da 
chamada nova classe média: em 2002 ela era responsável 
por 25,8% do total de compras de bens e serviços. Já as 
classes A e B, em 2002, participavam de 58,1% do mercado 
consumidor.1
Este exemplo mostra a importância da estatística, 
quando auxilia na percepção das modificações ocorridas 
no cotidiano das pessoas. Os dados fornecidos mostram 
ao leitor o desaparecimento da classe B ou, se preferir, o 
surgimento de uma nova classe social. Exemplos como 
esse muitas vezes estão em nosso cotidiano, mas sem as 
ferramentas adequadas não temos a percepção clara dos 
fatos.
• Com base nas estatísticas do Departamento de Polícia 
Rodoviária Federal (DPRF), o número de acidentes em 
rodovias federais apresentou, entre 2004 e 2009, uma 
elevação de 41,7%, atingindo o quantitativo de 159,4 mil 
em 2009.
1 Fonte: Folha de Londrina, Caderno de Economia, edição 24 dez. 2010.
4
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Como você pode perceber, essa é uma estatística 
importante: ela pode servir de alerta aos nossos governantes 
quanto à necessidade de se analisar as leis de trânsito, o 
estado geral das rodovias ou, até mesmo, se a fiscalização 
nas estradas tem sido feita a contento.
• Segundo o F/Nazca, entre os brasileiros com mais 
de 12 anos, 54% costuma acessar a internet (81,3 
milhões de pessoas). O principal local de acesso são 
as lan houses (31%), seguidas da própria casa (27%) e 
das casas de parentes e amigos com 25% (abril/2010). 
O Brasil é o 5º país com o maior número de conexões 
à internet.2
Os exemplos mencionados acima se referem a um 
levantamento de dados acerca de algum assunto ou tema.
1.3 Definições
Algumas variáveis, como grau de escolaridade, gênero 
(masculino, feminino) ou estado civil, são atributos ou qualidades 
do indivíduo pesquisado. Portanto, são chamadas de variáveis 
ou dados qualitativos. Por outro lado, renda, número de carros, 
número de filhos e idade são resultantes de uma mensuração 
ou contagem, sendo dessa maneira chamados de variáveis 
quantitativas ou dados quantitativos.
Após a coleta de dados, os mesmos devem passar por um 
processo de organização para que possam ser analisados.
Dados brutos são os dados coletados inicialmente na 
pesquisa e que ainda não passaram por nenhum processo 
de organização.
2 Disponível em: < http://www.fnazca.com.br/index.php/2010/ 
11/29/brasil-tem-813-milhoes-de-internautas-em-acao/>. Acesso em: 
18 dez. 2011.
Dados são informações obtidas a 
partir de pesquisas sobre determinado 
tema, nas quais se efetuou contagens, 
observações ou medidas.
5
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Rol refere-se aos dados brutos já organizados em ordem 
crescente ou decrescente de valor.
A organização desses dados pode ser feita com a utilização 
de um simples rol (lista de dados) ou de tabelas ou gráficos. 
Exemplos:
• Rol
25, 25, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 35, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 
45, 47, 48, 49, 49, 49, 50, 50, 50, 50, 51, 51, 52, 53, 54, 55, 55, 
56, 56, 57
Os dados foram listados em ordem crescente, sem 
nenhuma organização maior, como, por exemplo, acusar 
dados que se repetem, como é o caso dos números 25, 55 
etc.
• Tabela
Pesos (kg) de alunos da academia de ginástica X:
Pesos Frequência 
de alunos
50| ------55 5
55| ------60 10
60| ------65 18
65| ------70 22
70| ------75 17
Observe que neste caso houve um agrupamento dos dados 
por intervalos. Desta forma, os dados repetidos aparecem na 
coluna de frequências. Esse tipo de organização dos dados, 
como será visto posteriormente, é de grande utilidade nos 
cálculos estatísticos.
6
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
• Gráfico
40
30
20
10
0
Mortes cometidas por policiais ...
Mortes cometidas por policiais ...
Rio de Janeiro São Paulo Estados Unidos
Fonte: imagem obtida blog Estadão (2009)3
Os gráficos normalmente são mais acessíveis ao público 
leigo, uma vez que apresentam as informações normalmente de 
forma mais imediata.
A palavra estatística é derivada da palavra status, que significa 
“estado”, o que é justificado em razão dos dados estatísticos 
estarem associados aos censos realizados na antiga Babilônia, 
no Egito e no Império Romano. À época, o objetivo principal 
desses levantamentos era prover o Estado de informações sobre 
a população, como, por exemplo, nascimentos e mortes.
No entanto, nos dias atuais a estatística não se limita a 
levantamento de dados, cálculos de médias e apresentação de 
dados em tabelas e gráficos.
De que maneira a estatística pode ser definida então?
Estatística é um conjunto de métodos e processos 
quantitativos que visam a estudar e a medir fenômenos 
coletivos. Esses métodos são utilizados para a coleta, 
classificação, apresentação, análise e interpretação de dados 
quantitativos, possibilitando assim conclusões e decisões 
pautadas e validadas por esses dados.
3 Disponível em: <http://blogs.estadao.com.br/crimes-no-brasil/2
009/12/>. Acesso em: 09 jan. 2011.
7
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
O estudo da estatística divide-se em duas classificações 
principais, a estatística descritiva e a estatística inferencial.
Estatística descritiva é a parte da estatística que tem 
por objetivo a coleta, descrição e apresentação dos dados 
observados, porém sem tirar conclusões mais genéricas 
(tabelas e gráficos).
Estatística inferencial é a parte da estatística que tem 
por objetivo tirar conclusões a respeito da população, a 
partir da amostra utilizada.
Precisamos saber então o que é população e amostra para o 
cálculo estatístico!
Conjunto de dados
Em um conjunto de dados podemos definir dois tipos 
distintos de conjuntos: população e amostra.
Levando-se em consideração que na maioria dos 
levantamentos de dados é impossívelou impraticável (o custo 
torna proibitivo, por exemplo) o tratamento de todos os dados 
da população, retira-se uma amostra. Nesse caso, admite-se 
que a amostra tenha sido escolhida conforme alguma técnica 
de amostragem.
População: a totalidade dos indivíduos (pessoas, 
animais ou objetos) com atributos comuns, sobre a qual 
se faz alguma inferência recebe o nome de população ou 
universo. Ou seja, é o conjunto de todos os resultados que 
podem ser encontrados.
Amostra é uma parcela dessa população, utilizada para 
fazer a pesquisa e destacada segundo normas apropriadas.
Importante: como as conclusões relativas à população serão 
baseadas nos resultados encontrados nas amostras escolhidas, 
8
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
é necessário garantir que a amostra seja representativa da 
população. Ou seja, esse conjunto de dados deve possuir as 
mesmas características básicas da população, no que diz respeito 
ao que vai ser pesquisado.
x1 x2 x3x3 ... xn
Amostra 
(parte)
População 
(todo)
Inferência 
estatística
Exemplos de identificação de conjunto de dados, amostra e 
população:
1 Em um levantamento recente, perguntou-se a 3002 adultos 
nos EUA se eles liam notícias na internet pelo menos uma 
vez por semana. Seiscentos adultos responderam que sim. 
Identifique a população e a amostra. Descreva o conjunto 
de dados (Fonte: Pew Research Center).4
Solução: a população neste caso corresponde às respostas 
de todos os adultos dos EUA, enquanto a amostra consiste 
na resposta dos 3.002 adultos dos EUA envolvidos no 
levantamento.
O conjunto de dados consiste nas 600 respostas positivas 
(“sim”) e em 2402 respostas negativas.
Observe: a amostra é um subconjunto das respostas de todos 
os adultos dos EUA.
4 Disponível em: <http://people-press.org/>. Acesso em: 09 jan. 2011.
9
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
2 Uma pesquisa foi feita para se obter informações sobre 
as massas corporais de 12.000 crianças. Para tanto, foram 
selecionadas dessa população apenas 100 crianças.
Solução: tamanho da população é 12.000 e o tamanho da 
amostra é 100.
A seguir vamos definir dois termos importantes que serão 
utilizados em todo o curso: parâmetro e estatística.
Parâmetro é uma descrição numérica estabelecida para 
toda uma população.
Estatística é uma característica numérica estabelecida 
para uma amostra.
Exemplos de distinção entre parâmetro e estatística:
Para os exemplos abaixo analise se o valor numérico descreve 
um parâmetro populacional ou uma estatística amostral. 
Justifique.
1 Foi feito um levantamento envolvendo 100 indivíduos, 
residentes no bairro X em São Paulo, do sexo masculino, 
com menos de 40 anos, que já foram internados com 
problemas cardiovasculares em um hospital X.
Solução: uma vez que a medida numérica 100 refere-se a 
um subconjunto de São Paulo, ela é uma estatística amostral.
2 Em uma pesquisa aleatória sobre condições de higiene 
das lanchonetes de certo shopping, verificou-se que 23% 
não estavam dentro das condições básicas de saneamento 
estabelecidas pela lei.
Solução: como a medida numérica de 23% refere-se a um 
subconjunto da população, ela é um parâmetro amostral.
O termo “pesquisa aleatória”, neste 
caso, significa que a escolha das 
lanchonetes foi feita ao acaso.
10
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
3 A média final dos 200 estudantes formados pela 
universidade X em certo ano foi de 85 pontos.
Solução: como a medida de 85 pontos refere-se a todos os 
estudantes formados, ela é um parâmetro populacional.
EXERCÍCIOS
1 O que é estatística? Por que é importante estudar 
estatística?
2 Em que situações devemos usar uma amostra, ou seja, 
uma parcela da população para fazer uma pesquisa?
3 Quais cuidados devem ser tomados ao selecionar essa 
amostra?
4 De que trata a estatística inferencial?
5 Qual a origem da palavra estatística?
Nos exercícios 6 a 8 classifique o conjunto de dados em 
população ou amostra. Justifique.
6 Foi feito um levantamento sobre 100 funcionários de uma 
indústria que possui 1000 funcionários.
7 Uma pesquisa listou todas as notas de cada aluno de uma 
escola.
8 Um grupo de senhoras listou o preço de 500 produtos de 
uma loja que tem 2.000 produtos.
9 Diferencie estatística descritiva e estatística diferencial. 
Uma amostra grande de homens com 48 anos de idade foi 
estudada durante 18 anos. Entre 60% e 70% dos homens 
solteiros estavam vivos aos 65 anos de idade. Entre os 
Vamos conversar a respeito de 
algumas nuances importantes para a 
continuidade do nosso estudo!
11
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
homens casados, 90% estavam vivos aos 65 anos de 
idade. Que parte do estudo representa o ramo descritivo 
da estatística? Que conclusões podem ser tiradas desse 
estudo usando a estatística diferencial (Larson & Farber, 
2007)?
10 Uma pesquisa realizada em um campus da Unip mostrou 
que 90% dos estudantes tinham um grau de aversão 
por matemática (em consequência, por estatística). Isso 
significa que a maioria dos estudantes tem aversão à 
estatística?
Observe que os métodos estatísticos fornecem um 
razoável grau de certeza sobre particularidades de uma 
população, a partir do cuidado com a seleção da amostra. 
No entanto, quando a amostra não se confunde com a 
população (a amostra não é a população e, sim, parte 
dela) qualquer afirmação a respeito da população (ou seja, 
da totalidade) é uma inferência – uma possibilidade com 
razoável grau de certeza, mas não absoluta.
Por hora só estamos analisando as possibilidades que 
as ferramentas estatísticas apresentam. Tanto elas podem 
ser ferramentas preciosas em pesquisas científicas quanto 
podem ser mal utilizadas, com o intuito de distorcer 
dados da realidade. Portanto, o leitor deve estar sempre 
atento ao contexto de uma informação, não apenas em 
resultados prontos apresentados, por exemplo, pela mídia 
ou por publicações que não foram auditadas por pessoas 
capacitadas.
Resolução dos exercícios
1 É um conjunto de métodos e processos quantitativos 
utilizados para estudar e medir fenômenos coletivos. 
É importante o seu estudo porque fornece ferramentas 
adequadas para que se tenha a percepção clara dos fatos 
12
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
do cotidiano permitindo, portanto, conclusões e decisões 
por meio de pesquisas.
2 Quando for impossível ou impraticável o tratamento 
de todos os dados da população (o que acontece 
na maioria das vezes). Neste caso, seleciona-se uma 
amostra, segundo métodos que serão apresentados 
posteriormente.
3 A amostra deve ser escolhida conforme alguma técnica de 
amostragem, para que seja representativa da população.
4 É a parte daestatística que tem por objetivo tirar 
conclusões a respeito da população, a partir da amostra 
utilizada.
5 A palavra estatística é derivada da palavra status, que 
significa “estado”, o que é justificado em razão dos dados 
estatísticos estarem associados aos censos realizados 
na antiga Babilônia, no Egito e no Império Romano, 
cujo objetivo era fazer o levantamento de dados sobre 
assuntos relacionados ao Estado, como nascimentos e 
mortes.
6 Os 100 funcionários constituem uma amostra do universo 
(todo) de 1.000 funcionários da indústria. Ou seja, os 100 
funcionários constituem uma amostra porque representam 
apenas uma parcela da população (1.000) de funcionários 
da indústria.
7 Este levantamento corresponde aos dados da população 
porque foram listadas as notas de todos os alunos da 
escola e não apenas de parte deles (o que corresponderia 
a uma amostra).
8 Os 500 produtos correspondem a uma amostra, uma vez 
que a loja possui 2.000 produtos.
13
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
9 A estatística descritiva inclui informações tais como “entre 
60% e 70% dos homens solteiros estavam vivos aos 65 
anos de idade” e “entre os homens casados, 90% estavam 
vivos aos 65 anos”. Uma possível inferência tirada desse 
estudo é a de que o fato de ser casado está associado com 
uma vida mais longa para os homens.
10 Esta questão foi colocada com o propósito de mostrar o 
quanto podem ser perigosas as ferramentas estatísticas 
quando utilizadas erroneamente, ou até mesmo com más 
intenções. Foi frisada acima a importância de uma amostra 
ser representativa em relação à população. Não há indicativos 
na questão proposta de como a amostra foi selecionada nem 
das condições conhecidas de antemão sobre o campus.
Vamos considerar as seguintes possibilidades:
a) é sabido de antemão que o campus só abriga cursos da 
saúde;
b) o percentual de cursos do ICET neste campus é pequeno.
Nestas duas possibilidades (existem outras, é um bom 
exercício para o leitor pensar nas nuances possíveis deste campus 
imaginário), uma pesquisa precisa de condições especiais de 
verificação, tanto em relação à seleção da amostra quanto à 
forma como os estudantes serão abordados e à forma de análise 
dos dados obtidos (conteúdo da disciplina do próximo período, 
estatística indutiva).
Uma das medidas estatísticas que veremos a seguir neste 
texto é a média aritmética simples. Como você já sabe de sua 
experiência como estudante, a média aritmética simples é 
obtida a partir do quociente entre a soma de dados obtidos 
(no caso, suas notas em dada matéria) e o número de vezes 
que os dados aparecem (quantas provas você realizou).
14
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Por exemplo: vamos considerar que você seja um aluno 
da UNIP. Na prova P1 sua nota em Estatística foi 6,0 e na 
prova P2 foi 8,0. Como a média de aprovação na UNIP, sem 
exame, é 7,0, você foi aprovado, uma vez que sua média 
final é 7,0.
MF = + =6 0 8 0
2
7 0
, ,
,
• No exemplo acima, sua média final mostra que você sabe 
exatamente 70% do conteúdo dado?
• Quais serão os critérios para se estabelecer “notas de corte” 
em concursos vestibulares e os critérios de aprovação?
• Qual a razão de um jovem precisar ter ao menos 18 anos 
para se submeter a um exame que permita dirigir?
Pensou a respeito? Percebeu que muitos critérios que regem 
nossas vidas são estabelecidos a partir de uma avaliação geral 
do comportamento das pessoas?
Estes critérios, denominados arbitrários, não são estabelecidos 
“por gosto” e, sim, por estudos estatísticos que possibilitam 
estabelecer que, a partir de certos índices, a maioria das pessoas 
está apta a exercer certas atividades. Isso não significa que todas 
as pessoas estão aptas. Esse critério, evidentemente, como todas 
as decisões humanas, pode abrigar injustiças. Alguns estudantes 
podem saber mais do que 70% do conteúdo da disciplina e não 
serem aprovados sem exame porque houve alguma interferência 
externa quando das avaliações (doenças, morte de familiares 
etc.); o mesmo pode ocorrer por ocasião de concursos. Adultos 
podem ter comportamentos irresponsáveis que jovens de menor 
idade não teriam. Mas, neste caso, outras habilidades também 
são consideradas a partir de análises estatísticas (como reflexos, 
por exemplo).
15
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Entendeu o recado? Você estuda também para estar 
mais capacitado a tomar decisões de razões práticas em seu 
cotidiano e não apenas para se formar profissionalmente.
Pense nisso quando se sentir tentado a ultrapassar os 
limites de velocidade estabelecidos para ruas e rodovias 
(por que eles existem? Quais as condições que interferiram 
nestas demarcações?).
• O que significam os limites estabelecidos em seus 
exames de sangue?
• Por que você atravessa a rua mesmo visualizando um 
carro em sua direção?
Você saberá detectar inúmeras situações equivalentes a 
partir deste curso.
Há uma conhecida ironia estatística, perfeita para uma 
montagem com os personagens vividos por Paulo Gracindo 
(primo rico) e Brandão Filho (primo pobre), no quadro humorístico 
Primo rico, primo pobre. A anedota foi montada a partir de uma 
imagem antiga.
Cena 1:
Hoje eu comi um faisão 
inteiro. Nada como um 
charuto cubano para 
complementar o prazer 
de uma refeição assim.
Que bom, 
primo. Eu, em 
compensação, 
não comi nada 
desde ontem.
16
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Cena 2:
Primo, você precisa olhar a vida 
pelo seu lado bom. Na média, nós 
comemos meio faisão cada um. 
Pense bem: eu comi um faisão, você 
não comeu nenhum. Mas nós somos 
duas pessoas, portanto:
MF = + =1 0
2
1
2
Fonte: imagens disponíveis em: <http://www.biografia.inf.br/paulo-gracindo-ator.
html>. Acesso em: 09 jan. 2011.
Sugestão de leitura
A anedota mostra como o saber pode manipular a favor 
do poder. Em minha Dissertação de Mestrado (Bernardes, 2003) 
tratei de questões impostas e também reguladoras do exercício 
da profissão docente. No entanto, o leitor interessado nas 
articulações existentes entre o poder e o saber poderá generalizar 
para qualquer profissão as discussões estabelecidas neste texto. 
Nele, o profissionalismo é tratado como um discurso próprio 
do capitalismo, pautado no saber, mas, simultaneamente, 
proporcionando condições para o avanço do saber.
A articulação de duas técnicas de poder, as disciplinas 
do corpo e a regulação da população têm se constituído, 
segundo Foucault (1988), na grande tecnologia do poder 
da atualidade. Porém, estas técnicas não são negativas, mas 
positivas, quando delas se extrai qualquer valor moral ou 
político e observa-se apenas a tecnologia empregada: não 
seria possível uma população como a atual, nas condições 
existentes, sem determinadas técnicas empregadas na 
produção de alimentos, por exemplo. Desta forma, o poder 
disciplinar não destrói o indivíduo, ao contrário, ele é uma 
produçãodo poder e do saber.
17
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
As contingências impõem a necessidade do poder ser 
competente e buscar a produção, o acúmulo e a transmissão 
do saber. Em contrapartida, o saber, ao instrumentar o 
poder, assegura o exercício de um poder para quem o 
detém: é o domínio do perito. É, portanto, a partir destas 
práticas disciplinares que Foucault (1996) sugere a busca 
do porquê do aparecimento dos domínios de saber: poder e 
saber implicam-se mutuamente. Uma perspectiva, portanto, 
como apontou Freidson (1998), para o entendimento 
da multiplicidade de formas históricas assumidas pela 
definição de profissão. As profissões, observa o autor, têm 
sido agentes que criam e fazem avançar o conhecimento 
incorporado nas disciplinas, quando seus membros projetam 
esse conhecimento nos assuntos humanos e do Estado.
1.4 Organização e apresentação dos dados
1.4.1 Tabelas
A apresentação dos dados em uma tabela é um dos 
métodos estatísticos mais utilizados. Uma tabela estatística 
consegue expor os resultados de determinada pesquisa 
sinteticamente, na qual se tem uma visão mais clara e fácil 
dos resultados obtidos. Ao se dispor os dados em linhas e 
colunas distribuídos de forma ordenada, segundo regras 
estabelecidas, tem-se as tabelas estatísticas.
1.4.1.1 Elementos de uma tabela
• Título: precede a tabela e contém a designação do fato 
observado, o local e a época em que foi registrado;
• Corpo: contém os dados pesquisados;
• Cabeçalho: é a parte superior da tabela que especifica o 
conteúdo das colunas;
• Fonte: é situada no rodapé da tabela e especifica a entidade 
responsável.
Como você pode observar, a tabela 
deve ser autoexplicativa, ou seja, 
deve conter todas as informações 
importantes a respeito do que está 
sendo pesquisado, sem que seja 
necessário ler todo o trabalho.
18
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
1.4.1.2 Distribuição de frequência
Distribuição de frequência: as distribuições de frequências 
podem ser divididas em duas categorias, de acordo com o tipo 
de variável em estudo. Ou seja, variável discreta ou variável 
contínua.
Variável discreta: quando a amostra é grande, mas 
o número de observações distintas é pequeno. Para 
se construir uma distribuição de frequências, basta 
dispor os dados em duas colunas: uma para os dados 
observados e outra para as frequências correspondentes 
a cada valor.
Exemplo: notas dos alunos da turma X em Estatística.
Notas Frequência de alunos
50 10
60 8
65 10
70 9
80 8
90 10
95 5
Fonte: Secretaria da UNIP, campus de Bauru.
Variável contínua: quando o tamanho da amostra é 
grande e o número de observações distintas também. Para 
construir a distribuição de frequências devemos dispor os 
dados em classes que possuam amplitude dentro das quais 
se incluirão os dados.
Exemplo: volume exportado ($) de empresas eletrônicas, 
país X, ano 2010.
19
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Volume exportado Número de empresas
5000|----------6000 1
6000|----------7000 3
7000|----------8000 8
8000|----------9000 8
9000|---------10000 11
10000|----------11000 6
11000|---------12000 3
Fonte: dados fictícios
1.4.1.3 Construção de tabelas de distribuição de frequência 
(dados isolados)
Frequência absoluta (fi): coluna que apresenta os 
dados coletados de acordo com o número de ocorrências 
em relação à particularidade a ser estudada.
Observe que a somatória das frequências fi deverá 
coincidir com o número de dados coletados.
Frequência relativa absoluta (fri): é a razão entre a 
frequência relativa e o número total de dados coletados.
f
f
nri
i=
Observe que a somatória das frequências fri deverá 
resultar 1.
A=]0,2] A=]0,2] A
Frequência relativa absoluta percentual (fri %): é a 
razão entre a frequência relativa e o número total de dados 
coletados, apresentados em forma de percentagem.
f
f
nri
i(%) .= 100
20
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Ou:
fri(%)=fri.100
Observe que a somatória das frequências fri deverá 
resultar 100.
Frequências absolutas cumuladas (Fac): trata-se da 
adição da frequência absoluta adicionada às suas anteriores. 
Observe que o resultado final deverá coincidir com o número 
de dados coletados.
Exemplos:
1 Sejam os dados referentes às idades de um grupo de 
adolescentes: 12, 14, 14, 14, 15, 15, 17, 17, 17,17.
Construir uma tabela por distribuição de frequências, 
indicando as frequências absolutas (fi), frequências relativas 
absolutas (fri), frequências relativas absolutas percentuais (fri%) 
e frequências absolutas acumuladas (Fac)
Idade 
(xi)
Frequência
Absoluta 
(fi)
Frequência 
relativa abs. 
(fri)
Frequência 
relativa abs.
percentual
(fri %)
Frequências abs.
acumuladas 
(Fac)
12 1 1/10= 0,1 10% 1
14 3 3/10= 0,3 30% 4
15 2 2/10= 0,2 20% 6
17 4 4/10= 0,4 40% 10
Total 10 1,0 100% -
Se a população ou a amostra em questão é muito grande, 
torna-se difícil observar as diferentes características ou mesmo 
calcular os estimadores da amostra. Nesse caso, pode ser 
interessante organizar ou agrupar os dados originais em classes 
e determinar o número de indivíduos pertencentes a cada 
21
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
classe. Este número obtido é chamado de frequência de classe. 
A frequência de classe é determinada pela soma das frequências 
de todos os valores existentes dentro da classe.
2 Construção de tabelas de distribuição de frequência 
(dados agrupados em classes).
Os dados a seguir representam o consumo anual (toneladas) 
de inseticida de uma amostra aleatória de lavradores de certa 
região durante um ano.
Amostragem:
11, 12, 15, 18, 22, 27, 32, 35, 38, 40, 42, 48, 50, 56, 63, 67, 
70, 70, 75, 80, 87, 90, 97, 100, 105, 110, 115, 120, 120, 125, 125, 
126, 127, 130, 130, 130, 132, 138, 142, 145, 150, 155. 155, 160, 
160, 170, 170, 175, 178.
O rol já está disposto em ordem crescente. Caso não estivesse, 
seria necessário ordenar os dados de forma a destacar os limites 
inferiores e superiores.
a) Tamanho da amostra: n = 49.
O número de classes deve ser escolhido de acordo 
com a conveniência, levando-se em conta a utilização de 
arredondamento de números ou outros fatores de interesse, 
como o desejo ou a necessidade de se resumir mais a tabela ou 
de expandi-la.
Uma sugestão de literatura é k n= , em que k seria o 
número de classes ou intervalos a serem utilizados na construção 
da tabela.
No exemplo do consumo anual de inseticida:
b) Número de classes:
22
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11/
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
k = 49
K = 7 classes
c) Amplitude de cada classe
Amplitude de cada classe
Ac = At / K
Onde At = limite superior do rol – limite inferior do rol
Prosseguindo no exemplo dado, como os dados obtidos já 
foram dispostos em ordem crescente, observa-se que o limite 
superior do rol é 178 e o limite inferior é 11. Como o número de 
classes escolhido foi 7, temos:
Ac = (178 – 11) / 7
Ac = 23,86 (ou seja, arredondando, 24)
d) Construção da tabela por classes de valores (dados 
agrupados em classes).
Na construção da tabela por classes, elege-se como 
representante de classe o ponto médio.
Consumo anual (toneladas) de inseticida de uma amostra 
aleatória de lavradores de certa região durante um ano.
Classe Freq. abs. (fi )
Ponto médio da classe 
(PMi)
Freq. rel. abs. percent. 
(fri%)
Freq. acum. 
(Fac)
11|--------35 7 (11+35)/2 = 23 (7/49) x 100=14,29 7
35|--------59 7 (35+59)/2= 47 (7/49) x 100=14,29 14
59|--------83 6 (59+83)/2= 71 (6/49) x 100=12,24 20
83|-------107 5 (83+107)/2= 95 (5/49) x 100=10,20 25
107|-----131 8 (107+131)/2=119 (8/49) x 100=16,33 33
131|-----155 8 (131+155)/2=143 (8/49) x 100=16,33 41
155|-----179 8 (155+179)/2=167 (8/49) x 100=16,33 49
Total 49
23
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Atenção: utilizando-se o valor do ponto médio (PMi) como 
o único representante de cada classe presume-se, no entanto, 
perda de precisão.
1.4.2 Histogramas
1.4.2.1 Gráficos de barras
São formas de apresentação da frequência dos dados de um 
levantamento, nas quais a visualização é a partir de um gráfico 
constituído por barras.
Programas como o Excel fornecem diversos modelos de 
gráficos de barras, inclusive em três dimensões.
As imagens a seguir foram obtidas com o auxílio da 
ferramenta do Word “inserir gráfico”, que abre uma série de 
possibilidades de gráficos:
Quando se opta pelo modelo coluna (vide figuras a seguir), 
abre-se uma planilha do Excel para a inserção dos dados:
24
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Os dados inseridos na planilha do Excel foram retirados da 
tabela:
Série 1 Série 2 Série 3
Categoria 1 4,3 2,4 2
Categoria 2 2,5 4,4 2
Categoria 3 3,5 1,8 3
Categoria 4 4,5 2,8 5,0
E apresentados no gráfico gerado pelo próprio Excel:
6
5
4
3
2
1
0
Categoria 1 Categoria 2 Categoria 3 Categoria 4
Série 1
Série 2
Série 3
25
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
O programa oferece outras formas de visualização, como a 
da figura a seguir, que apresenta os mesmos dados da figura 
anterior:
5
Categoria 1 Categoria 2 Categoria 3 Categoria 4
Série 1
Série 2
Série 3
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1.4.2.2 Gráficos de barras de dados agrupados
Uma boa representação gráfica para dados agrupados é o 
histograma. Este gráfico de barras é usado para a representação 
de frequências. Normalmente são usadas frequências relativas 
por sua relação com probabilidades.
Exemplo:
A tabela apresenta os resultados de um hipotético estudo 
da durabilidade de uma ferramenta. Escolhido um intervalo de 
tempo (10 horas, neste caso), as peças da amostra (150, neste 
caso) foram agrupadas de acordo com a faixa de durabilidade, 
resultando na coluna Quantidade da tabela.
26
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Tabela: vida útil da ferramenta
Vida em horas Xm Quantidade
Frequência 
relativa %
Frequência relativa 
acumulada %
50-60 55 5 3,3 3,3
60-70 65 7 4,7 8,0
70-80 75 10 6,7 14,7
80-90 85 21 14,0 28,7
90-100 95 33 22,0 50,7
100-110 105 32 21,3 72,0
110-120 115 22 14,7 86,7
120-130 125 13 8,7 95,3
130-140 135 2 1,3 96,7
140-150 145 3 2,0 98,7
150-160 155 2 1,3 100
Freq. relativa %
valores
30
20
10
0
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Gráfico de frequências relativas
27
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Freq. relat. acumul.
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Valores
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Gráfico de frequências relativas acumuladas
Fonte: exemplo e figuras obtidas em MSPC – Informações Técnicas (2009).5
Ogiva: é o gráfico de linha que passa pelos valores 
superiores das faixas do histograma de frequências 
acumuladas (indicado em linhas tracejadas na figura 
que representa o gráfico de frequências relativas 
acumuladas).
1.4.3 Polígonos de frequência
Os dados de um levantamento podem ser representados por 
intermédio de um polígono de frequência, que nada mais é do 
que a união dos pontos médios de cada coluna do histograma 
(coluna xm ).
Exemplo:
Utilizando a mesma tabela do exemplo anterior, insere-se 
duas linhas (faixas 40-50 e 160-170) com quantidades zero 
para fechar o polígono. Este é então representado a partir do 
histograma ou somente por um gráfico de linha.
5 Disponível em: < http://www.mspc.eng.br/matm/prob_est300.
shtml>. Acesso em: 27 jan. 2011.
28
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Tabela: vida útil da ferramenta
Vida em horas Xm Quantidade Frequência relativa %
40-50 45 0 0
50-60 55 5 3,3
60-70 65 7 4,7
70-80 75 10 6,7
80-90 85 21 14,0
90-100 95 33 22,0
100-110 105 32 21,3
110-120 115 22 14,7
120-130 125 13 8,7
130-140 135 2 1,3
140-150 145 3 2,0
150-160 155 2 1,3
160-170 165 0 0
Freq. relativa %
valores
30
20
10
0
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
1.5 Medidas de posição ou tendência central
São medidas que fornecem uma ideia sobre o comportamento 
do conjunto de dados estudado. É uma forma de resumir o 
conjunto através de um valor único, que representa em termo 
“médio” todo o conjunto.
29
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Veja que essas medidas são importantes para situações em 
que não temos necessidade de mostrar todos os resultados, 
mas apenas um que nos dê uma posição referente a todo o 
conjunto. Por exemplo, pode não interessar para a coordenação 
de um curso saber a média de cada aluno de uma turma, mas 
sim qual foi a média aritmética das notas daquela turma ou a 
nota mediana ou a nota modal (maioria).
1.5.1Média aritmética (x)
1.5.1.1 Média aritmética simples
Quando desejamos conhecer a média dos dados não 
agrupados, obtemos a média aritmética simples.
Média aritmética é o quociente da divisão da soma dos 
valores da variável pelo número deles:
x
x
n
i
i
n
_
= →
∑
1
Sendo:
x a média aritmética;
xi os valores da variável;
n o número de valores.
Exemplo:
Sabendo-se que a produção de suco diária de uma pequena 
indústria durante uma semana foi de 100, 145, 135, 150, 160, 
180 e 100 litros tem-se, para a produção média da semana:
30
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Solução:
x
x
n
i
i
n
_
,= = + + + + + =→
∑
1 100 145 155 160 180 100
7
142 14
Logo: x = 142,14 litros
1.5.1.2 Média aritmética ponderada
Neste caso, as frequências são números indicadores da 
intensidade de cada valor da variável; elas funcionam, portanto, 
como fator de ponderação, o que nos leva a calcular a média 
aritmética ponderada.
Média Aritmética Ponderada
Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, 
todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância 
ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo 
peso relativo. Porém, existem casos onde as ocorrências têm 
importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da 
média deve levar em consideração esta importância relativa 
ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média 
aritmética ponderada. Ponderar significa pesar. No cálculo 
da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto 
por seu “peso”, isto é, por sua importância relativa.6
x
x f
f
i i
i
n
i
i
n
_
.
= →
→
∑
∑
1
1
Sendo fi o peso de cada variável xi
6 Disponível em: < http://www.somatematica.com.br/fundam/
medias.php>. Acesso em: 27 jan. 2011.
31
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Exemplos:
1 Os dados a seguir mostram os preços correspondentes a 
um mesmo produto em 20 locais diferentes: 5, 5, 6, 6, 6, 
7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12.
Solução: o modo mais prático de obtenção da média 
ponderada é abrir, na tabela, uma coluna correspondente ao 
produto xi.fi:
Preço (xi) Número de locais (fi) xi.fi
5 2 10
6 3 18
7 2 14
8 1 8
9 4 36
10 5 50
11 2 22
12 1 12
fi
i
n
=
→
∑ 20
1
x fi i
i
n
.
→
∑ =
1
170
Logo:
x
x f
f
i i
i
n
i
i
n
_
.
,= = =→
→
∑
∑
1
1
170
20
8 5
Portanto, o preço médio do produto nos 20 locais pesquisados 
é de R$ 8,50, ou seja,
x = R$ 8,50
32
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
2 Um professor passou um trabalho para ser feito em casa 
e que deveria ser entregue no dia da prova do mês. Ele 
atribuiu pesos diferentes para as duas avaliações. Se a 
prova e o trabalho tiverem pesos 3 e 1, respectivamente, e 
se um aluno tirar 70 na prova e 90 no trabalho, qual será 
a média do aluno?
Solução:
x
x f
f
i i
i
n
i
i
n
_
.
. .= = + =→
→
∑
∑
1
1
70 3 90 1
4
75
Portanto, a média do aluno será de 75 pontos, ou seja,
x = 75 pontos
Observe que a nota da prova tinha maior peso (peso 3) e o 
trabalho, menor peso (peso 1). Em decorrência dessa diferença 
de peso, a média final teve maior influência da nota da prova 
(70), resultando no valor final de 75.
1.5.1.3 Média aritmética para dados agrupados numa 
distribuição de frequências
Nesse caso, as variáveis (xi) serão representadas pelos pontos 
médios de cada classe da tabela.
Média aritmética para dados agrupados em classes é 
utilizada quando é possível estabelecer classes de valores. 
Então é necessário obter o ponto médio que represente cada 
intervalo. Esse ponto médio (Pmi) é a média aritmética simples 
dos valores extremos que compõem cada classe ou intervalo. 
No cálculo da média aritmética para dados agrupados em 
classes, multiplicamos cada ponto médio do conjunto por seu 
“peso”, isto é, por sua importância relativa.
33
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
x
P f
f
mi i
i
n
i
i
n
_
.
= →
→
∑
∑
1
1
Sendo fi o peso de cada variável Pmi
Exemplo:
Calcular a média aritmética das estaturas do grupo de 
crianças recém-nascidas, apresentadas na tabela abaixo.
Classificação das crianças recém-nascidas por estatura:
Estatura (cm) fi Pmi Pmi. fi
32�|--------- 34 2 33 66
34|----------36 9 35 315
36|----------38 15 37 555
38|----------40 25 39 975
40|----------42 10 41 410
42|----------44 7 43 301
fi
i
n
=
→
∑ 68
1
Pm fi i
i
n
. =
→
∑ 2622
1
Assim:
x
P f
f
mi i
i
n
i
i
n
_
.
,= = =→
→
∑
∑
1
1
2622
68
38 56
Portanto, a estatura média deste grupo de crianças 
recém-nascidas é 38,56 cm.
Lembre-se de que a média 
aritmética deve estar sempre entre os 
valores estudados. Nesse caso, como 
as médias de estaturas variavam de 32 
a 44 cm, a média obrigatoriamente deve 
estar dentro desse intervalo.
34
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
1.5.2 Mediana
A mediana de uma série de n dados dispostos em ordem 
crescente ou decrescente é o elemento que fica na posição 
central. Caso o número de dados seja par, a mediana será a 
média entre os dois pontos centrais do conjunto.
Exemplos:
1 As estaturas (m) de 9 pacientes que frequentam uma 
clínica nutricional são dadas pelos seguintes valores:
1,48 1,50 1,52 1,55 1,57 1,60 1,63 1,65 1,67
Obter a mediana do conjunto.
Solução: uma vez que o número de dados é 9 (um número 
ímpar), a mediana é o ponto médio, ou seja, a estatura mediana 
é 1, 57m.
2 Um paciente cuja estatura é 1,60m deixa de frequentar 
a clínica nutricional do exemplo acima. Qual a estatura 
mediana dos pacientes restantes?
Solução: as estaturas restantes são: 1,48 1,50 1,52 1,55 1,57 
1,63 1,65 1,67.
Uma vez que o número de dados é 8 (um número par), a 
mediana é a média entre os dois pontos médios.
(1,55 + 1,57) / 2 = 1,56m
Assim, a mediana das estaturas dos pacientes remanescentes 
da clínica é de 1,56m.
3 Calcule a mediana da distribuição a seguir. Ela representa 
o número de erros cometidos por dia pelo sistema 
35
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
computacional, em um departamento de auditoria. Foram 
registrados os dados por um período de112 dias.
Número de erros cometidos por um sistema de 
computador:
Número de erros Frequência de dias Frequências acumuladas
0 21 21
1 1536
2 20 56
3 15 71
4 20 91
5 20 111
fi
i
n
=
→
∑ 111
1
Solução: uma vez que o número de dados é ímpar (que 
nesse caso é dado pela soma das frequências), o valor mediano 
será dado pelo ponto médio da soma das frequências (55,5). Ou 
seja, a mediana corresponde ao número 2. Portanto, a mediana 
é igual a 2 erros.
1.5.3 Moda
A moda de um conjunto de dados é o valor com maior 
frequência, ou seja, o valor que mais se repete. Se dois ou 
mais valores se repetirem com a mesma frequência, cada 
valor é uma moda e os dados são chamados de bimodais 
(duas modas) ou polimodais (várias modas).
Exemplo:
1 Sejam os números 3, 5, 5, 5, 5, 9, 10, 10, 10, 10, 15 
correspondentes às idades (meses) de certo grupo de 
bebês. Encontre a moda das idades dos bebês.
Importante!
Um conjunto de números pode 
não ter moda (amodal), quando todos 
os valores ocorrerem com a mesma 
frequência.
36
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Idades Frequência
3 1
5 4
9 1
10 4
15 1
Solução: as idades 5 meses e 10 meses aparecem quatro 
vezes, enquanto as demais idades aparecem somente uma 
vez. Assim, as modas das idades dos bebês são 5 meses e 10 
meses.
2 Encontre a moda correspondente às massas corporais dos 
alunos relacionados na tabela abaixo.
Massa corporal (kg) dos alunos do 2o grau do colégio X.
Massa corporal (kg) Frequencia (fi)
40 35
45 47
46 36
57 20
62 3
Solução: para a obtenção da moda, inicialmente identifica-se 
qual a maior frequência, que no caso é 47. Este valor corresponde 
à massa corporal de 45 kg. Portanto, a massa corporal mais 
frequente nesta amostra é 45 kg.
3 Sejam os números: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10. Encontre o valor 
correspondente à moda desse conjunto.
Solução: como todos os valores têm a mesma frequência, ou 
seja, todos aparecem uma única vez, não existe moda, portanto 
o conjunto é amodal.
Veja que nesse caso temos duas 
modas (dois valores com maior 
frequência), o que indica um conjunto 
bimodal.
37
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
1.6 Medidas de dispersão
Para se avaliar quantitativamente o grau de variabilidade 
ou dispersão dos valores de um conjunto de números em 
torno do valor médio usamos as medidas de dispersão. Entre as 
principais que estudaremos estão: a variância, o desvio padrão e 
o coeficiente de variação.
O grau de dispersão de um conjunto de observações pode 
ser obtido pela média dos desvios dos dados em relação à 
média do conjunto de observações feita.
Veja que quanto maior o grau de dispersão de um conjunto 
de dados mais heterogêneo ele se apresenta. Se compararmos 
vários conjuntos, o que tiver menor dispersão será o mais 
homogêneo; ou seja, seus dados estão apresentando menor 
variação em relação à medida central.
1.6.1 Variância e desvio padrão
1.6.1.1 Variância e desvio padrão para dados isolados 
simples
Orientações para o cálculo da variância e do desvio 
padrão amostral e populacional – Dados Isolados Simples.
1 Calcular a média aritmética amostral:
x
x
n
i
i
n
_
= →
∑
1
Ou populacional:
µ
_
= →
∑ x
N
i
i
N
1
38
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
2 Calcular o desvio de cada dado em relação à média 
amostral ou populacional:
( )
_
x xi −
(xi — µ)
3 Elevar ao quadrado cada desvio em relação à média 
amostral ou populacional:
( )
_
x xi − 2
(xi — µ)2
4 Somar os resultados para obter a soma dos quadrados.
( )
_
x xi
i
n
−
→
∑ 2
1 ou 
( )xi
i
N
−
→
∑ µ 2
1 
5 Dividindo-se por n-1 (n é o número de dados da amostra) 
o resultado anterior obtêm-se a variância amostral 
e por N-1 (N é o número de dados da população) 
obtêm-se a variância populacional, respectivamente:
s
x x
n
i
i
n
2
2
1
1
=
−
−
→
∑ ( )
_
σ
µ
2
2
1
1
=
−
−
→
∑ ( )x
N
i
i
N
6 Determinando a raiz quadrada encontramos o desvio 
padrão:
39
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
amostral
s s= 2
ou populacional
σ σ= 2
Exemplo:
Determinar a variância e o desvio padrão amostrais da 
massa corporal inicial (kg) de adolescentes submetidos a uma 
dieta especial.
Massas corporais iniciais: 37 38 39 41 41 41 42 44 45 47
Solução: determinar o desvio de cada massa inicial em 
relação à massa média do grupo de adolescentes.
Em relação às massas iniciais a média é:
x
x
n
i
i
n
_
,= = + + + + + + + + + = =→
∑
1 37 38 39 41 41 41 42 44 45 47
10
415
10
415
Logo x = 41,5 Kg.
Para se determinar como cada massa individual se desvia da 
média do grupo é só subtrair 41,5 dela. Por exemplo, o desvio 
de 41 kg é:
41 – 41,5 = – 0,5.
Depois, esse resultado deve ser elevado ao quadrado: (-0,5)2 
= 0,25.
40
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
A tabela a seguir mostra os desvios e os quadrados dos 
desvios de cada uma das dez massas corporais iniciais.
Massa (Kg) xi Desvio (xi—x) Quadrados Desvio (xi—x)
2
37 - 0,5 0,25
38 -3,5 12,25
39 -2,5 6,25
41 -0,5 0,25
41 -0,5 0,25
42 0,5 0,25
44 2,5 6,25
45 3,5 12,25
47 5,5 30,25
xi
i
n
=
→
∑ 415
1 
( )
_
x xi
i
n
− =
→
∑ 0
1
 ( ) ,
_
x xi
i
n
− =
→
∑ 2
1
88 5
Como
s
x x
n
i
i
n
2
2
1
1
=
−
−
→
∑ ( )
_
s2
88 5
10 1
88 5
9
9 83=
−
= =, , ,
s = 9 83,
s ≈ 314,
Logo, a variância amostral das massas corporais iniciais é 
9,83 e o desvio padrão é de 3,14 Kg.
41
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
1.6.2 Variância e desvio padrão para dados isolados 
ponderados
Orientações para o cálculo da variância e do desvio padrão 
amostral e populacional – dados isolados ponderados
1 Calcular a média aritmética amostral
x
x f
f
i i
i
n
i
i
n
_
.
= →
→
∑
∑
1
1
ou a média aritmética populacional
µ = →
→
∑
∑
x f
f
i i
i
N
i
i
N
.
1
1
2 Calcular o desvio de cada dado em relação à média 
amostral ou populacional:
( )
_
x xi −
(xi — µ) 
3 Elevar ao quadrado cada desvio em relação à média 
amostral ou populacional:
( )
_
x xi − 2
(xi — µ)2
42
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: Már
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
4 Somar os resultados para obter a soma dos quadrados 
e multiplicar por cada frequência correspondente.
( ) .
_
x x fi
i
n
i−
→
∑ 2
1
 ou ( ) .x fi
i
N
i−
→
∑ µ 2
1
5 Dividindo-se por (n-1) (n é o número de dados da amostra) 
o resultado anterior obtêm-se a variância amostral e por 
(N-1) (N é o número de dados da população) obtêm-se a 
variância populacional, respectivamente:
s
x x f
n
i i
i
n
2
2
1
1
=
−
−
→
∑ ( ) .
_
σ
µ
2
2
1
1
=
−
−
→
∑ ( ) .x f
N
i i
i
N
Exemplo:
Determinar a variância e o desvio padrão amostrais dos 
preços (R$) para os produtos a seguir:
Preços (R$) xi Frequência fi
5 2
7 3
8 5
9 4
11 2
Total 16
Solução: seguir as orientações dadas no quadro explicativo 
para o cálculo de variância e desvio padrão para dados isolados 
43
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
simples, ou seja, determinar o desvio de cada preço para o grupo 
de produtos.
Preços ($) xi Frequência fi xi.fi (xi—x)
2.fi
5 2 10 (5 – 8,06)2.2 = 18,73
7 3 21 (7 – 8,06)2.3 = 3,37
8 5 40 (8 – 8,06)2.5 = 0,02
9 4 36 (9 – 8,06)2.4 = 3,53
11 2 22 (11 – 8,06)2.2 = 17,29
n f
i
n
i= =
→
∑
1
16 x fi
i
n
i
→
∑ =
1
129. ( ) . ,
_
x x fi
i
n
i− =
→
∑ 2
1
42 94
a) Cálculo da média aritmética
x
x f
n
i
i
n
i_
.
= →
∑
1
x
x f
n
i
i
n
i_
.
,= = =→
∑
1 129
16
8 06
Logo,
x= R$8,06
b) Cálculo da variância
s
x x f
n
i i
i
n
2
2
1
1
=
−
−
→
∑ ( ) .
_
44
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
s2
42 94
16 1
=
−
,
s2
42 94
15
= ,
s2=2,86
c) Cálculo do desvio padrão
s2=2,86
s = 2 86,
s=1,69
Logo,
S = R$1,69
1.6.3 Variância e desvio padrão para dados agrupados em 
classes
Orientações para o cálculo da variância e do desvio 
padrão de uma amostra – dados agrupados em classes
1 Calcular a média aritmética amostral
x
Pm f
f
i i
i
n
i
i
n
_
.
= →
→
∑
∑
1
1
Ou a média aritmética populacional
45
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
µ = →
→
∑
∑
Pm f
f
i i
i
N
i
i
N
.
1
1
2 Calcular o desvio de cada dado em relação à média 
amostral ou populacional:
(Pmi—x)
(Pmi—µ)
3 Elevar ao quadrado cada desvio calculado 
anteriormente:
(Pmi—x)
2
(Pmi—µ)2
4 Somar os resultados para obter a soma dos quadrados 
e multiplicar por cada frequência correspondente.
( ) .
_
Pm x fi i
i
n
−
→
∑ 2
1
( ) .Pm fi i
i
N
−
→
∑ µ 2
1
5 Dividindo-se por (n -1) obtêm-se a variância amostral 
e por (N -1) obtêm-se a variância populacional, 
respectivamente.
s
Pm x f
n
i i
i
n
2
2
1
1
=
−
−
→
∑ ( ) .
_
σ
µ
2
2
1
1
=
−
−
→
∑ ( ) .Pm f
N
i i
i
N
46
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Sendo: X = (� xifi) ÷ (� fi)
X a média aritmética;
xi os valores da variável;
fi o número de valores.
6 Determinando a raiz quadrada encontramos o desvio 
padrão amostral
s s= 2
Ou populacional
σ σ= 2
Obs:
n fi
i
n
=
→
∑
1
N fi
i
N
=
→
∑
1
Exemplo:
Determinar a variância e o desvio padrão amostrais das 
massas (g) para as peças a seguir.
Faixas de massas (g) Frequência (fi)
2|--------4 2
4|--------6 4
6|--------8 7
8|-------10 4
10|-------12 3
Total = 20
47
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Solução: seguir as orientações dadas no quadro explicativo 
para o cálculo de variância e desvio padrão para dados agrupados 
em classes, ou seja, determinar o desvio do valor de cada massa 
para o grupo de peças.
Massas (g) Frequência fi Pmi Pmi.fi (Pmi—x)
2.fi
2|------4 2 3 6 (3 – 7,2)2.2 = 35,28
4|------6 4 5 20 (5 – 7,2)2.4 = 19,36
6|------8 7 7 49 7 – 7,2)2.7 = 0,28
8|------10 4 9 36 (9 – 7,2)2.4 = 12,96
10|----12 3 11 33 (11 – 7,2)2.3 = 43,32
n fi
i
n
= =
→
∑
1
20 Pm fi i
i
n
. =
→
∑ 144
1
( ) . ,
_
Pm x fi i
i
n
− =
→
∑ 2
1
1112
a) Cálculo da média
x
Pm f
f
i i
i
n
i
i
n
_
.
= →
→
∑
∑
1
1
x
_
,= =144
20
7 2
x=7,2
b) Cálculo da variância
s
Pm x f
n
i i
i
n
2
2
1
1
=
−
−
→
∑ ( ) .
_
s2
1112
20 1
=
−
,
48
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
s2=5,85
c) Cálculo do desvio padrão
s = 5 85,
s=2,42
Logo,
S =2,42 g
1.6.4 Medida de dispersão relativa – coeficiente de 
variação (Cv)
Nesta modalidade de medida de dispersão, a variação dos 
dados é apresentada em forma de percentagem.
Observação: a dispersão relativa é útil especialmente 
para estabelecer comparação em termos relativos do grau de 
concentração em torno da média de séries distintas ou numa 
mesma série com unidades de medidas diferentes. Por exemplo, 
se desejamos comparar se uma amostra de estudantes apresenta 
maior dispersão quanto à massa corporal total ou quanto à 
massa muscular.
Cálculo do coeficiente de variação (em relação à média 
amostral ou à média populacional):
C
s
x
v = _ .100
Cv =
σ
µ
.100
Lembre-se: o coeficiente de variação 
é expresso em porcentagens.
49
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Sendo:
s= desvio padrão amostral.
σ = desvio padrão populacional.
µ = média aritmética populacional.
x = média aritmética amostral.
Exemplo:
Em uma indústria, o salário médio das mulheres é de R$ 
2.000,00, com desvio – padrão de R$ 800,00, e o dos homens 
é de R$ 3.000,00, com desvio – padrão de R$ 900,00. Qual 
salário possui maior dispersão relativa, o das mulheres ou o dos 
homens?
Solução: como os dados são referentes a toda a população 
de homens e mulheres da indústria e não apenas a uma amostra, 
o cálculo coeficiente de variação será feito com base na média e 
no desvio padrão populacionais.
Cálculo do Cv para as mulheres:
Cv =
σ
µ
.100
Cv = =
800 100
2000
40
.
Cv = 40%
Cálculo do Cv para os homens:
Cv =
σ
µ
.100
50
Unidade IRe
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Cv = =
900 100
3000
30
.
Cv = 30%
Dessa forma, concluímos que os salários das mulheres 
apresentam maior dispersão relativa do que os salários dos 
homens.
Exercícios
1 A tabela a seguir apresenta a distribuição das exportações 
de produtos eletrônicos de empresas em determinado ano.
Volume exportado de produtos eletrônicos por empresas:
Volume exportado Número de empresas
 5000|----------6000 1
 6000|----------7000 3
 7000|----------8000 8
 8000|----------9000 8
 9000|----------10000 11
 10000|----------11000 6
 11000|----------12000 3
Fonte: dados fictícios
Considerando-se que no ano anterior ao dos dados tabelados, 
o volume médio exportado foi de R$ 9.000,00 podemos afirmar 
que o volume médio exportado no período atual aumentou?
a) sim, o volume médio exportado aumentou para 
R$ 9.100,00.
b) sim, o volume médio exportado aumentou para 
R$ 9.200,00.
51
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
c) o volume médio exportado continuou igual.
d) não, o volume médio exportado diminuiu para 
R$ 8.875,00.
e) não, o volume médio exportado diminuiu para 
R$ 8.000,00.
2 Uma pesquisa realizada em uma indústria durante 27 meses 
mostrou a distribuição de peças defeituosas fabricadas.
Número de peças de precisão defeituosas devolvidas 
mensalmente pelo controle de qualidade:
Número de peças com defeito Número de meses
0 2
1 8
2 6
3 4
4 4
5 2
6 1
Fonte: dados fictícios
A mediana (Me) e a moda (Mo) de peças rejeitadas por mês foi:
a) Me= 2 e Mo = 1.
b) Me= 1 e Mo = 1.
c) Me= 2 e Mo = 2.
d) Me= 1 e Mo = 6.
e) Me= 2 e Mo = 6.
52
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
3 A nota média para aprovação em uma disciplina X é 70 
pontos. Se um aluno tirou 60, 75, 80 e 55 pontos no 1o, 2o, 
3o e 4o bimestres, respectivamente, e considerando-se que 
o 3o bimestre tinha peso 2 e os demais bimestres peso 1, o 
aluno será aprovado?
a) sim, com média de 72 pontos.
b) sim, com média de 70 pontos.
c) sim, com média de 78 pontos.
d) não, será reprovado, com média de 68 pontos.
e) não, será reprovado, com média de 65 pontos.
4 Qual a posição que o valor 70 ocupa na série 60, 50, 70, 
80, 90?
a) a média e a moda.
b) a média e a mediana.
c) a mediana e a moda.
d) a média, a mediana e a moda.
e) a variância.
5 As fases principais do método estatístico são:
a) coleta de dados, amostragem, apresentação tabular e 
gráfica e definição dos problemas.
b) amostragem, apresentação tabular, apuração dos 
dados, interpretação dos dados e planejamento.
53
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
c) definição do problema, planejamento, coleta dos dados, 
análise e interpretação dos dados.
d) definição do problema, amostragem, apresentação 
tabular e análise.
e) definição do problema, coleta dos dados, conclusão.
6 Um comerciante vende determinado produto em sacas 
que deveriam conter uma massa mínima média de 16,50 
kg como padrão. A avaliação de 40 sacas revelou os 
resultados apresentados na tabela abaixo:
Massas (kg) referentes a 40 sacas do produto X
Massas Número de sacas
14,55 1
15,05 3
15,55 8
16,05 9
16,55 10
17,05 6
17,55 3
Fonte: dados fictícios
O padrão está sendo respeitado?
a) sim, o peso médio é de 16,50 kg.
b) sim, o peso médio é de 16,60 Kg.
c) não, o peso médio é de 15,00 Kg.
d) não, o peso médio é de 15,80 kg.
e) não, o peso médio é de 16,23 Kg.
54
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
7 Foram selecionadas amostras aleatórias de ações 
negociadas para a realização de um estudo do desempenho 
de duas companhias corretoras de ações. Para isso, 
considerou-se a porcentagem de lucro para cada ação e 
as respectivas variações durante um período específico, 
conforme os dados que seguem abaixo:
Corretora A: média de lucro obtido no período foi 4,5 um, 
com desvio padrão de 0,41 um.
Corretora B: lucros obtidos (um): 3,7; 3,8; 3,9; 4,6; 4,9; 5,1.
Obs.: um = unidade monetária
Qual corretora apresentou resultados mais homogêneos no 
período?
a) Corretora A, com desvio padrão de 0,41 um.
b) Corretora B, com desvio padrão de 0,61 um.
c) Corretora B, com média de 4,33 um.
d) Corretora A, com média de 5,4 um.
e) As duas corretoras apresentaram a mesma variabilidade 
nos lucros.
8 A tabela abaixo mostra as idades de 40 crianças 
entrevistadas em duas escolas estaduais de certa cidade 
no ano corrente:
Idades Frequência
11 2
12 1
13 9
14 6
15 22
Total 40
55
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
Qual o percentual de crianças com 14 anos?
a) 10%
b) 12%
c) 20%
d) 18%
e) 15%
9 Realizou-se uma prova de estatística para duas turmas. Os 
resultados foram os seguintes:
Turma A: µ = 5 e σ = 2,5
Turma B: µ = 4 e σ = 2,0
Com base nesses resultados, podemos concluir que:
a) A turma B apresentou maior dispersão absoluta.
b) Tanto a dispersão absoluta quanto a relativa são 
maiores para a turma B.
c) A dispersão relativa é igual à dispersão absoluta.
d) A dispersão absoluta de A é maior do que a de B, mas 
em termos relativos as duas turmas não diferem quanto 
ao grau de dispersão das notas.
e) A dispersão absoluta de B é maior do que a de A.
10 A prefeitura de um grande centro quer conhecer o 
padrão de consumos mensais de energia elétrica e de 
água de duas de suas regiões: uma delas com residências 
56
Unidade I
Re
vi
sã
o:
 E
la
in
e 
– 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
– 
16
/0
2/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
is
ão
: E
la
in
e 
- 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
24
/0
2/
20
11
de alto padrão de construção e outra com residências de 
baixo padrão de construção.
O estatístico responsável pelo estudo solicitou, junto às 
companhias de distribuição de energia elétrica e de água, uma 
amostra aleatória de cada região dos valores de consumo mensal 
de energia elétrica e de água das residências de cada região. As 
companhias distribuidoras forneceram um resumo dos dados 
solicitados, média e desvio padrão do consumo nas residências 
amostradas, apresentados na tabela a seguir:7
Tamanhos de amostra, média e desvio-padrão das variáveis 
estudadas
Região Consumo Número de residências amostradas Média amostral
Desvio padrão 
amostral
Residências de Alto Padrão Energia elétrica (kWh)Água (m3) 400
240
750
60
75
Residências de Baixo Padrão Energia