Estatistica descritiva Unid II UNIP

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Unidade II5
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15
20
25
30
35
2 PROBABILIDADE
2.1 Panorama histórico
O estudo científico da probabilidade é um fato moderno. 
Segundo Eves (2004), é surpreendente que os matemáticos 
tenham desenvolvido uma ciência (a teoria matemática das 
probabilidades) que estabelece leis racionais para reger situações 
determinadas puramente pelo azar. No entanto, apesar dessa 
característica inusitada no âmbito das ciências, ela é de grande 
aplicação prática. As experiências efetuadas em grandes 
laboratórios, o planejamento de grandes empresas de seguro, 
a logística de grandes empresas e estratégias de guerra, entre 
tantos outros exemplos, atestam sua aplicabilidade.
Em verdade, o ser humano faz uso dos princípios das 
probabilidades cotidianamente. Ao atravessar uma rua, por 
exemplo, a pessoa faz uso de sua vivência para intuitivamente 
calcular a probabilidade de ser ou não atropelada. Inúmeras 
situações cotidianas são regidas por essas leis. A confiança no 
uso de elevadores, nas viagens aéreas, a carta esperada no jogo, 
a esperança de ganhar na Mega-Sena ou do time do coração 
ser campeão, expectativa de sobrevida de doentes terminais, 
expectativa de uma gravidez evoluir satisfatoriamente etc. fazem 
parte do mesmo jogo de azar. Portanto, a utilização das ideias 
da probabilidade fazem parte da história do ser humano, mas as 
descrições matemáticas de uso nesses problemas só apareceram 
por volta do final do século XV e início do século XVI, quando 
alguns matemáticos italianos tentaram avaliar as possibilidades 
em alguns jogos de azar, esclarece Eves (2004).
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Alguns filosófos gregos da Antiguidade, observa Eves 
(2004), discutiram sobre necessidade e contingência longa 
e detalhadamente, mas sem nenhum cuidado matemático. 
Girolamo Cardano tratou de alguns aspectos da probabilidade 
matemática, mas foi uma troca de correspondência entre dois 
matemáticos, Blaise Pascal e Pierre de Fermat, que lançou os 
fundamentos da moderna teoria das probabilidades, por volta 
de 1654. O assunto discutido por eles nesta correspondência 
tratava de um problema relacionado ao jogo de azar, denominado 
“problema dos pontos”.
2.2 Definições
Fonte: Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/
recursos/11915/probabilidades.zip>. Acesso em: 27 jan. 2011.
2.2.1 Experimentos aleatórios
São estes experimentos o interesse maior do estudo 
das probabilidades, pois antes deles ocorrerem é impossível 
prever o resultado. Além disso, ocorrendo várias vezes, 
nas mesmas condições, podem apresentar resultados 
diferentes.
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Do ponto de vista matemático, o estudo das probabilidades 
é, na verdade, o estudo dos fenômenos aleatórios. Fenômenos 
dos quais já se sabe de antemão os resultados não necessitam 
das possibilidades probabilísticas, uma vez que já estão dadas.
Ninguém vai apostar se um time se tornará campeão na 
próxima partida do campeonato se ele, matematicamente, 
já é o vencedor. Ou seja, se nenhum time tiver condições 
de superá-lo em pontos, quaisquer que sejam os resultados 
dos próximos jogos.
No entanto, ninguém pode afirmar com certeza o 
resultado da soma das faces superiores de dois dados não 
viciados (experimento aleatório).
2.2.2 Espaço amostral
Exemplos:
1 No lançamento de um dado, observe o resultado.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2 No lançamento de duas moedas, observe o resultado.
A = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}
Sendo c = cara e K = coroa
2.2.3 Evento
Em relação a certo espaço amostral, é qualquer um dos seus 
subconjuntos. Exemplo:
No lançamento de um dado não viciado, o número da face 
voltada para cima determina o espaço amostral:
É o conjunto de todos os resultados 
possíveis de um experimento aleatório.
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A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
No entanto, podemos considerar a partir dele os seguintes 
eventos:
E = sair um número par:
E = {2, 4, 6}
E = sair um número ímpar:
E = {1, 3, 5}
Evento simples ou elementar
Trata-se de um evento com um único ponto amostral 
ou elemento.
Exemplo:
No lançamento de um dado.
E = Ocorrência de um número primo par:
E= {2}
Probabilidade é um número compreendido entre 0 e 1 
utilizado para exprimir o grau de certeza acerca da ocorrência 
de um evento associado a um experimento aleatório.
Consiste em uma experiência cujo resultado não pode 
ser previsto com certeza.
2.2.4 Probabilidade de um evento
Denomina-se probabilidade de um evento p(E) o número 
que exprime a possibilidade de ocorrer tal evento em relação a 
certo experimento aleatório.
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p E
numero de casos favoraveis
numero de elementos do espa
( ) = 
 cco amostral 
´ ´
´ ç
No fundo, a teoria das probabilidades é apenas o 
senso comum expresso em números (Laplace).
Exemplo:
Eventos complementares
No lançamento de um dado não viciado, o número da face 
voltada para cima determina o espaço amostral:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Chamando o número de elementos do espaço amostral de 
n(A) temos:
n(A) = 6
1 Considerar a partir dele o evento E = sair um número par.
E = {2, 4, 6}
Chamando o número de elementos do evento E de n(E) 
temos:
n(E) = 3
p F
numero de casos favoraveis
numero de elementos do espa
( ) = 
 cco amostral
n F
n A 
= = =( )
( )
3
6
1
2
´ ´
´ ç
p F( ) = 1
2
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2 Considerar o evento F = sair um número ímpar.
F = {1, 3, 5}
Chamando o número de elementos do evento F de n(F) 
temos:
n(F) = 3
p F
numero de casos favoraveis
numero de elementos do espa
( ) = 
 cco amostral
n F
n A 
= = =( )
( )
3
6
1
2
´ ´
´ ç
p F( ) = 1
2
No lançamento de um dado, o evento da ocorrência de um 
número menor ou igual a 3.
O espaço amostral é:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Chamando o número de elementos do espaço amostral de 
n(A), temos:
n(A) = 6
Considerando a partir dele o evento E = ocorrência de um 
número menor ou igual a 3.
E = {1, 2, 3}
Chamando o número de elementos do evento E de n(E) 
temos:
n(E) = 3
Observe que os conjuntos E e F são 
complementares em relação ao espaço 
amostral A. A soma da probabilidade de 
sair um número par mais a probabilidade 
de sair um número ímpar resulta 1.
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numero de casos favoraveis
numero de elementos do espa
( ) = 
 cco amostral
n E
n A 
= = =( )
( )
3
6
1
2
´ ´
´ ç
p E( ) = 1
2
• Evento certo
No lançamento de um dado, o evento da ocorrência de um 
número menor ou igual a 6.
O espaço amostral é:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Chamando o número de elementos do espaço amostral de 
n(A), temos:
n(A) = 6
Considerando a partir dele o evento E = ocorrência de um 
número menor ou igual a 6.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Chamando o número de elementos do evento E de n(E), 
temos:
n(E) = 6
p E
numero de casos favoraveis
numero de elementos do espa
( ) = 
 cco amostral
n E
n A 
= = =( )
( )
6
6
1
´ ´
´ ç
p(E) = 1
Lembra-se do que foi dito de uma 
aposta em um time matematicamente 
campeão antes da realização da última 
rodada de jogos? É a mesma situação 
do exemplo. Eventos deste tipo são 
denominados eventos certos, ou seja, 
têm 100% de chance de ocorrer.
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• Evento impossível
No lançamento de um dado, o evento da ocorrência de um 
número maior que 6.
O espaço amostral é:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Chamando o número de elementos do espaço amostral de 
n(A), temos:
n(A) = 6
Considerando a partir dele o evento E = ocorrência de um 
número maior do que 6.
E = { }
Chamando o número de elementos do evento E de n(E), 
temos:
n(E) = 0
p E
numero de casos favoraveis
numero de elementos do espa
( ) = 
 cco amostral
n E
n A 
= = =( )
( )
0
6
0
´ ´
´ ç
p(E) = 0
Analisando os exemplos acima você percebeu a razão 
da probabilidade ser um número compreendido entre 0 e 
1? Ela varia entre o evento impossível e o certo. Ou seja, 
o número que representa a probabilidade de um evento E 
pertence ao intervalo [0,1].
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Seja E um evento em relação a certo espaço amostral. 
Então:
0 < p (E) < 1
ou
0% < p (E) < 100%
2.2.5 Propriedade da união
Se A e B são dois eventos quaisquer, não necessariamente 
mutuamente exclusivos, então:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A� B)
Exemplo:
1 Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Considere 
o experimento “retirada de uma bola” e os eventos:
E = a bola retirada tem um múltiplo de 2.
B = a bola retirada tem um múltiplo de 5.
C = a bola retirada tem um múltiplo de 4.
D = a bola retirada tem um número primo.
a) Determine a probabilidade de uma bola retirada ter um 
múltiplo de 2 ou de 5.
Solução
O espaço amostral é:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,... 15}
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Chamando o número de elementos do espaço amostral de 
n(A) temos:
n(A) = 15
Considerando a partir dele o evento E = a bola retirada tem 
um múltiplo de 2:
E = {2, 4, 6, 8, 10, 12,14}
Chamando o número de elementos do evento E de n(E) 
temos:
n(E) = 7
p E
numero de casos favoraveis
numero de elementos do espa
( ) = 
 cco amostral
n E
n A 
= = =( )
( )
,
7
15
0 4667
´ ´
´ ç
p(E) = 46,67%
2 Considerando a partir dele o evento B = a bola retirada 
tem um múltiplo de 5:
B = {5, 10, 15}
Chamando o número de elementos do evento B de n(B), 
temos:
n(B) = 3
p B
numero de casos favoraveis
numero de elementos do espa
( ) = 
 cco amostral
n B
n A 
= = =( )
( )
,
3
15
0 2
´ ´
´ ç
p(B) = 20%
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3 Como E = {2, 4, 6, 8, 10, 12,14} e B = {5, 10, 15}:
E ∩ B = {10}. Logo n(E ∩ B) = 1
p E B
numero de casos favoraveis
numero de elementos do es
( )∩ = 
 ppaco amostral
n E B
n A 
= ∩ = =( )
( )
,
1
15
0 067
´ ´
´ ç
p (E ∩ B) = 6,7%
4 Como p(A ∪ B) = p(A) + p(B) — p(A ∩ B)
Então:
p(E ∪ B) = p(E) + p(B) — p(E ∩ B)
p E B( )∪ = + −7
15
3
15
1
15
p E B( )∪ = + −7 3 1
15
p E B( ) ,∪ = =9
15
0 6
p(E ∪ B) = 60%
2.3 Distribuições de probabilidades
2.3.1 Distribuição binomial de probabilidades
Utilizada para o cálculo de probabilidades para distribuições 
simétricas e para situações em que se trata de grandes 
amostras. São indicadas aos experimentos que apresentam 
apenas dois resultados (sucesso ou fracasso).
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Portanto, fundamenta-se nas seguintes hipóteses: N 
provas independentes e do mesmo tipo são realizadas 
e cada prova admite apenas dois resultados, sucesso ou 
fracasso.
Sendo p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de 
fracasso sabemos que:
p + q = 1
ou
q = 1 - p
p + q = 100%
ou
q = 100% - p
A probabilidade de que se tenha x sucessos ou de que certo 
evento ocorra um x número de vezes, em um número N de 
tentativas, é dada por:
P x
N
x N x
p qx N x[ ]
!
!( )!
. .=
−
−
Onde:
N = número de tentativas
x = número de sucessos
p = probabilidade de sucesso
q = probabilidade de fracasso
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Exemplo:
Em um torneio do qual participam várias equipes, a equipe A 
acredita que tem 65% de probabilidades de vencer cada um dos 
jogos. Se a equipe A realizar 5 partidas, qual é a probabilidade 
de que:
a) Vença todos os jogos?
b) Vença apenas 2 jogos?
Solução:
a) Vença todos os jogos
P x
N
x N x
p qx N x[ ]
!
!( )!
. .=
−
−
Solução
N = 5
p = 65% = 0,65
q = 35% = 0,35
Seja n um número inteiro tal que n > 0. Chama-se fatorial 
de n, e se escreve n! o seguinte número:
Se:
• n = 0, n! = 1
• n = 1. n! = 1
• n > 1, n! = n(n — 1).(n — 2) ... 2.1
Lembre-se:
q = 1 – p
q = 1 – 0,65
q = 0,35
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a) P[ ]
!
!( )!
. , . ,5
5
5 5 5
0 65 0 355 5 5=
−
−
P[ ]
!
! !
. , . ,5
5
5 0
0 65 0 355 0=
P[ ]
!
! .
. , .5
5
5 1
0 65 15=
P[ ]
!
!
. ,5
5
5
0 655=
P[5] = 0,655
P[5] = 0,1160
P[5] = 11,60%
b)Vença apenas 2 jogos
P x
N
x N x
p qx N x[ ]
!
!( )!
. .=
−
−
P[ ]
!
!( )!
. , . ,2
5
2 5 2
0 65 0 352 5 2=
−
−
P[ ]
!
! !
. , . ,2
5
2 3
0 65 0 352 3=
P[ ]
. . !
! !
. , . ,2
5 4 3
2 3
0 65 0 352 3=
P[ ]
.
!
. , . ,2
5 4
2
0 65 0 352 3=
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P[ ]
.
.
. , . ,2
5 4
2 1
0 65 0 352 3=
P[ ]
.
. , . ,2
5 4
2
0 65 0 352 3=
P[2] = 5.2.0,652.0,353
P[2] = 10.42.0,043
P[2] = 0,1806
P[2] = 18,06%
Lembre-se:
Você pode parar o produto decrescente de um fatorial 
conforme a conveniência. Essa operação é denominada de 
“truncar o fatorial”. Assim são equivalentes:
5! = 5.4!
5! = 5.4.3!
5! = 5.4.3.2!
5! = 5.4.3.2.1
2.3.2 Distribuição Poisson de probabilidades
Essa distribuição de probabilidade deve ser utilizada quando 
a amostra N se torna infinitamente grande e a probabilidade de 
sucesso ou de ocorrer o fenômeno em estudo tende a zero.
A probabilidade de se ter x sucessos em N tentativas 
nesse caso é dada por:
P x
e x
x
[ ] .
!
= 1µ
µ
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Onde:
e = 2, 718 (número de Euler)
µ = média
x = número de sucessos
µ = λ.t
λ = frequência média com que o fenômeno ocorre.
t = comprimento do intervalo de observação (amostra 
observada ou número de tentativas).
Exemplo:
O controle de qualidade de um laboratório acusa 1% de 
falha no controle microbiológico de determinado equipamento. 
Calcule a probabilidade de que nenhum dos 200 equipamentos 
de certo lote apresente a falha citada.
Resolução
λ = 1%
t = 200
Logo como µ = λ.t
µ = 0,01 x 200
µ = 2
P x
e x
x
[ ] .
!
= 1µ
µ
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P x[ ]
,
.
!
= =0 1
2 718
2
02
0
P[ ]
,
.0
1
2 718
1
12
=
P[ ]
,
0
1
2 7182
=
P[ ]
,
0
1
7 3875
=
P[0] = 0,1354
P[0] = 13,54%
2.3.3 Distribuição normal de probabilidades
As distribuições normais são muito importantes porque 
representam, com boa aproximação, as distribuições de 
frequências observadas em muitos fenômenos naturais e físicos, 
especialmente para grandes amostras.
2.3.3.1 Características das distribuições normais de 
probabilidades
1 A curva normal apresenta-se na forma de um sino e é 
simétrica em relação à media.
2 Prolonga-se de -∞ a +∞
3 Existe uma distribuição normal para cada combinação de 
média e de desvio padrão.
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4 A área total sob a curva normal é considerada como 
100%, isto é, representa 100% da probabilidade associada 
à variável em questão.
5 A probabilidade é dada pela área entre dois pontos sob a 
curva normal.
A distribuição normal padronizada
A distribuição normal constitui, na verdade, um 
conjunto infinitamente grande de distribuições, um para 
cada combinação possível de média e desvio padrão. Assim, 
seria inútil elaborar tabelas que atendessem a todas as 
necessidades. Existe, porém, uma alternativa simples para 
resolver o problema. O fato de se considerar a área total 
sob a curva como 100% a padroniza. Todas as distribuições 
normais podem ser transformadas em distribuições normais 
padronizadas mudando-se a escala da distribuição original. 
A distribuição normal padronizada tem média zero e desvio 
padrão 1.
2.3.3.2 Distribuição normal padrão
0
µ = 0 e σ = 1
x → z
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Tabela: Distribuição Normal Padrão (z)
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 *0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
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Padronização da variável aleatória: se a média é diferente de 
zero ou o desvio padrão é diferente de 1 (ou ambas as situações), 
é necessário converter os valores para os valores padronizados 
na distribuição normal padrão.
z
x= −( )µ
σ
0µ x z
Exemplo:
1 A vida média de um trator é de 20 anos, com desvio 
padrão de 0,5 ano. Qual a probabilidade de que este trator 
não dure mais do que 21 anos?
Resolução:
µ = 20 anos
σ = 0,5 ano
x > 21 anos
Primeiro devemos padronizar a variávelaleatória x = 21:
z
x= −( )µ
σ
z = −( )
,
21 20
0 5
z = 2
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Verificando na tabela de distribuição normal, z =2 corresponde 
a uma área de 0,4772.
0
A = 0,4772
z = 2
O percentual de tratores que duram mais do que 21 anos 
corresponde à diferença de área: 0,5 – 0,4772 = 0,0228, ou seja, 
a 2,28%.
Logo 100% - 2,28% = 97,72% não duram mais do que 21 anos.
2 Os valores das massas corporais de 600 alunos são 
normalmente distribuídos com média de 65 kg e desvio 
padrão de 5 kg. Encontrar a probabilidade de um aluno 
escolhido ao acaso ter peso superior a 66 kg.
Resolução:
Primeiro devemos padronizar a variável aleatória x = 66:
z
x= −( )µ
σ
z = −( )66 65
5
z = 0,2
Lembre-se: a área total sob a curva 
corresponde a 1. Portanto, metade da 
área corresponde a 0,5.
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Verificando na tabela de distribuição normal, z =0,2 
corresponde a uma área de 0,0793.
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
 
0
A = 0,0793
z = 0,2
O percentual de valores de massa corporal acima de 66 kg 
corresponde à diferença de área: 0,5 – 0,0793 = 0,4207, ou seja, 
42,07%.
0x z0z
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Observe a figura acima. Considere que os valores de z nos dois 
gráficos sejam iguais em valor absoluto. Quando for necessário 
calcular a área à esquerda da média, é preciso lembrar que, 
embora o escore z possa ser negativo, a área sob a curva (ou 
a probabilidade correspondente) nunca será negativa. Nos dois 
gráficos as áreas destacadas são equivalentes, graças à simetria 
da curva em relação à origem.
Esquema para interpretação das áreas sob a curva
Caso 1: Quando o problema propõe questões como:
Maior do que x
Pelo menos x
Mais do que x
Não menos do que x
0x x0x Adicionar a 0,5 Subtrair de 0,5
Caso 2: Quando o problema propõe questões tais como:
Menor do que x
No máximo x
Não mais do que x
Não maior do que x
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x x0x Subtrair de 0,5 Subtrair de 0,5
Caso 3: Quando o problema propõe a questão “entre x1 e x2”
0x1
Somar as áreas
x2
Subtrair as áreas
x1 x2
0
2.3.3.3 Determinação dos escores z, dadas as probabilidades
a) Determinação do 950 percentil
0
95%
0,50
0,45
5%
5% ou 0,05
z = 1,645
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b) Determinação do 100 percentil
0
10%
0,40
90%
z = —1,28
0,10
10% inferiores
Exercícios
Nos exercícios de 1 a 10 escolha a alternativa correta e 
justifique.
Analise a tabela a seguir que corresponde a uma amostra de 
30 pessoas e responda às perguntas 1, 2 e 3.
Homens Mulheres
Menores 10 6
Adultos 10 4
Total 20 10
1 Qual a probabilidade de uma pessoa, dessa amostra, 
escolhida ao acaso, ser homem?
a) 50%
b) 55,5%
c) 65,1%
d) 66,67%
e) 40,2%
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2 Qual a probabilidade de ser menor e mulher?
a) 10%
b) 25%
c) 15%
d) 20%
e) 22%
3 Qual a probabilidade de ser adulto?
a) 46,67%
b) 45,2%
c) 40%
d) 70%
e) 60%
4 Com base em uma pesquisa levantada por pesquisadores 
de uma universidade, 67% dos entrevistados são de 
opinião de que alguns programas de televisão trazem 
problemas para a família. Calcule a probabilidade de, em 
8 pessoas entrevistadas, apenas três concordarem com a 
pesquisa.
a) 10%
b) 5%
c) 5,5%
d) 6,52%
e) 5,06%
5 Estatísticas de tráfego mostram que 75% dos veículos 
interceptados numa autoestrada passam no teste de 
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segurança. De 5 veículos interceptados, determine a 
probabilidade de nenhum passar pelo teste de segurança.
a) 1%
b) 2,5%
c) 0,1%
d) 0,01%
e) 0,2%
6 Uma cia. seguradora de automóveis realiza seguro para 
automóveis de uma grande indústria. No ano passado, de 
cada 5.000 veículos assegurados, dois foram roubados. 
Calcule a probabilidade de não ocorrer roubo de nenhum 
dos próximos 10.000 carros segurados.
a) 1,5%
b) 1,22%
c) 2,7
d) 3%
e) 1,83%
7 Ao testar seus pneus nas pistas, uma indústria de pneus 
verificou que havia em média um estouro de pneu a cada 
4.000 km. Qual a probabilidade de que em um teste de 
12.000 km haja um pneu estourado?
a) 14,94%
b) 12,5%
c) 8,51%
d) 3,22%
e) 12,50%
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8 As vendas de certo produto apresentam distribuição normal, 
com média 600 toneladas e desvio padrão de 60 toneladas. Se 
a empresa decide fabricar 680 toneladas no mês em estudo, 
qual é a probabilidade de que não possa atender a todos os 
pedidos desse mês por estar com a produção esgotada?
a) 7,22%
b) 9,18%
c) 8,51%
d) 8,22%
e) 1,33%
9 Uma empresa comercializa um equipamento cuja vida útil 
admite distribuição normal com média de 620 h e desvio 
padrão de 20 h. Se a empresa garantiu uma vida útil de 
pelo menos 580 h para um dos equipamentos vendidos, 
qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade?
a) 1%
b) 2,5%
c) 3,51%
d) 4,22%
e) 2,28%
10 As vendas de determinado produto de uma linha “diet” 
têm distribuição normal, com média de 600 reais mensais 
e desvio padrão de 50 reais. Qual a probabilidade de no 
próximo mês ter uma venda entre 680 e 690 reais?
a) 1,29%
b) 1,89%
c) 2,57%
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eç
ão
: M
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/0
2/
20
11
d) 2,29%
e) 2,32%
Resolução dos exercícios
1 d) 66,67%
O espaço amostral A obtido da tabela corresponde a 30 
pessoas. Portanto n(A) = 30
p H
numero de casos favoraveis
numero de elementos do espa
( ) = 
 cco amostral
n H
n A 
= = =( )
( )
,
20
30
0 6667
´ ´
´ ç
p(H) = 66,67%
2 d) 20%
O espaço amostral A obtido da tabela corresponde a 6 
pessoas (cruzamento da linha “menor” com a coluna “mulher”). 
Portanto n(A) = 6
p m M
numero de casos favoraveis
numero de elementos do es
( , ) = 
 ppaco amostral
n m M
n A 
= = =( , )
( )
,
6
30
0 20
´ ´
´ ç
p(H) = 20%
3 a) 46,67%
O espaço amostral A obtido da tabela corresponde a 6 pessoas 
(linha “adulto”: 10 homens e 4 mulheres). Portanto n(A) =14
p Ad
numero de casos favoraveis
numero de elementos do esp
( ) = 
 aaco amostral
n Ad
n A 
= = =( )
( )
,
14
30
0 4667
´ ´
´ ç
p(H) = 46,67%
96
Unidade II
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Co
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eç
ão
: M
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- 
24
/0
2/
20
11
4 d) 6,52%
P x
N
x N x
p qx N x[ ]
!
!( )!
. .=
−
−
N = 8
p = 67% = 0,67
q = 33% = 0,33
P X[ ]
!
!( )!
. , . ,= =
−
−3
8
3 8 3
0 67 0 333 8 3
P X[ ]
!
! !
. , . ,= =3 8
3 5
0 67 0 333 5
P X[ ]
. . . !
. . . !
. , . ,= =3 8 7 6 5
3 2 1 5
0 67 0 333 5
P X[ ]
. . .
.
. , . ,= =3 8 7 6
3 2
0 67 0 333 5
P X[ ]
. . .
. , . ,= =3 8 7 6
6
0 67 0 333 5
P[X = 3] = 56.0,673.0,335
P[X = 3] = 56.0,0.0,0039
P[X = 3] = 0,06552
Lembre-se:
q = 1 – p
q = 1 – 0,67
q = 0,33
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/0
2/
20
11
5 c) 0,1%
N = 5
p = 75% = 0,75
q = 25% = 0,25
P x
N
x N x
p qx N x[ ]
!
!( )!
. .=
−
−
P x[ ]
!
!( )!
. , . ,= =
−
−0
5
0 5 0
0 75 0 250 5 0
P[x = 0] = 0, 001
P[x = 0] = 0,1%
6 e) 1,83%
µ = λ.t
λ µ=
t
λ = 2
5000
Para 10.000 carros, a média deveria ser
µ = λ.t
µ = 2
5000
10000.
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 /
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: M
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/0
2/
20
11
P x
e x
x
[ ] .
!
= 1µ
µ
P x[ ]
,
.
!
= =0 1
2 718
4
04
0
P x[ ]
,
= =0 1
2 7184
P[x = 0] = 0,0183
P[x = 0] = 1,83%
7 a) 14,94%
µ = λ.t
λ µ=
t
λ = 1
4000
Para 12.000 km, a média deveria ser
µ = λ.t
µ = 2
4000
12000.
µ = 3
P x
e x
x
[ ] .
!
= 1µ
µ
P x[ ]
,
.
!
= =1 1
2 718
3
13
1
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/0
2/
20
11
P[x = 1] = 0, 0498 x 3 = 0,1494
P[x = 1] = 14,94%
8 b) 9,18%
µ = 600 toneladas
σ = 60 toneladas
x > 680 toneladas
Primeiro devemos padronizar a variável aleatória x = 680:
z
x= −( )µ
σ
z = −( )680 600
60
z = 1,3333
Verificando na tabela de distribuição normal, z = 1,33 
corresponde a uma área de 0,4082.
0
A = 0,4082
z = 1,33
Lembre-se: a área total sob a curva 
corresponde a 1. Portanto, metade da 
área corresponde a 0,5.
100
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2/
20
11
Logo 50% - 40,82% = 9,18%
P[z > 1,33] = 9,18%
9 e) 2,28%
µ = 620 horas
σ = 20 horas
x < 580 horas
Primeiro devemos padronizar a variável aleatória x = 580:
z
x= −( )µ
σ
z = −( )580 620
20
z = —2
Verificando na tabela de distribuição normal, z = - 2,00 
corresponde a uma área de 0,4772.
0
A = 0,4772
z = —2,00
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2/
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11
O percentual de peças que duram mais do que 580 horas 
corresponde à diferença de área: 0,5 – 0,4772 = 0,0228, ou seja, 
a 2,28%.
Resposta
P[z < -2] = 50% - 47, 72%
P[z < -2] = 2,28%
10 b) 1,89%
µ = 600 reais
σ = 50 reais
680 < x < 690
Primeiro deveremos padronizar a variável aleatória
Para x = 680:
z
x= −( )µ
σ
z = −( )680 600
50
z = 1,60
Verificando na tabela de distribuição normal, z = 1,60 
corresponde a uma área de 0,4452.
Para x = 690:
z
x= −( )µ
σ
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z = −( )690 600
50
z = 1,80
Verificando na tabela de distribuição normal, z = 1,80 
corresponde a uma área de 0,4641.
0
A = 0,4641 — 0,4452 = 0,0189
z = 1,8 1,6
P[1,6 < z < 1,8] = 46,41% – 44,52%
P[1,6 < z < 1,8] = 1,89%
Bibliografia
BARROS, Gilian Cristina. Probabilidades: será que 
meu time ganha? Portal do Professor. Disponível em: 
<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.
html?aula=2099>. Acesso em: 10 jan. 2011.
BERNARDES, Marisa Rezende. As várias vozes e seus regimes 
de verdade: um estudo sobre profissionalização (docente?). 
2003. Dissertação (Mestrado) - Universidade Estadual Paulista, 
Bauru, 2003. Disponível em: < http://www.ghoem.com/textos/
h/dissertacao_marisa.pdf>. Acesso em: 10 jan. 2011.
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/0
2/
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11
EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: 
Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da UNICAMP, 2004.
FOUCAULT, Michel. Microfísica do poder. Rio de Janeiro: 
Edições Graal, 1996.
___. História da sexualidade I. Rio de Janeiro: Edições Graal, 
1988
FREIDSON, Eliot. Renascimento do profissionalismo: teoria, 
profecia e política. São Paulo: Edusp, 1998.
JELIN, Daniel. Crimes no Brasil. O Estado de S. Paulo, 08 dez. 
2009. Disponível em: <http://blogs.estadao.com.br/crimes-no-
brasil/2009/12/>. Acesso em: 09 jan. 2011.
LAPLACE, Pierre-Simon. Ensaio filosófico sobre as 
probabilidades. Tradução: Pedro Leite de Santana. Rio de 
Janeiro: Contraponto Editora, 2010.
LARSON, Ron. FARBER, Betsy. Estatística aplicada. São Paulo: 
Prentice Hall, 2007.
MSPC. Informações Técnicas. Alguns conceitos. Disponível em: 
<http://www.mspc.eng.br/matm/prob_est300.shtml>. Acesso 
em: 09 jan. 2011.
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