GAAL ALGEBRA LINEAR TEXTO 05 BASE E DIMENSÃO 2012 1

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1 
Universidade Salvador – UNIFACS 
GAAL - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
Cursos de Engenharia 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Álgebra Linear 
 
Texto 05: Dependência Linear, Base e Dimensão 
 
Vimos num teorema que: v  [v1, v2, ...vn ]  [v1, v2, ...vn , v ] = [v1, v2, ...vn ]. 
Isto significa que os vetores v1, v2, ...vn são suficientes para descrever o subespaço 
[v1, v2, ...,vn ] . 
 
Exemplo W = [ (1, 1, 0 ) ] = [ (1, 1, 0 ), ( 2, 2, 0 ) ] 
Todo vetor de W pode ser escrito como combinação linear de ( 1, 1, 0 ) e também de ( 1, 1, 0 ) e 
( 2, 2, 0 ). Por exemplo: 
( 3, 3, 0 )  W e ( 3, 3, 0 ) = 3 ( 1, 1, 0 ). Podemos também escrever 
( 3, 3, 0 ) = 3 ( 1, 1, 0 ) + 0 ( 2, 2, 0 ) 
( 3, 3, 0 ) = 0 ( 3, 3, 0 ) + 3/2 ( 2, 2, 0 ) 
Observemos que o vetor ( 3, 3, 0 ) é escrito de maneira única como combinação de ( 1, 1, 0 ), mas 
tem infinitas maneiras de se escrever ( 3, 3, 0 ) como combinação linear de ( 1, 1, 0 ) e ( 2, 2, 0 ) 
Um problema fundamental em Álgebra Linear é saber o número mínimo de vetores necessários 
para descrever um espaço, o que está relacionado com as condições para que um vetor seja escrito 
de maneira única como combinação linear de um conjunto de geradores. 
Vamos apresentar um conceito que terá grande importância na análise desta questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja V espaço vetorial sobre R e v1, v2, ....vn  V. Dizemos que o conjunto 
{ v1, v2, ...vn } é linearmente independente ( L.I.) ou que os vetores v1, v2, ...vn são 
linearmente independentes se a única solução da equação 1v1 + 2 v2 + ...+ nvn = 0 
é a trivial, isto é, 1 = 2 = ...= n = 0. Se a equação acima admite uma solução não 
trivial , isto é, existe um j  0, tal que 1v1 + 2 v2 + ...+ j vj + ...+ nvn = 0 , então 
dizemos que o conjunto { v1, v2, ...vn }é linearmente dependente ( L.D. ) ou que os 
vetores são linearmente dependentes. 
 
 2 
Exemplos: 
1. Os vetores e1 = ( 1, 0 ) e e2 = ( 0, 1 ) são L.I. 
De fato: Tomando a combinação linear a ( 1, 0 ) + b ( 0, 1 ) = 0 obtemos a = 0 e b = 0 
2. Os vetores e1 = ( 1, 0, 0 ), e2 = ( 0, 1, 0 ) e e3 = ( 0, 0, 1 ) são L.I. 
3. O conjunto 






























10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
 é L.I. 
4. { 0 } é L.D. ( De fato: Existem infinitas soluções não nulas para a combinação  0 = 0 ) 
5. { v } com v  0 é L.I. ( De fato: v = 0   = 0 ) 
6. { (1,2 ), (1, 1 ) } é L.I. 
 a(1, 2 ) + b ( 1, 1 ) = 0  a + b = 0 e a + 2b = 0  a = b = 0 
7. { ( 1, 2, 3 ), ( 2, 4, 6 ) } é L.D. 
Considerando a combinação linear nula 
a( 1, 2, 3) + b(2, 4, 6 ) = 0  existe solução não trivial ( a = – 2 e b = 1 ) 
8. 
























10
01
,
10
00
,
00
01
 é L.D. 
A equação 
























00
00
10
01
c
10
00
b
00
01
a
tem solução não trivial pois 
























00
00
10
01
10
00
00
01
 
 
Consideremos os seguintes exemplos: 
1. { ( 1, 2, 3 ) ( 2, 4, 6 ) } é L.D. e (2, 4, 6 ) = 2.(1, 2, 3 ) 
2. 
























10
01
,
10
00
,
00
01
 é L.D. e 


















10
01
10
00
00
01
 
 
Isto que foi observado nos exemplos acima vale geralmente: 
 
 
 
 
 
 
 
Seja V espaço vetorial sobre R e v1, v2, ....vn  V. Então 
i) { v1, v2, ....vn } é L.D.  um dos vetores for combinação linear 
dos outros. 
ii) { v1, v2, ....vn } é L.I.  nenhum vetor pode ser escrito como 
combinação linear dos outros 
 
 3 
 
Como conseqüências do resultado anterior temos os seguintes resultados: 
 
1. Qualquer conjunto de vetores que contenha um subconjunto L.D. é L.D. 
2. Qualquer conjunto de vetores contendo o vetor nulo é L.D. 
3. Todo subconjunto de um conjunto L.I. é L.I. 
4. Um conjunto de dois vetores é L.D. se e somente se um deles é um múltiplo escalar do outro 
 
Exemplos: 
1. { (1, 0, 0 ), (0, 1, 0), (0, 0, 1 ) } é L.I. Também são L.I. os conjuntos { (1, 0, 0 ), (0, 0, 1) } 
{ (1, 0, 0 ), (0, 1, 0) } e { (0, 1, 0), (0, 0, 1 ) } 
2. { (1, 2 ) , ( 2, 4 ) , ( 1, 0 ) , ( 0, 1 ) , (1, 1) } é L.D. 
3. Em R3 e em R2 dois vetores são L.D.  estão sobre uma reta passando pela origem 
4. Em R3 três vetores são L.D.  estão sobre um mesmo plano passando pela origem. 
 
Exercícios: 
 
1. Sejam u, v, w  R3. Determinar sob que condições o conjunto { u, v, w } é L.I. 
Solução: Sejam u = ( u1, u2, u3 ) , v = ( v1, v2, v3 ) , w = ( w1, w2, w3 ) e vamos tomar uma 
combinação linear nula destes vetores : xu + yv + zw = 0 que nos leva ao seguinte sistema: 








0zwyvxu
0zwyvxu
0zwyvxu
333
222
111 
Assim, o conjunto { u, v, w } será L.I.  o sistema acima tem solução única  o posto da matriz 










333
222
111
wvu
wvu
wvu
 é 3  










333
222
111
wvu
wvu
wvu
 ~ I3 
Observações: 
i) Uma vez que o posto de uma matriz é igual ao da sua transposta podemos também 
tomar a matriz em que as linhas são os vetores , ou seja, 










321
321
321
www
vvv
uuu
 e verificar 
se é linha equivalente à I3. 
 4 
ii) O mesmo resultado vale para n vetores no Rn. 
2. Use o exercício anterior para verificar se os vetores (1, 1, 1 ), ( 1, 0, 1 ) e ( 1, 1, 0 ) são L.I. ou 
L.D. 
Solução: 












































100
010
001
100
010
111
100
010
111
011
101
111
 
O posto da matriz é 3, logo os vetores são L.I. 
 
3. Mostre que os vetores ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 1 ) e (1, 1, 0 ) geram o R3 . 
Solução: (x, y, z ) = a ( 1, 1, 1 ) + b ( 1, 0, 1 ) + c( 1, 1, 0 ) nos leva ao sistema: 








zba
yca
xcba
 Escalonando o sistema obtemos: 




























































zx
yx
zxy
zx
yx
y
zx
yx
x
xz
xy
x
z
y
x
100
010
001
100
010
101
100
010
111
100
010
111
011
101
111
 
Temos assim que o sistema tem solução única, independentemente de ( x, y, z ) . Logo,  v  R3 , 
v pode ser escrito como combinação linear dos vetores ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 1 ) e (1, 1, 0 ), ou seja, 
R
3
 = [( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 1 ), (1, 1, 0 )] 
 
Os dois exercícios anteriores nos mostraram que R
3
 = [( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 1 ), (1, 1, 0 )] e que 
{( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 1 ), (1, 1, 0 )} é L.I. Isto significa que {( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 1 ), (1, 1, 0 )}é uma base 
para o R
3
 . 
 
 
Base e Dimensão de um Espaço Vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um conjunto { v1, v2, ...vn } de vetores de V é dito uma base de V se e somente se: 
1) { v1, v2, ...vn } é linearmente independente2) V = [ v1, v2, ...vn ] 
 Se { v1, v2, ...vn } é uma base para V, então qualquer vetor de V é escrito de maneira 
única como combinação linear de { v1, v2, ...vn } 
 
 
 5 
Exemplos: 
1. { (1,0 ), ( 0,1 ) } é uma base do R2 . 
2. { (1, 0, 0 ) , (0, 1, 0 ), ( 0, 0, 1 ) } é uma base do R3 
3. 






























10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
 é uma base do M2( R ). 
 
 As bases dos três exemplos anteriores são chamadas de bases canônicas. 
 
4. { ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 1 ), ( 1, 1, 0 ) } é uma base do R3 ( Vimos nos exercícios anteriores que este 
conjunto é L.I. e gera o R
3
 ) 
 
5. 


















01
10
,
10
01
 não é uma base do M2( R ). Os vetores são L.I. mas não geram o M2( R ). 
 
6. {(1,0), (0,1), (1,1) } não é uma base do R2 . O conjunto gera o R2 , mas não é L.I. 
 
Voltemos ao exemplo anterior: 
Os vetores (1,0), (0,1) e (1,1) geram o R
2
 e são L.D. Podemos escrever qualquer um deles como 
combinação dos outros dois: 
(1, 0 ) = (1, 1 ) – (0, 1 ) 
(0, 1 ) = (1, 1 ) – ( 1, 0 ) 
(1, 1 ) = ( 1, 0 ) + ( 0, 1 ) 
Logo, qualquer um dos vetores pode ser desprezado e os dois restantes continuam gerando o R
2
 , ou 
seja, R
2
 = [ (1, 0 ), ( 0, 1 ) ] = [ (1, 0 ), (1, 1 ) ] = [ ( 0,1 ), (1, 1 ) ]. Além disto, o conjunto que fica é 
L.I. {(1, 0 ), ( 0, 1 ) }, { (1, 0 ), (1, 1 ) } e { ( 0,1 ), (1, 1 ) } são conjuntos L.I. e portanto qualquer 
um destes conjuntos formam uma base para o R
2
 
O fato observado acima está expresso no seguinte teorema: 
 
 
 
 
 
D] Se { v1, v2, ...vn } é L.I. já é a base. Caso contrário existe um vetor que pode ser escrito como 
combinação linear dos demais. Logo este vetor pode ser “removido”. Se os vetores restantes são 
Sejam v1, v2, ...vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então, entre v1, v2, ...vn podemos 
extrair uma base para V. 
 
 6 
L.I. formam base, caso contrário existe um vetor que é combinação linear dos demais e pode ser 
“removido”. Continuamos com o processo, “desprezando” os vetores “supérfluos” até obtermos um 
conjunto L.I. e portanto uma base para o espaço, que é o número mínimo de geradores para o 
espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. Três vetores no plano ( R2 ) são sempre L.D. 
2. Quatro vetores no espaço ( R3 ) são sempre L.D. 
3. Cinco matrizes 2 x 2 ( em M2 ( R ) ) são sempre L.D. 
 
Como consequência do Teorema anterior temos que 
 
“ Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o mesmo número de vetores ” 
 
Este fato nos permite dar a seguinte definição 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. dim R2 = 2, dim R3 = 3. Generalizando: dim Rn = n 
2. dim M2 ( R ) = 4. Generalizando: dim Mmxn ( R ) = m.n. 
3. dim P2 ( R ) = 3, dim P3 ( R ) = 4. Generalizando: dim Pn ( R ) = n + 1 
Seja V espaço vetorial sobre R e V = [v1, v2, ....vn ]. Então, qualquer subconjunto de V com 
mais de n vetores é necessariamente L.D. 
Equivalentemente: 
 
Um espaço vetorial gerado por n vetores tem no máximo n vetores L.I. 
 
Seja V espaço vetorial sobre R, então o número de elementos de uma base de V é chamado de 
dimensão de V e indicado por dimV. 
 
 7 
4. Se V = { 0 } então dimV = 0 
 
Observações: 
1) Existem espaços vetoriais em que o número de elementos da base é infinito. Por exemplo, o 
espaço das funções reais de variável real. Só trabalharemos com espaços de dimensão finita. 
 
2) Se W é subespaço vetorial de V e dim V = n então dim W  n 
 
 
Conseqüência: Se dimV = n, então qualquer conjunto de n vetores L.I. formará uma base para V. 
 
D] Caso não formasse, poderíamos, pelo Teorema, completar até formar uma base e obteríamos 
assim um conjunto L.I. com mais de n vetores, o que é uma contradição. 
 
Exemplo: O conjunto { (1, 0, 0 ), (0, 1, 0 ), (1, 2, 1 ) } é L.I.. Logo, como dim R
3
 = 3, ele forma 
uma base para o R
3
 . 
 
Observações 
1. Se temos n vetores que geram um espaço de dimensão n podemos garantir que o conjunto 
de vetores é L.I. e portanto formam uma base para o espaço. 
2. Se temos n vetores L.I. de um espaço de dimensão n podemos garantir que o conjunto gera 
o espaço e portanto forma uma base para o mesmo. 
 
 
Um processo prático para a determinação de uma base para subespaços do R
n
, conhecendo-se 
os seus geradores 
 
Seja V um subespaço de R
n
 V = [v1, v2, ....vr ] e observemos que: 
1) Mudando a ordem dos vetores geradores não alteramos o subespaço gerado (
v vi j
) 
2) Multiplicando qualquer vetor gerador por um escalar não nulo não alteramos o subespaço 
gerado. ( 
v kvi i
) 
3) Substituindo qualquer vetor gerador por ele somado a um outro vetor multiplicado por uma 
constante não alteramos o subespaço gerado ( 
v v kvi i j 
) 
 8 
As operações citadas acima correspondem às operações elementares sobre as linhas de uma matriz. 
Desta forma, dado um conjunto de geradores, escrevemos os vetores como linhas de uma matriz 
m x r e escalonamos a matriz. A matriz escalonada ( basta escalonar por Gauss ) resultante tem por 
linhas vetores que geram o mesmo espaço. Desprezando-se as eventuais linhas nulas, as restantes 
correspondem a vetores L.I. que geram o subespaço e portanto formam uma base para o mesmo. 
 
Exemplo: Encontre uma base para o seguinte subespaço 
U = [ (1, 0, 1, 2 ), ( 2, 1, 1, 0 ), (0, – 1 , 1, 4 ) ]  R4 
 
Solução: 
Vamos escalonar a matriz cujas linhas são os vetores geradores: 
1 0 1 2
2 1 1 0
0 1 1 4
1 0 1 2
0 1 1 4
0 1 1 4
1 0 1 2
0 1 1 4
0 0 0 0










  











  










 
 
Assim, [ (1, 0, 1, 2 ), ( 2, 1, 1, 0 ), (0, – 1 , 1, 4 ) ] = [ ( 1, 0, 1, 2 ), (0, 1, -1, -4 ) ] e 
{ ( 1, 0, 1, 2 ), (0, 1, -1, -4 ) } é uma base para U 
 
 
Referências Bibliográficas 
- Álgebra Linear – Alfredo Steinbruch / Paulo Winterle 
- Álgebra Linear – Boldrini / Costa / Figueiredo / Wetzler 
- Álgebra Linear – Caliolli 
- Álgebra Linear com Aplicações – Anton / Rorres