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M AT EM ÁT IC A LICENCIATURA INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL Irene Magalhães Craveiro Lilian Akemi Kato Jader Otavio Dalto Rafael Monteiro dos Santos Campo Grande, MS - 2011 PRESIDENTA DA REPÚBLICA Dilma Rousseff MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL REITORA Célia Maria Silva Correa Oliveira VICE-REITOR João Ricardo Filgueiras Tognini COORDENADORA DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA - UFMS COORDENADORA DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UFMS Angela Maria Zanon COORDENADOR ADJUNTO DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UFMS Rodrigo Juliano de Oliveira COORDENADORA DO CURSO DE MATEMÁTICA (MODALIDADE A DISTÂNCIA) Sonia Maria Monteiro Burigato Obra aprovada pelo Conselho Editorial da UFMS - Resolução nº 03/2010 CONSELHO EDITORIAL UFMS Dercir Pedro de Oliveira (Presidente) Celina Aparecida Garcia de Souza Nascimento Claudete Cameschi de Souza Edgar Aparecido da Costa. Edgar Cézar Nolasco Elcia Esnarriaga de Arruda Gilberto Maia José Francisco Ferrari Maria Rita Marques Maria Tereza Ferreira Duenhas Monreal Rosana Cristina Zanelatto Santos Sonia Regina Jurado Ynes da Silva Felix CÂMARA EDITORIAL SÉRIE Angela Maria Zanon Dario de Oliveira Lima Filho Patricia Graciela da Rocha Carina Elizabeth Maciel Sonia Maria Monteiro Burigato SUMÁRIO Informações sobre o material 5 Prefácio 7 CAPÍTULO I Conjuntos e Funções 9 1. Introdução 11 2. Conjuntos 12 3. Funções 18 4. Apêndice: Relações Binárias e Aplicações 26 CAPÍTULO II Números Reais 31 2. Módulo de um Número Real 39 2.1 Supremo e Ínfimo em conjuntos de Números Reais 43 CAPÍTULO III Sequências e Séries de Números Reais 49 3.1 Introdução 51 3.2 Definições e Propriedades 52 3.3. Limite de uma Sequência 54 3.4 Sequências Limitadas 59 3.5 Sequências Monótonas 62 3.6 Subsequências 63 3.7 Critério de Convergência de Cauchy 66 3.8 Séries Numéricas 72 3.9 Critérios de Convergências de Séries Numéricas 79 3.10 Séries Alternadas 81 3.11 Convergência Absoluta, Testes da Raiz e da Razão 82 CAPÍTULO IV Topologia da Reta 92 4.1 Introdução 93 4.2 Conjuntos Abertos 93 4.3 Conjuntos Fechados 95 4.4 Pontos de Acumulação 99 4.5 Conjuntos Compactos 101 CAPÍTULO V Funções, Limites e Continuidade 107 CAPÍTULO VI Derivadas e a Integral de Riemann 119 6.1 Derivadas: Definição e Exemplos 121 6.2 Derivadas: Regras Operacionais 124 6.3 Derivadas: Regra da Cadeia 125 6.4 Derivadas: Interpretação Geométrica 126 6.5 Derivadas: Interpretação Cinemática 127 6.6 A Soma de Riemann 127 6.7 Integral: Interpretação Geométrica 131 Referências Bibliográficas 134 INFORMAÇÕES SOBRE O MATERIAL 2 INFORMAÇÕES SOBRE O MATERIAL PREZADO ALUNO, Este livro apresenta uma introdução à Análise na reta, contemplando os assuntos relacionados à análise em uma variável real. A Análise Real tem características explicativas de conceitos e situações encontradas no Cálculo Diferencial e Integral I, que em geral é uma das primeiras disciplinas de Cálculo dos cursos de graduação da área de Ciências Exatas e da Terra. Procuramos descrever os aspectos organizados do Cálculo I com as suas respectivas demonstrações e justificativas. Para uma melhor compreensão do conteúdo deste material, orientamos que a leitura deste material seja feita detalhadamente, de maneira que cada passo de cada demonstração ou resolução de exercício seja compreendido plenamente antes de se ler o passo seguinte ou de se analisar o próximo exercício. Para tanto, se for necessário, leia várias vezes até atingir 100% de compreensão. Esperamos que este material possa contribuir para sua formação enquanto professor de Matemática e desejamos a você um bom trabalho. PREFÁCIO 3 PREFÁCIO O objetivo principal da Análise Real para a Licenciatura em Matemática é a prática em demonstrações. Esta abordagem lógico-formal dos conteúdos, bem como a habilidade no trato com as definições, teoremas e demonstrações é fundamental ao futuro professor de Matemática da Educação Básica, uma vez que as definições, axiomas, demonstrações constituem-se como embasamentos lógicos de toda a Matemática. O Século XIX foi marcante na matemática e desta forma, os matemáticos elegeram-no como do “Século do Rigor”. Foi nesse século que Cauchy, formalmente, iniciou as ideias de limite e derivada. Um dos marcos no desenvolvimento da Análise foi o trabalho de Lagrange, que pode ser encarado como o início da teoria moderna de funções reais de uma variável real. Antes do Século XIX, muitas descobertas importantes surgiram, mas não houve preocupação com os fundamentos lógicos dos métodos que funcionavam com tanto êxito. O conceito de função, apesar de parecer simples nos dias atuais, é resultado de uma evolução histórica, iniciada na Antiguidade com, por exemplo, os matemáticos babilônicos, que usavam tabelas de quadrados, raízes quadradas, raízes cúbicas, mas o conceito de função não estava claramente definido. Outro conceito matemático cujas origens remontam a antiguidade é o conceito de limite. Durante muitos séculos, as noções de limite eram confusas e vagas. Apesar dessa noção ser fundamental no que se refere ao desenvolvimento ordenado e lógico do Cálculo, sua consolidação enquanto conceito ocorreu mais recentemente, há pouco mais de 50 anos. Sobre os Autores IRENE MagalhãES CRavEIRo Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (1996), mestrado em Ciências Matemática pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (1999) e doutorado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas(2004). atualmente é Professor adjunto da Universidade Federal da grande Dourados. Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Matemática Discreta e Combinatória. lIlIaN akEMI kaTo Possui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (1992), mestrado em Matemática pela Universidade de São Paulo (1996) e doutorado em Matemática aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (2004). atualmente é Professor adjunto da Universidade Estadual de Maringá. Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Biomatemática, atuando principalmente nos seguintes temas: modelagem matemática e Ensino de Ciências e Educação Matemática. JaDER oTavIo DalTo Possui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de londrina (2002), mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática também pela Universidade Estadual de londrina (2007) e atualmente é acadêmico do Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela mesma instituição. É Professor Assistente da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, atuando principalmente na formação inicial e continuada de professores de Matemática. RaFaEl MoNTEIRo DoS SaNToS Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (2005) e mestrado pela Universidade Federal do Rio de Janeiro(2008) e atualmente é Professor Assistente da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. CAPÍTULO I CONJUNTOS E FUNÇÕES CONJUNTOS E FUNÇÕES CAPÍTULO I 1. Introdução 4 CAPÍTULO 1 Conjuntos e Funções De modo geral, considera-se que a teoria moderna dos conjuntos foi criada em 1859 pelo famoso matemático Georg Cantor (1845 -1918), que notou a necessidade de tal teoria quando estudava séries trigonométricas. Cantor escreveu: “Por um „conjunto‟ entenderemos qualquer coleção dentro de um todo de objetos distintos definidos, de nossa intuição ou pensamento". Esta definição não proíbe ninguém de considerar o “conjunto” de todos os conjuntos, como o fez Bertrand Russel. A dificuldade real na definição de Cantor de um conjunto é a palavra “coleção”. O que é uma coleção? É claro que podemos procurá-la em um dicionário e encontrar algo como estas definições: “coleção: um grupo de objetos coletados.” “grupo: um agregado ou coleção.” “agregado: uma coleção.” Tais definições dificilmente nos ajudarão. Quando um matemático dá uma definição, não é para que seja um mero sinônimo tal como o são “coleção” e “conjunto”, ou uma definição circular como encontraremos em um dicionário. Aparentemente, Cantor não estava consciente de que o termo “conjunto” era realmente indefinível. Para evitar qualquer dificuldade, devemos aceitar os termos “conjunto” e “elemento” como termos indefinidos, ou primitivos, e guiar estes conceitos primitivos por um número de axiomas. Apesar dessas dificuldades relacionadas à definição, a teoria dos conjuntos de Cantor já penetrou em todos os ramos da matemática moderna e provou ser de importância particular nos fundamentos da análise moderna e da topologia. Na verdade, mesmo os mais simples e bem construídos sistemas axiomáticos da teoria dos conjuntos são inteiramente adequados para a construção de virtualmente toda a matemática clássica (a teoria dos números reais e complexos, álgebra, topologia, etc.). Conforme já mencionado, o que é um conjunto é uma questão difícil de se responder. Não pretendemos aqui entrar em nenhuma abordagem axiomática complicada da Teoria dos Conjunto. Neste material, consideraremos a definição intuitiva dada primeiramente por Georg Cantor (1845 – 1918) que considera um conjunto como qualquer coleção dentro de um todo EaD•UFMS12 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 5 de objetos definidos e distinguíveis, chamados elementos, de nossa intuição ou pensamento.. Destacamos os seguintes exemplos: (a) O conjunto de todas as cadeiras existentes no prédio, destinado para funcionar o Curso de Matemática; (b) O conjunto de todas as carteiras na sala aula de número 612, onde ocorrem as aulas de Análise Real, neste semestre; (c) O conjunto de todas as salas existentes no prédio, destinado para funcionar o Curso de Matemática; (d) O conjunto de todos os estudantes desta universidade; (e) O conjunto das letras a, b, c e d; (f) O conjunto das regras de uso do laboratório de informática; Os conjuntos são frequentemente designados delimitando com chaves os símbolos que representam seus elementos, quando for possível fazê-lo. Assim, o conjunto no Exemplo (e), dado na introdução, pode ser representado por {a, b, c, d}. Usaremos letras maiúsculas para denotar conjuntos, e letras minúsculas para denotar seus elementos. Se a é um elemento de um conjunto A, escrevemos a A (leia-se: “a é um elemento de A" ou “ a pertence a A"), enquanto que a A significa que a não é elemento de A. Definição 1. 1. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que está contido em , ou que é subconjunto de e denotamos por se e somente se, todo elemento de A também é elemento de B. Simbolicamente, temos que . Com base na definição acima, podemos concluir que todo conjunto é sempre subconjunto de si mesmo? Definição 1. 2. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que é igual e denotamos por se, e somente se, e Simbolicamente, equivale a dizer que . A ordem em que aparecem os elementos num conjunto não tem importância. Assim, o conjunto {a; b; c} é o mesmo que {b; c; a}, etc. Além disso, como os elementos de um conjunto são distintos, a notação {a; a; b}, por exemplo, não é apropriada para designar um conjunto, e deveria ser substituída por {a; b}. Se a é um elemento de um conjunto, a e {a} são 2. Conjuntos CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 13 6 considerados diferentes, isto é, a {a}. Pois {a} denota o conjunto que contém o elemento a somente, enquanto que a é apenas o elemento do conjunto {a}. Quando e A B, dizemos que A é um subconjunto próprio de B. Em outras palavras, A é um subconjunto próprio de B quando todo elemento de A é um elemento de B, mas existe pelo menos um elemento de B que não é elemento de A. Se A não é subconjunto de B, escrevemos A B. Definição 1. 3. Chamamos conjunto vazio, o conjunto que não possui elemento e denotamos por ou { } O conjunto é um subconjunto de qualquer conjunto. Demonstração. Se A é um conjunto qualquer, então temos apenas duas possibilidades A ou A. Porém, se A, então existiria x tal que x A, o que seria uma contradição, uma vez que o conjunto não possui elementos. Logo, a primeira possibilidade, A, é verdadeira. Definição 1. 4. Se A B e B C então A C. Demonstração. Demonstraremos que para todo x A temos que x C. Se x A então x B pois A B e como B C então x C. Portanto mostramos que A C. Definição 1. 5. Dados dois conjuntos A e B, o conjunto união de e , denotada por A B, é formado por todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos A e B. Simbolicamente, { } Definição 1. 6. Dados dois conjuntos A e B, o conjunto interseção de e , denotada por , é formado por todos os elementos que estão em A e em B. Simbolicamente, { } Definição 1. 7. Dados dois conjuntos A e B, a diferença de um conjunto em relação ao conjunto , denotada por é formado por todos os elementos que estão em A e que não pertencem a B. Simbolicamente, { } Proposição 1.1. Definição 1.4. Definição 1.5. Definição 1.6. EaD•UFMS14 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 7 Quando lidamos com subconjuntos de um mesmo conjunto X, entende-se por complementar de um conjunto A, indicado pelo símbolo , como sendo o conjunto dos elementos de X que não estão em A, ou seja: = {x X: x A}. Definição 1. 8. Dados dois elementos e , o par ordenado de e denotado por ( com primeira coordenada e a segunda coordenada é o conjunto ( {{ } { }} � Observação: Observe que ( {{ } { }} {{ } { }} ( . Convém ressaltar, que ordem neste caso tem importância, daí o significado do nome par ordenado. No par ordenado a primeira coordenada é chamada abscissa e a segunda ordenada. Proposição 1. 1 : Sejam dois elementos e ( ( e Demonstração. Seja A um conjunto qualquer. Provaremos ( Suponha ( ( Segue da definição que: {{ } { }} {{ } { }}. Desta forma temos duas considerações a fazer, ou seja, { } { } e { } { } ou { } { } e { } { } Do primeiro caso concluímos que e Do segundo caso concluímos que e Logo, Portanto, e como queríamos demonstrar. ( Reciprocamente, suponha e e observe: e { } { } e { } { } { } { } { } { } { } { } Portanto, ( ( Definição 1. 9. Dados dois conjuntos e quaisquer, o produto cartesiano de e denotado por é o conjunto {( } Segue da definição que ( ou Observação: Considere um conjunto qualquer e o conjunto . Temos que ou seja, é o conjunto dos pares ordenados ( tal que e Como por definição, o vazio é conjunto não contém nenhum elemento, então neste caso, não existe consequentemente não existe nenhum par ( Portanto Analogamente, :Considere { } e { } Exemplo 1. 1 Definição 1.7. Definição 1.8. Proposição 1.2. CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 15 8 {( ( ( ( ( ( } e {( ( ( ( ( ( } Observe que, em geral Proposição 1. 2 : Se A, B e C são conjuntos quaisquer, então ( ( ( Demonstração: De fato, seja ( ( ( ( e e e ( e ( ( ( ( Sejam { } e { } Determine os conjuntos Exemplo 1. 2 e . Solução: e { } Sejam { } e { } Determine os conjuntos Exemplo 1. 3 e . Solução: { ou } e { } { } Sejam { } e { } Determine os Exemplo 1. 4 conjuntos e Solução { } e { } Sejam { } e { } Determine os Exemplo 1. 5 conjuntos e Solução: Neste caso, { } e { } Logo, { } e { } Sejam { } e { } Determine os conjuntos Exemplo 1. 6 e Solução: Neste caso, ] [ ] [ e ] [ ] [ Logo, ] [ ] [ e ] [ ] [ Sejam { } e { } Determine os conjuntos Exemplo 1. 7 e Solução: ] ] [ [ e ] ] [ [ Proposição 1.3. EaD•UFMS16 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 9 Sejam { } e { } Determine os conjuntos Exemplo 1. 8 e Solução: ( ] ] [ [ { √ √ } e ] √ ] [ √ [ Sejam { } e { { } { } { }} Determine as partes de e as Exemplo 1. 9 partes de , ou seja, ( e ( . Solução: ( { { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }} ( { { } { } {{ }} {{ }} {{ }} { } { { }} { { }} { { }} { { }} { { }} { { }} {{ } { }} {{ } { }} {{ } { }} { { }} { { }} { { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} {{ } { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { } { }} { { } { } { }} { { } { } { }}}. Sejam e conjuntos. Prove que, se e , então Exemplo 1. 10 Solução: Hipótese: e Tese: . Segue da definição que: e ( ) e ( Seja ( Neste caso, e e daí e Portanto, : Sejam e conjuntos quaisquer. Se então Exemplo 1. 11 Prove esta proposição, caso seja verdadeira, ou dê um contraexemplo, caso seja falsa. Solução: A proposição é falsa. Para verificar este fato, considere { } { } e { } Neste caso, temos que { } e { }. Logo e . Sejam e conjuntos quaisquer. Se então Exemplo 1. 12 Prove esta proposição, caso seja verdadeira, ou dê um contraexemplo, caso seja falsa. Solução: A proposição é falsa, para verificar este fato, considere { } { } e { } Neste caso, temos que { } e { }. Logo e . CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 17 10 Se { } e { }, então Prove Exemplo 1. 13 esta proposição, caso seja verdadeira, ou dê um contraexemplo, caso seja falsa. Solução: A proposição é verdadeira, para verificar este fato, considere arbitrário provaremos que . Observe que: ; Podemos escrever: ( e Portanto Exercícios Propostos 1) Prove que A B = B A. 2) Prove que A (B C) = (A B) C. 3) Prove que A (B C) = (A B) (A C) 4) Demonstre que o conjunto de letras da palavra “catarata” e o conjunto de letras da palavra “catraca” são iguais. 5) Liste todos os subconjuntos do conjunto { - 1; 0; 1}. 6) Demonstre que se A então A = . 7) Demonstre que se A B e B A então A = B. 8) Em cada um dos seguintes itens, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, demonstre-a. Se for falsa, dê um contraexemplo. (a) Se x A e A B então x B. (b) Se A B e B C então A C. (c) Se A B e B C então A C. (d) Se A B e B C então A C. (e) Se x A e A B então x B. (f) Se A B e x B então x A. 9). Prove que A (B C) = (A B) (A C) 10). Prove que (A – B) (B – A) = . 11) ( ( ( 12) ( ( ( EaD•UFMS18 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 3. Funções 11 Definição 1. 10. Sendo A e B conjuntos quaisquer, uma função f de A em B é uma regra que associa a cada elemento x de A um único elemento de B denotado por f(x). Neste caso, A é o domínio de f, B é o contradomínio de f e f(x) é a imagem de x pela função f.” Definição 1. 11. Seja uma função. O conjunto { ( } chama-se imagem de f e é denotado por Im(f) ou f(A). Dado um conjunto , chama-se imagem de segundo e indica-se por ( o subconjunto de B tal que ( { ( }, ou seja, ( é o conjunto das imagens dos elementos de E por . Definição 1. 12. Seja uma aplicação. Dizemos que é injetora ou simplesmente que é uma injeção se dois elementos distintos quaisquer de possuem imagens também distintas. Em símbolos diz-se que é injetora se para quaisquer ( ( . Exemplo: Sejam os conjuntos { } e { }, a função de Exemplo 1. 14 em tal que ( ( ( ( é injetora. Definição 1. 13. Seja uma função. Dizemos que é sobrejetora ou que é uma sobrejeção, quando se verifica a condição de que a ( , ou seja, ( . Sejam os conjuntos { } e { }, a aplicação de em Exemplo 1. 15 tal que ( ( ( ( ( é sobrejetora. Observemos que para toda , temos que ( , portanto, basta Exemplo 1. 16 provar que ( para verificar se a aplicação é uma sobrejeção. Ou seja, ( . Definição 1. 14. Seja uma função. Dizemos é bijetora quando é uma aplicação injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. A aplicação ( é uma aplicação bijetora, pois: Exemplo 1. 17 11 Definição 1. 10. Sendo A e B conjuntos quaisquer, uma função f de A em B é uma regra que associa a cada elemento x de A um único elemento de B denotado por f(x). Neste caso, A é o domínio de f, B é o contradomínio de f e f(x) é a imagem de x pela função f.” Definição 1. 11. Seja uma função. O conjunto { ( } chama-se imagem de f e é denotado por Im(f) ou f(A). Dado um conjunto , chama-se imagem de segundo e indica-se por ( o subconjunto de B tal que ( { ( }, ou seja, ( é o conjunto das imagens dos elementos de E por . Definição 1. 12. Seja uma aplicação. Dizemos que é injetora ou simplesmente que é uma injeção se dois elementos distintos quaisquer de possuem imagens também distintas. Em símbolos diz-se que é injetora se para quaisquer ( ( . Exemplo: Sejam os conjuntos { } e { }, a função de Exemplo 1. 14 em tal que ( ( ( ( é injetora. Definição 1. 13. Seja uma função. Dizemos que é sobrejetora ou que é uma sobrejeção, quando se verifica a condição de que a ( , ou seja, ( . Sejam os conjuntos { } e { }, a aplicação de em Exemplo 1. 15 tal que ( ( ( ( ( é sobrejetora. Observemos que para toda , temos que ( , portanto, basta Exemplo 1. 16 provar que ( para verificar se a aplicação é uma sobrejeção. Ou seja, ( . Definição 1. 14. Seja uma função. Dizemos é bijetora quando é uma aplicação injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. A aplicação ( é uma aplicação bijetora, pois: Exemplo 1. 17 Definição 1.9. Definição 1.10. Definição 1.11. Definição 1.12. Definição 1.13. CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 19 12 (i) Sendo , temos que ( ( . Logo é uma aplicação injetora; (ii) ( . Logo é uma aplicação sobrejetora. Segue de i) e de ii) que é bijetora. Definição 1. 15. Há muitas aplicações que não são nem injetoras nem sobrejetoras, Por exemplo, seja ( . Tomando , mas ( ( , logo não é injetora, mas também não é sobrejetora, pois , mas tal que ( , já que tal que . Proposição 1. 3 Se f:A B é uma função bijetora, então para cada y em B, existe um único x em A tal que f(x) = y. Seja f-1:BA a função definida a partir de f da seguinte forma: para cada y em B, f-1(y) = x, sendo que x é tal que f(x) = y. A função f definida desta forma, chama-se inversa de f.” É possível definir função inversa de qualquer função? Definição 1. 16. Se e são duas aplicações, chamamos de aplicação composta de e a aplicação indicada por , que fica definida da seguinte maneira: ( ( ( ) . Sejam defina e ( e e defina ( . A Exemplo 1. 18 aplicação composta de e : ( ( ( ) ( ( . Observações: (i) A função composta de só está definida quando a imagem da está contida no domínio de , ou seja, ( ( . (ii) A função composta de tem seu domínio igual ao domínio da função , ou seja, ( ( . (iii) Se e , então existem e mas nem sempre . O exemplo anterior da definição deixa isto bem claro, pois conforme este exemplo . (iv) se f possui inversa, então fof-1(y) = y e f-1of(x) = x, para todo y em B e para todo x em A. Definição 1.14. Proposição 1.4. EaD•UFMS20 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 13 Proposição 1. 4 Se e são aplicações injetoras, então é injetora. Demonstração: Se são tais que ( ( , então ( ( ) ( ( e, como é injetora por hipótese, ( ( . Por hipótese , também é injetora, logo e, portanto, é injetora. Proposição 1. 5 Se e são aplicações sobrejetoras, então é sobrejetora. Demonstração: Se , como é sobrejetora, existe tal que ( . Sendo sobrejetora, existe tal que ( . Logo, temos: ( ( ( ) ( , o que prova que é sobrejetora. ( Calcule , e . Exemplo 1. 19 a) ( b) ( c) ( ( ) . Considere a função ( e Exemplo 1. 20 ( Calcule , esboce o gráfico de , calcule e esboce o gráfico de a) ( ( ( ( b) ( ( ( ) ( ( Considere a função ( Prove que é bijetora e Exemplo 1. 21 determine sua inversa. Provemos primeiramente que é injetiva. Sejam tais que ( ( . Observe que : ( ( Portanto é injetiva. Agora, provemos que é sobrejetiva . Para isso, seja e considere Observe que ( ( ) ( ) Portanto é bijetora. A inversa de é definida por ( . Proposição 1.5. Proposição 1.6. CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 21 14 Considere a função { } { } definida por ( Prove Exemplo 1. 22 que é bijetora e determine sua inversa. Provemos primeiramente que é injetiva. Sejam { } tais que ( ( Desta forma, e com ( ( . Observe que: { } ( ( ( ( ( ( Portanto, é injetiva. Agora, provemos que { } { } é sobrejetiva, para isso, dado { } considere { } Ressaltamos, que , leva-nos a uma contradição, pois, caso isto aconteça em Desta forma, dado { } considere { } e observe: ( ( ) ( ) ( ) Portanto que { } { } é bijetora. A inversa de { } { } é { } { } definida por ( . Considere a função definida por ( Prove que é Exemplo 1. 23 bijetora e determine sua inversa. Provemos primeiramente que é injetiva. Sejam tais que ( ( Observe que: ( ( √ √ Portanto é injetiva. Agora, provemos que é sobrejetiva. Para isso, dado considere √ Observe que ( (√ ) (√ ) Desta forma, é sobrejetiva. Portanto é bijetora. EaD•UFMS22 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 15 A inversa de é definida por ( √ . Sejam as funções e , definidas por ( e Exemplo 1. 24 ( Obtenha as leis que definem e ( ( ( ( ( Sejam as funções e , definidas por ( e Exemplo 1. 25 ( Determinar ( tal que ( De fato, ( ( Portanto, ou Sejam as funções reais e , definidas por ( e ( Exemplo 1. 26 Obtenha as leis que definem e . ( ( ( ( ( Sejam as funções reais e , definidas por ( e ( Exemplo 1. 27 Determinar os valores dos domínios da função que produzem imagens . Portanto, ou Sejam as funções reais e , definidas por ( e ( Exemplo 1. 28 Obtenha as leis que definem e . ( ( ( ( ( ( ( CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 23 16 Considere a função em definida por ( Qual é a Exemplo 1. 29 lei que define ( ? E ( )? E ( Temos que ( ( ( ( Portanto, ( ( ) ( ) ( ) ( ) Portanto, ( ) Finalizando, ( ( ( ( ( = = Portanto, ( Dadas as funções reais definidas por ( e ( Exemplo 1. 30 determinar o valor de de modo que . ( ( Dadas as funções reais definidas por ( e ( , mostre que Exemplo 1. 31 , temos que ( ( , ou seja, Portanto Considere as funções definidas por ( √ e ( . Exemplo 1. 32 Determinar os domínios das funções e Por definição, segue que ( ( ( ) Desta forma, ( ( ( ) √ ( √ ( ( . Vamos encontrar Logo, procuramos o conjunto dos tais que ( ou seja, que satisfazem Portanto, ( ] ] [ [ EaD•UFMS24 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 17 Por outro lado, por definição, segue que ( ( ( ) Desta forma, ( ( ( ) ( ( (√ ) √ ( ( √ Portanto, ( [ [ Sejam as funções reais ( e ( ( . Determinar a Exemplo 1. 33 lei que define a função Por definição, segue que ( ( ( ( ) Desta forma, ( ( ( Assim, ( Portanto, ( . Observe que ( satisfaz: ( ( ( ) Sejam as funções reais ( e ( ( . Exemplo 1. 34 Determinar a lei que define a função Por definição, segue que ( ( ( ( ) Desta forma, ( ( ( ( ) ( Assim, ( ( ( Portanto, ( Observe que ( satisfaz: ( ( ( ) Sejam e uma função. ( ( Exemplo 1. 35 De fato, por hipótese, , e sabemos que ( Seja ( ( ( Como e temos que Assim, ( e Portanto, ( Sejam e uma função. ( ( Exemplo 1. 36 CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 25 18 Por hipótese, , e sabemos que ( Seja ( ( e ( Como ( e temos que ( Assim, e ( Portanto, ( Sejam e uma função. Então �Exemplo 1. 37 ( ( ( Lembremos que ( ( ( ( ( ( e ( ( ( I) ( ( ( Seja ( ( ( ( ( ou ( Se ( então, existe tal que ( Como então Portanto, ( Se ( então existe tal que ( Como então Portanto, ( II) ( ( ( Seja ( ( ( ou ( . Se ( e então ( Portanto, ( ( Se ( e então ( Portanto ( ( Seja ( calcule ({ } ([ [ e Exemplo 1. 38 ([ ] . ({ } { ( } { } { } ([ [ { ( [ [ } { } ] ] [ [ ([ ] { ( [ ]} { ( } [ ] EaD•UFMS26 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 4. Apêndice: Relações Binárias e Aplicações 19 Definição 1. 17. Sejam � e � conjuntos quaisquer. Uma Relação Binária de ��em � é um subconjunto de que indicamos por �. Se o par ( pertence a relação , dizemos que está relacionado com pela relação e denotamos por . : Dados os conjuntos { } e { }, se então Exemplo 1. 39 {( ( ( ( ( ( ( ( ( }. Qualquer subconjunto de é uma relação de � em . As seguintes relações são exemplos de relações de � em : ; = {( ( ( }; = {( ( ( }; = {( ( ( }; Definição 1. 18. Dada uma relação binária de em , o conjunto definido por { } é chamado domínio da relação e é denotado por ( . O conjunto definido por ( { } é chamado imagem da relação e é denotado por ( . Considere o conjunto formado por uma família composta de cinco pessoas, na Exemplo 1. 40 qual o pai é , a mãe é e os filhos são e considere a relação “ser mãe de”. O domínio da relação considerada é ( { } e a imagem da mesma relação é ( { }. Definição 1. 19. Seja uma relação de em . Chama-se Relação Inversa de , e denota-se por a seguinte relação de em {( ( }. Se {( ( }, então {( ( }. Exemplo 1. 41 Definição 1. 20. Se é uma relação de em e se , então, diz-se que a relação é reflexiva se, para todo . 20 Seja o conjunto de todos os em um plano e a relação definida Exemplo 1. 42 como: “é congruente a”. Como todo quadrado é congruente a si mesmo, então, , logo é reflexiva. Definição 1. 21. Uma relação em um conjunto é denominada Simétrica quando sempre que então : Seja o conjunto de todos os filhos do sexo masculino de um casal. Se Exemplo 1. 43 e , logo e , se define a relação de irmão entre os elementos de . Portanto, é simétrica. Definição 1. 22. Uma relação em um conjunto é chamada transitiva se a seguinte condição é satisfeita: , se . A relação sobre o conjunto dos números naturais definida por Exemplo 1. 44 é transitiva, pois, dados três números naturais , temos que se e , então, . Definição 1. 23. Seja uma relação em . Dizemos que é anti-simétrica se tais que se e , então . Exemplo: A relação sobre , assim definida: é anti-Exemplo 1. 45 simétrica, pois, para e , se e , então . Definição 1. 24. Uma relação sobre um conjunto não vazio será uma relação de equivalência sobre se, e somente se, for uma relação que seja ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. A relação de igualdade sobre é uma relação de equivalência, pois para todo Exemplo 1. 46 , , também, para todo , se e para todo . Definição 1. 25. Seja uma relação de equivalência sobre o conjunto A classe de equivalência de segundo a relação é um subconjunto de cuja notação é Definição 1.15. Definição 1.16. Definição 1.17. Definição 1.18. CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 27 20 Seja o conjunto de todos os em um plano e a relação definida Exemplo 1. 42 como: “é congruente a”. Como todo quadrado é congruente a si mesmo, então, , logo é reflexiva. Definição 1. 21. Uma relação em um conjunto é denominada Simétrica quando sempre que então : Seja o conjunto de todos os filhos do sexo masculino de um casal. Se Exemplo 1. 43 e , logo e , se define a relação de irmão entre os elementos de . Portanto, é simétrica. Definição 1. 22. Uma relação em um conjunto é chamada transitiva se a seguinte condição é satisfeita: , se . A relação sobre o conjunto dos números naturais definida por Exemplo 1. 44 é transitiva, pois, dados três números naturais , temos que se e , então, . Definição 1. 23. Seja uma relação em . Dizemos que é anti-simétrica se tais que se e , então . Exemplo: A relação sobre , assim definida: é anti-Exemplo 1. 45 simétrica, pois, para e , se e , então . Definição 1. 24. Uma relação sobre um conjunto não vazio será uma relação de equivalência sobre se, e somente se, for uma relação que seja ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. A relação de igualdade sobre é uma relação de equivalência, pois para todo Exemplo 1. 46 , , também, para todo , se e para todo . Definição 1. 25. Seja uma relação de equivalência sobre o conjunto A classe de equivalência de segundo a relação é um subconjunto de cuja notação é 21 ̅ { }. Portanto, ̅ e ̅ é formado pelos elementos de tal que está relacionado com . Seja a relação binária em definida abaixo: dados , Exemplo 1. 47 . é uma relação de equivalência em , pois: (i) . Logo, é reflexiva; (ii) Sejam . Neste caso, o inteiro -t satisfaz ( . Logo é simétrica; (iii) Sejam . Neste caso, . Ao somarmos estas duas expressões, obtemos ( o que significa que . Logo é transitiva e, portanto, é relação de equivalência. Observe que ̅ { } { } { }. É o conjunto dos números pares. ̅ { } { } { }. É o conjunto dos números ímpares. Definição 1. 26. O conjunto das classes de equivalência em módulo denotado por é chamado conjunto-quociente de por . Seja tal que . A relação de congruência módulo em é a Exemplo 1. 48 relação de equivalência definida abaixo: dados , . Prove que R é, de fato, uma relação de equivalência. Vejamos como fica o conjunto-quociente . Sendo , efetuemos a divisão euclidiana de por , obtendo o quociente e o resto . Temos: e . E daí vem . Portanto: ( ou ̅ ̅. Concluímos que ̅ é uma classe igual a ̅, em que é o resto da divisão de por . Como { }, vem: ̅ { ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ }. Definição 1.19. Definição 1.20. Definição 1.21. Definição 1.22. Definição 1.23. EaD•UFMS28 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 21 ̅ { }. Portanto, ̅ e ̅ é formado pelos elementos de tal que está relacionado com . Seja a relação binária em definida abaixo: dados , Exemplo 1. 47 . é uma relação de equivalência em , pois: (i) . Logo, é reflexiva; (ii) Sejam . Neste caso, o inteiro -t satisfaz ( . Logo é simétrica; (iii) Sejam . Neste caso, . Ao somarmos estas duas expressões, obtemos ( o que significa que . Logo é transitiva e, portanto, é relação de equivalência. Observe que ̅ { } { } { }. É o conjunto dos números pares. ̅ { } { } { }. É o conjunto dos números ímpares. Definição 1. 26. O conjunto das classes de equivalência em módulo denotado por é chamado conjunto-quociente de por . Seja tal que . A relação de congruência módulo em é a Exemplo 1. 48 relação de equivalência definida abaixo: dados , . Prove que R é, de fato, uma relação de equivalência. Vejamos como fica o conjunto-quociente . Sendo , efetuemos a divisão euclidiana de por , obtendo o quociente e o resto . Temos: e . E daí vem . Portanto: ( ou ̅ ̅. Concluímos que ̅ é uma classe igual a ̅, em que é o resto da divisão de por . Como { }, vem: ̅ { ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ }. 22 Proposição 1. 6 Em uma relação de equivalência sobre na qual e as seguintes proposições são equivalentes: I) ; ̅; III) ̅; IV) ̅ ̅. Demonstração: Devemos provar que . I : É decorrente da definição de classe de equivalência. II : Como ̅, então . Daí, pela simetria de , e, portanto ̅. III : Por hipótese, ̅, ou seja, . é simétrica, logo, . Temos que provar que ̅ ̅ e ̅ ̅. Tomemos ̅. Então e, levando em conta que , concluímos pela transitividade de , que . Daí, e, então, ̅ ̅. Analogamente se prova que ̅ ̅ . IV : Como ̅ e ̅, os conjuntos ̅ e ̅ não são vazios. Tomando ̅, como ̅ ̅, temos que ̅ ̅, ou seja, e . Segue, pela simetria de , que e e a transitividade de garante, então, que . Definição 1. 27. Seja uma relação de em . Dizemos que é uma aplicação de em se, e somente se: (i) O domínio de , ( é igual a ; (ii) Dado um elemento ( é único o elemento tal que ( . Assim, é uma aplicação de em , escrevemos ( onde se lê “ é imagem de pela ”, com a finalidade de indicar que ( e utiliza-se a notação para indicar que é uma aplicação de em . Nesta aplicação o conjunto é chamado de contradomínio de . Definição 1. 28. Dado , é chamado imagem inversa de , pela , e indicamos por ( , o subconjunto de : ( { ( }, isto quer dizer que é o conjunto dos elementos de que têm imagem em pela função . Seja , assim, ( { ( } √ ( . Exemplo 1. 49 Definição 1.24. Proposição 1.7. CONJUNTOS E FUNÇÕESEaD•UFMS 29 22 Proposição 1. 6 Em uma relação de equivalência sobre na qual e as seguintes proposições são equivalentes: I) ; ̅; III) ̅; IV) ̅ ̅. Demonstração: Devemos provar que . I : É decorrente da definição de classe de equivalência. II : Como ̅, então . Daí, pela simetria de , e, portanto ̅. III : Por hipótese, ̅, ou seja, . é simétrica, logo, . Temos que provar que ̅ ̅ e ̅ ̅. Tomemos ̅. Então e, levando em conta que , concluímos pela transitividade de , que . Daí, e, então, ̅ ̅. Analogamente se prova que ̅ ̅ . IV : Como ̅ e ̅, os conjuntos ̅ e ̅ não são vazios. Tomando ̅, como ̅ ̅, temos que ̅ ̅, ou seja, e . Segue, pela simetria de , que e e a transitividade de garante, então, que . Definição 1. 27. Seja uma relação de em . Dizemos que é uma aplicação de em se, e somente se: (i) O domínio de , ( é igual a ; (ii) Dado um elemento ( é único o elemento tal que ( . Assim, é uma aplicação de em , escrevemos ( onde se lê “ é imagem de pela ”, com a finalidade de indicar que ( e utiliza-se a notação para indicar que é uma aplicação de em . Nesta aplicação o conjunto é chamado de contradomínio de . Definição 1. 28. Dado , é chamado imagem inversa de , pela , e indicamos por ( , o subconjunto de : ( { ( }, isto quer dizer que é o conjunto dos elementos de que têm imagem em pela função . Seja , assim, ( { ( } √ ( . Exemplo 1. 49 Definição 1.25. Definição 1.26. CAPÍTULO II NÚMEROS REAIS NÚMEROS REAIS CAPÍTULO II CAPÍTULO 2 Números Reais Apesar de a noção de número real já existir antes do século XIX, foi em meados desse século que os matemáticos começaram a sentir necessidade de uma fundamentação rigorosa dos diferentes sistemas numéricos. É interessante ressaltar que, conforme encontramos na literatura, a sistematização dos diferentes conjuntos numéricos ocorreu na ordem inversa do seu desenvolvimento histórico pelo homem, ou seja, enquanto, historicamente, surgiram as noções de número natural, inteiro, racional, irracional, real e complexo, nesta ordem, a sistematização matemática desses conjuntos ocorreu da seguinte forma: primeiro foram organizados os números complexos, depois os números reais, os racionais, os inteiros e finalmente, os números naturais. Neste livro não faremos um estudo sistemático dos conjuntos numéricos em questão, mas vamos abordar os conjuntos dos racionais, irracionais e dos reais resumidamente, trazendo algumas de suas principais propriedades e resultados. Para estudos mais aprofundados, o leitor pode recorrer a bibliografia [38]. Nesse trabalho, o autor faz um tratamento completo da construção do conjunto dos números reais, iniciando pela construção dos números naturais ( a partir de três axiomas, conhecidos como axiomas de Peano. Em seguida, inicia a construção do conjunto dos inteiros, dos racionais e dos reais. Usaremos as seguintes notações: { }, para o conjunto dos números naturais. { }, para o conjunto dos números inteiros. { }, para o conjunto dos números racionais. Apesar de as frações serem consideradas apenas como uma das representações dos números racionais, na Educação Básica elas passam a ser consideradas como um conteúdo a ser ensinado e, por isso, o conjunto dos números racionais passa a ser definido, nesse nível de ensino, como sendo o “conjunto das frações”. Neste livro, iremos verificar propriedades matemáticas que justificam as afirmações que são feitas, na Educação Básica, para o “conjunto das frações”. Vamos iniciar com as frações do tipo , sendo . Tais números racionais são identificados com o número inteiro e, com um certo abuso de linguagem, dizemos que é um subconjunto de , ou seja, 41 EaD•UFMS34 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 2 Quando aprendemos a operar com as frações, a rigor, o que fazíamos era definir operações de adição e multiplicação, que escreveremos a seguir, que são casos mais gerais da adição e da multiplicação de números inteiros. Para quaisquer definimos: ; (1) (2) Na Educação Básica, aprendemos a somar duas frações de denominadores diferentes por meio do cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc). Quando calculamos mmc dos denominadores e efetuamos o procedimento do “divide pelo numerador e multiplica pelo numerador”, estamos, na verdade, escrevendo os dois números racionais que estão sendo somados sob a forma de duas outras frações, equivalentes às duas frações iniciais, mas de denominadores comuns. Esse processo é equivalente à definição (1), uma vez que, aos efetuarmos as operações indicadas, estamos reescrevendo e por meio de duas frações equivalentes, e respectivamente. Observe que, pelas definições (1) e (2), quando temos, temos as operações de adição e multiplicação de números inteiros, ou seja, No conjunto dos números racionais, com a soma e a multiplicação definida em (1) e (2), são verdadeiras as seguintes propriedades: , 1. Propriedade comutativa da adição e da multiplicação, respectivamente: p. ex, e 2. ( ( ( Propriedade associativa da adição e da multiplicação, respectivamente: p. ex, ( ) ( ) e ( ) ( ) 3. Existe um elemento tal que Existência do elemento neutro da adição; NÚMEROS REAISEaD•UFMS 35 3 4. Existe um elemento tal que Existência do elemento neutro da multiplicação; 5. Dado existe tal que ( Existência do inverso aditivo; 6. Dado existe tal que Existência do inverso multiplicativo; 7. ( Propriedade distributiva: p. ex: ( ) Podemos associar os números racionais com pontos de uma reta . Para isso, escolhemos dois pontos dessa reta para associar os racionais 0 e 1. Os números inteiros são marcados facilmente se usarmos o segmento de extremidades 0 e 1 como sendo a unidade, marcando os positivos à direita de 0 e os negativos à esquerda de 0. Os racionais são obtidos por subdivisões adequadas do segmento unidade. Por exemplo, dados dois segmentos retilíneos AB e CD, dizer que a razão é o número racional , significa que existe um terceiro segmento EF tal que EF “caiba” p vezes em AB e que EF “caiba” q vezes em CD. Vamos ilustrar a situação para o caso em que p = 8 e q = 5: AB CD p q 8 5 AB CD D B C A E F E O 0 -3 -2 -1 1 20u u u u u u 1 2 EaD•UFMS36 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 4 De acordo com a figura anterior, os segmentos AB e CD podem ser subdivididos em segmentos de tamanho EF. Assim, pode-se verificar que o segmento EF “cabe” oito vezem em AB e que o segmento EF “cabe” cinco vezes em CD. Assim, podemos dizer que AB está para CD assim como oito está para cinco, ou seja, . Observe que AB e CD são segmentos, não números. É por isso que “razão” não é o mesmo que “fração”. Os gregos não usavam “frações”, apenas “razões”; e não escreviam para indicar a razão de dois segmentos. Mesmo nos dias de hoje costuma-se escrever AB : CD = p : q, e dizer “AB está para CD assim como p está para q” No tempo de Pitágoras (580-500 a. C. aproximadamente) – e mesmo durante boa parte do século V a. C. – pensava-se que dados dois segmentos quaisquer, AB e CD, seria sempre possível encontrar um terceiro segmento EF contido um número inteiro de vezes em AB e outro número inteiro de vezes em CD, situação esta que descrevemos dizendo que EF é um submúltiplo comum de AB e CD. Uma simples reflexão revela que essa é uma ideia muito razoável; afinal se algum segmento EF não servir, podemos imaginar um segmento menor, outro menor ainda, e assim por diante. Nossa intuição geométrica parece dizer-nos que há de existir um certo segmento EF, talvez muito pequeno, mas que satisfaz aos propósitos desejados. Você deve ir muito além, imaginando um segmento EF tão pequeno que nem se possa mais desenhar, para se convencer, pela sua intuição geométrica, da possibilidade de sempre encontrar um submúltiplo comum de AB e CD. Dois segmentos nessas condições são ditos comensuráveis, justamente por ser possível medi-los ao mesmo tempo, com a mesma unidade EF. Para representar os números racionais, podemos utilizar a escala orientada que definimos. Se desejarmos representar um racional, cujo denominador é b, devemos dividir cada segmento de comprimento unitário em b partes iguais. Por exemplo, se b=3, representamos todos os racionais cujo denominador é 3. Se procedermos com esta construção para todo valor de b, todos os números racionais se acharão representados por um ponto na reta. Reciprocamente, a cada ponto da reta estaremos correspondendo uma classe de racionais equivalentes, por exemplo, Observe que dado um ponto qualquer da reta, podemos obter racionais tão perto dele quanto se queira, bastando tomar subdivisões cada vez mais finas da unidade. O conjunto dos números racionais tem ordem total compatível com as operações definidas em (1) e (2). Este ordem é uma extensão da ordem natural dos inteiros, em que a 8 5 AB CD AB CD NÚMEROS REAISEaD•UFMS 37 5 diferença entre dois inteiros consecutivos é sempre igual a 1, daí cada racional fica entre dois inteiros consecutivos. A ordem natural dos inteiros: . Usamos a seguinte notação para comparar dois números racionais ou Proposição 2. 1 Cada racional fica entre dois inteiros consecutivos. Demonstração: Considere o Algoritmo da Divisão para os inteiros Segue do algoritmo da divisão que existem únicos inteiros tais que . Observe que: que e Assim, se n > 0, então Portanto, está entre os inteiros consecutivos Se n < 0, então , ou seja, . Logo, Portanto, está entre os inteiros consecutivos . Por mais que existam infinitos números racionais entre quaisquer dois outros racionais, esses números não cobrem toda a reta, ou seja, nem todo ponto P da reta corresponde a um racional. A existência de pontos P da reta que não são relacionados a números racionais já era conhecida pelos matemáticos da Escola Pitagórica. Apesar de a interpretação geométrica e o apelo à intuição sugerirem que sempre dois segmentos são comensuráveis, existem segmentos que não podem ser medidos com a mesma unidade de medida. Esses fatos caracterizam um novo tipo de número, o qual denominamos número irracional. A origem histórica da necessidade da construção dos números irracionais está relacionada a dificuldades de natureza geométrica e aritmética. Como fazer para dar a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos têm uma unidade de medida? O Teorema de Pitágoras nos garante que sendo a hipotenusa e e os catetos de mesma medida. Em particular, se então e denotamos a medida deste segmento √ O ponto P da reta, correspondente a é obtido traçando a EaD•UFMS38 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 6 circunferência centrada em 0 e raio igual a hipotenusa e esse número não corresponde a um racional. Definição 2. 1. Sejam inteiros, tal que Dizemos a fração é irredutível se o ( . Caso contrário, diremos que a fração é redutível. Lembre que ( é o maior divisor positivo comum de e . Proposição 2. 2 { ( } Demonstração: Claro que { ( } . Agora seja Então podemos supor com , pois ( é o maior divisor comum positivo de e , e daí ( ( ( ( Se ( então { ( } Se ( com então e com Logo e ( Portanto { ( } Proposição 2. 3 Seja , tal que é fator de . Prove que é fator de . Proposição 2. 4 A hipotenusa √ de um triângulo retângulo de catetos com medida 1 unidade não é um número racional. A Proposição 2.4 nos garante que existem pontos da reta que não correspondem a elementos de e daí constatamos uma deficiência no conjunto dos números racionais. Dessa forma, vamos descrever um conjunto numérico mais amplo que o conjunto dos números racionais e cujos elementos estejam em correspondência bijetora com os pontos da reta. O conjunto neste caso, é conjunto dos números reais, denotado por e formados pelos números racionais e não racionais. NÚMEROS REAISEaD•UFMS 39 7 Assim como no conjunto dos números racionais, no conjunto dos números reais, são verdadeiras as seguintes propriedades: Dados , 1. 2. ( ( ( ( 3. Existência do neutro: existe um número real denotado por tal que 4. Existência da unidade: existe um número real denotado por tal que 5. Existência do inverso aditivo: para cada existe tal que ( 6. Existência do inverso multiplicativo: se , então existe tal que 7. ( 8. Para quaisquer, , temos que: e e e e e 0 e e z qualquer 2.1. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Sendo chamamos módulo de e denotamos por ao maior dos números e – Assim, por definição: { } A interpretação geométrica do módulo do número real na reta real (em certa unidade de medida) traduz a distância do ponto correspondente à origem do referencial, que adotamos como sendo o número 0. A ordem nos permite reescrever o valor absoluto do número real como sendo { Assim, para todo x real, e 2.1 Módulo de um Número Real 7 Assim como no conjunto dos números racionais, no conjunto dos números reais, são verdadeiras as seguintes propriedades: Dados , 1. 2. ( ( ( ( 3. Existência do neutro: existe um número real denotado por tal que 4. Existência da unidade: existe um número real denotado por tal que 5. Existência do inverso aditivo: para cada existe tal que ( 6. Existência do inverso multiplicativo: se , então existe tal que 7. ( 8. Para quaisquer, , temos que: e e e e e 0 e e z qualquer 2.1. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Sendo chamamos módulo de e denotamos por ao maior dos números e – Assim, por definição: { } A interpretação geométrica do módulo do número real na reta real (em certa unidade de medida) traduz a distância do ponto correspondente à origem do referencial, que adotamos como sendo o número 0. A ordem nos permite reescrever o valor absoluto do número real como sendo { Assim, para todo x real, e EaD•UFMS40 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 8 Figura 2.1 – Representação geométrica de |x| O módulo de números reais satisfaz as seguintes propriedades: Para todo 1. ( 2. 3. A partir dessas, podem ser obtidas as seguintes propriedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6. | | 7. | | 8. 9. 10. 11. 12. 13. √ Usaremos as notações abaixo para representar subconjuntos especiais dos números reais. Dados com , definimos o intervalo de extremos aos seguintes subconjuntos da reta : 0 0 | x | = x | x | = - x x x NÚMEROS REAISEaD•UFMS 41 9 ( ] [ { } [ [ [ { } ( ] ] ] { } [ ] { }; O conjunto { } é a semirreta positiva e o conjunto { } é a semirreta negativa. Em geral, uma semirreta é um conjunto de uma das seguintes formas: Dados ( ] [ { } [ [ [ { } ( ] [ { } ( ] ] ] { } Os intervalos podem ser descritos por meio de valor absoluto, por exemplo: ( { } [ ] { }; Em geral, se com então: ( { } [ ] { }; ( { } [ ] { }. a a a a a a b b b b b b EaD•UFMS42 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 10 Exemplo 2. 1. Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, cuja a distância a 1 é menor ou igual a 4. Primeiramente vamos descrever uma expressão para o conjunto pedido. Ou seja, dado queremos que Assim, [ ] { } Geometricamente, temos Exemplo 2. 2. Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por { } Temos que encontrar e ou seja, e , pois x > 0, já que . Assim, [ [ { } Geometricamente, temos Exercícios Propostos 1) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por { }; 2) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por { } 3) ) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por { }; 4) ) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por { ( ( ( }; 5) Dados se mostre que 6) Mostre que quaisquer que sejam -3 1/2 5 1 NÚMEROS REAISEaD•UFMS 43 11 7) Dados tais que e Mostre que √ Quando é que as médias aritméticas e geométricas são iguais? O que podemos dizer geometricamente sobre este fato? 8) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por { } 9) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por { } 2.2 SUPREMO E ÍNFIMO EM CONJUNTOS DE NÚMEROS REAIS Definição 2. 2. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado à direita ou limitado superiormente se existe um número tal que Do mesmo modo, é limitado à esquerda ou limitado inferiormente se existe um número tal que . Os números e são chamados de cotas do conjunto C, superior e inferior, respectivamente. Exemplo 2. 3. a) O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente, mas não superiormente, enquanto que o conjunto dos números racionais menores do que 8 é limitado superiormente, mas não inferiormente. b) O conjunto dos números reais x tais que x 2 10 é limitado, tanto à direita como à esquerda, isto é: ={x R: x 2 10} = { x R: x }. Neste caso, é cota inferior do conjunto e √ é cota superior do conjunto. Definição 2. 3. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado, quando é limitado superiormente e inferiormente. Definição 2. 4. Quando um conjunto é limitado superiormente, ele pode ter um elemento que seja o maior de todos. Nesse caso, é chamado o máximo do conjunto . 10, 10 10 10 10 11 7) Dados tais que e Mostre que √ Quando é que as médias aritméticas e geométricas são iguais? O que podemos dizer geometricamente sobre este fato? 8) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por { } 9) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por { } 2.2 SUPREMO E ÍNFIMO EM CONJUNTOS DE NÚMEROS REAIS Definição 2. 2. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado à direita ou limitado superiormente se existe um número tal que Do mesmo modo, é limitado à esquerda ou limitado inferiormente se existe um número tal que . Os números e são chamados de cotas do conjunto C, superior e inferior, respectivamente. Exemplo 2. 3. a) O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente, mas não superiormente, enquanto que o conjunto dos números racionais menores do que 8 é limitado superiormente, mas não inferiormente. b) O conjunto dos números reais x tais que x 2 10 é limitado, tanto à direita como à esquerda, isto é: ={x R: x 2 10} = { x R: x }. Neste caso, é cota inferior do conjunto e √ é cota superior do conjunto. Definição 2. 3. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado, quando é limitado superiormente e inferiormente. Definição 2. 4. Quando um conjunto é limitado superiormente, ele pode ter um elemento que seja o maior de todos. Nesse caso, é chamado o máximo do conjunto . 10, 10 10 10 10 2.2 Supremo e Ínfimo em conjuntos de Números Reais EaD•UFMS44 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 12 Exemplo 2. 4. a) O conjunto dos números racionais x tais que x 10 tem 10 como máximo; b) O conjunto A = não tem máximo, embora seja limitado superiormente. Observe que . Os elementos desse conjunto são frações dispostas de maneira crescente: e nenhuma dessas frações é maior do que todas as outras. Pelo contrário, qualquer delas é superada pela que vem a seguir, isto é, , . Além disso, qualquer elemento do conjunto é menor do que o número 1, o qual é, portanto, uma de suas cotas superiores. Aliás, o 1 é a menor dessas cotas. Desta forma, ilustramos uma situação interessante: o conjunto é limitado superiormente e, apesar de não ter máximo, tem cota superior mínima. Isto sugere a seguinte definição: Definição 2. 5. Chama-se supremo de um conjunto de números reais, à menor de suas cotas superiores. Ou seja, um número S chama-se supremo de um conjunto se satisfaz as seguintes condições: a. b. Se r é cota superior de C, então S é menor ou igual a r. Notação: Denotamos o supremo de C por Exemplo 2. 5. Seja X o conjunto formado pelos números racionais x tais que x 10. Neste caso, e Axioma: Todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado superiormente, possui supremo. Definição 2. 6. Chama-se ínfimo de um conjunto de números reais, à maior de suas cotas inferiores. Ou seja, um número é o ínfimo de um conjunto se satisfaz as seguintes condições: a) b) Se t é cota inferior de C, então s é maior ou igual a t 1 2 3, , , , 2 3 4 1 n n 1 1 n n 1 2 3 2 3 4 1 n n 1 1 2 n n n n ... ... ... n n + 1 n n + 1 12 Exemplo 2. 4. a) O conjunto dos números racionais x tais que x 10 tem 10 como máximo; b) O conjunto A = não tem máximo, embora seja limitado superiormente. Observe que . Os elementos desse conjunto são frações dispostas de maneira crescente: e nenhuma dessas frações é maior do que todas as outras. Pelo contrário, qualquer delas é superada pela que vem a seguir, isto é, , . Além disso, qualquer elemento do conjunto é menor do que o número 1, o qual é, portanto, uma de suas cotas superiores. Aliás, o 1 é a menor dessas cotas. Desta forma, ilustramos uma situação interessante: o conjunto é limitado superiormente e, apesar de não ter máximo, tem cota superior mínima. Isto sugere a seguinte definição: Definição 2. 5. Chama-se supremo de um conjunto de números reais, à menor de suas cotas superiores. Ou seja, um número S chama-se supremo de um conjunto se satisfaz as seguintes condições: a. b. Se r é cota superior de C, então S é menor ou igual a r. Notação: Denotamos o supremo de C por Exemplo 2. 5. Seja X o conjunto formado pelos números racionais x tais que x 10. Neste caso, e Axioma: Todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado superiormente, possui supremo. Definição 2. 6. Chama-se ínfimo de um conjunto de números reais, à maior de suas cotas inferiores. Ou seja, um número é o ínfimo de um conjunto se satisfaz as seguintes condições: a) b) Se t é cota inferior de C, então s é maior ou igual a t 1 2 3, , , , 2 3 4 1 n n 1 1 n n 1 2 3 2 3 4 1 n n 1 1 2 n n n n e NÚMEROS REAISEaD•UFMS 45 13 Notação: Denotamos o ínfimo de C por ( . Exemplo 2. 6. a) O conjunto formados pelos números racionais, x tais que Neste caso, e b) Considere o conjunto . Neste caso e Também existe e Os elementos desse conjunto são frações dispostas de maneira crescente: ; e nenhuma dessas frações é maior do que todas as outras, pois 0 < , . Tem-se também que 1 é a menor das cotas superiores dessas e 0 é a maior das cotas inferiores Teoremos 2. 1. Todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado inferiormente, possui ínfimo. A demonstração deste fato, baseia-se no Axioma fundamental da Análise Matemática. Observe que se nos restringirmos ao conjunto dos números racionais, então não é verdade que todo conjunto limitado superiormente tenha supremo ou que todo conjunto limitado inferiormente tenha ínfimo. Este fato está ligado a inexistência de raízes quadradas racionais de certos números inteiros, dentre outras razões. Veja o exemplo a seguir: Exemplo 2. 7. Considere { }. Vamos provar que o conjunto não tem ínfimo em Para isso, vamos considerar o conjunto { }. Como não existe racional r tal que dado um racional positivo temos que ou . P1: Se então existe um racional p entre zero e 1 tal que De fato, tomemos um racional p tal que e ( ) ( . Neste caso, ( ( . Como e daí ( ( Portanto, implica na existência de 0 < tal que 1 2 30, , , , , ,... 2 3 4 1 n n 1 2 3 2 3 4 1 n n 1 1 2 n n n n ... ... ... n n + 1 n n + 1 12 Exemplo 2. 4. a) O conjunto dos números racionais x tais que x 10 tem 10 como máximo; b) O conjunto A = não tem máximo, embora seja limitado superiormente. Observe que . Os elementos desse conjunto são frações dispostas de maneira crescente: e nenhuma dessas frações é maior do que todas as outras. Pelo contrário, qualquer delas é superada pela que vem a seguir, isto é, , . Além disso, qualquer elemento do conjunto é menor do que o número 1, o qual é, portanto, uma de suas cotas superiores. Aliás, o 1 é a menor dessas cotas. Desta forma, ilustramos uma situação interessante: o conjunto é limitado superiormente e, apesar de não ter máximo, tem cota superior mínima. Isto sugere a seguinte definição: Definição 2. 5. Chama-se supremo de um conjunto de números reais, à menor de suas cotas superiores. Ou seja, um número S chama-se supremo de um conjunto se satisfaz as seguintes condições: a. b. Se r é cota superior de C, então S é menor ou igual a r. Notação: Denotamos o supremo de C por Exemplo 2. 5. Seja X o conjunto formado pelos números racionais x tais que x 10. Neste caso, e Axioma: Todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado superiormente, possui supremo. Definição 2. 6. Chama-se ínfimo de um conjunto de números reais, à maior de suas cotas inferiores. Ou seja, um número é o ínfimo de um conjunto se satisfaz as seguintes condições: a) b) Se t é cota inferior de C, então s é maior ou igual a t 123 ,,,, 2341 n n 1 1 n n 123 2341 n n 1 12 nn nn ... ... EaD•UFMS46 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL 14 P2: Se então existe um racional p entre zero e 1 tal que . De fato, tomemos um racional tal que e ( ) Neste caso, , ou seja, . Logo, ( Portanto, implica na existência de 0 < tal que Temos que ] [ . Suponhamos, por absurdo, que existe ( Então Segue da P2, Desta forma, Se então existe um racional tal que e Como temos que é cota inferior para e este fato contradiz a hipótese de ( Proposição 2. 5 O conjunto dos números reais não é limitado superiormente Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que o conjunto dos números naturais seja limitado superiormente. Como existe tal que Logo, não é cota superior de Consequentemente, existe tal que ou seja, o que é absurdo, pois
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