P1 2008.1 GAB MecSol1 - Rochinha UFRJ

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Mecânica dos Sólidos I 
P1- 2008.1 - Gabarito 
 
(1) Um anel de alumínio de raio R, espessura t1 << R, Módulo de elasticidade de
Young E1 e coeficiente de expansão térmica α1 é recoberto por uma película de
espessura t2 << R, Módulo de elasticidade de Young E2 e coeficiente de expansão
térmica α2. Este anel composto sofre um acréscimo de temperatura ΔT. Para E2 >
E1 e α2 < α1 determine : 
(a) A pressão na interface entre o anel de alumínio e a membrana; 
(b) A tensão circunferencial no anel e na membrana de recobrimento, indicando
se as tensões são de tração ou compressão; 
(c) O raio final do conjunto; 
(d) As tensões para E2= E1 e α2 = α1 .
 
1
p 
2
p 
(a) Pressão na interface
Equilíbrio σ1
p− R⋅
t1
= σ2
p R⋅
t2
=
ΔR2
R
p R⋅
E2 t2⋅
α2 ΔT⋅+=Constitutiva ΔR1
R
p− R⋅
E1 t1⋅
α1 ΔT⋅+=
Cinemática ΔR1 ΔR2=
p− R⋅
E1 t1⋅
α1 ΔT⋅+
p R⋅
E2 t2⋅
α2 ΔT⋅+= p
α1 α2−( ) ΔT⋅ E1⋅ t1⋅ E2⋅ t2⋅
E1 t1⋅ E2 t2⋅+( ) R⋅=
Como α1 α2> então p 0>
(b) Tensões
σ1
α1 α2−( )− ΔT⋅ E1⋅ E2⋅ t2⋅
E1 t1⋅ E2 t2⋅+
= Compressão 
Tração σ2
α1 α2−( )− ΔT⋅ E1⋅ E2⋅ t1⋅
E1 t1⋅ E2 t2⋅+
=
(c) Raio final
ΔR1
α1 E1⋅ t1⋅ α2 E2⋅ t2⋅+
E1 t1⋅ E2 t2⋅+
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
ΔT⋅ R⋅=
Rf R ΔR1+=
Rf
1 α1 ΔT⋅+( ) E1 t1⋅( )⋅ 1 α2 ΔT⋅+( ) E2 t2⋅( )⋅+⎡⎣ ⎤⎦ R⋅
E1 t1⋅ E2 t2⋅+
=
d( )σ1 σ2= 0=
 (2) Um veículo, tendo a distância entre os eixos das rodas traseiras e dianteiras igual
a 2,8m, atravessa um vão de 20 m de extensão através de uma plataforma
simplesmente apoiada, como mostrado na figura. Sabendo-se que 60% do peso do
veículo é suportadado pelas rodas dianteiras, calcule: 
(a) A localização e o valor do momento fletor máximo na plataforma quando as 
rodas dianteiras estão distantes ξL do apoio esquerdo; 
(b) Para qual valor de ξ o momento máximo atinge seu valor extremo; 
(c) Para ξL calculado em (b), o valor do máximo momento. 
 
b ξL 
L 
L=20m 
b=2,8m
W 1N:=
L 20 m⋅:= b 2.8m:= wA 0.6W:= wB 0.4 W⋅:=
 Calculo as reações de apoio em função de ξ
R0 RL+ W=
ξ L b−
L
<RL L⋅ wB b ξ L⋅+( )⋅− wA ξ⋅ L⋅− 0=
RL ξ( ) wB bL⋅ W ξ⋅+:= R0 ξ( ) W 1 ξ−( )⋅ wB
b
L
⋅−:=
Na plataforma o cortante é constante por partes e, portanto, a distribuição de Momento Fletor é
seccionalmente linear. Assim, o momento máximo sempre ocorrerá nos pontos extremos das partes.
Neste caso, dependendo da posição do carro, o fletor máximo ponte ocorrer em A (roda dianteira) ou
em B(roda traseira). 
Calculando-se o Momento no trecho entre A e B , obtém-se:
ξ x
L
< ξ b
L
+< M x ξ,( ) R0 ξ( ) x⋅ wA x ξ L⋅−( )−=
Logo, para o ponto A, isto é, x = ξL MA ξL ξ,( ) R0 ξ( ) ξ⋅ L⋅=
e para o ponto B, x=ξL+b 
MB ξL b+ ξ,( ) R0 ξ( ) ξ L⋅ b+( )⋅ wA b⋅−= MA ξL ξ,( ) R0 ξ( ) wA−( ) b⋅+=
Portanto, se R0 ξ( ) wA−( ) 0> o máximo ocorre em B. Caso contrário o máximo será em A.
R0 ξ( ) wA−( ) 0> => W 1 ξ−( )⋅ wB bL⋅− wA> ξ wBW 1 bL−⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⋅<
ξL
wB
W
1
b
L
−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠⋅:= ξL 0.344=
Finalmente, se ξ ξL< Mmax MB ξL b+ ξ,( )=
MBmax ξ( ) wB ξ L⋅ b+( )⋅ 1 bL−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠⋅ W ξ L⋅ b+( )⋅ ξ⋅− wA ξ⋅ L⋅+:=
Se ξ ξL> Mmax MA ξL ξ,( )=
MAmax ξ( ) W ξ L⋅( )⋅ 1 ξ−( )⋅ wB b⋅ ξ⋅−⎡⎣ ⎤⎦:=
Para ilustrar: ξ 0 L b−
200 L⋅,
L b−
L
..:=
Mmax ξ( ) if ξ ξL≤ MBmax ξ( ), MAmax ξ( ),( ):=
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
1
2
3
4
5
Mmax ξ( )
MAmax ξ( )
MBmax ξ( )
ξL
ξ
(c) O momento máximo global (sem utilizar o resultado do gráfico) 
ξMAmax ξ
( )d
d
0= W L⋅ 1 2ξ−( )⋅ wB b⋅− 0=
ξAmax
1
2
wB b⋅
2W L⋅−= ξAmax
1
2
0.7
25
−:=
ξAmax 0.472= MAmax ξAmax( ) 4.456 N m⋅=
ξMBmax ξ
( )d
d
0= W L⋅ 1 2ξ−( )⋅ W wB+( ) b⋅− 0= ξBmax 12
W wB+( ) b⋅
2 W⋅ L⋅−=
ξBmax
1
2
0.72
5
−:= ξBmax 0.402=
Como ξBmax ξL>
isto é, para valores de ξ onde o Máximo ocorre no ponto A, concluimos que o
máximo momento ocorre no ponto A para : 
ξ 0.472=
d( )Momentomáximo
MAmax ξAmax( ) 4.456 N m⋅=
(3) Uma barra ação de aço com módulo de elasticidade E, área A e comprimento L é 
rotulada em uma extremidade. A outra extremidade é restrita a ser mover na 
horizontal dentro da ranhura de uma peça maciça e extremamente rígida. Calcule a 
tensão na barra quando esta se desloca, a partir da posição inicial mostrada na figura, 
por ação da força P. Considere que a barra desliza na ranhura sem atrito. 
 
 
L 
4 
3 
2314
7
10
mmA
mm
mm
kN
L
EA
=
=Δ
=
 
Δ 
P 
cosθ 3
5
:= δ u cosθ⋅= k 10 kN
mm
:= A 314 mm2⋅:= Δ 7mm:=
 
F 
P 
Δ 
θ 
N 
δ F L⋅
E A⋅= σ
F
A
=
Se u Δ< F P
cosθ= σ
5
3
P
A
=
F L⋅
E A⋅ Δ cosθ⋅≤ P k Δ⋅ cosθ
2⋅≤
Se u Δ= δ Δ cosθ⋅=
F L⋅
E A⋅ Δ cosθ⋅= σ
k Δ cosθ⋅( )⋅
A
:=
σ 134MPa= σ 134MPa≤