4- Transformação SS-FT

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Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
1 
TRANSFORMAÇÃO ENTRE AS FORMAS ESPAÇO DOS 
ESTADOS E FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
 
 
1. Motivação e necessidade 
 
 
� Existem basicamente duas formas de representar a dinâmica de um sistema: 
⇒ Espaço dos Estados (SS); 
⇒ Função de Transferência (TF). 
 
� O uso das duas formas de representar os sistemas dinâmicos é habitual. 
 
� Ocorre a necessidade de passar a representação do sistema de uma forma para outra 
dependendo do que é fornecido e do que se deseja fazer. 
 
 
 
2. Transformação de SS para TF 
 
� Dado um sistema LIT na forma do espaço dos estados: 
 



+=
+=
)()()(
)()()(
ttt
ttt
DuCxy
BuAxx&
 (1) 
 
� Pergunta-se, qual a Função de Transferência correspondente? 
 
Aplicando a Transformada de Laplace na equação da dinâmica dos estados, 
 
{ } { })()()( ttt BuAxx +=LL & (2) 
 
Assumindo condições iniciais iguais a zero (por definição a FT tem condições inciais iguais 
a zero), tem-se: 
 
)()()( ssss BUAXX += (3) 
 
Rearranjando, 
 
( ) )()( sss BUXAI =− (4) 
 
Isolando X(s) 
 
( ) )()( 1 sss BUAIX −−= (5) 
 
Aplicando a Transformada de laplace da equação das saídas do sistema, 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
2 
 
{ } { })()()( ttt DuCxy +=LL (6) 
 
ou 
 
)()()( sss DUCXY += (7) 
 
Substituindo a eq. (5) na eq. (7), tem-se: 
 
( ) )()()( 1 ssss DUBUAICY +−= − (8) 
 
( )[ ] )()( 1 sss UDBAICY +−= − (9) 
 
Lembrando que a FT é a relação entre a saída e a entrada do sistema, ou seja, Y(s)/U(s), 
 
( ) DBAICG +−= −1)( ss (10) 
 
 
� Observações: 
• G(s) é uma matriz de Funções de Transferência com dimensão pxm (p = número de 
saídas e m = número de entradas); 
• Cada elemento Gij(s) da matriz G(s) descreve a dinâmica da saída i em função da 
entrada j do sistema ⇒ por exemplo, G12(s) descreve a relação dinâmica entre a saída 1 
e a entrada 2 do sistema; 
• Se o sistema tiver somente uma entrada e uma saída ⇒ G(s) é um escalar. 
 
 
� Existe um método simples para calcular a FT para sistemas de qualquer ordem que não 
exige cálculo de inversa de matriz, somente determinante de matrizes: 
 
[ ]AI
DC
BAI
iji
j
−





 −−
=
s
s
sGij det
det
)( (11) 
 
onde Ci é a i-ésima linha da matriz C e Bj é a j-ésima coluna da matriz B e Dij é o elemento 
i,j da matriz D.. 
 
⇒ Nota-se que se o sistema for SISO ⇒ C é uma matriz linha e B é uma matriz coluna. 
 
 
� Os denominadores de todos os elementos da matriz de FT, G(s), são iguais ⇒⇒⇒⇒ equação 
característica do sistema. 
 
 
 
 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
3 
3. Cálculo de determinante e de matriz inversa 
 
 
Matriz inversa: 
 
� O cálculo algébrico da inversa de uma matriz nem sempre é um processo simples de realizar 
 
� O único caso onde o cálculo da matriz (sI – A)−1 é simples é para sistemas de ordem 2. 
 






=
2221
1211
aa
aa
A 
 
( ) [ ] 




−
−
−−−
=





−−
−−
=−
−
−
1121
1222
21122211
1
2221
12111
))((
1
asa
aas
aaasasasa
aas
s AI (12) 
 
� Para sistemas de ordem maior do que dois uma opção é usar o método de Cramer ⇒ muito 
trabalhoso. 
 
 
Determinante de matriz: 
 
Somente a título de recordar, o determinante de uma matriz de dimensão 2x2 é calculado 
pela seguinte fórmula: 
 
12212211
2221
1211det aaaa
aa
aa
−=





 (13) 
 
O determinante de uma matriz de dimensão 3x3 é calculado pela regra de Sarrus: 
 
331221322311132231321321312312332211
333231
232221
131211
det aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−−++=










 (14) 
 
O determinante de uma matriz de dimensão nxn é calculado pela soma dos cofatores da 
matriz: 
 
nn
nxnnnnn
n
n
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
1112121111
)(21
22221
11211
det +++=












L
L
MOMM
L
L
 (15) 
 
onde Aij é o cofator dos elemento aij, dado por: 
 
ijDdet)1( jiijA +−= (16) 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
4 
 
Dij é o menor complementar relativo ao elemento aij, que se obtém da matriz original 
retirando-se a linha i e a coluna j ⇒ por exemplo, para o elemento a12, tem-se 
 
)1()1(31
33331
22321
−−












=
nxnnnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
12D (17) 
 
� Observa-se que qualquer linha ou coluna da matriz pode ser utilizada para o cálculo do 
determinante a partir de seus cofatores. 
 
 
 
4. Exemplos 
 
Exemplo 1: Sistema SISO de ordem 3: 
 
Dado o sistema na forma de espaço dos estados com as seguintes matrizes: 
 









 −−−
=
010
001
321 aaa
A 










=
0
0
1
B [ ]321 ccc=C [ ]0=D 
 
Nesse caso tem-se uma saída (p = 1) e uma entrada (m = 1) ⇒ Sistema SISO ⇒ uma única 
FT descreve a relação dinâmica entre entrada e saída do sistema. 
 
Aplicando a eq. (13), 
 










−
−
+












−
−
−+
=
s
s
aaas
ccc
s
s
aaas
s
10
01det
0
010
001
1
det
)(
321
321
321
G 
 
Para calcular o determinante do numerador pode-se usar os cofatores da 4ª coluna da matriz 
que só possui um elemento diferente de zero, assim: 
 
scscc
ccc
s
s
ccc
s
s
aaas
2
2
13
321
41
321
321
10
01
det)1)(1(
0
010
001
1
det ++=










−
−
−−=












−
−
−+
+
 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
5 
 
saasas
s
s
aaas
23
2
1
321
)(
10
01det +++=










−
−
+
 
 
O que resulta na seguinte FT: 
 
32
2
1
3
32
2
1)(
asasas
cscsc
sG
+++
++
= 
 
 
Exemplo 2: Sistema MIMO de ordem 3: 
 
Dado o sistema na forma de espaço dos estados com as seguintes matrizes: 
 









 −−−
=
010
001
321 aaa
A 










=
00
0
0
2
1
b
b
B 





=
2
1 0
0
0
0 c
cC 






=
00
00
D 
 
Nesse caso tem-se duas saídas (p = 2) e duas entradas (m = 2) ⇒ Sistema MIMO ⇒ 2x2 = 4 
FT descrevem as relações dinâmicas entre as entradas e as saídas do sistema. 
 
Aplicando a eq. (13) para a saída 1 e entrada 1: 
 
32
2
1
3
2
11
32
2
1
3
1
41
1
321
1
1321
11
00
10
01
det)1)((
10
01det
000
010
001
)(
asasas
scb
asasas
c
s
s
b
s
s
aaas
c
s
s
baaas
sG
+++
=
+++










−
−
−−
=










−
−
+












−
−
−+
=
+
 
 
Aplicando a eq. (13) para a saída 1 e entrada 2: 
 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
6 
32
2
1
3
132122
32
2
1
3
1
321
42
2
321
1
2
321
12
00
10det)1)((
10
01det
000
010
01
0
)(
asasas
cabscab
asasas
c
s
aaas
b
s
s
aaas
c
s
bs
aaas
sG
+++
−−
=
+++










−+
−−
=










−
−
+












−
−−
+
=
+
 
 
Aplicando a eq. (13) para a saída 2 e entrada 1: 
 
32
2
1
3
21
32
2
1
3
2
41
1
321
2
1321
21
00
10
01
det)1)((
10
01det
000
010
001
)(
asasas
cb
asasas
c
s
s
b
s
s
aaas
c
s
s
baaas
sG
+++
=
+++










−
−
−−
=










−
−
+












−
−
−+
=
+
 
 
Aplicando a eq. (13) para a saída 2 e entrada 2: 
 
32
2
1
3
12222
32
2
1
3
2
321
42
2
321
2
2
321
22
00
10det)1)((
10
01det
000
010
01
0
)(
asasas
acbscb
asasas
c
s
aaas
b
s
s
aaas
c
s
bs
aaas
sG
+++
+
=
+++










−
+
−−
=










−
−
+












−
−−
+
=
+
 
A matriz de FT fica, 
 












+++
+
+++
+++
−−
+++
=
32
2
1
3
12222
32
2
1
3
21
32
2
1
3
132122
32
2
1
3
2
11
)(
asasas
acbscb
asasas
cb
asasas
cabscab
asasas
scb
sG 
 
 
 
5. Transformação de TF para SS 
 
� Existem muitas formas de realizar a transformação de um sistema representado por uma FT 
para a forma SS. 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
7 
 
� Não existe uma única forma SS para representar uma FT: 
• O vetor de estados não é único para um sistema dinâmico ⇒ existem inúmeras 
possibilidades de definir o vetor de estado para um mesmo sistema dinâmico; 
• Cada vetor de estado vai gerar uma forma diferente de SS para uma mesma FT. 
 
� Três casos diferentes: 
 
• Numerador constante: 
01
1
1
)(
asasas
k
sG
n
n
n ++++
=
−
−
K
, m = 0. (18) 
 
• Ordem do numerador < ordem do denominador: 
 
01
1
1
01
1
1)(
asasas
bsbsbsb
sG
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
=
−
−
−
−
K
K
, com m < n. (19) 
 
• Ordem do numerador = ordem do denominador: 
 
01
1
1
01
1
1)(
asasas
bsbsbsb
sG
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
=
−
−
−
−
K
K
, com m = n. (20) 
 
 
Caso 1: 
 
� Exemplo de sistema de 3ª ordem ⇒ facilmente estendido para ordem n. 
 
)(
)()(
01
2
2
3 sU
sY
asasas
k
sG =
+++
= 
 
Multiplicando em cruz, 
 [ ] )()( 01223 skUasasassY =+++ 
 
Calculando a inversa da Transformada de Laplace ⇒ obtém-se a equação diferencial do 
sistema: 
 
)()()()()( 012 tkutyatyatyaty =+++ &&&&&& 
 
Escolhendo o vetor de estados ⇒ [ ]ttytytyt )()()()( &&&=x 
 
As equações dinâmicas do sistema na forma SS fica: 
 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
8 
[ ] [ ] )(0
)(
)(
)(
100)(
)(
0
0
)(
)(
)(
010
001
)(
)(
)(
)(
012
tu
ty
ty
ty
ty
tu
k
ty
ty
tyaaa
ty
ty
ty
t
+










=










+



















 −−−
=










=
&
&&
&
&&
&
&&
&&&
&x
 
 
� Essa forma de sistema é conhecida como Forma Controlável. 
 
 
Caso 2: 
 
� Exemplo de sistema de 3ª ordem. 
 
)(
)()(
01
2
2
3
01
2
2
sDen
sNun
asasas
bsbsb
sG =
+++
++
= (m =2 e n = 3). 
 
Escrevendo a relação entre a entrada e a saída Y(s)/U(s) da seguinte forma: 
 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
sU
sV
sV
sY
sU
sY
= 
 
pode-se definir, 
 
)()(
)(
sNum
sV
sY
= ; 
 
)(
1
)(
)(
sDensU
sV
= . 
 
A relação )(
1
)(
)(
sDenssU
sV
= é transformada como no caso 1, ou seja: 
 
)()()()()( 012 tutvatvatvatv =+++ &&&&&& 
 
)()()(
0
0
1
)(
)(
)(
010
001
)(
)(
)(
)(
012
tttu
tv
tv
tvaaa
tv
tv
tv
t BuAxx +=










+



















 −−−
=










= &
&&
&
&&
&&&
&
 
 
A relação 01
2
2)()(
)( bsbsbsNum
sV
sY
++== implica que: 
 
)()()()( 012 tvbtvbtvbty ++= &&& 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
9 
 
[ ] )(
)(
)(
)(
)( 012 t
tv
tv
tv
bbbty Cx=










= &
&&
 
 
Portanto, 
 









 −−−
=
010
001
012 aaa
A 










=
0
0
1
B [ ]012 bbb=C 
[ ]0=D 
 
Caso 3: 
 
� Exemplo de sistema de 3ª ordem. 
 
01
2
2
3
01
2
2
3
3)(
asasas
bsbsbsb
sG
+++
+++
= (m =3 e n = 3). 
 
Fazendo, 
 
D
asasas
ss
sG +
+++
++
=
01
2
2
3
01
2
2)( βββ 
 
ou 
 
01
2
2
3
01
2
2
3
3
01
2
2
3
01
2
2
asasas
bsbsbsbD
asasas
ss
+++
+++
=+
+++
++ βββ
 
 
Tirando mínimo múltiplo comum e eliminando, 
 ( ) 012233012230122 bsbsbsbasasasDss +++=++++++ βββ 
 ( ) 00112223301223 )()( βββ −+−+−+=+++ bsbsbsbasasasD 
 
Igualando os termos de mesma potência em s, tem-se: 
 







−=→−=
−=→−=
−=→−=
=
.
;
;
;
000000
111111
222222
3
DabbDa
DabbDa
DabbDa
bD
ββ
ββ
ββ
 
 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
10 
A partir de 
01
2
2
3
01
2
2
asasas
ss
+++
++ βββ
 pode-se achar a forma SS como no caso 2 ⇒ achando essa 
FT basta adicionar o termo de alimentação direta Du(t). 
 
Portanto, 
 









 −−−
=
010
001
012 aaa
A 










=
0
0
1
B [ ]012 βββ=C 
[ ]3b=D 
 
 
 
6. Exemplos 
 
 
Exemplo 1: 
 
� Dado a FT 
32
1)( 2 ++
−
=
ss
s
sG obtenha uma forma SS equivalente. 
 
Tem-se 
32
1
)(
)(
2 ++
=
sssU
sV
, que multiplicando em cruz resulta em, 
 [ ] )(32)( 2 sUsssV =++ 
 
Calculando a transformada inversa obtém-se: 
 
)()(3)(2)( tutvtvtv =++ &&& 
 
que na forma SS fica, 
 
)(
0
1
)(
)(
01
32
)(
)()( tu
tv
tv
tv
tv
t 





+










 −−
=





=
&
&
&&
&x 
 
Agora usando o numerador, 
 
1)(
)(
−= s
sV
sY
 
 
o que implica em: 
 
)()()()()1()( tvtvtysVssY −=→−= & 
 
ou 
 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
11 
[ ] 





−= )(
)(
11)(
tv
tv
ty
&
 
 
Portanto, 
 





 −−
=
01
32
A 





=
0
1
B [ ]11 −=C [ ]0=D 
 
 
Exemplo 2: 
 
� Dado a FT 
2
1)( 2
2
++
+−
=
ss
ss
sG obtenha uma forma SS equivalente. 
 
Dividindo o numerador pelo denominador, 
 
120
1 2
2 1
2
22
−−
++
+++−
s
ss
ssss
 
 
Portanto, 
 
1
2
12)( 2 +++
−−
=
ss
s
sG 
 
Como no exemplo 1, a partir de 
2
12
2 ++
−−
ss
s
 pode-se achar a forma SS, resultando em: 
 
)(
0
1
)(
)(
01
21
)(
)()( tu
tv
tv
tv
tv
t 





+










 −−
=





=
&
&
&&
&x 
 
Adicionandoo termo de alimentação direta na equação de saída tem-se: 
 
[ ] )()(
)(
12)( tu
tv
tv
ty +





−−=
&
 
 
Portanto, 
 





 −−
=
01
21
A 





=
0
1
B [ ]12 −−=C [ ]1=D 
 
 
 
7. Exercícios 
 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
12 
1) Converta o modelo do sistema abaixo da foma em SS para FT. 
 






=
10
12
A 





=
0
1
B [ ]11 −=C 1=D 
 
 
2) Obtenha a matriz de funções de transferência do sistema abaixo dado na forma do espaço 
dos estados: 
 
)(
10
00)(
10
21)(
)(
20
03)(
11
11)(
tutty
ttt






+




 −
=






+





−
−
=
x
uxx&
 
 
 
3) Seja o sistema composto por massa-mola-amortecedor, cujo modelo, representado na forma 
do espaço dos estados, é dado pelas seguintes exepressões: 
 
 
[ ]











=






+











−−
=





)(
)(
01)(
)(
1
0
)(
)(10
)(
)(
tv
tx
ty
tf
mtv
tx
mbmktv
tx
&
 
 
A entrada desse sistema é a força f e a saída é a posição da massa x. Obtenha a função de 
transferência do sistema. 
 
 
4) Seja o modelo de um motor elétrico de corrente contínua representada pelas seguintes 
equações diferenciais: 
 
 








=++
=+
=
)()()()(
)()()(
)()(
tV
K
t
tRi
dt
tdiL
tiKtbtJ
tt
V
T
ω
ωω
ωθ
&
&
 
 
A entrada desse sistema é a tensão elétrica V, e as saídas são a posição θ, a velocidade ω e a 
corrente elétrica i. Obtenha a função de transferência do sistema. 
 
 
5) Seja um sistema composto por duas massas e três molas lineares, cuja dinâmica é 
representada pelas seguintes equações diferenciais: 
 
 
[ ]
[ ]

=−++
=−++
)()()()()(
)()()()()(
21222322
12121111
tftxtxktxktxm
tftxtxktxktxm
&&
&&
 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
13 
 
As entradas desse sistema são as força f1 e f2, e as saída são as posições das duas massas x1 e 
x2. Obtenha a matriz de funções de transferência do sistema. 
 
 
6) Dada a matriz de FT abaixo que representa a dinâmica de um sistema LIT. 
 












+++
+
+++
=
52
2
52
3
)(
23
2
23
sss
s
sss
s
sG . 
 
Pede-se: 
a) Qual o número de entradas e de saídas do sistema? 
b) Usando o Matlab obtenha o sistema na forma SS. 
 
 
7) Seja a matriz de funções de transferência que representa a dinâmica de um sistema no 
domínio complexo: 
 












++
+
−
++
+
=
)3(
8
1
5
)1(
2
)3)(1(
14
)(
ss
sss
s
sG 
 
Pede-se: 
a) Qual o número de entradas e de saídas? 
b) Obtenha o sistema descrito na forma do espaço dos estados. 
 
 
8) Usando o Matlab calcule a matriz de FT do sistema dado abaixo na forma SS. 
 
)(
000010
000001)(
)(
00
5,00
05,0
00
00
00
)(
05,000211
005,005,05,15,0
0005,05,05,05,1
100000
010000
001000
)(
tt
ttt
xy
uxx






=




















+




















−−
−−
−−
=&
 
 
 
� Principais comandos do Matlab a serem utilizados: 
• ss; 
Eduardo Lobo Lustosa Cabral 
 
14 
• ss2tf; 
• tf2ss.