Álgebra Matricial e Sistemas de Equações

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Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 1 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE 
 
FACULDADE DE CIÊNCIAS 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra Matricial e Sistemas de Equações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 2 
 
 
 
ÍNDICE 
2. Álgebra Matricial ……………………………………………………………...……3 
2.1. Matrizes……………..…………………………………………………………....3 
2.2. Determinantes………………………………………………………………….12 
3. Sistemas de Equações…………………………………………………….…………21 
3.1. Método de Cramer…………………………………………………………….21 
3.2. Método de Gauss……………………………………………………………....22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 3 
 
Tema 2: Álgebra Matricial 
2.1. Matrizes 
As matrizes são geralmente representadas por letras maiúsculas (A;B;C;…) e os seus 
elementos por letras minúsculas (a;b;c;…). 
 
Exemplos de matrizes 











43
10
21
A
 É matriz de dimensão 3x2, tem 3 linhas e 2 colunas. 
 321B
 É matriz de dimensão 1x3, tem 1 linha e 3 colunas. 







5
1
C
 É matriz de dimensão 2x1, tem 2 linhas e 1 colunas. 
 
De um modo geral, a matriz A de dimensão (ordem) mxn é uma disposição rectangular da 
forma: 















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
 ou simplesmente   njmiaA ij ,...,3,2,1;,...,3,2,1,  
 
Onde: m é o número de linhas 
 n é o número de colunas 
 
ija
 são os elementos da matriz (números reais, complexos, funções ou matrizes). 
Cada elemento 
ija
 aparece na linha i e coluna j. 
Por exemplo, o elemento 
23a
aparece na 2ª linha e 3ª coluna. 
 
Tipos de matrizes 
Matriz quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) 
Exemplos:
22
20
71







A
é uma matriz quadrada de ordem 2x2 (matriz quadrada de ordem 2). 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 4 
 
 
33
654
103
721













B
é uma matriz quadrada de ordem 3x3 (matriz quadrada de ordem 3). 
 
 7A
 é uma matriz quadrada de ordem 1x1 (matriz quadrada de ordem 1). 
 
NOTA: Numa matriz quadrada há duas diagonais (exemplo da matriz B) 
a) Diagonal Principal da matriz B é constituída pelos elementos 
iib
( 1; 0; 6). 
b) Diagonal Secundária da matriz B é constituída pelos elementos 
ijb
(4; 0; 7). 
 
Matriz nula é aquela em que todos os seus elementos são iguais a zero (isto é,
ija
 = 0). 
 Exemplos: 












 
00000
00000
00
00
5322 BeA
 
 
Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1). 
 Exemplos:


















y
x
BeA
9
7
2
 
Matriz linha é constituída por uma única linha (m = 1). 
Exemplos: 
   0054,019  BeA
 
 
Matriz diagonal é uma matriz quadrada (m = n) em que todos elementos que não estão na “diagonal 
principal” são nulos. 
 Exemplos: 











800
070
002
A
; 
















10000
0300
0040
0009
B e 











100
000
000
C
 
Matriz Identidade ou Matriz Unidade é uma matriz quadrada que possui unidades na diagonal 
principal (isto é,
iia
 = 1 e 
ija
 = 0, para i ≠ j). 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 5 
 
Exemplos:
22
2
10
01







I
, 
33
3
100
010
001











I
, 
44
4
1000
0100
0010
0001















I 
 
Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal 
principal são nulos, isto é m = n e 
ija
= 0, para i > j 
 Exemplos: 





















c
ba
eA
0
6000
5300
7410
8012
B 
Matriz triangular inferior é aquela que m = n e 
ija
 = 0, para i < j. 
Exemplos: 


























574
032
001
4501
0221
0011
0002
BeA 
 
Igualdade de matrizes 
Definição: Duas matrizes 
mxnA
 e 
rxsB
 são iguais se e somente se, os elementos da mesma posição 
são iguais, ou seja, têm o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s) e os elementos 
correspondentes são iguais. 
 
Por exemplo: 















542
0º909
522
1lg13
2
2 sen 
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 6 
 
FICHA 1: 
 
1. Seja: 
 

















07-112
3739
0540
1137
02-83
M
 
a) Qual é a ordem de M? 
b) Escreva os elementos da segunda linha. 
c) Escreva os elementos da quarta coluna. 
d) Escreva o elemento 
34m
, e o elemento 
31m
. 
 
2. a) Quantos elementos há numa matriz 
22 XA
? 
 b) Quantos elementos há numa matriz 
53XA
? 
3. Escreva em forma de matriz 32 a matriz A tal que a ij = i + j 
 
4. Escreva em forma de matriz de ordem 4 a matriz C tal que 






ji se 0,
ji se 1,
c ij
 
 
5. Escreva em forma de matriz de ordem 3 a matriz D tal que 









ji se 1,-
ji se 0,
ji se 1,
dij
 
 
6. Escreva em forma de matriz de ordem 2 a matriz E tal que 








ji se 1,i
ji se ,2
e
2
ji
ij
 
 
7. Sendo as matrizes









nmyx
nmyx
A
32
 e 








101
68
B
, achar os valores de x, y, m e n 
para que se tenha A=B. 
 
8. Obtenha a, b, x e y de modo que 














1812
106
2
2
yxyx
aba
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 7 
 
Operações sobre Matrizes 
Adição de matrizes e Multiplicação de uma Constante por uma Matriz 
 
Sejam A e B duas matrizes com a mesma dimensão mxn. 















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
 e 















mnmm
n
n
bbb
bbb
bbb
B
...
............
...
...
21
22221
11211
 
1. Adição de matrizes 
A soma das matrizes A e B, é uma matriz, obtida adicionando os termos 
correspondentes: 


















mnmnmmmm
nn
nn
babaaa
bababa
bababa
BA
...
............
...
...
2211
2222222121
1112121111
 
Nota: A soma de matrizes de dimensões diferentes não é definida. 
2. Multiplicação de uma matriz por um número k. 
O produto de um número k e a matriz A, é uma matriz, obtida multiplicando cada 
elemento de A por k: 















mnmm
n
n
kakaka
kakaka
kakaka
Ak
...
...............
...
.
21
22221
11211
 
 
Exemplo: Dadas as matrizes





 

95
61
A
 e 








43
20
B
, calcule A + B e -2A. 
A + B = 





 
95
61
 + 






 43
20
 = 





 
132
41
 









1810
122
)2( A
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 8 
 
Propriedades da Adição de matrizes 
Sejam A, B e C matrizes de mesma ordem mn e 

 e 

 escalares, então: 
1. A adição de matrizes é comutativa: A + B = B + A 
2. A adição de matrizes é associativa: (A + B) + C = A+ (B +C) 
3. A matriz nula é neutra na adição: A + O = O + A = A, onde O denota a matriz nula mn. 
4. 

 (A + B) = 

A + 

B 
5. 

 (

A) = (


)A. 
6. 

A + 

A = (

+

)A 
 
Transposição de Matrizes 
Quando se troca ordenadamente as linhas pelas colunas de uma matriz, a nova matriz é chamada 
matriz transposta (representa-se por tA ). 
 
Exemplo: Seja 













0110
864
752
A
, a sua transposta é 














087
165
1042
tA
. 
 
Propriedades da Matriz Transposta 
Sejam A e B matrizes mn e k um escalar. Então: 
1. 
  AA tt 
 
2. 
  ttt BABA 
 
3. 
  tt AkAk .. 
 
4. Se tAA  , então A é simétrica 
5. Se tAA  , A é anti-simétrica 
 
Exemplos: ;;
501
023
134


























kigd
ihfc
gfeb
dcba
BA












0
0
0
cb
ca
ba
C
;











015
141
732
D
 
As matrizes A e B são simétricas, C é anti-simétrica e D não é, nem simétrica nem anti-simétrica. 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 9 
 
Multiplicação de Matrizes 
A multiplicação de duas matrizes existe se e só se o número de colunas da 1ª matriz for igual 
ao número de linhas da 2ª matriz. 
O produto da matriz A de dimensão mxn pela matriz B de dimensão nxp é uma matriz C de 
dimensão nxp 
 
mxpnxpmxn CBA .
 e efectua-se da seguinte maneira: 
1. Sejam 
 
xnn
aaaA
121
...
 e 
1
2
1
...
nxn
b
b
b
B














 
 
 
 nnbababaBA  .... 2211
 
 
2. Sejam 















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
 e 















npnn
p
p
bbb
bbb
bbb
B
...
............
...
...
21
22221
11211
 


















npmnpmpmnmnmmnmnmm
npnppnnnn
npnppnnnn
bababababababababa
bababababababababa
bababababababababa
BA
............
............
............
............
.
221122221211212111
222212122222212211221221121
121211121221212111121121111
 
Exemplos: 
Dadas as matrizes 









3
2
5
4
12
23A
 e 





 

40
11
22B
. Calcule 
AB
 
Resolução: 
 
 
23
22
23 75
44
22
43150315
42)1(40214
41120112
40
11
3
2
5
4
12
































 









 BA
 
 
AB.
 é impossível porque o número de colunas da matriz B é diferente do número de linhas da matriz 
A. 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 10 
 
Dadas as matrizes 














012
123
111
M
 e 











321
642
321
N
Calcule 
MN
 e 
NM
. 
Resolução: 















012
123
111
MN










321
642
321
= 










000
000
000
 











321
642
321
NM














012
123
111
= 













1611
21222
1611
 
Obs. 
MN
 ≠
NM
 e que 
MN
= O, sem que M = O ou N = O. 
 
Propriedades de multiplicação de matrizes 
 
1. A multiplicação de matrizes não é comutativa: 
BA 
 ≠
AB 
 
2. A multiplicação de matrizes é associativa: (A.B).C=A.(B.C) 
3. A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição: A.(B+C)=A.B+A.C 
4. Multiplicação de um número real por uma matriz: 
   BABA ....  
 
5. Multiplicação pela matriz identidade: 
AAIIA nn 
 
6. Multiplicação pela matriz nula: 
OOIOA n 
 
7. 
nIA 
0
, se A
0
 
8. An=A.A.A.….A, n factores 
9.   ttt ABBA ..  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 11 
 
FICHA 2 
 
 
1. Considere as seguintes matrizes: 
 
 







76
02
A
, 








82
40
B
, 
,
237
796








C
 













606
411
046
D














106
401
996
E
 
 Efectue, se possível, as seguintes multiplicações: 
a) 
BA
 
b) 
BA 43 
 
c) 
CA
 
d) 
 ttt ED 32 
 
e) 
DC 2
 
f) 
AB
 
g) 
BA
 
h) 
AC
 
i) 
CD
 
j) 
DC
 
k) 
tDC
 
 
2. Seja 








13
22
A
. Determine 
 Ag
, onde 
  82  xxxg
 
3. Calcule 2016
10
11





 
4. Dadas as matrizes 



































1
10
1
C e 
3
8
5
B , 
13
12
25
A
, determine a matriz X tal que 
 A + B – C – X = 0 
5. Dadas as matrizes: 







866
8410
A
 e 







425
35,25,0
B
. 
Determine a matriz M tal que 
BMA 25,0 
. 
 
6. Obtenha a matriz X tal que X . 
 07
37
10





 
 
 
7. Obtenha a matriz X tal que 






 43
06 . X = 






 26
12
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 12 
 
2.2. DETERMINANTES 
 
O Determinante de uma matriz quadrada A é um número e representa-se por detA ou 
A
. 
 Notemos que 
A
 não é o valor absoluto (ou módulo) de A. 
 
Cálculo de Determinantes 
1. Regra de Sarrus 
 
a) Determinante da matriz 
  1111  aA
 é 
11aA 
 
 
Exemplos: 
    7722  BBAA
 
 
b) Determinante da matriz 
222221
1211








aa
aa
A
 é 
222221
1211
||


aa
aa
A
 = 
11 22 12 21a a a a
 . 
 
Exemplos: 
1376)1(732
37
12
; 

 Bcbad
dc
ba
A
 
 
c)Determinante da matriz A 3 x 3 = 
11 12 13
21 22 21
31 32 33
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 é 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
, para calcular 
seguem-se os seguintes passos: 
 
(i) Escrevem-se os elementos da matriz, repetindo-se ordenadamente as duas primeiras colunas: 
 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa

 
 (ii) Efectuam-se os produtos indicados pelas flechas, conservando-se o sinal dos que estão indicados 
pelo sinal + , e trocando-se o sinal dos que estão indicados pelo sinal - . 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 13 
 
 (iii) Soma-se os resultados obtidos. 
 Exemplos: 
1) 




110
221
311
6120302
)1).(1).(1(1.2.13.2.01).1.(30.2).1()1.(2.1
1
2
1
0
1
1
110
221
311








 
 
2) 
000
1521
311 
=
0000000
0
2
1
0
1
1
000
1521
311


 
 
3) 
c
b
a
00
150
31
=
abccabcbab
a
c
b
a


)1.(0..15.03..00.0.30.15).1(..
0
1
0
0
00
150
31
 
 
2. Desenvolvimento de Laplace 
 
Teorema de Laplace para o cálculo de determinantes. 
O determinante da uma matriz quadrada A, 
nnnjnn
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
......
..................
......
..................
......
......
21
21
222221
111211

 
É igual a soma dos produtos, obtidos multiplicando os elementos de qualquer linha ou 
coluna pelos respectivos cofactores (
ijA
). 
a) Desenvolvimento segundo a linha i: 
ininijijiiii AaAaAaAaA .......... 2211 
 
 
b) Desenvolvimento segundo a coluna j: 
njnjijijjjjj AaAaAaAaA .......... 2211 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 14 
 
 
Onde: 
  ij
ji
ij MA .1


 chama-se cofactor de 
ija
 . 
 
ijM
 é o determinante obtido apagando a linha i e coluna j. 
 
Exemplo: 
Calcule, usando o desenvolvimento de Laplace, o determinante 
419
432
223

. 
Resolução: Vamos desenvolver segundo a 2ª linha 
     
 
54601812)183(4)1812(3)28(2
19
23
.1.4
49
23
.1.3
41
22
).1.(2
.1.4.1.3.1.2
...
419
432
223
23
32
22
22
21
12
232322222121





MMM
AaAaAa
 
 
 
Propriedades 
 
1. 
tAA 
 
2. Se um determinante 
A
 tiver uma linha ou coluna nula, então 
0A
 
3. Se cada elemento de uma linha ou coluna tiver um factor comum, pode-se pô-lo em 
evidência. 
4. Se trocarmos entre si duas linhas ou colunas, o determinante mudara o seu sinal. 
5. O determinante com duas linhas ou colunas iguais ou proporcionais, é igual a zero. 
6. Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem, então 
BABA .. 
 
 
7. O determinante de uma matriz triangular 
nxnA
 é igual ao produto dos elementos da 
sua diagonal principal . 
nntriangular aaaA ...... 2211
 
 Assim, em particular, 
11.....11 nI
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 15 
 
FICHA 3 
 
1. Sejam 
3A
 e 
2B
 . Calcula: 
a) 
tA
 b) 
3A
 c) 
2AB
 
2. Sabendo que 
5
vut
zyx
cba
. Determine: 
a) 
vut
cba
zyx
 b) 
vzc
uyb
txa
 c) 
zvyuxt
zcybxa
cba

 666
333
 
3. Calcule os determinantes de segunda ordem : 
 a) 
1 200
3 400
; b)
a b a
a a b


; c) 
13547 13647
28649 28749
 
4. Determine os valores de k, ou x para os quais : 
 a) 
4 2
k k
k
 = 0; b) 
2 3
4 1
x
x
 
 
 = 0; 
5. Calcule determinantes de terceira ordem: 
 a) 
1 1 1
1 0 1
1 1 0

 
; b) 
0 1 1
1 0 1
1 1 0
; c) 
1 1 1
1 2 3
1 3 6
; d)
1
1
1
a b c
b a c
c a b



 . 
6. Resolva as equações 
 a) 
0
224
23
311


xx
x
 b) 
0
422
111
31
2
2

k
k
 c) 
1
215
112
01




y
y
y
 
 
7. Calcule seguintes determinantes: 
a) 
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
 ; b)
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
 ; c)
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
 ; d) 
321882
16941
4321
1111
 
e) 
55 66 77
0 33 44
0 0 22
0 0 0
a
b
c
d
 ; f) 
0 0 0 2
0 0 3 9
0 5 7 8
1 9 4 8
 ; g) 
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
a
b
c



 
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Posto de uma matriz ou Rank 
O posto da matriz A, 
 Ar
 é igual ao número de linhas não nulas numa matriz escalonada. 
Exemplo: Determine o posto da matriz 



















51511
68713
26304
75213
A 
Resolução: Vamos efectuar algumas transformações elementares com a matriz A. 
Trocando a 1ª e a 2ª coluna entre si, obtemos a matriz 


















51511
68731
26340
75231
 , 
A partir do primeiro elemento da primeira linha vamos anular todos os outros elementos da 
primeira coluna efectuando transformações elementares. 
 Multiplicando a primeira linha por (-1) e adicionando a 3ª e a 4ª linha obtemos a matriz 


















26340
13500
26340
75231
, 
A partir do 2º elemento da 2ª linha vamos anular todos os outros elementos da 2ª coluna 
efectuando transformações elementares. Multiplicando a 2ª linha por (-1) e adicionando a 4ª 
linha obtemos a matriz 

















00000
13500
26340
75231
 A matriz já esta escalonada. 
A matriz escalonada tem 3 linhas não nulas, logo o posto 
  3Ar
. 
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 17 
 
Matriz Inversa 
 
Definição. Diz-se que uma matriz quadrada A é inversível se existir uma matriz B satisfazendo as 
igualdades 
AB = BA = I, 
onde I é matriz identidade da mesma ordem de A e B . 
Tal matriz é única e é chamada inversa de A e representa-se por A
-1
 . 
 
Exemplo: Calcule a inversa, A
-1
, da matriz 









52
73
A
. Faça a verificação do resultado. 
Pela definição: 
 
222222
1
10
01
52
73
.























by
ax
IAA 














10
01
5252
7373
bayx
aayx 
 
Da igualdade das duas últimas matrizes temos dois sistemas de equações lineares. 
1
o
) 





052
173
yx
yx
 S1: 





2
5
y
x
 e 2
o
) 





152
073
ba
ba
 S2: 





3
7
b
a
 
 Logo: 









32
751A
 
Prova do resultado: 






















10
01
32
75
52
73
. 1 IAA
. 
 
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 18 
 
Cálculo da matriz inversa usando o método de Jordan 
   1||  AIIA
 
Exemplo: Determine a matriz inversa da matriz 











211
542
321
A
, usando o método de Jordan 
Resolução: 
 
   
 
   




















































































































012
111
213
,,|
012|100
111|010
213|001
~2~
~
012|100
111|010
035|021
~
3
~
012|100
101|110
001|321
~~
~
012|100
101|110
001|321
~~
101|110
012|100
001|321
~~
~
101|110
012|100
001|321
~
2
~
100|211
010|542
001|321
|
11
121
232
131
33
3233
313
212
ALogoAILLL
LLL
LLL
LL
LLLL
LLL
LLL
IA
 
 
Cálculo da matriz inversa usando matriz adjunta 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz 















nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
...
............
...
...
21
22212
12111
*
 onde
ijA
 são cofactores da matriz A, chama-se matriz adjunta de A 
Teorema. 
Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, 
0A
, neste caso 
*1 .
1
A
A
A 
 
Exemplo 1. 
 Calcule a inversa da matriz 







57
23
A
 
Resolução: 
011415
57
23
A
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 19 
 









37
25
*A
, pelo teorema 

















37
25
37
25
.
1
1
.
1 *1 A
A
A
 
 
 
 
Exemplo 2: 
Calcule a inversa da matriz 













524
012
321
A
 
Resolução: 
 
  0124205
24
12
3
54
02
2
52
01
1
524
012
321







A
 
 
      3
01
32
14
52
32
15
52
01
1
13
31
12
21
11
11 








AAA
 
 
      6
02
31
17
54
31
110
54
02
1
23
32
22
22
21
12 





AAA
 
 
      5
12
21
16
24
21
18
24
12
1
33
33
32
23
31
13 








AAA
 
 





























568
6710
345
568
6710
345
.
1
1
.
1 *1 A
A
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 20 
 
FICHA 4 
 
 
1. Determine o posto das seguintes matrizes: 
a) 











531
321
753
A
; b) 











00402
02010
00201
B
; c) 



















87183
37432
41341
32131
A 
 
2. Determine a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes: 
 



















































6201
1111
2132
4321
001
352
321
250
851
721
 
57
23
B 
32
53
A EDC 
3. Resolva a seguinte equação matricial 
BAX 
, se: 
 
a) 







43
21
A
 e 







95
53
B
 
 
b) 














012
423
321
A
 e 









 

8710
7210
031
B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 21 
 
Tema 3. Sistemas de Equações Lineares 
 
3.1. Método de Cramer 
 
Consideremos o sistema de n equações com n incógnitas 











nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
 (1) 
Este sistema é equivalente a seguinte equação matricial 












































nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
BXA
......
.
...
............
...
...
.
2
1
2
1
21
22221
11211
. 
Consideremos o determinante principal 

 e os determinantes correspondentes as 
variáveis 
1x

, 
2x

, …, 
nx

. 















nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
, 
 















nnnn
n
n
x
aab
aab
aab
...
............
...
...
2
2222
1121
1
, 















nnnn
n
n
x
aba
aba
aba
...
............
...
...
1
2221
1111
2
, …, 















nnn
x
baa
baa
baa
n
...
............
...
...
21
22221
11211
 
 
 
Teorema (Teorema de Cramer) 
O sistema (1) tem solução única se, e somente se, 
0
. Neste caso a solução única 
calcula-se usando as fórmulas: 








 n
x
n
xx
xxx ...,, 21 21
 
 
 
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 22 
 
Exemplo: 
Resolver o sistema, utilizando o teorema de Cramer. 








432
1
32
zyx
zyx
zyx
 
Resolução: 
05342
21
11
31
11
32
11
2
321
111
112










 
10673
24
11
34
11
32
11
3
324
111
113









x
 
531214
41
11
31
11
3
34
11
2
341
111
132







 y
 
09312
21
11
3
41
11
42
11
2
421
111
312







 
0
5
0
,1
5
5
,2
5
10











 z
yx zyx
 
Solução: 








0
1
2
z
y
x
 
 
3.2. Método de Gauss 
 
Consideremos o sistema de n equações com m incógnitas 











mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
...
...
...
21
222221
111211
 (2) 
Consideremos as matrizes: 















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
 e 















nmnmm
n
n
baaa
baaa
baaaB
...
...............
...
...
21
222221
111211
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 23 
 
Definição. A matriz A chama-se matriz dos coeficientes e a matriz B chama-se matriz 
ampliada do sistema (2). 
 
Definição. Diz-se que o sistema (2) tem a forma escalonada, se B é matriz escalonada. 
 
Teorema (Teorema de Kronecker-Capelli) 
Seja dado o sistema (2). 
a) Se 
    nBrAr 
 (número de incógnitas) então o sistema (2) é determinado 
(tem uma única solução); 
b) 
    nBrAr 
 então o sistema (2) é indeterminado (tem infinidade de 
soluções); 
c) 
   BrAr 
 então o sistema (2) é incompatível (não tem solução). 
 
O método de Gauss consiste no seguinte: 
i) Utilizando as operações elementares escalonar o sistema; 
ii) Escolher as incógnitas principais e as incógnitas livres (se existirem); 
iii) Fazer o processo de retro- substituição (expressar as incógnitas principais 
através das variáveis livres). 
 
Exemplo1. 
Resolva o sistema seguinte, usando o método de Gauss: 








14223
1742
72
zyx
zyx
zyx
 
Resolução: 
A matriz ampliada do sistema é 













14|223
17|412
7|121
 

































7|140
3|230
7|121
~
3
2
~
14|223
17|412
7|121
313
212
LLL
LLL~
 













33|1100
3|230
7|121
~43 323 LLL
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 24 
 
    3 nBrAr
, logo o sistema é determinado (tem solução única). Assim, 
temos o sistema na forma escalonada. 





























3
1
2
3
3
23
27
3311
323
72
z
y
x
z
z
y
zyx
z
zy
zyx
 Solução: 








3
1
2
z
y
x
 
 
Exemplo 2. 
Resolva o sistema seguinte, usando o método de Gauss: 








22745105
945273
424352
tszyx
tszyx
tszyx
 
Resolução: 
A matriz ampliada do sistema é 













22|745105
9|45273
4|24352
 













22|745105
9|45273
4|24352
~
~
52
32
313
212








LLL
LLL













24|4122550
6|22510
4|24352
~ 
 














6|62000
6|22510
4|24352
~5~ 323 LLL
 
    53 BrAr
 - o número das incógnitas, logo o sistema é indeterminado (tem uma 
infinidade de soluções). 
O sistema correspondente à última matriz é: 








662
6225
424352
ts
tszy
tszyx
 
As incógnitas principais são: x, y, s. 
As variáveis livres são: z, t. 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 25 
 
Vamos expressar as incógnitas principais através das variáveis livres. 
261511424352
12856225
33662



tzxtszyz
tzytszy
tsts
 
Solução: 











tz
ts
tzy
tzx
,
33
1285
261511
 
Exemplo 3. 
Resolva o sistema seguinte, usando o método de Gauss: 








767125
1252
2432
tzyx
tzyx
tzyx
 
Resolução: 
A matriz ampliada do sistema é 


































3|14820
3|7410
2|4321
~
5
2
~
7|67125
1|1252
2|4321
313
212
LLL
LLL~ 
~
 323 2 LLL 
~












3|0000
3|7410
2|4321
 
       BrArArBr  ,2,3
, logo o sistema é incompatível (não tem soluções). 
 
Exemplo 4. 
Determinar os valores de k, de modo que o seguinte sistema tenha: 
a) Solução única. 
b) Nenhuma solução. 
c) Uma infinidade de soluções. 








23
332
1
zkyx
kzyx
zyx
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 26 
 
Resolução: 
Reduzindo o sistema à forma escalonada temos:   
    











































 
2|3200
1|210
1|111
~
~1~
1|410
1|210
1|111
~
2
~
2|31
3|32
1|111
323
313
212
kkk
k
LLkL
k
k
LLL
LLL
k
k
 
Resposta: 
a) Se 
2k
e 
3k
 
b) Se 
3k
 
c) Se 
2k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rolos Nicol’s – ALGA – UEM-ENGENHARIAS - 2016 27 
 
FICHA5 
 
Resolva os seguintes sistemas de equações: 
 
0z 
32z2y2x
1z y x
 b) 
5z3y3x3
32z2y2x
1z y x
 a)
 .4
 
23222
8263
143
552
 c) 
08w2z-y-x
02zy5x-
03wz-y-2x 
 b) 
2
4x
4x
0x
 a) 
 3.
 
 
02z 4y- x
2z -5y- 
52z3y-2x
 c) 
5z -y 3x
04zy -2x
12z-y x 
 b) 
05z-6y3x
92zy x
13z-4y2x
 a) 
 2.
 
142y4x
7y 2x
 c) 
3y2x
7y2x
 b) 
45y-3x
7y 2x
 a) 1.
4321
4321
4321
4321
4321
4321
4321
4321





















































































xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
xxx
xxx
 
5. Determine o valor de k de modo que o seguinte sistema tenha solução 








ktzyx
tzyx
tzyx
1147
242
12
 
6. Determine o valor de k de modo que o seguinte sistema seja: 
a) Determinado 
b) Incompatível 
c) Indeterminado 








1
1
1
kzyx
zkyx
zykx