05 Método da rigidez pórticos

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Método da rigidez direta para pórticos 
O desenvolvimento do método da rigidez para pórticos segue um 
procedimento similar àquele usado para vigas, incluindo o 
tratamento de cargas equivalentes, identificação de nós etc.... 
A novidade é o uso da matriz de transformação de coordenadas 
locais a globais, assunto estudado em treliças. 
 
 
VIGA COM 
COORDENADAS 
LOCAIS 
1 
2 
)e(L
y' 
x' 
T ( ) ( )
'1 '1,
e e
z zM 
( ) ( )
'1 '1,
e e
y yF d( ) ( )
'1 '1,
e e
x xF d
( ) ( )
'2 '2,
e e
y yF d( ) ( )
'2 '2,
e e
x xF d( ) ( )
'2 '2,
e e
z zM 
o 3 graus de liberdade por nó ( esf axial, cortante, 
momento) 
o Convenção positiva de momentos (anti-horário), 
rotações, forças e deslocamentos 
[ ']K
Método da rigidez direta para elementos de 
pórticos 
Matriz de rigidez do elemento em coordenadas locais 
( )
'1
'1
'1
'2
'2
'2
0 0 0 0
12 6 12 6
0 0
3 2 3 2
6 4 6 2
0 0
2 2
0 0 0 0
12 6 12 6
0 0
3 2 3 2
6 2 6 4
0 0
2 2
e
x
y
z
x
y
z
AE AE
L L
EI EI EI EI
F L L L L
EI EI EI EIF
L LM L L
AE AEF
L LF
EI EI EI EIM
L L L L
EI EI EI EI
L LL L
 
 
 
 
  
  
   
  
  
     
  
      
 
 
 

 
 
( )
'1
'1
'1
'2
'2
'2
e
x
y
z
x
y
z
d
d
d
d


 
 
 
 
 
 
 
 
  
Método da rigidez direta para pórticos 
Como uma barra ou viga num pórtico pode ter qualquer orientação 
(expressa em coordenadas locais) é necessário estimar a matriz de 
rigidez em coordenadas globais com a ajuda da matriz de 
transformação de coordenadas, de maneira semelhante no método da 
rigidez aplicado a treliças. 
 
 
VIGA COM 
COORDENADAS 
GLOBAIS 
1 
2 
)e(L

x 
y 
y' 
x' 
T ( ) ( )
1 1,
e e
z zM 
)(
1
)(
1 ,
e
y
e
y dF
( ) ( )
1 1,
e e
x xF d
( ) ( )
2 2,
e e
y yF d( ) ( )
2 2,
e e
x xF d( ) ( )
2 2,
e e
z zM 
o 3 graus de liberdade por nó 
o Convenção positiva de momentos (anti-horário), 
rotações, forças e deslocamentos 
cos
sin
l
m


   
   
   
[ ]K
Método da rigidez direta para pórticos 
 
( )
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
e
l m
m l
T
l m
m l
 
 
 
 
  
 
 
 
 Matriz de transformação de coordenadas 
Método da rigidez direta para elementos de 
pórticos 
Matriz de rigidez do elemento em coordenadas globais (depois de 
usar a matriz de transformação de coordenadas) 
2 2 2 2
2 2
( )
'1
'1
'1
'2
'2
'2
12 12 6 12 12 6
3 3 2 3 3 2
12 12 6 12
3 3 2 3e
x
y
z
x
y
z
AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI
l m lm m l m lm m
L L L LL L L L L L
AE EI AE EI EI AE EI
lm m l l
L L LF L L L L
F
M
F
F
M
       
              
       
     
       
       
 
 
 
 
 
 
 
  
2 2
2 2 2 2
2 2
12 6
3 2
6 6 4 6 6 2
2 2 2 2
12 12 6 12 12 6
3 3 2 3 3 2
12 12 6
3 3 2
AE EI EI
lm m l l
L L L
EI EI EI EI EI EI
m l m l
L LL L L L
AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI
l m lm m l m lm m
L L L LL L L L L L
AE EI AE EI EI
lm m l
L LL L L
 
   
 
 
       
            
       
   
       
   
( )
'1
'1
'1
'2
'2
'2
2 212 12 6
3 3 2
6 6 2 6 6 4
2 2 2 2
e
x
y
z
x
y
z
d
d
d
d
AE EI AE EI EI
l lm m l l
L LL L L
EI EI EI EI EI EI
m l m l
L LL L L L


 
 
 
 
 
   
   
   
   
   
   
   
   
              
    
 
  
 
Método da rigidez direta para pórticos 
O desenvolvimento do método da rigidez para pórticos segue um 
procedimento similar àquele usado para vigas, incluindo o 
tratamento de cargas equivalentes. 
• Estabelecer primeiro a matriz de rigidez dos elementos 
• Montar a matriz de rigidez da estrutura global 
• Definir o vetor de forças e momentos externos Definir o vetor de 
deslocamentos 
• Resolver o sistema {F}=[K]{d} para obter deslocamentos 
desconhecidos nos nós, reações na viga, ou momentos e cortantes 
internos na viga. (caso as cargas estejam aplicadas nos nós de 
elemento) 
• Resolver o sistema {F}=[K]{d} +{𝑞0} caso existam cargas ao 
longo do elementos (IDENTICO AO VISTO EM VIGAS) 
Cálculo dos esforços internos 
Os esforços internos {q} nas extremidades de um elemento podem 
ser calculados a partir da matriz de transformação de coordenadas. 
Se o resultado de qualquer das incógnitas for negativo, quer dizer 
que o esforço interno age no sentido contrario ao assumido como 
positivo no método. 
( ) ( ) ( ) ( ){ } [ '] [ ] { }e e e eq K T d