Lista e exercicios C2 - Prof Lynnyngs

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Ca´lculo II
Lista de Exerc´ıcios
1. Determine e fac¸a o esboc¸o do domı´nio da func¸a˜o.
a) f(x, y) =
√
x+y+1
y−1 ; b) f(x, y) =
√
x
ln(y2−x) ; c) f(x, y) =
√
x− y2; d) f(x, y) = √x√y;
2. Determine e fac¸a o esboc¸o das curvas de n´ıvel da func¸a˜o.
a) z = 6− 3x− 2y; b) z = yx−1 ; c) z = 2x2 + y2; d) z = xy; e) z = yx2 ;
3. Determine e fac¸a o esboc¸o das superf´ıcies de n´ıvel da func¸a˜o.
a) u = x2 + 4y2 + z2; b) u = x+ 3y + 5z; c) u = x2 − y2 + z2; d) f(x, y, z) = x2 − y2;
4. Determine, se existir, o limite lim(x,y)→(0,0) f(x, y).
a) f(x, y) =
(
x+ 1x
)
y; b) f(x, y) = x
2y2
x2y2+(x−y)2 ; c) f(x, y) =
x2−xy√
x−√y ; d) f(x, y) =
x−y
x+y ;
5. Determine se e´ poss´ıvel definir f(0, 0) de modo que a func¸a˜o dada seja cont´ınua.
a) f(x, y) = xy√
x2+y2
;
b) f(x, y) = x
2−y2
x2+y2 ;
c) f(x, y) = yx
2
x4+y2 ;
d) f(x, y) = sin(x
2+y2)
x2+y2 ;
e) f(x, y) = yx
2
x2+y2 ;
f) f(x, y) = x
3+y3
x2+y2 ;
g) f(x, y) = sin(xy)√
x2+y2
;
h) f(x, y) = xyx2+y2 ;
6. Determine fx(0, 0) e fy(0, 0).
a) f(x, y) =
{
yx(x2−y2)
x2+y2 se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
; b) f(x, y) =
{
0 se xy 6= 0
1 se xy = 0
.
7. Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
a) u = xy/z; b) z = 2yy+sin x ; c) f(x, y) = e
x sin y; d) u = exy ln z; e) z = xy + e
y
y2+1 ;
8. Determine zx e zy.
a) x2 + y2 + z2 = 3xyz; b) yz − ln z = x+ y; c) z = ∫ y2
x2
e−t
2
dt; d) z =
∫ y
x
cos(t2)dt; e) z = xy;
9. Determine, se existir, uma func¸a˜o f tal que
a) fx(x, y) = 3 + 2xy e fy(x, y) = x
2 − 3y2;
b) fx(x, y) = x− y e fy(x, y) = x− 2;
c) fx(x, y) = 6x+ 5y e fy(x, y) = 3x+ 4y;
d) fx = y
2, fy = 2xy + e
3x e fz = 3ye
3z.
10. Seja φ : R→ R diferencia´vel. Mostre que
a) u(x, y) = cxayb satisfaz a` equac¸a˜o xux + yuy = (a+ b)u;
b) z = x sin xy satisfaz a` equac¸a˜o xzx + yzy = z;
c) u = φ(xy ) satisfaz a` equac¸a˜o xux + yuy = 0;
d) z = φ(x2 − y2) satisfaz a` equac¸a˜o yzx + xzy = 0;
11. Determine se cada uma das func¸o˜es abaixo satisfazem a` equac¸a˜o de Laplace uxx + uyy = 0.
a) u = x3 + 3xy2; b) u = ln(x2 + y2); c) u = ax+ by; d) u = ex cos y; e) u = xx2+y2 ;
12. Mostre que u = sin(x− at) + ln(x+ at) e u = ta2t2−x2 satisfazem a` equac¸a˜o da onda utt = a2uxx.
13. Mostre que u(x, y) = e−a
2t sin(kx) e u = e−x
2/4kt/
√
t satisfazem a` equac¸a˜o do calor ut − a2uxx = 0
14. Determine se as func¸o˜es satisfazem a` equac¸a˜o uxx + uyy + uzz = 0.
a) u = 1√
x2+y2+z2
; b) u = e3x+4y cos 5z; c) u = ln(x2 + y2 + z2);
15. Os seguintes exerc´ıcios do livro Stewart, James - Ca´lculo. Volume 1, Thomson Learning.
a) exerc´ıcios (4n− 1), com 1 ≤ n ≤ 15, Sec¸a˜o 14.1; b) exerc´ıcios (2n+ 1), com 0 ≤ n ≤ 20, Sec¸a˜o 14.2;
c) exerc´ıcios (4n− 1), com 1 ≤ n ≤ 22, Sec¸a˜o 14.3;