Cálculo I Exercicio de apoio Semana 2

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2
cálculo I
exercícios
ExErcício 1
a. Calcule, pela definição, a derivada da função 
f(x) = x6.
b. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de 
f , no ponto (-1,1) .
ExErcício 2
Considere a função f(x) = 
3
x .
a. Calcule f '(x), x ≠ 0
b. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de 
f no ponto x0 = 8.
c. Use esta equação para obter um valor aproximado 
de  
3
8,19 .
d. Obtenha este valor usando uma calculadora.
e. Os valores obtidos em c. e d. possuem quantas ca-
sas decimais em comum? 
ExErcício 3
Usando as regras de derivação, calcule a derivada das 
funções:
a. f(x) = 3x2senx
Cálculo I / Aulas 5–8 Exercícios 2
b. f(x) = (2x + 1)cosx
c. f(x) = 3senx log3x
d. f(x) = senx cosx
e. f(x) = secx
f. f(x) = cossecx
g. f(x) = cotgx
h. f(x) = 2x + 1
x2 + 3
 
ExErcício 4
Obtenha as funções derivadas de: 
a. f(x) = x7
b. f(x) = x3ex
c. f(x) = x
2
tgx
ExErcício 5
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = ex no ponto de 
abscissa x = 0. Conclua que para valores “pequenos” de x, ex pode ser 
aproximada por 1 + x.
Obtenha uma valor aproximado de e0,1.
Cálculo I / Aulas 5–8 Exercícios 3
Gabarito
ExErcício 1
a. f '(x) = 
h → 0
lim 
f(x) - f(x0)
x - x0
 = 
h → 0
lim 
(x)6 - (x0)
6
x - x0
 =
 = 
h → 0
lim 
(x - x0)(x
5 + x4x0 + x
3x0
2 + x2x0
3 + xx0
4 + x0
5)
x - x0
 = 6x5
b. f '(-1) = -6, e a reta tangente é:
 
y - f(x0)
x - x0
 = f '(x0). Logo 
y - 1
x + 1
 = -6 ⇒ y = - 6x - 5
ExErcício 2
a. f(x) = 3 x = x
¹⁄³ ⇒ f'(x) = 1
3
 x
-²⁄³ = 1
3x²⁄³
 = 
1
3 3 x2
b. f(8) = 3 8 = 2; f'(8) = 1
3 3 82
 = 
1
3 ⋅ 4
 = 
1
12
 
Reta tangente: y - f(x0)
y - x0
 = f '(x0) ⇔ 
y - f(8)
x - 8
 = f '(8) ⇔ y - 2
x - 8
 = 
1
12
 
y = x
12
 - 
8
12
 + 2 = x
12
 + 
16
12
 = 
x
12
 + 
4
3
c. 
3
8,19 ≈ 8,19
12
 + 
4
3
 = 2,0158
d. 2,01569...
e. 3 casas após a vírgula
ExErcício 3
a. f'(x) = (3x2)'senx + 3x2(senx)' = 6xsenx + 3x2cosx
b. f'(x) = (2x + 1)'cosx + (2x + 1)(cosx)' = 2cosx - (2x + 1)senx
c. f'(x) = (3senx)'log3x + 3senx(log3x)' = 3cosx.log3x + 3senx.
1
xln3
Cálculo I / Aulas 5–8 Exercícios 4
d. f'(x) = (senx)'cosx + senx(cosx)' = cosx.cosx + senx(-cosx) = 
= cos2x - sen2x = cos(2x)
e. f'(x) = (secx)' = 1
cosx
'
 = - 
(cosx)'
(cosx)2
 = 
senx
cos2x
 = 
1
cosx
 
senx
cosx
 = secx.tgx
f. f'(x) = (cossecx)' = 1
senx
'
 = - 
(senx)'
(senx)2
 = - 
cosx
sen2x
 = - 
1
senx
 
cosx
senx
 = -cossecxcotgx 
g. f'(x) = (cotgx)' = cosx
senx
'
 = 
(cosx)'senx - cosx(senx)'
(senx)2
 = 
-senx.senx - cosx.cosx
sen2x
 = 
= 
-(sen2x + cos2x)
sen2x
 = - 
1
sen2x
 = - 
1
senx
2
 = -cossec2x 
h. f'(x) = (2x +1)'(x
2 + 3) - (2x +1)(x2 + 3)'
(x2 + 3)2
 = 
2(x2 + 3) - (2x + 1)2x
(x2 + 3)2
 = 
-2x2 - 2x + 6
(x2 + 3)2
 
ExErcício 4
a. f(x) = x7 = x7⁄2 ⇒ f'(x) = 7
2
 x5⁄2 = 7
2
2
x5
b. f'(x) = 3x2ex + x3ex = x2ex(3 + x) 
c. f'(x) = 2x ⋅ tgx - x
2 ⋅ sec2x
tg2x
 
ExErcício 5
Sendo f(x) = ex temos f(0) = e0 = 1 e f'(x) = ex ⇒ f'(0) = e0 = 1
Reta tangente: y - f(x0)
y - x0
 = f '(x0) ⇔ 
y - f(0)
x - 0
 = f '(0) ⇔ y - 1
x
 = 1 ⇔ y = x + 1
Logo ex ≈ 1 + x, em vizinhanças de x = 0 (valores “pequenos” de x)
e0,1 ≈ 1 + 0,1 = 1,1 (valor exato e0,1 = 1,105170...)